模塊03三角函數與解三角形

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（24-25高三上?山東濟寧?階段練習）在三角形4BC中，a=2,/=$,b=2也,則/C=（）

6

7171色或四

A.—B.一CD.7■或不

63,6232

【答案】C

【分析】由正弦定理求得B,即可求解.

2273

ab

【詳解】由可得：1sin5,

sinAsinB

2

所以sin5=——，又b>Q,

2

所以8=5或

TT冗

結合內角和定理,所以/°=%或5,

故選：C

2.（2024?海南?模擬預測）若a￡（0,兀），且cosa-sina=；,貝!|tana=

()

A.丑立R4-V7c4+)4-V7

D.-----------------D.

5533

【答案】D

3

【分析】先左右兩邊平方，得出sinacosa=z，再應用弦化切，最后結合角的范圍可得求出正切值.

8

]2i

【詳解】因為cosa-sina=5,所以(cosa-sina)=—,

13

即1一2sincrcoscr=—,所以sinacosa=—,

48

sincrcoscjftana3

所以一22

sina+cosa1+tan2a8’

解得tana=4+近或=1__

33

因為°￡(0,兀)，且cosa-sini=；>0,

所以a1。,：,所以0<tana<l,所以匕口。=上」

3

故選：D.

3.(24-25高三上?安徽?階段練習)已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合,

終邊經過點P(tana,4),則如干+1=()

cos2a+l

999―19—1

A.—B.-C.一或7D.一或

282288

【答案】C

4

【分析】由已知可得tano=——,可求得tana=±2,利用二倍角的正余弦公式可得

tana

sin+1112八、、4/分口1-

------------=tana+—+—tana,代入求值即可.

cos2a+122

【詳解】因為aw；■，左EZ,所以tanawO,

4

因為a的終邊過點P(tana,4),所以tani=-------,解得tana=±2,

tan。

sin2a+12sinacosa+cos2a+sin2a11

=-=tanadF-tan2a,

cos2a+1-------------2cos之a-1+1-----------------------22

sinla+1=2+L、22」

當tana=2時,

cos2a+1222

當tana=—2時,黑"=”+?(-2)24

sin2a+19fsin2cr+1

綜上所述:-----------7或-------7

cos2a+12cos2a+12

故選：C.

TT

4.(24-25高三上?甘肅臨夏?期末)將函數g(x)=2sin2x的圖象向左平移匚個單位長度，再向下平移1個單

位長度得到函數〃x)的圖象，則函數〃了)的()

A.最大值為3B.最小值為-1C.一個對稱中心為D.一條對稱軸為

0

【答案】D

【分析】利用平移變換求得/(x)的解析式，進而求得最值判斷AB；求得對稱中心與對稱軸方程判斷CD.

【詳解】函數g(x)=2sin2x的圖象向左平移匚個單位長度,

可得g(x+-=2sin2x+—=2sin12x+.的圖象,

又再向下平移1個單位長度得到函數〃x)的圖象，所以/(x)=2sin[2x+^J-l,

當sin12x+5=l時，/(%)_=!,故A錯誤；

當sin12x+總=-1時，/（x）min=-3,故B錯誤；

由2x+B=E#eZ,得工=一二+左eZ,所以函數〃x）的（一二+”,一1],左eZ,

61221122/

當k=l時，“X）的一個對稱中心為[,,-!）,故c錯誤；

由2x+2=W+E,左eZ,得x=?+”,左eZ,所以〃x）的對稱軸為x=g+”,左eZ,

626262

IT

當當后=0時，“X）的一條對稱軸為X=：,故D正確.

6

故選：D.

5.（2024?河南?模擬預測）已知函數/（x）=tan（2x+g],則下列說法正確的是（）

A./⑺為奇函數B./⑺在區間上單調遞增

C.7（x）圖象的一個對稱中心為（5,。]D./（x）的最小正周期為兀

【答案】C

【分析】根據正切函數的定義域、對稱中心、周期、單調性逐項判斷即可得解.

【詳解】因為〃x）=taj2x+"所以2X+9?+T，解得x吟+M丘Z

即函數的定義域不關于原點對稱，所以/（X）不是奇函數，故A錯誤；

當x=9寸，2x+g=M此時〃x）無意義，故"X）在區間昌,圉上單調遞增不正確，故B錯誤；

當彳=工時，2X+T=T，正切函數無意義，故為函數的一個對稱中心，故C正確；

?LND乙

IT7T7T7TI71I7T

因為〃x+R=tan2（x+-）+-=tan（2x+-+K）=tan2x+--f（x）,故g是函數的一個周期，故D錯

誤.

故選：c

6.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離水面2米，已知

水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點尸從水中浮現時（圖中點4）開始計時，則下列說法錯誤的

是（）

A.點P第一次到達最高點需要20秒

B.當水輪轉動155秒時，點尸距離水面1米

C.當水輪轉動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米

D.點P距離水面的高度〃（米）與時間/（秒）之間的函數解析式為人=45①（￡”[1+2

oJ

【答案】B

【分析】根據題意求出點尸距離水面的高度,（米）與時間/（秒）之間的函數解析式為

7T元1

h=4sin—+2-結合選項依次判斷即可.

3Uo）

【詳解】設點尸距離水面的高度為人（米）與時間/（秒）之間的函數解析式為〃=然皿創+0）+5,

4>0,°>0,閘苦卜

A+B=6A=4

由題意，,max6,九min二-2,?1i一2,解得'

5=2

-2712,71兀-,,,71|_

,:T=—=60,.-.fy=—,貝i]/z=4sin|—t+(p+2.

coT30130J

當看=0時，/z=0,.\4sin^+2=0,則sin0=—;，

又時〈I貝好=—J.

，6

綜上，〃=4sinH「-1]+2,故D正確；

13Uo)

令〃=4.]加高+2=6,貝依、金J=

若J?"—m=得￡=20秒，故A正確；

3062

當r=155秒時，h=4sin|^-xl55-^|+2=4sin5K+2=2^,故B不正確;

(306J

當r=50秒時，A=4sin|^-x50-^|+2=4sin^+2=-27K：,故C正確.

故選：B.

7.（24-25高三上?湖南長沙?期末）若cos（a-0=火，cos2a=YY,并且47?均為銳角，且?！词瑒ta+夕

V7510

的值為（）

71715兀

A.-B.一D.

64~6~

【答案】c

【分析】根據同角三角函數之間的基本關系計算可得sin(a-0=-撞，sin2a=①，再由兩角差的余

弦公式計算可得結果.

TT7T

【詳解】由0<a<,<5,可得一尸<0,

又cos(a-￡)=^^,所以sin(a_/7)=-Ql-cos2(a—/7)=-^^~,

因為cos2a=也°,0<2cr<7i,所以sin2a=J1一cos?2a=3^^,

1010

所以cos(a+4)=cos[2a-(a-/)]=cos2acos(a-/)+sin2asin(a-Q)

VlOV53屈275V2

=---x----------x----=-----，

1051052

37r

又因為a+4e(0,兀)，所以a+/?=彳.

故選：C

8.(2025高三?全國?專題練習)已知A/BC的內角48,C所對的邊分別為若

(c-a)siiL4=csinC-bsinB,b=3,則NC邊上中線長度的最大值為()

A30R4A/3r3若n40

2323

【答案】C

【分析】根據正弦定理角化邊得到"+,2-9=ac,結合基本不等式得到/+°2<18,再由中線長公式求

解.

【詳解】(c-o)SIIL4=csinC-bsinB,由正弦定理可得(c-a)a=c?-〃，

1jr

即a1+c2-b2-ac,則cosB=—,vBe(0,4)，.二B=—,

22

又b=3,所以〃2+02—9=〃°,因為巴上當且僅當〃=。=3時等號成立，

2

22

所以。2十。2一則/+。2?18.

2

設AC邊上中線的長度為h,則2h=^a2+c2-2accos^~=)2"+1)-9<727=373,

所以NC邊上中線長度的最大值為述.

2

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.(24-25高三上?吉林?期末)在△NBC中，內角4瓦。所對的邊分別為，已知

〃=3,b=2,sinB=sin24,則()

A.sin5=4yB.cosA=—

93

C.c=3D.SAABC-2V2

【答案】ACD

【分析】由二倍角公式結合正弦定理的角化邊公式求出cos4sin4sinB,cos5,進而由和角公式得出

cosCsiiL4=cosA,進而得出C=Q=3,最后求出三角形面積.

H^/sin5=sin2^,所以sin5=2siiL4cos4b=2acos4,又。=3,b=2,

所以cos/=，,sin/=Rl>sinB=皿2,又6<a,所以cos2=1,

3399

cosC=-cos(/+8)=-cos/cosB+sirUsinS=；=coS,所以c=。=3,

-X2X3X^^=2A/2.

<?-bcsinA=

UAABC223

故選：ACD

10.(24-25高三上?重慶?期末)已知函數/@)=5皿3》+夕)，曰＜。＜外的圖象關于直線》=-1對稱，則

()

A./(x)的最小正周期為三B./(x)的圖象關于點［三,0j對稱

C.“X)在(0高上有最小值D./(x)在［上有兩個極值點

【答案】ABD

【分析】根據對稱可得夕=-?，即可得/(x)=sin0x-；J,根據周期的計算公式求解A,代入即可求解

B,根據整體法即可求解CD.

［詳余星］3乂［_^|)+9=_弓+0=|■+癡，左eZ,即0=今+左兀,左eZ,

而一故人=_1,夕=_/.故/(x)=sin(3x-：］,

224＜4J

b2兀2兀

對于選項A：最小正周期7=舊=7，正確.

對于選項B：X時，3x-a=兀，(兀,。)為V=sinx的對稱中心，正確.

對于選項C：xe(o,￡|時，3x-(e［-:無最小值，錯誤.

對于選項D：xej-gW］時，3x-［e］-手，斗，結合y=sinx的圖象可知，有兩個極值點，正確.

I612J4I42J

故選：ABD

11.（24-25高三上?湖北?開學考試）受潮汐影響，某港口5月份每一天水深y（單位：米）與時間x（單位:

TTTT

時）的關系都符合函數〉=/sin（0x+°）+/7（/>0,。>0,--<（p<~,/zeR）.根據該港口的安全條例，

要求船底與水底的距離必須不小于2.5米，否則該船必須立即離港，一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面

的距離）6米，計劃于5月10日進港卸貨（該船進港立即可以開始卸貨），已知卸貨時吃水深度以每小時

0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米（不計船停靠碼頭和駛離碼頭所需時間）.下表為該港口5月

某天的時刻與水深關系：

時刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00

水深/米1074710747

以下選項正確的有（）

A.水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的函數關系為y=3sin《x+^+7,xe[0,24）

B.該船滿載貨物時可以在0：00到4：00之間以及12：00到16：00之間進入港口

C.該船卸完貨物后可以在19：00離開港口

D.該船5月10日完成卸貨任務的最早時間為16：00

【答案】ABD

【分析】根據題意求出函數的解析式，即可判斷A；解不等式組166）,即可判斷B；

0<x<24

求出19時水的深度，即可判斷C；求出函數了=-0.3》+6+2.5與y=3sin[ex+e）+7的圖象的交點，即可

判斷D.

【詳解】解：依題意/=3,=7,-=14-2,解得。=?,

2G）6

顯然函數尸3$《尹+\+7的圖象過點（2,10）,

即sin[g+e]=l,又一々<（p<3,因此0=5，

<3）226

所以函數表達式為>=35苗[巳工+e）+7,xe[0,24],故A對；

3sin—x+-1+7>6+2.5>—

依題意,(66)整理得—2,

0<x<240<x<24

即有尹2加43+3*2陽左一）

0<X<24

12k<x<4+12k(kGZ)

即

0<x<24

角軍得0WxK4或12<x<16,

所以該船可以在0點到4點以及12點到16點進入港口，故B對;

該船卸完貨后符合安全條例的最小水深為5.5,

時水深為工工=也+

19y=3sinX19++77<5.5,故C錯;

I66)2

該船。點進港即可以開始卸貨，設自0點起卸貨X小時后,

該船符合安全條例的最小水深為V=-0.3x+6+2.5

/兀兀

函數>=-0.3%+6+2.5與y=3sin—x+—+7的圖象交于點（5,7）,

v66

即卸貨5小時后，在5點該船必須暫時駛離港口，此時該船的吃水深度為4.5米,

下次水深為7米時刻為11點，

故該船在11點可返回港口繼續卸貨，5小時后完成卸貨，此時為16點，

綜上，該船在0點進港開始卸貨，5點暫時駛離港口，11點返回港口繼續卸貨，16點完成卸貨任務，故D

對.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（24-25高三上?河北滄州?階段練習）已知4月分別為第一象限角和第三象限角,

tana-tan￡=4,tana-tan/?=42—1,貝！|sin(a-月)=.

【答案】一迪

3

【分析】根據兩角差的正切公式得tan（a-0的值，再結合兩個角的取值范圍得到的取值，即可得到

結果.

【詳解】依題意，tan（a-0=黑就|=忌口=20>。,

Ti3兀

因為2左必<a<2左1兀+2，左1￡Z,2左2兀+兀<4<2左2兀十3,左2￡Z,

3

即一2k之穴——7i<c—（3<—2左2兀一兀,左2￡Z,

371

所1以2（及一k2）n一萬兀<a—0<2（左］_k2）兀_,,又>tan（a—〉0,

所以2（左］—左2）?！猂<a—0<2（左］—左2）兀—3,k［,k?wZ,

所以sin（a-/?）=_2,.

故答案為：-迪.

3

JT

13.（24-25高三上?黑龍江大慶?期中）如圖，0P。是以。為圓心，半徑為1,圓心角為§的扇形，C是扇

形弧上的動點，N8在線段OP上，/BCD是扇形的內接矩形，貝U/3+空3的最大值為.

【答案】正

3

【分析】設/尸0c=6,9表達出/D=sin。，AB=cos，利用三角恒等變換得到

L3」3

^+―71Z)=—sinf^+-l求出最大值，得到答案.

33I3J

7T

【詳解】設/poc=e,ewo,y,

則BC=OCsin0=sin0,OB=OCcos0=cos0

故AD=sin夕，

?ADsingVising

則=tan"00=%n工=~^，則45=OB-CU=cos。-"‘m,

an§3

M.I.2百百sin。2G.百sin。

貝UABD+---AD=cos8---------+----sm8=cos6+--------

3333

26.&

=----sm，+—,

3I3；

因為de04,所以6+j,y,

故當0+匹=火，即。=四時，/2+￡l/D=Risin[d+二]取得最大值，

32633I3J

最大值為友.

3

故答案為：正

3

14.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習）在ZUBC中，內角4瓦。所對的邊分別為。也。（"b）.已知

c=2acosA,貝1|sin5+sinZ的最大值是.

【答案】逋/，君

99

TT

3

【分析】根據條件，利用正弦定理邊轉角得到。=24,0<A<—fsinB+sinA=-4sinA+4sinA,構

造函數/?）=Y/+4/-=sin/e（0，￥）,利用導數，求出=+4的單調區間，即可求解.

【詳解】由。=2acosZ,則由正弦定理可得sinC=2sin4cos4=sin24,4?！辏?,兀），

所以C=24或C+24=兀，nUA+B+C=TI,且即

TT

所以C=2Z,^0<A+C=3A<7i即0</<一,

f3

sin5+sinZ=sin34—2sin4=sinZcos2Z+cosZsin24+sinZ

=sin^4(1-2sin2A)+2cos2ZsinZ+sin4=sin4-2sin34+2(1—sin2A)sinA+sin4

=-4sin3Z+4sinZ，

☆f=sin/e(O,且)，貝Uf(t)=^+4t,所以/")=-12/+4=-12(產-；)=-12(，+4)(/-

233

則在上遞增;

上遞減;

故答案為：述.

9

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（24-25高三上?黑龍江?期末）記△4BC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

sinScosC=2siir4cos5-sinCcos5.

⑴求3；

（2）若a=2,c=3,求b和siiL4的值.

【答案】（嗚

（2）6="叵

7

【分析】（1）運用兩角和的正弦公式，結合誘導公式以及特殊角化簡計算即可;

（2）運用余弦定理和正弦定理計算即可.

［詳解］（1）因為sinBcosC=2sirL4cos8-sinCcosfi，

則sin（5+C）=2siib4cos5,

因為在△NBC中,A+B+C=n,

所以sin（B+C）=sin（兀一Z）=sirM,

則有siib4二2siiL4cosB,

因為48?（0,兀）,

所以siiL4w0,cos5=—,

2

故B=S

IT

（2）由（1）可知：B=-,

在A/BC中，因為a=2,c=3,

2

由余弦定理可得：b=Q2+/一2Qccos6=4+9—2x2x3xg=7,

則6=77,

,2_V7

由正弦定理可得：-￡-=-￡-,即而一二萬,

S1H4siiw

2

所以sid合理

回

16.（24-25高三上?山東德州?期末）在單位圓中，銳角。的終邊與單位圓相交于點Pm，2連接圓心。

/

和尸得到射線。尸，將射線。尸繞點。按逆時針方向旋轉。后與單位圓相交于點3,其中?！辏?卷）.

（1）求出m的值和銳角a的大??；

4sin31*6cr+—|+2sin2（電一a]—4cos（a+兀）

⑵求I2）I2J,J的值；

2+2cos2（5兀+a）+cos（-a）

（3）記點8的橫坐標為若/■-。!=：，求cos[q[+c°s,J的值.

1兀

【答案】（1）心=；,a=：

（2）1

（3）V15-1

4

【分析】（1）由單位圓與三角函數的定義求解；

（2）用誘導公式化簡后可得；

（3）已知條件代入得cos/+￡|=；,由同角三角函數關系得sin,+￡）再由誘導公式化簡后可得.

【詳解】（1）由于點P在單位圓上，且&是銳角，

可得加＞0,

],TT

所以cosa=5，且。為銳角，可得a==

（2）4sin3^6Z+^+2sin2（:一“-4cos（a+7i）

2+2cos2（57i+a）+cos（-a）

4cos3a+2cos2a+4cosa_.

=-----------------------------------=2cosa=1；

2+2cosa+cosa

jr

（3）由（1）可知a=/xOP=§,

根據三角函數定義可得：/（0）=cos[d+g],

因為/（YJ=COS,+￡|=；>0,且

因止匕d+所以sin[d+￡]=等.

6<63；16）4

71

+COS\e+-\-Tl

2I6

71V15-1

=sin6>+--cos0+-

664

17.（24-25高三上?山東淄博?期末）在中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a2,b2,cz成等差

TT

數列，且

（1）求證：為等邊三角形；

（2）如圖，點。在邊3c的延長線上，且8C=2CD,AD=B求sin/氏4。的值.

【答案】（1）證明見詳解

Q）巫

14

22

【分析】（1）根據等差中項可得〃=巴上J,再結合余弦定理分析證明；

2

（2）^BC=2CD=2x>0,在中，利用余弦定理可得x=1,再利用正弦定理運算求解.

【詳解】（1）因為b2,0?成等差數列，則〃=且土且，

2

TT

又因為8=5,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,

即12=a2+c2-ac,解得a=c,

2

所以△NBC為等邊三角形.

(2)T^BC=2CD=2X>Q,貝1]/3=2X,8。=3苫，

在八ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZB,

BP7=4x2+9x2-2x2xx3xx-,解得x=l,BPAB=2,BD=3,

2

ADBD

由正弦定理可得sin/B/O=2。?sinZB3H

sin/Bsin/BAD

AD14

18.（24-25高三上?安徽?階段練習）函數〃》）=然也（8+0”/>0,0>0,陷<]]的部分圖象如圖所示.

(1)求函數y=f(x)的解析式;

(2)將函數y=f(x)的圖象向左平移右TT個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的31倍，縱坐標不

變，得到函數y=g(x)的圖象，求函數g(x)在0,?上的值域.

【答案】(l)/(x)=2sin12x+《

⑵[-亞2]

【分析】(1)根據圖象易得A和周期，結合/0可得結果;

(2)根據平移和伸縮變換可得g(x),進而由整體法即可求解函數的值域.

【詳解】(1)觀察圖象可得4=2,函數/(x)的周期「=詈712兀._

兀=—，解得0=2,

12

71

即/(x)=2sin(2x+。)，由/2sin[_《+e)=0,得—^+夕=也，

6

71

即0=標+:，keZ,而則e=：,

626

所以函數V=/(x)的解析式是“X)=2sinJ.

7T

(2)將〃x)的圖象向左平移R個單位長度,

71

可得到函數V=2sin2卜+力+—=2sin(2x+gJ的圖象,

6

再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的g，縱坐標不變,

得至U函數g(x)的圖象，貝Ug(x)=2sin14x+gj,

,兀t7C.兀4兀

當OWxV—時，一K4x+—W——,

4333

貝」一I百<2sinW2,即<g(x)<2,

因此g(x)在oj上的值域為[-6,2].

19.(24-25高三上?山東?階段練習)16世紀法國的數學家韋達在其三角學著作《應用于三角形的數學定律》

中給出了積化和差與和差化積恒等式.

積化和差：sinasin尸=/[cos(a-⑶一cos(a+0],cosacos/7=—[cos(6Z+cos(a+/7)],

sinacos夕=—[sin(6Z+月)+sin(a-77)],cosasin〃=—|^sin(6Z+-sin(a-力)].

工n上/i工n?