熱點05三角形

明考情-知方向

安徽中考數(shù)學中三角形部分主要7大考向：

考向1：線段、角、相交線與平行線（10年6考，4~5分）

考向2：三角形與全等三角形（10年10考，4~14分）

考向3：等腰三角形（10年9考，4~9分）

考向4：直角三角形（10年10考，4~9分）

考向5：尺規(guī)作圖（2018年20題，10分）

考向6：相似三角形及其應用（10年10考，9~19分）

考向7：解直角三角形的實際應用（10年10考，5~10分）

熱點題型解讀

考向一：線段、角、相交線與平行線

1.兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.

2.線段的性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短.簡稱：兩點之間，線段最短.

3.線段的長度比較方法：1）度量法:分別用刻度尺測量線段AB、線段CD的長度，再進行比較

2）疊加法:讓線段某一段端點重合，比較另一邊兩端點的位置.

4.線段中點的概念：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點.

5?角的大小的比較：1）疊合法：使兩個角的頂點及一邊重合，比較另一邊的位置；

2）度量法：分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較.

6.角的平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.|

【性質(zhì)】①若0C是NA0B的平分線，則/A0C=NB0C=1/A0B,ZA0B=2ZA0C=2ZB0C.

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

7.余角和補角

（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角.即其中一個角是另一個角的余|

角.

（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角.即其中一個角是另一個角的補I

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角.

（3）性質(zhì)：等角的補角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補角計算的應用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關聯(lián).

注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系.不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則

它們就具備相應的關系.

8、相交線

直線的位置關系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.

垂線的概念：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，交點叫做垂足.

垂線的性質(zhì)：1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

2）兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個角為直角.

3）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條.

垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

9、相交線中的角

第一種對頂角與鄰補角

種類圖形頂點邊的關系大小關系

對頂角有公共頂點Z1的兩邊與/2的兩邊互Z>Z2

（Z1與N2）為反向延長線

鄰補角有公共頂點/3與/4有一條公共邊，另N3+N4=180°

（/3與N4）一邊互為反向延長線.

第二種同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角

同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線同側(cè)，具有這樣位置關系的一對

角叫做內(nèi)錯角.（同旁同側(cè)）如：N1和N5.

內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣

位置關系的一對角叫做內(nèi)錯角.（內(nèi)部異側(cè)）如：和/5.

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同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線內(nèi)部，具有這樣位置關系的一

對叫同旁內(nèi)角.（同旁內(nèi)側(cè)）如：N3和N6.

【速記同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角】

三線八角的概念：指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內(nèi)錯角有2對,

同旁內(nèi)角有2對.正確認識這八個角要抓住：同位角位置相同即“同旁和同側(cè)”；內(nèi)錯角要抓住“內(nèi)部和

異側(cè)”；同旁內(nèi)角要抓住“同旁和內(nèi)部”.

10、平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“〃”表示.

11、平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

12、平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

13、平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補..

14、平行線的判定

判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

簡稱：同位角相等，兩直線平行.

判定方法2:兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.

簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

判定方法4：垂直于同一直線的兩直線互相平行.

判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：

①有且只有一個公共點，兩直線相交；

②無公共點，則兩直線平行；

③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.

15、平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行

線之間的距離.

性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；

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2）平行線間的距離處處相等.

1.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，一副三角尺按如圖方式擺放.若直線。〃6,/1=50。，則/2的度數(shù)

【答案】C

【知識點】與余角、補角有關的計算、三角板中角度計算問題、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關鍵.

先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/4=/1+/3。，從而可得N4=80。，再根據(jù)余角關系求出，然后根據(jù)平行線的性

質(zhì)即可得.

Z4=Z1+Z3

?23=30。,Z1=50°

/4=50°+30°=80°,

Z4+Z2=90°

/2=90°-/4=10°,

故選：C.

2.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖，V/3C中，乙4c2=90。，44=60。，頂點C,8分別在直線/1，4上,

若1八,Zl=128°,則/2的度數(shù)為（）

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A.108°B.112°C.116°D.118°

【答案】B

【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出N3=112。,再根據(jù)

平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】如圖，???4=128°,

ZL4C￡>=180°-Zl=180°-128°=52°,

/3=4+48=60。+52°=112°,

??4〃4，

/2=23=112°.

故選B.

3.（2024?安徽合肥三模）如圖，直線〃〃方，直角三角形的30。角的頂點在直線b上，已知/1=45。,貝1/2

的度數(shù)是（）

A.75°B.105°C.110°D.120°

【答案】B

【知識點】兩直線平行同位角相等

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同位角相等.先求出N3=105，再根

據(jù)兩直線平行，同位角相等求解即可.

【詳解】解4=45°,NA4c=30°,

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/3=180°—45°—30°=105°.

,：a//b,

：.Z2=Z3=105°.

故選B.

4.（2024?安徽?模擬預測）將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果N夕=46。，則Na的度數(shù)是（）

A.54°B.46°C.34°D.44°

【答案】D

【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、平行公理的應用

【分析】本題考查了平行公理，平行線的性質(zhì).

過三角板直角頂點作/〃則/〃得出=尸=/2=46。，根據(jù)Nl+N2=90。，即可求出

Na=/1=44°.

【詳解】解：根據(jù)題意可得/8〃CD,

過三角板直角頂點作/〃N8,貝

Za=Zl,Z/?=Z2=46°,

Zl+Z2=90°,

Za=Zl=44°,

5.（2024?安徽?模擬預測）如圖，已知直線4B〃CD,NA=2/B.若Nl=110。，則/2的度數(shù)為（）

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E

D

B

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】A

【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，求出乙4=70。，NB=35°,然后兩直線平行

內(nèi)錯角相等，即N2=N2=35。，進行解答.

【詳解】解：4=110。

//=180°—110°=70°

NA=2ZB

：.NB=35°

：AB//CD

：.Z2=ZS=35°

故選：A

6.（2024?安徽?模擬預測）如圖，Z1=Z2=45°,/3=2/4,則N4的度數(shù)為（）

【答案】A

【知識點】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、利用鄰補角互補求角度

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，鄰補角互補，由N1=N2=45。得。〃6,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

Z4=Z5,通過鄰補角互補即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】如圖，

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a//b,

：./4=/5,

VZ3=2Z4,Z3+Z5=180°,

??.Z4=60°,

故選：A.

7.（2024?安徽滁州?一模）已知。〃口將一塊等腰直角三角形的三角板按如圖所示的方式擺放，若N2=30。,

【答案】D

【知識點】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

作出直線。的平行線，利用平行線的性質(zhì)找到N2的內(nèi)錯角，進而求出/I的補角的大小，即可得解.

a\\c\\b,

?：Z2=30°,

Z3=Z2=30°,

JZ5=Z4=45°-Z3=15°,

Zl=180-Z5=165°.

故選：D.

8.（2025?安徽馬鞍山?一模）如圖，直線分別與直線/交于點45,把一塊含30。角的三角尺按如

圖所示的位置擺放，若Zl=40。，則N2的度數(shù)是（）

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C.115°D.120°

【答案】B

【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì).根據(jù)平行線的可得根據(jù)平角的性質(zhì)即可求解.

Z1=ZABE=40°,

'：ZABE+Z2+NCBD=180°,ZCBD=30°,

Z2=180°-ZABE-ZCBD=180°-40o-30o=110°,

故選：B.

9.（2024?安徽六安?模擬預測）把一副三角板按如圖所示的方式擺放，使得DELBC,則/C與環(huán)的夾角

的度數(shù)為（）

A.10°B.12°C.15°D.18°

【答案】C

【知識點】三角板中角度計算問題、三角形的外角的定義及性質(zhì)

【分析】本題考查三角形的外角，根據(jù)三角板及三角形外角求解即可.

【詳解】如圖，/C與EF的交點為。，

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由三角板可得/廠口=45。，ZC=30°,

9：DE1BC,

：./BED=90。,

/BEF=45。,

：.ZEOC=NBEF-ZC=45°-30°=15°,

即AC與EF的夾角的度數(shù)為15。,

故選：C.

10.（2024?安徽六安?模擬預測）將一副三角板40￡和，5C（其中/。=30。）按如圖所示的方式擺放，一

直角頂點。落在上.若AE〃BC,則的度數(shù)是（）

A.72°B.75°C.60°D.65°

【答案】B

【知識點】三角板中角度計算問題、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角的和與差，熟練掌握平行線的性質(zhì)，角的和與差是解題的關鍵.由

AE//BC,可得/E4C=/C=30。，從而/D4C=/E4D—/E4c=15。,根據(jù)/氏4。=90。求出結(jié)果即可.

【詳解】解：???/￡〃BC,

：.ZEAC=ZC=30°,

丁ZEAD=45°,

???ADAC=/EAD-NEAC=45。—30。=15。，

???ABAC=90°,

：./BAD=ABAC-ADAC=90。—15。=75。.

故選：B.

11.（2024?安徽?二模）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含45。角的三角板的一條直角邊與含30。角

的三角板的斜邊垂直，則。的度數(shù)為（）

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A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】D

【知識點】三角板中角度計算問題、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，與三角板有關的計算，先證明。尸〃48,得到/8+/。q=180。,

進行求解即可.

【詳解】解：如圖，由題意，得：Z1=45°,AB=60°,FD1DE,DE1AB,

：.DFHAB,

NB+NDFB=180°,

：./。b8=180°-60°=120°,

a=ADFB一/I=120。-45°=75°；

故選D.

12.（2024?安徽蚌埠模擬預測）如圖，“8C的面積為10,點￡,尸分別在邊48,BC,C4上，AD=2,

DB=3,的面積與四邊形。8￡尸的面積相等，貝心48￡的面積為（）

【答案】C

【知識點】利用平行線間距離解決問題、根據(jù)三角形中線求面積

【分析】本題考查三角形面積性質(zhì)的應用，可通過作輔助線的方法，做此題時注意理清各個三角形面積之

間的關系.

由題意可知的面積和四邊形的面積相等，可通過連接的方法，證明出龐〃4。，進而

求出AMC的面積，然后即可求出答案.

【詳解】解：連接。E,DC.

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A

?S四邊形Q8昉-S^ABE，S四邊形QB昉=S&BDE+^FDE，ABE=^BDE+ADE，

?v=s

,,2AADE-Q.FDE，

??,兩個三角形有公共底。石，且面積相等，

?,?高相等，

???DE//AC,

從而可得：SAADE=S&CDE，

?V—V

,?U"BE—D&BDC，

又AD=2,DB=3,

33

X

SABDC=~^^AABC=_10=6,

即SAABE=6,

故選：c.

13.(2024?安徽阜陽?二模)將等腰直角三角板按如圖所示的方式擺放，若。〃6,/1=15。，則/2=()

A.105°B.120°C.150°D.135°

【答案】C

【知識點】三角板中角度計算問題、三角形的外角的定義及性質(zhì)、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，利用直尺的對邊平行可得Nl+/4=/3,根據(jù)/1+/4=15。+45。=60。,

求得/3=60。，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出答案.

,:aHb,

：.Z1+Z4=Z3,

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,?Zl+Z4=15°+45°=60°,

Z3=60°,

Z2=Z3+90o=60°+90o=150°,

故選：C.

14.（2025?安徽馬鞍山?一模）如圖，VABC中，48=8,AC=6,和44cB的平分線交于點尸，過

點尸作DE〃BC分別交A8,NC于點D,E,則V4DE的周長為（）

A.不能確定B.10C.12D.14

【答案】D

【知識點】角平分線的有關計算、根據(jù)等角對等邊證明邊相等、兩直線平行內(nèi)錯角相等

【分析】本題考查了角的平分線，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，熟練掌握角的平分線的定義，平行線的性

質(zhì)是解題的關鍵.根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，等角對等邊，角的平分線的定義，進行推理計算即可.

【詳解】解：和//C2的平分線交于點尸，DE\\BC,

：.ZCBP=ZABP=ZDPB,ZACP=ZBCP=NCPE,

DP=BD,PE=CE,

二A/DE的周長為：AD+AE+DE^AD+AE+DP+PE=AD+AE+BD+CE^AB+AC,

*.*AB=8,AC=6,

的周長為48+4C=8+6=14,

故選：D.

15.（2024?安徽合肥?一模）若點P在線段48的延長線上，AP=8,BP=3,則NB的長為.

【答案】5

【知識點】線段的和與差

【分析】本題主要考查了線段的和差計算，根據(jù)線段的和差關系進行求解即可.

【詳解】解：；點尸在線段48的延長線上，4P=8,BP=3,

：.AB=AP-BP=5,

故答案為：5.

16.（2024?安徽宿州?一模）古代數(shù)學家曾經(jīng)探究出這樣一個結(jié)論：如圖，在VN8C中，4B=/C,點。在3C

4R24n2

這上，貝---------,當AB=7,AD=6,50=2時，CD=

BC-BD

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A

【知識點】線段的和與差、分式方程的其它實際問題

【分析】本題考查分式方程的應用，線段的和差，解題的關鍵是將數(shù)據(jù)代入3。=亞二@求出BC,再

BC-BD

根據(jù)=8。—計算即可.

4R2_4n2

【詳解】解：,:AB=1，AD=6,BD=2,且---------,

BC-BD

22

-2_7-6

BC-2

17

解得：BC],

17

經(jīng)檢驗BC==是原方程的解且符合題意，

2

1713

,CD=BC-BD=——2=—.

22

13

故答案為：

2

17.(2025?安徽?模擬預測)已知RtZ\4C50Rt△。在1,且/C=90。，/5=10,=8,點。、方分別在、

/C上滑動.

(1)AC=；

(2)點M是48的中點，點N是。下的中點，則的最小值是.

【答案】62

【知識點】全等三角形的性質(zhì)、斜邊的中線等于斜邊的一半、兩點之間線段最短、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，熟

記各性質(zhì)并判斷出CN+MN最小時的位置是解題的關鍵.

(1)根據(jù)勾股定理計算即可；

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（2）連接CA/、CN,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CW=〃N=5,判斷出C、N、M

三點共線時"N的值最小，再根據(jù)勾股定理列式計算即可得解.

【詳解】解：（1）VZC=90°

AC=y]AB2-BC2=V102-82=6，

故答案為：6；

（2）連接CM、CN,

：.DF=AC=6,

:點M是的中點，點N是。尸的中點，

CM=-AB=5,CN=-DF=3

22

由三角形三邊關系得，CM-CN<MN<CM+CN,

...當C、N、”三點共線時MN的值最小，

止匕時，MN=CM-CN=5-3=2,

故答案為：2.

18.（2024,安徽?模擬預測）如圖，已知Nl=65。，/Z+ND=180。.求/C的度數(shù).

//.

ZX=.

4=65。（己知），

.?."=65。.

【答案】AB-,CD；NC；（等量代換）

【知識點】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

【分析】由已知的兩個角互補，利用同旁內(nèi)角互補兩直線平行得到與CD平行，再利用兩直線平行內(nèi)錯

角相等得到一對角相等，由N1的度數(shù)即可求出/C的度數(shù).此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平

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行線的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵.

【詳解】解：乙4+180。（已知），

AB||CD.

Z1=ZC.

4=65。（己知），

，NC=65。（等量代換）.

故答案為：AB；CD；，C；（等量代換）

考向二：三角形與全等三角形

1、三角形的重要線段

重要線段概念圖形性質(zhì)

三角形的從三角形一個頂點向它的對AVAD是AABC中BC邊的高

高邊做垂線，頂點和垂足之間的

/\ZADB=ZADC=90°

線段叫做三角形的高線（簡稱?：-------------1—L'

Bbc

三角形的高）.

三角形的在三角形中，連接一個頂點和A???AD是AABC中BC邊的中線

中線它對邊的中點的線段叫做三

角形的中線?e?BD=CDS△ABD=SAADC

BN0C

CAACD-CAABD=AC-AB

三角形的三角形的一個角的平分線與4c：AD是AABC中NBAC的角

角平分線這個角的對邊相交，這個角的

平分線

頂點和交點間的線段叫做三

/.ZBAD=ZDAC=iZBAC

角形的角平分線.2

三角形的連接三角形兩邊中點的線段VDE是AABC的中位線

中位線叫做三角形的中位線

AAD=DBAE=EC

，二.1

DE="BCDE/7BC

2

概念圖形性質(zhì)

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1）重心到頂點的距離與

a重心到對邊中點的距離

之比為2：!0

2）重心和三角形3個頂

重心三角形三條中線交點點組成的3個三角形面積

相等。

3）重心到三角形3個頂

點距離的平方和最小。

-乂1）銳角三角形的垂心在

三角形內(nèi)；直角三角形的

垂心在直角頂點上；鈍角

三角形的垂心在三角形

外；

2）銳角三角形的垂心到

三頂點的距離之和等于

其內(nèi)切圓與外接圓半徑

之和的2倍。

垂心三角形三條高交點

3）三角形三個頂點，三

個垂足，垂心這7個點可

以得到6組四點共圓.

4）銳角三角形的垂心是

垂足三角形的內(nèi)心；銳角

三角形的內(nèi)接三角形（頂

點在原三角形的邊上）

中，以垂足三角形的周長

最短.

2、三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

3、三角形三邊關系定理及推論的應用：

1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形.

2）已知三角形兩邊的長度分別為a,b,求第三邊長度的范圍：|a-b|<c<a+b

17/133

,五廝看通后I旬而誡至三鬲標揚「泵由兩不容案的「蔗汪熹檢者暫不容型能否畫成三第拓一

|4、三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°.

推論：直角三角形的兩個銳角互余.

II

|5、三角形的內(nèi)角和定理的應用：

II

11）在三角形中，已知兩個內(nèi)角的度數(shù)，可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；

|2）在三角形中，已知三個內(nèi)角的比例關系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；

I3）在直角三角形中，已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).

16、三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360。.

II

17、三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

Ii

2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

I8、全等三角形的性質(zhì)：1）對應邊相等，對應角相等.

II

2）全等三角形的對應角平分線、對應中線、對應高相等.

3）全等三角形的周長相等、面積相等.

19、全等三角形的判定

i邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；

II

|邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；

1角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；

ii

|角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS"）；|

|對于特殊的直角三角形：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角|

【邊”或“HL”）.

II

[10、角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

Ii

111,角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上.

“二一，茄23妾薇妾慶:二稹丁如酉:麗兩把二樣的直代「屬二把直耳的揚行鼾再57董杳「勇二把直反襁

與射線。2重合，兩把直尺的另一邊在//O2的內(nèi)部交于點尸，作射線。尸，若403=50。，則N/OP的

【答案】D

【知識點】角平分線的判定定理

18/133

【分析】本題考查角平分線的判定與性質(zhì).根據(jù)題意得到。尸是//的角平分線，由角平分線定義求解

即可得到乙4。尸的度數(shù).

【詳解】解：過點P作尸M，。/、PN1OB,如圖所示:

兩把一樣的直尺,

PM=PN,

由角平分線的判定定理可得。尸是N/O8的角平分線，

乙108=50。，

,-,NAOP=L/AOB=25°,

2

故選：D.

2.（2024?安徽蚌埠?二模）清初安徽數(shù)學家梅文鼎創(chuàng)造性的設計直角三角形，證明了：/￡>是銳角VN2C的

高，則=/發(fā)一/C?.如圖，已知V/BC中，AB=7,BC=6,NC=5,點。在邊8c上，以AD

為折痕將/C折疊，使得點C落在3c上的點E,則8￡=（）

A.3B.4C.V13D.5

【答案】B

【知識點】與三角形的高有關的計算問題、折疊問題

【分析】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關鍵.由折疊性質(zhì)可設：CD=DE=x,

根據(jù)8￡>2-co2=NB2-NC2求解即可.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可設：CD=DE=x

BD=6—x

?/BD2-CD-=AB2-AC2

A（6-X）2-X2=72-52,解得：x=l

BE=6-2尤=4

故選：B.

19/133

3.（2024?安徽?模擬預測）如圖，將V48c繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△EDC,且點4,D,E在同一條直

線上，AACB=a,則/4DC的度數(shù)是（）

A.90°-aB.45°+aC.180°-2cD.300+2a

【答案】B

【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應用、等邊對等角、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后對應邊相等，對應邊的

夾角等于旋轉(zhuǎn)角，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出==則N￡=45。，根據(jù)三角形的外交定理，即可解答.

【詳解】解：YV/BC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到

AC=EC,NACE=90°,ZACB=ZECD=a,

：.NE=：x（180°-90°）=45。，

ZADC=ZE+ZECD=45°+a,

故選：B.

4.（2024?安徽蚌埠?三模）如圖，在RtZ\4BC中，ZACB=90°,AC=5,BC=3.。是48的中點，￡為

射線C4上一動點，過點。作于點P,交4B于點R則。尸長度的最小值是（）

A.V5B.1C.V3D.75-2

【答案】B

【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半、與三角形中位線有關的求解問題、三角形三邊關系的應用

【分析】本題考查三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔

助線，構造三角形中位線，直角三角形斜邊中線解決問題.

35

取5。的中點O,連接。尸，8.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出。尸=不，再根據(jù)三角形中位線定理得出=7,

，2.

20/133

根據(jù)三角形三邊關系即可得出DP>OD-OP,即可求解.

【詳解】如圖，取的中點。，連接。尸，OD.

?.?CPLBE,點。是3C的中點，

113

OP=-BC=-x3=-,

222

:點。是BC的中點，點。是48的中點，

OD=-AC=-x5=~,

222

53

/.DP>OD-OP=-------=1,

22

故選：B.

5.(2024?安徽阜陽?三模)如圖，在△0/3中，04=3,08=4,AB=5,的平分線/C交于點

C,點、P,Q分別為線段NC,邊。/上的動點.

(1)OC的長為

(2)OP+尸。的最小值為.

【知識點】用勾股定理解三角形、角平分線的性質(zhì)定理

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的面積計算.合理找出三角形的底和高

是解題的關鍵.

(1)作交于點D,利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出CO=。，最后按照三角形

的面積公式計算即可.

(2)當點。、P、。'三點共線時，。尸+「。=。尸+尸。'最小，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等得

出產(chǎn)。=PQ',最后按照三角形的面積公式計算即可.

【詳解】解：(1)V0A=3,0B=4,AB=5

21/133

OA1+OB2=AB2，

，△048是直角三角形，GULOB,

作C0L4B交N8于點。，

/CD/=90°

又??,AC是NO4B的平分線,

CO=CD.

：.SAABC=^AB-CD=^BC-AO,

即;x5xOC=/cx3=g（O5-OC）x3=；（4-OC）x3,

3

OC=~.

2

、,3

故答案為：—.

2

解：（2）TZC是的平分線，點。為動點，作點。'關于ZC的對稱點。在。4上,

??.PQ=PQ.

作交/C于點p

當點。、P、。三點共線且45時，。尸+尸。=。尸+尸。'最小，為最小值.

由（1）可知，△CUB是直角三角形，

■■SAAOB=^OB.OA=^OQ'-AB,

|x4x3=1（92，x5

12

解得：。。'=了.

12

故答案為：

6.（2024?安徽合肥?二模）如圖，在由邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)格線的交點）

22/133

為頂點的V48c.

⑴將VNBC向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到4）￡尸（其中/與。，B與E,C與尸是對應點）,

在網(wǎng)格中畫出QEF；

（2）用無刻度直尺在網(wǎng)格中畫出NC邊上的高.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【知識點】平移（作圖）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、畫三角形的高

【分析】本題主要考查了平移作圖，作三角的高線，解題的關鍵是作出對應點的位置.

（1）先根據(jù)平移作出點/、B、C的對應點。、E、F,然后順次連接即可；

（2）延長/C,取格點G,連接2G,交/C的延長線于一點77,則58即為所求.

【詳解】（1）解：如圖，△7）￡尸就是所畫的圖形；

（2）解：如圖，線段88就是所畫的三角形的高.

23/133

延長NC過格點M,

,?AN=GK,ZANM=ZBKG=90°,MN=BK,

：."MNaGBK,

：.ZMAN=ZBGK,

,：ZAGH+ZBGK=90°,

：.NAGH+AMAN=90°,

//〃G=180°—（4G〃+/M4N）=90°,

BHVAC.

7.（2024?安徽?模擬預測）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的8x8網(wǎng)格中,V4BC的頂點均

為格點（網(wǎng)格線的交點）.

（1）將VNBC向右平移工個格，再向下平移3格，畫出對應的

⑵僅用無刻度直尺作出△N4G的高4尸.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【知識點】畫三角形的高、用SAS間接證明三角形全等（SAS）、平移（作圖）、格點作圖題

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點取格點G,連接/G交gG于點P,4尸即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，△44G為所求；

（2）解:如圖所示，4尸為所求.

24/133

取格點D，連接/G交與。于點P,4尸即為所求；

取格點/W,N,與呂。相交于點G,

,:A、M=B、N,CM=MD,AAXMG=ABXNCX

：.4AlMD沿ABINQ(SAS)

NMA\D=NNBG

NNBG+/BQM=90P,ABfiM=ZAGC.

：.ZAGCl+ZGAD=90P

.?./&尸G=90。，點p即為所求

8.(2024?安徽合肥?三模)如圖，VNBC是邊長為3的等邊三角形，。是2C的中點，E,尸分別在2C,AB

上，連接4E,CF,兩線交于點G,連接8G,DG,NFGB=NCGD,CE=1.

(1)求/E的長；

(2)求證：BG=2GD；

⑶求ZG的長.

【答■案】⑴AE=&

(2)見解析

⑶AG=S-I

【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)、角平分線的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、用勾股定理解三角

形

【分析】(1)如圖，連接ND,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得,則AD=巫,

222

DE=CD-CE=g再利用勾股定理即可求解；

25/133

(2)如圖，延長GD至點使得ZW=OG,連接8/,易證ACDG也ABOM(SAS),AM=ZCGD,則

CF//BM,可知NFG3=ZMBG,進而可知NM=NAffiG,即可證明BG=GM=2GQ；

(3)如圖，過G作CF的垂線交加于N,由NFGB=NCGD可得NBGN=NDGN,由角平分線定理知

—=—=2,進而可得ZW=L,貝!jNE=DN+Z)E=l,在RMGNC中，GE=-CN=1,貝!]

DGDN22

AG=AE-GN^

【詳解】(1)解：如圖，連接AD,

WABC是邊長為3的等邊三角形，則AC=AB=BC=3,

?.?。是BC的中點，

:.CD=BD=gBC=+，則/Z)=J/C2一力=乎,

CE=\,則。E=CZ)-CE=L

2

AE=>]AD2+DE2=V7.

(2)證明：如圖，延長GO至點M,使得。河=Z)G,連接瓦I/,

,