山東省2025屆部分學校高三年級開年考試

數學試題及參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題僅有一個選項正確.

1.已知集合M={0,1,2,3},N=(x|x<2},則wn(c&N)=()

A.(-oo,2)B.(2,3)C.{2,3}D.{1,2,3}

2.已知復數z=(a+2i)(l-z)為純虛數，則實數a的值為()

12

A.---B.---C.2D.-2

23

3.樣本數據12,8,32,10,24,22,12,33的第60百分位數為()

A.8B,12C.22D.24

4.函數=的大致圖象是（）

e-1

5.已知加，〃是兩條不同的直線，。，夕是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）

A.若m〃n,n//a,則加〃aB.若加〃a,m//P,則a〃/?

C.若加_La,aL/3,則加〃D.若加_La,m//P,則

6.十一國慶期間，《749局》《志愿軍存亡之戰》《浴火之路》《熊貓計劃》引爆了電影市場,

張三和他的同學宜興市四人決定去看這四部電影.若張三要看《存亡之戰》，則恰有兩人看

同一部影片的概率為（）

499八19「45

A.—B.—C.—D.—

64163264

7.若函數/（%）=。婷-x的圖象全部在x軸上方，則實數。的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,+oo）C.|—,+co]D.

1

8.已知片，心是橢圓與雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且歸周<|尸匕],PF1

的垂直平分線經過點若橢圓的離心率為q,雙曲線的離心率為02,則且-2的取值

2e2

范圍為()

A.(-2,+co)B.1——,+GO^C.1—2,——D.(-1,+co)

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選

錯的得0分.

9.現有200根相同的鋼管，若把它們堆放成正三角形垛，且使剩余的鋼管盡可能的少，則下

面說法正確的是()

A.堆放成正三角形垛后，沒有剩余鋼管

B.堆放成正三角形垛后，剩余鋼管的根數為10

C.若再增加8根鋼管，則所有的鋼管恰好可以堆放成正三角形垛

D.若再增加10根鋼管，則所有的鋼管恰好可以堆放成正三角形垛

10.函數/(x)是定義域為(―oo,0)U(0,+oo)的奇函數，當x〉0時，

、----,x>2

z=，下列結論正確的有()

x1-2x+2,0<x<2

A.對VX],X,e(-l,0)U(0,1)且工產工2，恒有"—""I<0

X]-x2

B.對Vxj,x2e[2,+GO),恒有/["i

C.函數了=%與/(x)的圖象共有4個交點

D.若當xe[a,0)時,/(x)的最大值為-1,則3,—1]

11.如圖，在棱長為4的正方體48CD-481cl2中，E,尸分別

是棱&鳥，的中點，G為底面4BCD的動點，則下列說

法中正確的是()

2

A.當G為的中點時，EFICG

B.若G在線段BD上運動，則三棱錐A-GEF的體積為定值

C.存在點G,使得平面EFG截正方體所得的截面面積為1273

D.當G為ZD的中點時，三棱錐&-EPG的外接球表面積為住工

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.已知/'(》)=?,請寫出/(x)的一個解析式：.

13.已知)=(2,2),Z=(sinacos。)，若=則「在3上的投影向量的坐標

為.

22

14.已知片，心是橢圓￡：菅+巳-=1的左、右焦點，M點在第一象限內，且是橢圓E上

一動點.若/片〃耳是銳角，則橢圓E在M點處的切線的斜率的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19

小題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在銳角A4BC中，內角4民。的對邊分別為4c,JIc-cosA=b.

(1)求證：A=2B;

(2)若N5ZC的平分線交8C于。，且c=2,求A4AD面積的取值范圍.

16.如圖，在四棱錐尸—48CD中，尸幺，平面48。￡>,AD//BC,E為尸。的中點.

(1)若EA=EC,證明：CD,平面ZCP；

(2)已知/。=4,BC=2,AB=\,斜線05和平面Z5CD所成的角的正切值為2,

求平面ACE和平面PCD的夾角的余弦值.

17.過坐標原點。作圓C：(x+2y+/=3的兩條切線，設兩切點分別為P,0,直線尸。恰

為拋物線E：/=2px(p>0)的準線.

(1)求拋物線E的標準方程；

⑵設點T是圓C上的動點,拋物線E上四點滿足TA=2TM,TB=2TN,

設4B的中點為。.

①求直線3的斜率；

②設AZ48的面積為S,求S的最大值.

18.我國某口罩生產廠商在加大生產的同時，狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量.該廠質檢

人員從某日生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下五組：

[100,,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到如下頻率分布直方圖.

規定：口罩的質量指標值越高，說明該口罩質量越好，其中質量指標低于130的為二級口

罩，質量指標值不低于130的為一級口罩.

(1)將上述質量檢測的頻率視為概率，現從該工廠此類口罩生產線上生產出的大量口罩

中，采用隨機抽樣的方法每次抽取1個口罩，抽取8次.記被抽取的8個口罩中一級口罩

的個數為若每次抽取的結果是相互獨立的，求自的均值及抽取概率最大時的一級口罩

個數.

(2)現從樣本口罩中利用按比例分成抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中隨機抽取3

個，記其中一級口罩的個數為〃，求〃的分布列及方差.

(3)甲、乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網絡的購物平臺上各參加一個訂單的“秒殺”

搶購，其中每個訂單由〃(〃22〃eN*)個該型號口罩構成.假定甲、乙兩人的訂單“秒殺”

2cos—

成功的概率分別為彳，-----2，記甲、乙兩人搶購成功的口罩總數量為X,求當X

rTn

的數學期望E(X)取最大值時正整數n的值.

4

19.若有窮數列｛a“｝("6■^*且〃23)滿足向-%+]|?何+1-4+2|(z=1,2,---,?-2),則

稱｛%｝為M數列.

(1)判斷下列數列是否為M數列，并說明理由.

①1,2,4,3；②4,2,8,1.

(2)已知M數列｛%｝中各項互不相等，令為=鼠-(根=1,2,…，〃-1),求證：數

列｛4｝是等差數列的充分必要條件是數列上｝是常數列.

(3)已知M數列｛%｝是機(機eN*且機23)個連續正整數1,2,…，機的一個排列，若

加一1

Z,左一4+J=掰+2,求加的所有取值.

k=\

5

參考答案

一、選擇題

題號12345678

答案CDCCDBCB

二、選擇題

題號91011

答案BDBCDACD

三、填空題

24「O

12./（x）=—（答案不唯一）13.（-2sin&-2cos8）14.-oo,----

3I3,

四、解答題

15.解:（1）證明：*/c-2bcosA=b,.'.由正弦定理得5m。一251118（：05幺=5由8.

又A-\-BC—7i9

sin（4+5）-2sin5cosA=sinAcosB-cos4sinL=sin（4-5）=sin5.

???“BC為銳角三角形，.?.Ze八五,',?.

又了=5由工在[/《J上單調遞增，Z—8=8,即2=2瓦

（2）由（1）可知，NBAC=2NABC,...在AAaD中，ZABD=ZBAD.

4nAR71

由正弦定理得*乙=—^~~、=-^,：.AD=BD=—^—,

sin5sin（萬一25）sin2Bcos5

]inB

S/卜XArRiLC）-~c4B-BD-sinB=n—=tanB.

2cos5

7/7/7/

又08。為銳角三角形，0<8<一,0<25<-,0<?—35〈一

222

兀兀（A/3

解得一一,

6<8<4tanBeI—3,1J,

即A4AD面積的取值范圍為—,1.

3

6

16.解：（1）：J.平面4BCD,40,。。匚平面48。。，/.PALAD,PALCD.

在放AP4D中，E為尸。的中點，則E4=ED=PE=LpD.

2

,/EA=EC,/.EC=ED=PE,則ZPCE=ZCPE,ZDCE=NCDE.

在APCQ中，ZPCE+ZCPE+ZDCE+ZCDE=180°,

即2NPCE+2NDCE=180°,ZPCD=90°,即尸C_LC￡>.

又：尸/口尸。=尸，PZu平面ZCP,尸Cu平面ZCP,

（2）:尸Z,平面48CD,

；?AB是斜線PB在平面ABCD內的射影，即ZPBA為PB和平面ABCD所成的角.

pA

在R/APAB中，tanZPBA=——=2,/.PA=2AB=2.

PB

又由4D〃5C,ABIBC,可知48，4D,故48,40,4P兩兩垂直，

以Z為坐標原點，4B,NQ,4P所在直線分別為x,y,2軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

則2（0,0,0）,8（1,0,0）,C（l,2,0）,￡>（0,4,0）,尸（0,0,2）,

￡（0,2,1）,

.?.標=（0,2,1）,就=（1,2,0）,

P￡>=（0,4,—2）,CZ）=（-1,2,0）.

.—??

一/、n-AE=2弘+2i=0

設平面NCE的法向量為〃1=（再,必,21）,則《，}一無?，可取

nxAC=xx+2%=0

々=（2,-1,2）.

，——?—?

一/、%?AE=4%-2Z=0一/、

設平面PCD的法向量為〃2=（X2，％，Z2），貝“，一9，可取〃]=（2,1,2）

n2-AC=-x2+2y2=0

4—1+4_7

74+1+4x74+1+4-9

7

???平面ACE和平面PCD的夾角的余弦值為一.

9

7

17.解：（）1由題意知直線產。與x軸交于點勺—g,0

CP\\co

：2

由圓及其切線的性質得ACPP0?ACOP,：.—L=—.|CP|=|C^||CO|.

CP0\\CP

即3=—,+2x2,解得夕=1,.?.拋物線E的標準方程為V=2x.

⑵設/（再，M），B（x2,y2）.

2

%+乂

①由題意，"的中點M在拋物線E上，即-2Xo+t

2

又必2=2X「將項=[■代入,得4-2為必+4/-式=0.

同理,只-2%%+4%-y；=0,

:2%此時點。的縱坐標為匕土里=%,

[必K=4/7；2

直線功的斜率為0.

3_3+式_(X+%)2-2%%_3需-49.Df3vo-4xo

2~4~4—2，,?12

此時5=：叩也-刃，

...叫=|屏—2x°|,

M-％|=+為了一=J8，—2%),

又二,點T在圓C上，，(/+2)+X=3,即——%：—4%0—1f

代入上式可得：S=手?J（-京-6x0-1=孚-（/+3）2+81,

—2—y/3?/V—2+V5",

8

...Xo=—3時，S取到最大值逆XJF=48.

2

???S的最大值為48.

18.解：（1）由題知，抽到一級口罩的概率估計值為（0.02+0.005）x10=0.25,

則J?5（8,0.25）,故E仔）=8x0.25=2.

P（J=k）_Cg.25/.0.758*

注LkeN*,kW8,

P^=k-1）~C=0.25J?0.759.3k

令j

>1,***k<—,

3k4

當14kV2,左eN*時，P^=k）>P^=k-\）,

當3V左W8,左eN*時，尸（3=上）〈尸（（=左一1）.

抽取概率最大時的一級口罩個數為2.

（2）按比例分層抽樣抽取8個口罩,

則其中一級、二級口罩個數分別為0.25x8=2,（1—025）x8=6,

故〃的可能取值為0,1,2,

CjC\_15

XP（=0）=-^=—,P（7J=1）

7Cl-28

8

7的分布列為:

n012

p5153

142828

￡（〃）=Ox—+lx—+2x—=—

''1428284

22

川7）="xA1-23*加23345

+X——二--------

14428112

（3）設甲、乙搶購成功的訂單總數量為y,由題知，y可能的取值為o,i,2,

f、

2cos—2cos—21cos—

p（r=o）=1-4i-n=1-——+n

nnn2nn2

7

9

/、

2cos—2cos—2cos—4^-cos—

n

p(y=i)=』1------良nnn

nnn/+nn2

2^-cos—

p(r=2)=——1區

n

c兀0兀

2cos—4萬cos一24cos一2cos—

nn

：.ME)=ixnn+2xnn

/+nn2n=/+n

7、

2cos—

n

*.*X—nY,￡(X)=nE(Y)=nn=2cos-+-.

/+nnn

J

令/,設/(7)=2cos加+加，則E(X)=/(/).

n\2

—2乃sinR=2m——sin加

.,.當時，/'（。〉0；當/e時,/3<0,

???/⑺在（0,：J上單調遞增，在上單調遞減,

故當/=』，即〃=6時，/1）取最大值，

6

；.E（X）取最大值時，正整數〃=6.

19.解：（1）①?.[2—4]>|4-3|,???數列1,2,4,3不是M數列.

②：|4—2|<|2—8|<|8—1],.?.數列4,2,8,1是M數列.

（2）證明：必要性：數列｛4｝是等差數列，設其公差為d,則%=|冊-%用|=同.

???數列上｝是常數列.

充分性：若數列也“｝是常數列，則超=%1加=1,2,…，〃—2）,

10

a

即\,n-?m+J