三角恒等變換提高練

2025年高考數學復習備考

一、單選題

1.已知等腰VABC的底邊3C和BC邊上的高AZ)的長都是有理數，則()

A.sinA+cosA是無理數

B.sinA+cosA是有理數

C.sinA,cosA中一個是無理數，另一個是無理數

D.sinA+cosA是否為有理數要根據5C和AD的大小確定

2.已知直線4：y=2x和4：y=H+i與X軸圍成的三角形是等腰三角形，則左的取值不可能為()

A.-2B.--C.D.

322

3.已知銳角a,/?滿足1+24=^^吟12114=2-百，則sin(/5—a)=()

A.—B.c正-垃D.

2244

,12一得,則（）的值為（

4.已矢口85打+（：。5/7,sina—sin6=tana-?）

119120119120

A.----B.C.-------D.

120119120119

5.在VABC中，下列等式錯誤的是（）

A.sin2B-sin2A=（sinB+sinA）（sinB-sinA）

B.sin2B-sin2A=sin（B+A）sin（5-A）

C.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

6.在VABC中，若Ig(sinA),lg(sin3),Ig(sinC)成等差數列，并且三個內角A,B,C也成等差

數列，則該三角形的形狀是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

（）2貝：）

7.已知tan10tana+/=M,I]tan[/?+=）

5

13

AB.D

-2180I-n

已知。，萬玲。,卜

8.1COS2-sin2?=y,且351!1月=5111（2。+/?）,則1+用的值為（）

.717c九

A.——D.—

12-73

二、多選題

已知((集合

9./(x)=0(sinur+cosGx)G>O),A=0,^,若存在⑷，使得集合

3=｛Cr,y)"(x)"(y)=4,x,yeA｝恰有五個元素，則。的可能取值為()

12c17

AB.—C.3D.——

-155

對于函數〃x)=sinx+Jsin2無，則下列結論正確的是()

10.

A.2兀是“％)的一個周期B.〃%)在［0,2可上有3個零點

C.“X)的最大值為受

D./(%)在0胃上是增函數

若sinx+cosx=i,則()

11.

2sinx-cosx

,2石

A.tanx=2B.sinx=-----

5

4?C4

C.tan2x=—D.sin2x=-

55

12.設ac(Og),/7e(0,-|),則下列計算正確的是()

A.cos(cr+/7)<cos(tz-；0)

JI兀1

B.若sin(a+—)cos(a+—)=——,則tana=2

446

171

C.若tana+tan尸=----,則24一a=一

cosa2

什cos2a1八_3兀

D.右1.o^-0，則nil1+尸二不

1+sin2atanp4

三、填空題

13.正三棱錐尸-ABC和正三棱錐ABC共底面ABC,這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球

面上，點P和點。在平面ABC的異側，這兩個正三棱錐的側面與底面A5C所成的角分別為尸,

則當a+尸最大時，tan(a+#)=

14.設函數Ax)=sm6*c°q,其中人是一個正整數,若對任意實數.,均有

{/(%)\a<x<a+\]={/(%)|xeR},則Z的最小值為一

...[-?,sin4xsin2xsinxsinx

15.右tan4x=VL則8s8》—4x+cos?cos2J十I

I，cosx-cosy=1,則cos(x+y)的值為

16.函數sinx+siny

兀a3.12兀3兀。詞｝則tana

17.已知COS~~,sin石'其中ae，-

5?卜-44~tan/7

jr

18.設當x=6時，函數/(x)=sinx-3cos%取得最大值，則cos(d-—)=.

4

四、解答題

.7T.(7T)3

19.已知"7<a<私$111|7+c|=>

4UJ5

(1)求cos。的值；

⑵若0<夕<：,cos[：+6]=[,求cos((z+Q)的值.

20.已知y(x)=sin?ox+亭sin2ox-；(xeR,o>0).若/(x)的最小正周期為2兀.

⑴求“X)的表達式和/(X)的遞增區間；

⑵求“X)在區間上的最大值和最小值.

21.在VABC中，內角A氏C所對的邊分別為。,6,c,Z?sinA=acos^B-^,a=2,c=3.

(1)求角8的大小：

⑵求b的值；

⑶求sin(24-0的值.

22.已知函數/(九)=2百sin尤cos%-2cos2%+1.

⑴若力￡-去與'求/⑴的值域；

(2)若關于X的方程/(%)-〃=。有三個連續的實數根4，X2，W，且芯<%2<%3，九3+2百=3%,求。

的值.

參考答案:

1.B

因為AB=AC,AD^BC,所以8。=CD^-BC,ABAC=2ZDAC,

.2

因為5C的長為有理數，所以CD的長也為有理數,

設ZZMC=a,貝!)/SAC=2(z,

CD

因為4。的長都為有理數,所以，皿〃=而也為有理數,

CD

設tana=-----=m(mGQ),

AD

2sinacosa

所以sinABAC=sinla=

si.n7cr+cos2a

2tana2m

為有理數'

tan2a+1

cos?a-sin2a

cosABAC=cosla

sin2cr+cos2a

1—tan2a1—yr迎二

---------=------y為有理數,

1+tana1+m

所以sinA+cosA是有理數,

令直線k，22的傾斜角分別為a,9,則tana=2,tan8=左,

當圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，O=Tt-a,k=tan（7i-6z）=-tan?=-2；

當圍成的等腰三角形底邊在直線"上時，0=］或。=］+1，

2ctan—ar-

因為tanc=----------=2,且tan］〉。，解得tan4="一,

1-tan—zz

2

a1-1-75

zy小-1或左=tan0-tan+71

所以k=tan3=tan—=2a2

22tan—

2

2tana2x24

當圍成的等腰三角形底邊在直線4上時，。=2二，貝Ijk=tan9=tan2i=

l-tan2a-l-22-3

3.C

八

tan——aI-tanp

由a+2〃=l得三+￡=(，所以tan代+￡卜-2------=下,

八

I1-tan—atanp

又tan言tan尸=2-括，所以tan言+tan/?=3-石,

tan—=2-\/3

tan—+tan/?=3—A/32ar

2,解得，tan—=1

由,,或V2(舍去，此時。不是銳角)，

tan—tanB=2-石tan0=1tan/3=2-A/3

2

tan月=1,夕是銳角，=>分=?,sinp=cos(3=

2tan--揚

22(21

sina=貝！Jcosa=

1+%一1+(2一后-2,2f

A/273721遙-0

所以sin(尸-a)=sin°cosa-cossina-----X------------X—=-----------

22224

4.B

由和差化積公式,

a+Ba-f3_12

得cosa+cosp=2cos------cos

22--13,

a+B.a-B5

sina—sinp=2cos-------sin--------

2213,

a-p5

兩式相除，所以tan

212

a—(3

2tan-------

a-(3120

所以tan(a_/7)=tan2-2

2Ian2f119

2

5.D

對于選項A：由平方差公式可知si/^-sin2A=(sinB+sinA)(sinB-sinA),故A正確;

l-cos2B1—cos2A

對于選項B：sin2B-sin2A=

22

cos2A-cos2B_cos[(A+B)+(A-B)]-cos[(A+B)-(A-B)]

22

=-sin(A+B)sin(A-^)=sin(B+A)sin(B-A),故B正確;

E、r/八、tanA+tanB-

對于選項C：因為tan(A4+5)=----------------=-tanC,

即tanA+tanB=—tanC+tanAtanBtanC,

所以tanA+tan5+tanC=tanAtanBtanC,故C正確；

r_L十3THeE、[AB+C71,A71B+C

對于選項D：因為彳+---=—,n則彳=7---------

222222

.A.(7iB+Cy\B+C,

所以sm^usin不----=cos——,故D錯誤；

6.D

由A,B,C成等差數列，得A+C=23,又A+3+C=TI,

：.B=-.

3

Vlg(sinA),lg(sin3),Ig(sinC)成等差數列，

21g(sinB)=1g(sinA)+1g(sinC),

即sin2B=sinAsinC,

3

sinAsinC=—,

4

又cos(A+C)=cosAcosC—sinAsinC,

cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC,

sinAsinC=-^-[cos(A+C)-cos(A-C)],

2兀3

cos------cos(A-C)

234

cos(A-C)=l,

：A-Ce(T離，：.A-C=O,即A=C=1,

：.A=B=C,故VABC為等邊三角形.

tan(a+Q)-tan]2_1

_5_4_3

Il2xl22,

1+tan(cif+/?)tan+

",)54

8.D

因為cos2i-sin2a=—,cos2er+sin2a=l所以cos2or=—,sin2a=—

f777

因為二￡(0,弓],所以cosi=*,sina=^^,所以tanau^.

由3sin尸=sin(2a+/?),得3sin[(cr+J3)~a]=sin[(cr+/3)+a],

即3sin(a+/?)cosa-3cos(a+/?)sina=sin(a+0)cosa+cos(a+/?)sina,

所以sin(a+P)cosa=2cos(a+/)sina,所以tan(cr+4)=2tana二百.

jrjr

又0<a+4<5，所以a+，=§.

9.AB

71

函數/(%)=6(sincox+cosGX)=2sina)xH—G>0),

4

71

貝1J〃x)-〃y)=4sinCOXH--sinI+—=4,

4

所以sin[s+：)=1,sin[q+￡71)=1,或sin[ox+；71)=-1,sin[紗+；71

=T,

444

57r71i7ir171715。兀

因為X,”0，,所以5+“吁aG—+---

T44444

因為使得集合3={(x,y)"⑺?)=4,x,yeAb恰有五個元素,

LI兀717171713兀71715兀

則CDX+—=a)y+—=—,a)x+—=coy-\--=——,a)x+—=a)y+—=——

442442442

71717157r_p,7c5兀7171

CDX+—=—,69V+—=—，或+：=—MyH—=一

42424242

匚匚25兀,兀5COTI7K切/日9/13

所以〒4：+—<k，.

244255

10.ABC

對于A,因為/(%+2兀)=sin(x+27i)+gsin2(x+27i)=sinx+sin2x=f(x),

所以2兀是的一個周期，A正確;

對于B,當/(%)=sinx+gsin2x=0,尤￡[0,2兀]時，sinx+sinxcosx=0,

即sinx(l+cosx)=0,即sinx=0^1+cosx=0,解得了=0或工=兀或x=2兀，

所以/(x)在［0,2句上有3個零點，故B正確;

對于C,由A可知，只需考慮求在[0,2兀)上的最大值即可.

/(%)=sin%+；sin2x=sinx+sinxcosx,

則/'(九)=cosx+cos2x-sin2x=2cos2x+cosx-b

令/,(X)=O,求得85%=；或8$尤=一1,

所以當?1或xe］干,2兀］時，；<cosx<l,此時尸(x)>0,

則/(x)在/幻,t,2T上單調遞增，

(兀5兀)1

當xe《，wj時，一l<cos尤<展止匕時/(x)V0,但不恒為0,

則/(x)在上單調遞減，

則當x=g時，函數，(無)取得最大值，

不『兀、.兀1.2兀6G3Gp工總

73f\-=sin-+-sin-=—+—=-----,C正確；

⑶323244

對于D,由C可知，/(%)在。個上不是增函數，D錯誤.

11.AD

E、Jsinx+cosx■.八-x八e七r/工…1「Lt、，sinx+cosxtanx+1,

因為不-------=1分子分母都乘以——，所以=--------=-------7=1,

2sinx-cosxcosx2sinx-cosx2tanx—1

可得tanx=2，故A選項正確，,血=2,sin2x+cos2x=1,sinx=±,B選項錯誤；

cosx25"

2tanx44

tan2x=j,C選項錯誤;

l-tan2x1-4

SIILX44

------=2,sin2x+cos2x=1,sin2x=—,sin2x=2sinxcosx=sin2x=—,D選項正確.

cosx55

12.AD

r兀兀

對于A,因為a￡(0,—),/7G(0,—),貝!jcos(a+/?)=cos2COsQ-sinasiny0,

22

cos(cr-B)=cosacos尸+sinasin力，故cos(a一6)一cos(a+/)=2sinasin4>0,

所以cos(a+/7)<cos(a—77),正確；

jl7117111j

對于B,因為sin(a+—)cos(a+—)=—sin(2a+—)=—cos2a=——,所以cos2a=——,

4422263

而cos2cr=l—2sin2a,所以sir^an],又a￡(0,g),所以sina=在，cosa=—

3233

所以tani=0,錯誤；

1sinasinB1

對于C,由tani+tan/=-------得，-----+-----=----,所以sincrcos#+cosasin#=cos#,

cosacosacos夕cosa

即sin(a+0=sin(T_/],因為ae(0,g),,￡(0,g),所以a+,w(0,兀),w(0,g),

則a+Q=或a+?+]-4=兀，即a+2￡=]或a=](不合題意，舍去)，錯誤；

cosla1cos2-sin2acos/?cos2or-sin2acosPcosa-sinacos/?

對于D,I-I—z?-I

1+sin2atan(3l+2sinacosasin/?(sina+cosa)sin/3sina+cosasin/

cos2。1八?,cosa一sina+cos(3

因為------------------1-----------=0,所以^一=o,

1+sin2atan(3sina+cosasinB

即cosasin尸一sinasin#+sinacos0+cosacos/?=0,即sin(a+￡)+cos(cr+/)=0,

所以^2sin(a++—)=0,即sin(a+B+—)=0,

44

jrjrSir

因為a+4￡(0,九)，所以戊+夕+；￡(；,一),

444

jr37r

所以1+4+:=兀，所以a+4=不，正確.

44

13.--

3

如圖：設尸在平面ABC的射影為P,根據正三棱錐和球的對稱性知：球心。在線段尸。上.

取A3中點連接MP',MP,MQ,則又P。/平面ABC,

所以尸,NQMP分別為兩個正三棱錐的側面與底面ABC所成的角，

記ZPMP'=a,ZQMP'=p,

不妨設PF“F,P*m,QPiOP二歲,。*號

BP'=AP'=y/o^-P'O2=y/mn,

所以g”？

PP'

.itancc=-----

則mMP'

所以tan(a+p)=

當且僅當m=〃=1時等號成立，

由于二+〃e(0,7i),

4

故當a+尸最大時，tan(a+A)=—

故答案為：-￡4

14.7

“、.kx(.kx..kxh、/.4日.2h2kxkx、

t(x)=sin61-cos——=(sin21-cos2——)(smsin—cosFeos4——)

44444444

/.2辰?日、2c,2kx2kx13.2區375

=(sin——+cos——)-3sin—cos——=1——sin——=-coskxH—f

44444288

若對任意實數"，均有{/(x)|a<x<4+l}={/(x)|xeR},

2兀

則函數/(%)的最小正周期Tvl,即丁＜1,而左GN*,于是左＞2兀，即左＞7,

k

所以上的最小值為7.

故答案為：7

15.-272

八sin2xsinxsin2xcosx-sinxcos2x

tan2x—tanx=-----------------=--------------------------------

cos2xcosxcos2xcosx

2sinxcos2x-sinx(2cos2x-\sinx

cos2xcosxcos2xcosx

sin4x°/sin2x小

=tan8x-tan4x,-----------------=tan4Ax-tan2x,

cos8xcos4x------------------------cos4xcos2x

2tan2/2

原式=tan8x-tan4x+tan4尤一tan2x+tan2x-tanx+tanx=tan8尤=------——=——=一2&.

l-tan24x1-2

故答案為：-20.

16.變

225

因為sinx+siny=；,兩邊同時平方得sin?%+sin之y+2sin%siny=g①;

11

cosx-cosj=—,兩邊同時平方得cos2x+cos2y-2cosxcosy=—(2),

①+②得2+2sinxsiny-2cosxcosy="+表，

34208

即2-2cos(x+y)=9^,故cos(x+y)

225

乂田生生

故答案為：—20—8

225

17.-17

371371/D兀

因為cos-,aG，得［一

54，-T44

4

所以sin

5

7171小in之一變,

所以cosa==cosacos—+sin

4J4J410

所以sina=7?,所以tana=—7,

10

、r./5兀12八（c兀5n3兀

因為sin[1+^J=一百,/?el0,—得午+般

T5T

所以c°s仁+〃[=一0

*【、1?q.「「5兀八5TI1.「5兀5TI（571.571772

所以sin//=sinI—+/>=sinl—+/>Icos--cosl—+pIsm—=-^-,

所以cos〃=@l,所以tan夕="

2617

?,tana…

所以丁==T7.

tanp

故答案為：-17.

18.

5

依題意，函數了（無）="\/10（個—sinx-1—cos%）—J10sin（x—cp）,

31

其中銳角。滿足sino=1w，cos"=1w，當%-。=^+2%兀,左EZ時，/（尤）⑻="5,

TT

因此。=0+,+2kit,keZ,

爭c”sin°）=卓涼—木）

所以COS（6--）=COS（67+—）=

44

故答案為：一叵

5

19.(1)_叵

10

33

⑵——

65

(1)因為:＜。＜兀，所以:+0￡(今卷)

▼兀)…＜7114

又sin:+a=二，所以cos丁+a=一1，

71（71、.兀.「兀

所以cosa=cos—+a--=cos—cos—+a+sin—sin—+a也

（4）44U）414.10

故cosa的值為—正

10

(2)由(1),得sina=(1一cos2a="也,

10

又0<￡苦，所以：+/eg，3,又3住+可=3所以sin0+"=j|

所以cos￡=cos|￡卜71cos伍+/cos'+sip+/sin隆迪

4（4）4（4J426

sin/?=

所以cos(a+夕)=cosacos/3-sinasin/3=

故COS(C+/?)的值為-7y.

65

20.⑴〃x)=sin,-胃；/(x)的單調遞增區間為2kn-^,2kn+^(kcZ).

⑵/(x)在區間乎］上的最大值和最小值分別為1和-且.

166」2

(1)因為/(x)=sin2Gx+^^sin2G兀一；，

m【、ic(\1-cossV3._1

所以/(%)=-------+^-sin2cox--,

所以/(x)=^-sin2Gx一;COSGX,

所以〃力=sin2a)x——

I6

因為的最小正周期為2兀，/>0,

所以m2兀=2兀，所以。=彳[，

2co2

所以/(x)=sin(x4),

令2kli<x--<2kn+—,keZ,可得2E<x<2knH----,keZ,

26233

jr2TT

所以函數“X)的單調遞增區間為2kn--,2lat+—(keZ),

(2)因為-上龍4笠

66

二匚a兀/兀/2兀

所以一大-x~~7-，

363

<h即—張/(%)<!,

所以當x=三時，函數/'(%)取最大值，最大值為1,

當天=-聿時，函數取最小值，最小值為-g.

71

21.(Dy;

⑵歷

⑶*

ab

(1)在VABC中，由正弦定理，可得bsinA=asin3,

sinAsinB

又由sinA=acosI