熱點題型?解答題攻略

專題09導數常考題型全歸納

0----------------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01導數與極值（含有參數的單調性分類討論）................................................1

題型02導數與最值（含恒成立和有解問題）......................................................13

題型03導數與方程的根（含隱零點問題）.......................................................25

題型04極值點偏移問題........................................................................35

題型05導數與不等式..........................................................................46

題型06導數中其他雙變量問題..................................................................57

題型07導數結合數列..........................................................................70

?>----------題型探析?明規律-----------O

題型01導數與極值（含有參數的單調性分類討論）

【解題規律?提分快招】

「二J含參豆單詞桂討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的

I

;區間）；

I

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，

|無需單獨討論的部分）；

|（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；

I

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；

I

（5）導數圖像定區間；

【一般性技巧】

I

11,導函數的形式為含參一次函數，首先討論一次項系數為0的情形，易于判斷；當一次項系數不為零時，

I

I討論導函數的零點與區間端點的大小關系，結合導函數的圖像判定導函數的符號，從而寫出函數的單調區

I間.

I2、若導函數為含參可因式分解的二次函數，令該二次函數等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，

I

判定導函數的符號，從而確定原函數的單調性.

3、若導函數為含參不可因式分解的二次函數，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.I

二、函數的極值：

i

函數/(X)在點X。附近有定義，如果對X。附近的所有點都有/(X)</(x0),則稱f(x0)是函數的一個極大值，|

i

記作》極大值=/(%0).如果對飛附近的所有點都有/(X)>/(%0)，則稱/(Z)是函數的一個極小值，記作!

i

歹極小值=/(%0).極大值與極小值統稱為極值，稱與為極值點.i

求可導函數/(X)極值的一般步驟；

i

(1)先確定函數/(x)的定義域；；

I

(2)求導數1(X)；

i

(3)求方程/'(x)=0的根；

i

(4)檢驗/(x)在方程/(x)=0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那；

I

么函數y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數y=/(x)在|

I

這個根處取得極小值.

注①可導函數/(X)在點X。處取得極值的充要條件是：X。是導函數的變號零點，即/(%)=(),且在X。左側］

I

與右側，/'(X)的符號導號.1I

②/'(%)=0是X。為極值點的既不充分也不必要條件，如/(x)=/,/,(0)=0,但x0=0不是極值點.另外，

i

極值點也可以是不可導的，如函數〃x)=|x|,在極小值點％=0是不可導的，于是有如下結論：/為可導：

函數的極值點n/'(Xo)=O；但/'&)=0名0為的極值點.

Tiwwr

一、解答題

1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數/(無)=2(加尤-lnx)+e,討論〃無)的單調性與極值.

【答案】答案見解析

【分析】求定義域，求導，分加40和〃?>0兩種情況，求解函數的單調性和極值.

【詳解】由題得，“X)的定義域為(0,包).

①當機V0時，/'。)<0恒成立.

.?./(X)在(0,+?))上為減函數，此時/(x)無極值；

②當〃？>0時，由/'(x)>0,得尤〉‘，由/得0<x<,，

mm

在(o,』上單調遞減，在仕,上單調遞增，

Im))

故/(X)的極小值為/(；j=21n加+2+e,無極大值.

綜上可得，當機40時，〃x)在(0,y)上單調遞減，/(x)無極值；

當機>0時，/(x)在［(),'］上單調遞減，在(工,上單調遞增.

〃X)的極小值為2In”?+2+e,無極大值.

2.(2024?河南開封?二模)已知函數〃x)=lnx-￡.

(1)討論/(x)的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；

⑵函數g(x)=三;若方程〃x)=/(g(x))在xe/J上存在實根，試比較/(/)與In1的大小.

【答案】(1)答案見解析

2

⑵/⑺>吟

【分析】(1)求出函數的定義域與導函數，分。20、。<0兩種情況討論，分別求出函數的單調性與極值;

(2)利用導數說明g(x)的單調性，即可得到0<g(x)<；,xe1°，￡|，令仁g(M，則方程/(x)=/?)在

上存在實根，結合⑴中函數的單調性，可得0<F<g,即一<”0,則

2

/(a)=21n(-a)-l,令加(a)=21n(-a)-：,-1<?<0,利用導數說明函數的單調性，即可得到w(a)>InJ,

從而得解.

【詳解】(D函數/(尤)=lnx-1?的定義域為(0,+動,

又/⑴=:+/=手，

當a20時，/'(尤)>0恒成立，所以/(x)在(0,包)上單調遞增，無極值，

當。<0時，令/'(x)=0,解得x=-a,

所以當xe(O,-a)時/(x)<0,〃x)單調遞減，

當xe(-a,+s)時r(x)>0,〃x)單調遞增，

所以當X=-“時，/(X)取到極小值/(-a)=ln(-a)+l,無極大值，

綜上所述，當時，〃x)在(0,內)上單調遞增，無極值，

當。<0時，/(%)在(0,-。)上單調遞減，在(-見+00)上單調遞增，極小值為ln(-a)+l,無極大值.

(2)因為g(x)=—,0<x<-

1-x29

2x,(1—x)—(—l)x22x—x2x(2-x)

則g'(x)=

(1-x)2(1-1)2(1-4

令g'(%)=o,解得x=2或0(舍),

所以當xe(0,￡|時g，(x)>0,g(x)單調遞增,

所以g(O)<g(x)<g［；］,即0<g(x)<；,

令/=g(x),0<x<-,貝(JO<f<L

22

若方程/(x)=〃g(x))在xe(o,/J上存在實根，

則方程/?=/(0在xe上存在實根，

當a上0時/(%)在(0,；］上單調，則x=g(x)在上有解，

即》=三應該在上有解，但是2x2-尤=0在［o4［上無解，不合題意，

所以/(x)在10,￡|上不單調，即。<0,

由(1)知0<-<7<一,即—<a<0,

22

所以/(a2)=ln/_/=21n(-a)_：,一g<a<0,

令-加(a)=2］n(-Q)9<a<0,

EI“、212?+1

貝［|加(。)=---+—=——>0,

-aaa

所以加(。)在1;,o］上單調遞增，

所以加(a)>"(-g］=21ng+2=ln/,

2

所以

【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為

不等式恒成立問題.注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的

單調性、極(最)值問題處理.

3.(24-25高三上?山西呂梁?期末)已知函藪/(x)=e2工-辦+a(aeR),g(x)=(3-2x)e21

⑴求函數/(無)的單調區間；

⑵求函數/(X)的極值；

(3)若/為函數/'(x)的極值點，則稱為函數/(尤)的“靚點”.證明：g(x)上任意一點都有可能成

為“X)的“靚點”.

【答案】(1)當aWO時，/(元)的單調遞增區間為R,無單調遞減區間；

當心0時，〃x)的單調遞減區間為單調遞增區間為1in|,+4

(2)當時，/(x)無極值；當。>0時，無極大值.

(3)證明見解析

【分析】(1)求出函數的導函數/(X),分別談論aWO和。>0,然后由/'(x)=0得到函數的增減區間；

(2)由(1)中的單調性分別求出對應情況的極值；

(3)由(2)得到函數/'(x)的“靚點”，分析函數/(x)的“靚點，，的坐標滿足g(x)解析式即可證明.

【詳解】(1)r(x)=2e2x-?,

當aV0時，/'(x)>0恒成立，f(x)在R上單調遞增；

當a>0時，由2e2，-a=0,得e?，==1in￡,

222

當x<g嗚時，/(x)<0J(x)在[y,；In|J上單調遞減；

當x>gln]時，/''aAOja)在(；ln?上單調遞增；

綜上，當時，/(x)的單調遞增區間為R,無單調遞減區間；

當a>0時，/(x)的單調遞減區間為(-鞏小口事；單調遞增區間為

(2)由(1)知當aWO時，f'(x)>0恒成立，此時/'(x)無極值.

當Q〉0時，由(1)知，

\A11釁2a〕Q3a.a丁m一…

/(x)極小值"/['In'J"e--ln-+a=-a--ln-f無極大值.

綜上，當時，/(x)無極值；

當a>0時，/(x)極小值=]”無極大值.

/、，，、八「/、Jl13a.a

(3)由(2)知，-In-=-a--ln-

故”X)的“靚點”為，

令;嗚=(eR),貝吟=e%所以/'(x)的“靚點”為“,(3-2興)，在曲線”g@)上,

因為"R,故g(x)上任意一點都有可能成為/■(“的“靚點”.

4.(24-25高三上?安徽淮北?階段練習)已知函數f(x)=ln(x+l).

⑴求曲線y=/(x)在X=3處的切線方程.

⑵求函數尸(幻=》一色-(。+1)/(》一1)的極值;

X

⑶設函數g(x)=(x+1)/Q11-/Q+1

證明：存在實數〃2,使得曲線>=g(x)關于直線工="?對稱.

X

【答案】⑴x-4y+81n2-3=0

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(D求出/'(3),求導，得到/(3)=；,由導數的幾何意義求出切線方程；

(2)求定義域，求導，對導函數因式分解，分0<?<1,。=1和四種情況，進而可求解;

(3)先求函數定義域，根據定義域的對稱性得到加=-；,再求出g(T-x)=g(x),證明出結論.

【詳解】(1)/'(x)=占，/")=；，

又〃3)=ln4=21n2,

故V=/(x)在x=3處的切線方程為了-21n2=；(x-3),

即X-4y+81n2-3=0；

(2)F(x)=x---(df+l)/(x-l)=x---(tz+l)lnx,定義域為(0,+8),

，/、aa+\x2-(a+\\x+a

F(x)=l+------=---------------=-----%---乙，

XXXX

當aVO時，令尸'(x)>0得x>1,令尸'(x)<0得0<x<1,

故廠(無)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增,函數尸(無)有極小值尸(1)=1-。，無極大值;

當0<°<1時，令尸'(x)>0得0<x<a或x>1,令尸'(x)<0得.<x<l,

故廠(無)在(0,。)和(L+")上單調遞增，在(?,1)上單調遞減，

函數b(x)有極小值尸⑴=1-。,極大值尸(a)=a-l-(a+l)lna；

當。=1時，/(無)=(萼20恒成立，故戶(x)在(0,+8)上單調遞增,函數尸(x)無極值；

當a>l時，令尸'(x)>0得0<》<1或，令/'卜)<0得l<x<“，

故廠(x)在(0,1)和(凡+⑹上單調遞增，在(L。)上單調遞減，

函數b(x)有極大值尸⑴=1-4,極小值尸⑷=。-1-(a+l)lna；

綜上，當aWO時，函數尸(x)有極小值/⑴=1-。，無極大值；

當0<。<1時,函數3(x)有極小值尸(1)=1-a,極大值尸⑷=a-l-(a+l)lna；

當。=1時，函數尸(無)無極值；

當。>1時,函數尸(x)有極大值尸=，極小值尸(a)=a-l-(a+l)lna；

(3)函數g(x)=(x+l)ln]l+：j_ln12+：),

函數g(x)的定義域為(-°°,-1)30,+8).

若存在加，使得曲線>=g(x)關于直線>加對稱，

則(-”，-1)"0,+8)關于直線x=加對稱，所以m=_g

由g(_一)=(一皿)+土,心土]

1x.2x+l1工+112%+1(、+1x+1.2x+1

二-xln-----In-----=xln------In-----=(1+xjln-----Itn------In-----

x+lx+1xx+lxxx+l

(1x.x+1.2x+l/、

=(1+x)In-----In-----二g⑴

可知曲線產g(x)關于直線X=對稱.

【點睛】結論點睛：函數的對稱性：

若/(尤+a)+/(-x+b)=c,則函數/(X)關于中心對稱,

若/■(x+a)=/(r+b),則函數/(x)關于x=一對稱，

5.(23-24高三上?安徽六安湖末)已知函數〃》)=2加+￡/-(2加+1》+1(加eR).

⑴求函數“X)的極值;

⑵設函數/(無)有兩個極值點七,々，求證：/(^)+/(%2)<2/

【答案】⑴答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)求定義域，求導，對導函數因式分解，分加40,m=1,m>1,0<m<1,得到函數的單

調性，進而得到函數的極值情況;

(2)由(1)得加?，并得到/(%)+/(x?)=21n-----2m――-----2,

\2)]m2m

合用的范圍得到結論.

【詳解】(1)〃x)=2血+-(2機+l)x+l的定義域為(0,+切，

.2,.mx2—(2.m+l}x+2(x-2)(mx-l),.

f'(x)=-+mx-(2m+l)=-----------------'——=——△------\x>0)

①若機V0,貝mZ,nO,xe(O,2)時/'(x)>0,xe(2,+s)時/'(尤)<0,

故/'(x)在xe(0,2)上單調遞增，在xe(2,+“)上單調遞減，

所以函數的極大值為/⑵=21n2-2m-l,無極小值，

②若加=；，則/（"（7）-*/'（x）在（0,+8）上單調遞增，無極值.

③若〃由/=----------^=0得工=2或》=一，

2''）xm

xe（02］時xejLz］時/''（x）＜0,xe（2,+＜x＞）時，'（x）＞0,

Im）\m）

故〃x）在（o。］,（2,+⑹上單調遞增，在（A，2）上單調遞減，

所以極大值為/f-K-21n〃--1,極小值為42）=21n2-2機-1.

\m）2m

④若0＜/＜:，由f（x\=----------------^=0得》=2或》=一，

2J、）xm

尤e（0,2）時/'（x）＞0,n€（2,工］時/'（尤）＜0,xe］—,+＜?|g^f'（x）＞Q,

ImJ）

故/（x）在（0,2）,上單調遞增，在［2,上單調遞減，

所以極大值為/（2）=21n2-2m-l,極小值為/仕］=一21麗-；-1.

\mJ2m

綜上，當W7V0時，極大值為/⑵=21n2-2加-1,無極小值；

當0〈根時，極大值為/（2）=21n2_2〃Ll,極小值為/（工］=_21n〃—二-1；

2）2m

當加=g時，/（X）無極值；

當冽〉短時，極大值為加一，

=—21n--1,極小值為/'⑵=21n2-2加-1.

，J2m

U，+,

（2）由（1）知函數/（x）有兩個極值點時，(2°°)

/(X)+/(X)=/(2)+/=21n2-2m-1-21n加——-——1

122m

2In--2m-----2,

m2m

所以〃玉）+〃/）一2/

因為m所以"^+^^片2

所以〃占）+〃馬）一2/<0,

即〃西）+/人）＜一2.彳.

【點睛】方法點睛：在導數解答題中，單調性問題是繞不開的一個問題，因為單調性是解決后續問題的關

鍵，利用導函數求解函數單調性步驟，先求定義域，再求導，導函數能因式分解的要進行因式分解，根據

導函數的正負號，確定函數的單調區間，若不能直接求出，可能需要多次求導.

6.（24-25高三上?云南德宏?期末）已知函數/（x）=olnx-x+03（aeR）.

⑴若函數〃x）在x=2處的切線與直線2x-3y+l=0垂直，求實數公

（2）若函數/（x）有極大值，且極大值不大于0,求實數a的取值范圍.

【答案】⑴a=7

⑵（05

【分析】（1）求導，由導數的幾何意義結合垂直關系求解即可；

（2）利用導數分類討論分析函數的單調性，由極值求解參數的取值范圍即可.

【詳解】（1）由題意可知：函數/（x）的定義域為（0,+動，/卜）=q_1=二

XX

因為函數/（X）在X=2處的切線與直線2x-3y+l=0垂直,

所以r(2)=晟一1=一|,解得：?=-1.

(2)因為/'(司=亨.

當aWO時，r(x)<0,所以函數/'(x)在(0,+8)上單調遞減，所以無極值；

當°>0時，令/'(x)>0得0<x<°；令/''(x)<0得x>a；

可知函數/(x)在(0,。)上單調遞增，在(。,+8)上單調遞減，

則f(x)的極大值為/1⑷=a]na-a+a\

因為極大值不大于0,即“Ino+a34o,

且。>0,可得Ina+a?-1M0,

記0(a)=lna+/-1,(a>0),貝!!0'(a)=工+2a>0,

所以夕(a)=Ina+/_1在(0,+(?)上單調遞增.

而/⑴=Inl+1~-1=0,所以由Ina+/-1<0可解得0<a<\.

即實數。的取值范圍為(0』.

7.(2025高三?全國?專題練習)設函數/("=尤2+加In(尤+1乂加eR).

⑴當冽=一4時，求函數/⑺的單調區間；

⑵已知函數/(無)有兩個極值點，求小的取值范圍.

【答案】⑴單調減區間為(T,l)J(x)的單調增區間為。,+⑹

(2)機

【分析】(D求定義域，求導，解不等式，得到單調區間；

(2)/'(x)=0在(T+⑹上有兩個不同的變號零點，即2/+2尤+〃?=0在(T+s)上有兩個不同的實數

根.參變分離，結合二次函數的單調性及特殊點函數值，得到機

【詳解】(1)由函數/(*)=市+血11(%+1)廣圖(一1,+8),

—rzB\八m2x2+2x+m

可得fX

Mv7=2+x——+1=----x-+--1-----,

2x2+2x-4_2(x+2)(x-l)

m=-4,/z(x)=--------------------------,

x+1x+1

當時，/(x)<0,當xe(l,+°o)時，/(x)>0,

故函數/(x)的單調減區間為(Tl)J(x)的單調增區間為(1,+⑹;

(2)因為函數/(x)有兩個極值點，

所以r(x)=2x+旦=2/+2X+俏=o在(_1,+⑹上有兩個不同的變號零點，

即2x2+2x+加=0在(-1,+?0上有兩個不同的實數根.

即〃?=一2,一2x,令/z(x)=-2，-2x,開口向下，對稱軸為x=-g,

火尤)在[-1,-；[上單調遞增，上單調遞減，

A(-1)=A(O)=O,A^-1^=1,所以加

8.(2025?山西臨汾一模)已知函數/(x)=e*-ox.

⑴當a=l時，求曲線y=〃x)在點(1J。))處的切線方程；

(2)當”=2時，求函數g(x)=/(x)+sinx-cosx在-',+<?]上的極值.

【答案】⑴(e-l)x-y=0

(2)極小值0,無極大值

【分析】(1)對/(x)求導，利用導數的幾何意義，求出切線的斜率，再求出切點坐標，利用點斜式，即可

求解；

(2)對g(x)求導，得至！Jg'(x)=e，+sinx+cos尤-2,構造函數〃(x)=e*+sin尤+cosx-2,利用導數與函數

單調間的關系，得力⑴在區間上單調遞增，從而可得xe-],oj時，g'(x)<0,x?0,+8)時，

g，W>0,再利用極值的定義，即可求解.

【詳解】(1)當〃=1時，f(x)=e-x,則廣(x)=T-l,

所以16=e-l,/(l)-e-l,故所求切線方程為y-(e-l)=(e-D(x-l),

即——>=0.

(2)當〃=2時，g(x)=ex-2x+sinx-cosx,所以g'(x)=e'+sinx+cosx—2,

令〃(x)=e*+sinx+cosx-2,貝(x)=e*—sinx+cosx=ev+V2cos[x+:],

當n￡時，cosfx+yKo,Xex>0,所以當時，〃'(x)>。，

當時，由?兀>4,知/〉也，又收cos1%+卜-亞，

所以當時，〃，(x)>e二五>0-拒=0,即”(無)>0,

故知M無)在區間-會+"上單調遞增，即g'(x)=e'+sinx+cosx-2在區間上單調遞增，

又g，(0)=0,所以尤e-］，°1時，g'(x)<。，g(x)單調遞減；xe(0,+8)時，g,(x)>0,g(x)單調遞增,

又因為g(0)=0,故>=g(x)在x=0處取得極小值0,無極大值.

9.(24-25高三下?河北滄州?階段練習)已知函數/(x)=x-21n(x+l)+“xer,aeR.

⑴當。=1時，求函數/(x)的單調區間；

⑵若x=l是函數/(尤)唯一的極值點，求實數a的取值范圍.

【答案】⑴單調遞增區間為(1,+8),單調遞減區間為(T1)

Q)(e］

【分析】(1)當時。=i時，求得函數定義域，然后求導，在定義域上研究導函數的正負，即可求得函數的單調區

間；

(2)由X=1是函數的唯一極值點，轉化為苫=1是歹=/'(無)唯一變號零點，結合導函數解析式，轉化為恒成立

問題，求得a的取值范圍.

【詳解】(1)當°=1時,/@)=》-2111@+1)+疣二其定義域為(-1,+8),

則/'⑴=>擊+(-)/=(1)［占一：］

設g(x)=e*-(尤+1)(x>-1)，則g，(x)=eA-1,

當x>0時,g［x)>0；當T<x<0時,g<x)<0,

二g(x)上g(0)=0,er>x+1>0,-7-0-

.?.當x>l時J'(x)>0;當-1<X<1時,/'(x)V0.

因此，函數/(X)的單調遞增區間為(1,+8)，單調遞減區間為(-1,1).

ia

(2)/,(x)=(x-l)

x+1ex

???x=1是函數/(x)唯一的極值點,

???當x〉-1時,20恒成立或40恒成立,

即e"2a(尤+1)或e，Wa(x+1)恒成立,

當x>T時,e'4a(x+l)恒成立，則工恒成立，即ex

x+1

X+1max

令”(力=七。>一1)，則〃'（"=產下

（X+1）

當-1<x<0時，力'(x)<0,當x>0時,。'(X)>0,

所以何力在(T0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增,

當X趨向于-1時，函數〃(x)f+8,

當X趨近正無窮大時，與一次函數相比，函數y=e，呈爆炸性增長，所以〃(》)=/卜>一1)“+8,

所以函數〃G)=鼻。>-1)不存在最大值，故x>T時，e，4a(x+l)不恒成立;

當x>T時，.4工恒成立，即aV邑，

X+l［x+1」1111n

由上分析知："(X)在x=0處取得最小值40)=1,

即實數a的取值范圍是(一叫1］.

故實數a的取值范圍是

題型02導數與最值(含恒成立和有解問題)

【解題規律?提分快招】

二，菌藪的最值

函數y=/(X)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數/(X)最小值為極小值與靠近極大值

的端點之間的最小者.

一般地，設y=/(x)是定義在［〃?，"］上的函數，y=/(x)在(根，")內有導數，求函數y=/(x)在阿，"］上

的最大值與最小值可分為兩步進行：

(1)求y=/(x)在(冽，〃)內的極值(極大值或極小值);

(2)將y=/(x)的各極值與〃間和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

注：①函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值；函數的最值是

對函數在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區間端點處的函數值；

②函數的極值點必是開區間的點，不能是區間的端點；

③函數的最值必在極值點或區間端點處取得.

二、恒成立和有解問題

1、若函數/(X)在區間。上存在最小值和最大值〃x)1Mx,則

不等式/(x)在區間D上恒成立u>/(x)1nhi>a；

不等式在區間。上恒成立o/(x)1nhi>a；

不等式/(x)<6在區間。上恒成立臺/(x)111ax<6；

不等式/(x)46在區間。上恒成立o/(x)1Mx46;

2、若函數/(x)在區間。上不存在最大(小)值，且值域為(九")，則

不等式/(x)>°(或/'(x)>a)在區間D上恒成立=>a.

不等式“X)<6(或/'(x)46)在區間D上恒成立Wb.

3、若函數〃x)在區間。上存在最小值"xL和最大值/⑺厘，即/(x)目加河，則對不等式有解問題有

以下結論：

不等式a</(x)在區間。上有解oa<f(x)max；

不等式aV/(x)在區間。上有解oa4f(x)max；

不等式a>/(x)在區間D上有解u>a>f⑴面口；

不等式/(x)在區間。上有解oaN/(x)^；

4、若函數/(x)在區間。上不存在最大(小)值，如值域為(加，〃)，則對不等式有解問題有以下結論：

不等式a<(或a</(x))在區間D上有解oa<n

不等式6>/(x)(或b2/(X))在區間。上有解o6>〃z

5、對于任意的王e[a,6],總存在々e[m,〃],使得/(xjVg(9)。幾Vg仁人；

6、對于任意的國e[a,可，總存在％e[m,〃],使得〃再)Ng(9)=/(再)晶28(%)端；

7、若存在國e[a,b],對于任意的％e[m,司,

8、若存在”[a,b],對于任意的々egn],使得/(xj2g(%)。/(占Dg昆濡；

9、對于任意的再e[a,6],馬?[m,〃]使得〃再)vg(七)o)(士工Wg仁心；

10、對于任意的西斗，可,馬€[111,〃]使得/(西)*伉)07(占需冷卜人；

11、若存在X]e[a,b]，總存在x2e[m,n],使得/(x1)<g(x2)o/(x1)n]in<g(x2)max

12、若存在國?a,如總存在％e[m,〃],使得〃xj2g(%)=/(%2g(%心.

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三下?四川內江?階段練習）已知函數/（無）=3公2+（4-l）x-lnx.

（1）討論/（x）的單調性;

（2）當a>0時,求函數/（尤）在［1,2］的最小值g（a）.

【答案】（1）答案見解析；

4?-2-ln2,0<tz<；

?1111

⑵g(a)=,I------FInfl,一<〃<1.

2a2

31―

-a-La>1

2

【分析】（1）對函數求導，討論。40、”>0研究導數的區間符號，即可得對應單調性;

（2）應用導數研究函數的單調性，討論。與區間［L2］的位置關系求函數最小值.

x+11

【詳解】（1）由題意知“X）的定義域為（0,+8）,f'（x）=ax+a-l--=（）（^~）,

XX

①若a?0,/'（x）<o恒成立，所以/（X）在（o,+。）上單調遞減.

②若Q>0,由/'（X）=O,得％=,，

a

所以當時，f'（x）<0；當時，f'（x）>0；

所以/'（x）在'J］上單調遞減，在上單調遞增.

綜上：當aWO時，〃尤）在（0,+"）上單調遞減；

當“>0時，［（X）在（0,￡|上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）知，/（x）在（0,￡|單調遞減，在+e）單調遞增.

①當,N2,即0<。<工時，”X）在［1,2］單調遞減，

a2

當x=2時，/（x）有最小值/⑵=4"2-ln2；

②當即:<a<1時，小）在11,￡|上單調遞減，在\,2］上單調遞增.

當x=!時，/⑺有最小值/仕］+（a-1）^In—=1---I-Ina；

a2aa2a

③當’41,即時，/（無）在［1,2］上單調遞增，

a

i3

當x=i時，/(無)有最小值=；

4Q-2—In2,0<47W—

1Ii1?

綜上:g(a)=,1-------FIntz,—<a<1

la2

31

-a-La>1

2

2.(2025?遼寧?模擬預測)已知函數〃x)=x+alnx("0)的圖象的一條切線方程是y=2x-L

(1)求。；

⑵若關于x的不等式有解，求小的取值范圍.

【答案】⑴。=1;

(2)(-<?,l)U(l+e,+oo).

【分析】(1)設切點伉,2%-1),根據導數的幾何意義求得。=%,結合構造

A(x)=liw-1+1,應用導數研究其零點，即可求參數值；

(2)問題化為x〈(加-l)lnx有解，構造g(x)=x-(/M-l)lnx(x>0)研究不等式能成立求參數范圍.

【詳解】(1)設/(可的圖象與直線y=2x-l切于點(%,2%-1),貝！］2%-l=x()+alnx(^,

f'(x)=l+-,則/'(%)=1+2=2,即。=%,代入①式得lnx°-1+工=0.

XX。工0

1x—1

令〃(%)=lux-1+—,貝!)1(X)=——,

當不￡(0,1)時，h\x)<0f〃(x)在(0,1)上單調遞減，

當X￡(l,+8)時，/(X)〉O,〃(x)在(1,+8)上單調遞增，

所以〃(耳2"1)=0,當且僅當x=l時取等號，

故玉)=1，即。=1.

(2)由題意得x+lnx〈冽Inx有解，即x<(m—l)lnx有解.

令g(x)=x—(m—l)lnx(x〉0),貝!|%(加」,

xx

(j_Aj_

若加-1<0,貝!love^vl，則ge涓=e^-l<0,符合題意；

\7

若加一1=0,即加=1,貝!|g(x)=x>0,不符合題意；

若加一1>0,

當了￡(0,冽-1)時，gf(x)<0,g(x)在(0,冽-1)上單調遞減，

當xe(加-1,+s)時，g'(x)>0,g(x)在(加-1,+e)上單調遞增，

所以gOO*=g(加-1)=加一1一(加T)/n(加解得加>l+e.

綜上，機的取值范圍為(-8,l)u(l+e,+8).

3.(24-25高三上?湖北?期中)已知x=2為函數”x)=x(x-c)2」的極小值點.

e

⑴求C的值；

Izy

⑵設函數g(x)=1,若對%e(O,y),弱eR,使得〃xj-g(x,)“，求上的取值范圍.

e

【答案】⑴c=2；

(2)(-oo,-l]u(0,+oo).

【分析】(1)求出函數/(%)的導數/'(%),由r(2)=。求出。并驗證即可得解.

(2)由(1)求出/(%)在(0,轉)上的最小值，再按左>0,左=0,左<0分類，并借助導數討論g?值即可求解.

【詳解】(1)函數/(x)=x(x-c)2」的定義域為R,求導得/(x)=(x-c)(3x-c),

e

依題意，f(2)=(2-C)(6-e>0,解得。=2或c=6,

27

當c=2時，/V)=(x-2)(3x-2),當或x>2時，/'(x)>0,當(<x<2時，f\x)<Q,

因此x=2為函數/(無)=x(尤-c)2-L的極小值點，符合題意，貝！Jc=2；

e

當c=6時，/'(%)=(x-6)(3x-6),當％<2或x〉6時，/1x)>0,當2<x<6時，/'(%)<0,

因此x=2為函數〃x)=x(尤-cP-」的極大值點，不符合題意，

e

所以c=2.

221

(2)由(1)知，函數/⑴在(0,彳),(2,+8)上單調遞增，在(二2)上單調遞減，因此/(%)皿=/(2)=——,

33e

1111

①當左>0時，對VX]￡(0,+co),3X=--,使得g(%)=g(——)=-e^<-1<—</(%),

2kke

因此/Oi)-8區”。，符合題意,貝!1左>0;

②當左=0時，g(x)=0,取再=2,對V&ER,有/區)—g(%2)<°，不符合題意；

③當左<0時，函數g(x)=丁，求導得g'(x)=」(l-x)eT,

e

當x<l時，gz(x)<0,g(x)在(-8,1)上單調遞減；

當x>l時，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上單調遞增，貝!|g(x)1nLg⑴=￡

e

若對X^e(O,+⑹，3xeR,使得/區)一g(X2)Z0,只需4/(x)曲，解得左4一1,

21nee

所以左的取值范圍為(-°°，T50,+00).

4.(24-25高三下?新疆烏魯木齊?階段練習)已知函數/'@)=村+(尤(x-a^aeR),/(無)的導函數為/'(x),

且/'(0)=0.

⑴求「⑺的最值；

e"1

(2)求證：一+lnx+—x>2.

x2

【答案】⑴最小值為/(0)=1,無最大值.

(2)證明見解析

【分析】(1)求導，通過/'(0)=0,求得。，進而確定函數單調性，即可求解；

(2)不等式等價轉化成e，+gx2-x>x-xlnx,構造函數g(x)=x-xlnx,確定其最值，再結合(1)的結

論即可求證；

【詳解】(D由f(x)=e，+；x(x-a),得/(力=/+%-事，

所以廣(0)=1-1=0,

解得a=2,所以〃x)=e，+gx2r.

因為/'("的定義域為RJ'(x)=e'+x-l,令〃(無)=e，+x-l,求導，得=e，+1>0,所以/(x)在R上

單調遞增.

又/'(0)=0,所以當x<0時，r(x)<0,當x>0時，r(x)>0,

所以f(x)在(-鞏0)上單調遞減，在(0,+e)上單調遞增，所以/(x)在x=0處取得極小值，也是最小值，無

極大值，

所以/'(x)的最小值為/(0)=1,無最大值.

e%]1]

(2)要證——i-liu+-x>