模塊二圖形與幾何基礎

第04講三角形的證明與計算

（思維導圖+2考點+14種題型（含4種解題技巧））

01考情透視?目標導航＞題型07利用分類討論思想解決特殊三角形

02知識導圖?思維引航計算問題

03核心精講?題型突破院題型08利用分類討論思想解決全等/相似

考點一三角形的相關計算三角形問題

＞題型01與高，中線，角平分線，垂直平分考點二三角形的相關證明

線的計算院題型01利用全等三角形的性質與判定求解

＞題型02與三角形有關的角度計算問題院題型02利用相似三角形的性質與判定求解

院題型03利用全等三角形的性質求解?題型03利用特殊三角形的性質與判定求解

＞題型04利用相似三角形的性質求解＞題型04與三角形有關的多結論問題

院題型05利用特殊三角形的性質求解院題型05勾股定理的證明

＞題型06三角形有關的折疊問題院題型06三角形與函數綜合

考情透視?目標導航

中考考點命題預測

三角形作為初中數學幾何部分的重要內容，其在中考數學中的考查頻率和難度都較為突出。

【常見題型】

L選擇題與填空題：選擇題和填空題主要考查三角形的基礎知識和簡單計算，如三角形的三邊

關系、內角和、外角性質、中位線定理等。此類題目通常較為簡單，但要求考生對知識點掌握

準確。

2.解答題：解答題部分對三角形的考查更為深入，常涉及三角形全等的證明、特殊三角形的性

質和判定等。此類題型綜合性較強，要求考生具備良好的邏輯推理能力和計算能力。

3.壓軸題：在一些地區的中考中，三角形的證明與計算也會出現在壓軸題中，通常結合四邊形、

三角形的圓等其他幾何知識，考查學生的綜合運用能力和創新思維。

證明與計【命題預測】

算L注重基礎知識的理解和運用：中考數學對三角形證明與計算的考查始終以基礎知識為核心，

強調對概念、定理的理解和靈活運用。

2.強化實際應用：近年來，中考數學越來越注重與實際生活的聯系，解直角三角形部分常常以

實際應用題的形式出現，要求考生能夠將所學知識應用于解決實際問題。

3.提升綜合思維能力：隨著中考改革的深入，三角形的證明與計算題型逐漸向綜合化、創新化

方向發展，要求考生具備較強的邏輯推理能力和綜合運用知識的能力。

綜上所述，考生在復習三角形證明與計算部分時，應注重基礎知識的學習和掌握，強化對

全等三角形和特殊三角形性質和判定的理解，提升解直角三角形的實際應用能力，并通過大量

練習提高邏輯推理和綜合運用知識的能力。這樣，才能在中考中取得優異的成績。

知識導圖?思維弓I航

三三角形的

三角形的高、中線、角平分線中位線、

角重要線段

SSS蟒千

形廠定理:三角形的兩邊之和大于第三邊.

SAS找夾角已知兩邊-一三角"?J

的

三

全三角形的兩邊之差小于第三邊.

角

HL找直角基

形

等「定理:三角形三個內角和等于180°.

AAS找另一角為角的對邊的-三角形的內角和T

三1

性--直角三角形的兩個銳角互余.

一邊、一角

找夾角的另7質

SAS角

一

三I-定理：三角形的外角和等于360°.

ASA找夾邊的另一角T5是角的鄰邊形

-三角形的外角和

角

判崛「三角形的一^卜角等于和它不相鄰的兩個內角的和

AAS的對角一L三角形的一^卜角大于任何f和它不相鄰的內角

定

形

ASA

-------------------------------1已知兩角的

AAS找其中一角的對邊------------

證r概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形.

明p等腰三角形的兩個底角相等——等邊對等角

?三邊成比例等腰三角形-蜩

與

相L等腰三角形的頂角平分線、底邊上的--

性質與判定

?兩角分別相等

似中線、底邊上的高相互重合.-

計

三

兩邊成比例算L判定｛

?兩邊夾一角

夾角相等卜角

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

形

與其它兩?平行于三角形廠陪三的三角形叫等邊三角形.

邊相交3，邊的直線判

尼角形等邊三角形的三條邊相等.

定

等邊三角形

?斜邊和直角邊成比例（Rt）三個內角都相等，并且每個內角都是60°.

性質與判定

一定義法

L判定一一三邊相等或三個內角都相等的三角形是等邊三角形.

匚有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

廠直角三角形兩個銳角互余.

廠性質一一直角三角形斜邊上的中繞于斜邊的一半.

1-在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

直角三角形

-兩個內角互余的三角形是直角三角形.

性質與判定

_三角形一邊上的中皤于這條邊的一半，那么這個三角

1-判定形是直角三角形.

-有Y角是直角的三角形叫做直角三角形.

如果三角形的三邊長a,b,c有關系a2+b2=c2,那么這個

三角形是直角三角形.

核心精講?題型突破

考點一三角形的相關計算

真題研析

＞題型01與高，中線，角平分線，垂直平分線的計算

1.（2024.山東德州?中考真題）如圖，在AABC中，AD是高，4E是中線，AD=4,ShABC=12,則BE的長

為（）

A

A.1.5B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據S“BC=12和40=4求出BC=6,根據4E是中線即

可求解.

【詳解】解：???S—BC=lxBCxAD=12,AD=4,

■.BC=6

必E是中線，

:.BE=-BC=3

2

故選：B

2.（2023?四川眉山?中考真題）如圖，AABC中，4D是中線，分別以點A,點8為圓心，大于長為半徑

作弧，兩孤交于點M,N.直線MN交力B于點E.連接CE交力D于點立過點。作DGIICE,交AB于點G.若

DG=2,貝!JCF的長為.

【分析】由作圖方法可知MN是線段的垂直平分線，則CE是AABC的中線，進而得到點尸是AABC的重

心，則CF=^CE,證明△BDGsABCE,利用相似三角形的性質得到CE=2OG=4,貝UCF=：CE=*

【詳解】解：由作圖方法可知MN是線段的垂直平分線，

.?.點E是4B的中點，

??CE是AABC的中線，

又?.”。是44BC的中線，且4。與CE交于點F,

點/是AABC的重心,

2

.'.CF=-CE,

3

-DGWCE,

BDGBCE,

CEBC仁

,?—=2,

DGBD

,.CE=2DG=4,

.--二C1F7=-2C「E口=8

33

故答案為：|.

【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質，相似三角形的性質與判定，線段垂直平分線的尺規作圖，推

出點尸是4的重心是解題的關鍵.

3.（2024?山東德州?中考真題）如圖RtZk4BC中,Z-ABC=90°,BDLAC,垂足為。，3E平分分別

交BD,BC于點F,E,^AB-.BC=3:4,貝！］8尸:尸。為()

A.5:3B.5:4C.4:3D.2:1

【答案】A

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質、角平分線的性質、勾股定理、三角形的面積等知識，熟練掌

握相似三角形的判定與性質以及角平分線的性質是解答的關鍵.設48=3%,BC=4%,利用勾股定理求得

AC=5%,^ABD+ACBD=90°,再證明△ACBABD得到些=些=藝=三，再利用角平分線的性質和

ADAB3X3

三角形的面積得到*=寞=與=卿可求解.

SXADFFDAD3

【詳解】解：,?,4B:BC=3:4,

設4B=3%,BC=4x,

■■^ABC=90°,

■.AC=y/AB2+BC2=5%,4ABD+/.CBD=90°,

,-BD1AC,

：.Z-ADB=乙ABC=90°,乙CBD+zT=90°,

??.Z.C=乙ABD,

ACB~〉ABD,

AB_AC_5x_5

''AD~AB~3x~39

?ME平分NB/C,

??.點尸至必仄ZC的距離相等，又點A到BF、OF的距離相等，

???道=**￡即B35:3,

故選：A.

4.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，RtAABC中，^ABC=90°,分別以頂點A,C為圓心，大于的長

為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N,作直線MN分別與BC,4C交于點E和點F；以點A為圓心，任意

長為半徑畫弧，分別交力8,4C于點H和點G,再分別以點H,點G為圓心，大于|HG的長為半徑畫弧，兩弧

交于點P,作射線4P,若射線4P恰好經過點E,則下列四個結論：

@ZC=30°；②力P垂直平分線段BF；③CE=2BE；@ShBEF=^ShABC.

其中，正確結論的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題主要考查作圖-復雜作圖、角平分線的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，讀懂圖象信息，

靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵.

由作圖可知MN垂直平分線段4C、4E平分NB4C,進而證明a=MAC==30。可判定①；再說明

AB=4F可得2P垂直平分線段BF可判定②；根據直角三角形的性質可得AC=2AB,AE=2BE可判定③,

根據三角形的面積公式即可判定④.

【詳解】解：由作圖可知MN垂直平分線段4C,

??EA=EC,

??Z.EAC=Z-C,

由作圖可知/E平分,

-'-Z-BAE=Z-CAE,

-Z.ABC=90°,

.-.ZC=Z.CAE=ABAE=30°,故①正確,

?-AC=2AB,

'：AF=FC,

-9-AB=AF,

.MP垂直平分線段BF,故②正確，

?：AE=2BE,EA=EC,

■■EC=2BE,故③正確，

_1c

&BEF=3

-AF=FC,

=，

:S&BFC2^^ABC

=故④正確。

o

故選：D.

方法技巧

線段

三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

名稱

AAA

圖形

B^\c

語言C

DDD

VAD是AABC中BC邊的高VAD是AABC中BC邊的中線VAD是AABC中/BAC的角平分線

性質JZADB=ZADC=90°

.?.ZBAD=ZDAC4ZBAC

BD=CDS△ABD=S△ADC=—SAABC

2

用途

1）線段垂直.2）角度相等.1）線段相等.2）面積相等.角度相等.

舉例

線段

三角形的中位線三角形的垂直平分線

名稱

＞題型02與三角形有關的角度計算問題

5.（2024?山西?中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力出

的方向與斜面垂直，摩擦力尸2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=25。，則摩擦力F2與重力G方向的夾角￡

A.155°B.125°C.115°D.65°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質和三角形外角性質，根據題意結合圖形可知0是重力G與斜面形成的三角

形的外角，從而可求得￡的度數.

【詳解】解：?.?重力G的方向豎直向下，

.??重力G與水平方向夾角為90。，

???摩擦力尸2的方向與斜面平行，a=25。，

F\

；./?=N1=a+90°=115°,

故選：C.

6.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，點C在4B的延長線上，CD與。。相切于點D,若NC=

20°,貝！UCAD=°.

【答案】35

【分析】本題利用了切線的性質，三角形的外角與內角的關系，等邊對等角求解.連接。D,構造直角三角

形，利用。4=。。，從而得出NG1O的度數.

【詳解】解：連接。。，

CD與。。相切于點D,

???乙ODC=90°,

???ZC=20°,

???乙COD=70°；

OA=OD,

???4ODA=ACAD=-/.COD=35°,

2

故答案為：35

7.(2024.甘肅蘭州?中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC,^BAC=130°,DALACf貝I」乙4DB=()

A.100°B.115°C.130°D.145°

【答案】B

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質.根據等腰三角形的性質，可得=

18°丁C=25。,再由三角形外角的性質，即可求解.

【詳解】解：必8=",Z.BAC=130°,

.-.ZC=IM"W=25°,

2

■■■DA1AC,

■■.^CAD=90°,

.-.Z.ADB="+Z.CAD=115°.

故選：B

8.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知N40B=50。，點P為NAOB內部一點，點M為射線。4、點N為

射線。B上的兩個動點，當APMN的周長最小時，貝|/MPN=.

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用；作點尸關于。4

OB的對稱點P「P2.連接。Pi，OP2.則當M,N是P1P2與OA,。8的交點時，APMN的周長最短，根據對

稱的性質結合等腰三角形的性質即可求解.

【詳解】解：作P關于。4OB的對稱點B，P2.連接。OP2.則當M,N是P1P2與OA,OB的交點時，△PMN

的周長最短，連接PiP、P2P,

P、Pi關于。4對稱，

:/PiOP=2乙MOP,0P1=OP,P1M=PM,NOPiM=/.OPM,

乙

同理，/-P20P=2NOP,OP=OP2,Z.OP2N=Z.OPN,

：.乙乙

P1OP2=4P]OP+^P2OP=2(zM0P+NOP)=2^A0B=100°,0Pl=OP2=OP,

???APiOP2是等腰三角形.

乙

/-OP2N=OP]M=40°,

4MPN=NMP。+4NPO=乙OP2N+乙OPiM=80°

故答案為：80°.

9.(2024?四川涼山?中考真題)如圖，△力BC中，Z.BCD=30°,^ACB=80°,CD是邊48上的高，AE^CAB

的平分線，貝此力的度數是.

【答案】1007100

【分析】本題考查了三角形內角和以及外角性質、角平分線的定義.先求出N4CD=50。，結合高的定義,

得N￡MC=40。，因為角平分線的定義得NC4E=20。，運用三角形的外角性質，即可作答.

【詳解】解：?.2BCD=30°,4ACB=80°,

.■.Z.ACD=50°,

,?￡￡）是邊上的高，

■.Z.ADC=90°,

■■.ADAC=40°,

?ME是NC4B的平分線，

1

??ZC4E=-Z-DAC=20°,

2

：.Z.AEB=Z.CAE+乙ACB=20°+80°=100°.

故答案為：100°.

方法技巧

1）三角形的內角和為180°；

2）直角三角形中兩銳角和為90°；

3）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

＞題型03利用全等三角形的性質求解

10.（2024?四川資陽?中考真題）第14屆國際數學教育大會（/CME-14）會標如圖1所示，會標中心的圖案

來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（△力BE,4BCF,

ACDG,ADAH）和一個小正方形EFGH拼成的大正方形4BCD.若EF：AH=1：3,則sin/4BE=（）

4

CD*

A-TB-1-5

【答案】C

【分析】設EF=x,^\AH=3x,根據全等三角形，正方形的性質可得4E=4%,再根據勾股定理可得48=5%,

即可求出sin乙4BE的值.

【詳解】解：根據題意，設EF=X,貝=3%,

???△ABEDAH,四邊形EFGH為正方形,

-'-AH=BE=3%,EF=HE=x,

-，-AE=4x,

?：/-AEB=90°,

■■.AB=y/AE2+BE2

.4cLAE4x4

???sm乙48E=—=——=-

AB5%5

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質，三角函數值的知識，熟練掌握以上知識是解

題的關鍵.

11.（2024?浙江?中考真題）如圖，正方形2BCD由四個全等的直角三角形（△48343。尸公。。6公。4”）和中

間一個小正方形EFGH組成，連接若ZE=4,BE=3,則DE=()

A.5B.2V6C.V17D.4

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質，全等三角形的信紙，求得HE的長度，利用勾股定理即可解

答，利用全等三角形的性質得到HE=1是解題的關鍵.

【詳解】解：???△43/公8。/,4。。6,4。4/是四個全等的直角三角形，4E=4,BE=3

AH=EB,DH=AE=4,

???HE=AE-AH=1,

???四邊形EFGH為正方形，

.-.乙DHE=90°,

DE=>JDH2+HE2=V17,

故選：C.

12.(2024.甘肅臨夏.中考真題)如圖，在△ABC中，點4的坐標為(0,1),點B的坐標為(4,1),點C的坐標為(3,4),

點D在第一象限(不與點C重合)，且AABD與AABC全等，點。的坐標是.

【分析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的性質.利用數形結合的思想是解題的關鍵.根據點。在第一象

限(不與點C重合)，且△48。與△ABC全等，畫出圖形，結合圖形的對稱性可直接得出。(1,4).

【詳解】解：?,?點。在第一象限(不與點C重合)，且△力BD與△力BC全等，

'-AD=BC,AC—BD,

.?.可畫圖形如下,

由圖可知點C、。關于線段的垂直平分線x=2對稱，則。(1,4).

故答案為：(1,4).

13.(2024?湖北?中考真題)如圖，由三個全等的三角形(△ABE,4BCF,△C4D)與中間的小等邊三角形DEF

拼成一個大等邊三角形4BC.連接BD并延長交2C于點G,若ZE=ED=2,貝U：

(1)NFDB的度數是；

(2)DG的長是.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形等知

識，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

(1)利用三角形相似及ZE=DE可得BF=DF,再利用三角形的外角性質結合可求得NDBF=30。；

(2)作CH1BG交BG的延長線于點H,利用直角三角形的性質求得CH=1,FH=<3,證明A/lDG八CHG,

利用相似三角形的性質列式計算即可求解.

【詳解】解：mABCF三△C4D(已知)，

???ADBE=CF,4E=8F=DC,

AE=ED=2,

AD=BE=4,

???△DEF為等邊三角形,

???EF=DF=DE=2,4EFD=乙EDF=60°,

BF=DF=DC=2,

■-■乙FDB=dBD=^EFD=3。。，4208=乙EDF+乙FDB=90%

如圖，過點C作CH1BG的延長線于點H,

DH=CDxcos30°=2x—=V3,

2

???Z.ADG=乙CHG,Z.AGD=乙CGH,

ADGCHGf

.DG_AD_4

...==-f

HGCH1

：.DG=-DH=-^.

55

故答案為：30。，9.

＞題型04利用相似三角形的性質求解

14.(2024?四川巴中.中考真題)如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若04=1,貝|OG=()

【答案】C

【分析】本題考查的是相似三角形的性質，銳角三角函數的應用，規律探究；先求解NB04=NBOC=-??=

等=30。，可得黑=器=需=...=cos3(T=￥，再進一步探究即可；

12UDL/CUU，

【詳解】解：「IZ個相似的直角三角形,

."。4=必℃~=瑞=30。,

OAOBOCV3

——=——=——=…=coso3n0o=—

OBOCOD2

■-0A=1,

：.OB—|V3=1X|V3,

2

OC=|=lx(|V3),

OD=1x(|V3)3=2，…

■.OG=1x(|旬664

27

故選C

15.（2025?上海靜安?一模）把一個三角形放大為與它相似的三角形，如果它的面積擴大為原來的9倍，那么

它的周長擴大為原來的一倍.

【答案】3

【分析】本題考查了相似三角形的性質，理解并掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.

根據題意，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比即可求解.

【詳解】解：三角形放大為與它相似的三角形，如果它的面積擴大為原來的9倍,

??.相似比為1^=1

???周長擴大為原來的3倍,

故答案為：3.

16.（2024山東青島.一模）如圖，將ATIBC沿邊上的中線4。平移到△4B'C'的位置，已知AABC的面積

為9,陰影部分三角形的面積為4.若44=1,貝U4D等于（)

A.2B.3c1D-1

【答案】A

【分析】本題主要平移的性質、相似三角形的性質，根據平移的性質可知△4BCSA4EF,根據相似三角

形的面積比等于相似比的平方、相似三角形的中線比等于相似比可得：黑=6=1，從而可得:

從而可求4。的長度.

根據平移的性質可知AABC-AA,EF,

???S^ABC=9、S“E產=4，

.S&ABC_9

??~一—9

SLA'EF4

.AB__AC__BC_AD__3

A'E-A'F~EF~A'D一14-2’

vAD=AA!4-A'D=1+40,

.ArD+l_/9_3

?，A'D-j-2，

解得：A'D=2.

故選：A.

17.(2024?江西?模擬預測)將一把直尺與ATIBC按如圖所示的方式擺放，AB與直尺的一邊重合，AC,BC分

別與直尺的另一邊交于點D,E.若點4B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8.5,5,7對應，直尺的寬為1cm,

則點C到邊4B的距離為cm.

【答案】2

【分析】本題考查了點到直線的距離，相似三角形的判定和性質，證△CDESACAB,可得看=?,已知

CFAB

點4,B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8.5,5,7對應，可得AB、DE的長，即得空的值，設CM=