第09講空間向量及其運算的坐標表示10種常見考法歸類

學宅目標彳

理解和掌握空間向量的坐標表示及意義，會用向量的坐標表達空間向量的相關運算.會求空間向量的夾

角、長度以及有關平行、垂直的證明.

［鑿基礎知識］:

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知識點1空間直角坐標系

1.空間直角坐標系

(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k},以。為原點，分別以i,j,k

的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們

就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.

⑵相關概念：。叫做原點，i,j,左都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱

為。孫平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分.

注意點：

(1)基向量：『|=|/|=|川=1,i-j=i-k=j-k=O.

⑵畫空間直角坐標系Ox”時，一般使NxOy=135。(或45。)，ZyOz=90°.

(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系.在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指

向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.

2.空間一點的坐標'向量的坐標

(1)空間點的坐標

在空間直角坐標系Ox"中，i,j,左為坐標向量，對空間任意一點A,對應一個向量溫，且點A的位

置由向量位唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y,z),使蘇=&+力+在單位

正交基底j,竹下與向量溫對應的有序實數組(x,y,z),叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作

A(x,y,z),其中x叫做點4的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點4的豎坐標.

注：空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標特點

點的位置X軸上y軸上z軸上

坐標的形式(x,0,0)(0,J,0)(0,0,z)

點的位置Oxy平面內Oyz平面內Ozx平面內

坐標的形式(x,j,0)(0,y>z)(x,0,z)

(2)空間點的對稱問題

①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規律，才能準確求

解.

②對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論.

(3)空間向量的坐標

向量的坐標：在空間直角坐標系Ox”中，給定向量作溫=a,由空間向量基本定理，存在唯一的

有序實數組(x,y,z),使”=&+W+z后有序實數組(x,y,z)叫做“在空間直角坐標系。孫z中的坐標，可

簡記作a=(x,y,z).

知識點2空間向量的坐標運算

1.空間向量的坐標運算法則

設向量Q2,的)，b=(bi,bl,優)，那么

向量運算向量表示坐標表示

加法a+b(〃i+歷，的+岳，的+加)

減法a-b(ai-bi,ai—bi,的一53)

數乘la(九h,kai,i?3)

數量積a?b。仍1+aibi+的歷

注意點：

(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致.

(2)設4(X1,JI,Z1),5(X2,)2,Z2),則油=(X2—XI,yi—yuZ2—Z1).即一個空間向量的坐標等于表示此向

量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.

(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2=a2±2a-b+b2；(a+b)-(a—b)=a2—b1.

(4)向量線性運算的結果仍是向量，用坐標表示；數量積的結果為數量.

2.空間向量相關結論的坐標表示

設。=(由，〃2,的)，b=(bi,bi,83),則有

(1)平行關系：當厚0時，a//b<^a=ib<^ai=lb\,〃2=乃2,的=〃>3(2￡R);

(2)垂直關系：a_Lbd,b=Ou?i歷+a2b2+a3b3=0.

(3)\si\=y[a-a="山+應+=?

a,baibi+a2b2+a3b3

(4)cos<a,b)=⑷山+屁+屈+反+員.

注意點：

⑴要證明a.Lb9就是證明〃6=0；要證明a//b,就是證明仇厚0).

X111Z1

(2)a=(xi,ji,zi),b=(X2,”,Z2),若則M=[2=及成立的條件是卬加卻?

3.空間兩點間的距離公式

在空間直角坐標系中，設Pl(xi,yi9Zl)9Pl(xi,)2,Z2).

------)

(1)PiPi=(x2—xi,yi—yifzi—zi).

222

(2)P1P2=\P\P^I=^/x2—Xl+J2-Jl+Z2—Zl.

(3)若0(0,0,0),P(x,y,z),則|磅|=W：2+y2+N2.

注：空間兩點間的距離公式推導過程

如圖，建立空間直角坐標系。町％

設Pi（xi,yifzi）fPI（X29yi9北）是空間中任意兩點，尸屁=分2一分I=（M一處，yi~y\9覆一zi）,

于是|百百|=^/瓦耳?百耳=J（%2—芯）2+（%一%）2+（4-Z2）2

所以P1P1=\PAP1\=｛區-石）2+（%-Xi+（4-Z2）2,

因此，空間中已知兩點A（X1,Jl,Z1）,8（*2,yi,Z2）,則48=曲|=—Xi）?+（為-+（Z]12）2?

||豳解題策略

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1.建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點

落在坐標軸上.充分利用幾何圖形的對稱性.

2.求某點拉的坐標的方法

作MAT垂直于平面。孫，垂足為AT,求AT的橫坐標x,縱坐標y,即點M的橫坐標x,縱坐標y,再

求M點在z軸上射影的豎坐標z,即為M點的豎坐標z,于是得到M點的坐標(x,y,z).

3.空間向量坐標運算的規律及注意點

(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定.

)

已知空間點的坐標、A(xi,ji,zi),B{X2,yi,Z2向量4耳的坐標等于終點坐標減起點坐標.即4耳=

(X2—xi,yi—yi,Z2-zi).

(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算.

(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標.

4.解決空間向量垂直、平行問題的有關思路

(1)若有關向量已知時，通常需要設出向量的坐標.例如，設向量a=(x,y,z).

(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關平行的問題中，通常需

要引入參數.例如，已知。〃兒則引入參數九有。=M，再轉化為方程組求解；已知兩向量平行或垂直求

參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解.

(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利

用向量平行、垂直的充要條件證明.

5.利用向量數量積的坐標公式求異面直線所成角的步驟

(1)根據幾何圖形的特點建立適當的空間直角坐標系；

(2)利用已知條件寫出有關點的坐標，進而獲得相關向量的坐標；

(3)利用向量數量積的坐標公式求得異面直線上有關向量的夾角，并將它轉化為異面直線所成的角.

6.利用向量坐標求空間中線段的長度的一般步驟

(1)建立適當的空間直角坐標系；

(2)求出線段端點的坐標；

(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長.

Q考點剖小

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考點一：空間中點的坐標表示

例1.（2023秋.北京西城.高二北師大二附中校考期中）已知點A（4,-l,2）,3（2,-3,0）,點C滿

足/=國，則點C的坐標是.

變式1.（2022.高二課時練習）若△ABC頂點4（2,-5,3）,且荏=（4,1,2）,配=（3,-2,5）,則點C坐標是

變式2.（2022.全國.高二專題練習）平行六面體ABC。-A圈6。中，衣=（1,2,3）,百（-1,2,4）,則點A的

坐標為（）

A.（0,4,7）B.（-2,0,1）C.（2,0,-1）D.（2,0,1）

變式3.（2023?全國?高二專題練習）已知點M（L0,2）,N（-l,l,0）,MN=2MP,則點尸的坐標為.

AC2

變式4.（2023春?高二課時練習）若4（3,2,4）、3（1,2,-8）,點C在線段AB上，且訪=§,則點C的坐

標是?

變式5.（2023?高三課時練習）若ABCD為平行四邊形，且已知點A（4』,3）、3（2,-5,1）、C（-3,7,-5）,則

頂點D的坐標為.

考點二：空間點的對稱問題

例2.（2023春?高二課時練習）在空間直角坐標系中，點（-2,1,4）關于X軸對稱的點坐標是（）

A.（-2,1,-4）B.（2,1,-4）C.（-2,-l,T）D.（2,-1,4）

變式1.（2023?全國?高二專題練習）已知點M,M2分別與點M（1,-2,3）關于x軸和z軸對稱,則新質=（）

A.（—2,0,6）B.（2,0,—6）C.（0,4,—6）D.（0,—4,6）

變式2.（2023春?江蘇常州?高二校聯考階段練習）已知點2,3）關于。孫平面的對稱點為8,而點3關

于x軸的對稱點為C,則|比卜（）

A.2710B.2^/13C.2^/15D.8

變式3.（2023秋?河北石家莊?高二石家莊市第十七中學校考階段練習）在空間直角坐標系。孫z中，P是坐

標平面xOy內一動點，M（4,2,2）,<2（7,5,4）,當歸河|+|「。|最小時尸的坐標為.

考點三：空間向量的坐標表示

［、］例3.（2023春?高二課時練習）已知點4（3,8,-5）,B（-2,0,8）,則向量項的坐標為.

變式1.（2023春?高二課時練習）已知｛?,1,斗是空間的一個單位正交基底，向量B=-5彳+2左用坐標形式可

表示為?

變式2.（2022秋.廣東廣州.高二校聯考期末）如圖，正方體。48C-。A耳G的棱長為2,Ee3艮且=2鶴,

A.（2,2,1）B.（2,2,2）C.（2,2,"D.|^2,2,1j

變式3.（2023?全國?高二專題練習）已知空間直角坐標系中，點A（-l,l,2）,B（-3,0,4）,若口=6,"與市

同向，則向量"的坐標為.

變式4.【多選】（2022秋?黑龍江大慶?高二大慶二中校考階段練習）已知四邊形ABCD的頂點分別是A（3,-1,2）,

8（1,2,-1）,C（-l,l,-3）,0（3,-5,3）,那么以下說話中正確的是（）

A.AB=(-2,3,-3)B.CD=(-4,6,-6)

C.AC的中點坐標為（-2,0,-1）D.四邊形45co是一個梯形

考點四：空間向量的坐標運算

4.（2022秋?北京豐臺.高二統考期末）已知2=（1,0,-1）,b=（2,1,1）,則2々—石=

變式1.（2023?全國?高二專題練習）向量M==（0,1,1）,c=（1,0,1）,2=（1,0,-1）中，共面的三個

向量是（）

A.a,b,cB.b,c,dc.孰a,江D.J,a,b

變式2.（2023秋.湖北?高二統考期末）已知向量益=（2,0秋）,K=（O,2,-l）,c=（3,4,m）,若向量心b,

章共面，則實數加的值為.

變式3.(2023秋?北京豐臺?高二北京市第十二中學校考期末)在空間直角坐標系中，已知三點

0(0,0,0),A(1,2,1),B(1,-1,0),若點C在平面0AB內，則點C的坐標可能是()

A.(-1,-1,3)B.(3,0,1)C.(1,1,2)D.(1-1,2)

變式4.【多選】(2023秋?遼寧葫蘆島?高二統考期末)已知在空間直角坐標系中，O為坐標原點，且

A(l,0,2),B(-l,l,l),C(3,l,2),則下列結論正確的是()

A.\AB\=3B.(AB+AC)BC=-1

—■1--1—.1—.__

C.AB±ACD.OP=-OA+—OB+—OC,貝I」尸，A,B,C四點共面

236

變式5.(2023春.重慶?高一重慶一中校考期中)下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是()

A.a=(l,O,O),^=(O,l,O),c=(O,O,l)

B.a=(l,l,O),5=(l,O,l),c=(O,l,l)

C.a=(l,l,2),5=(l,l,0),c=(1,0,1)

D.a=(l,l,l),^=(l,0,l),c=(l,2,l)

變式6.(2022?高二課時練習)在AASC中，若羽=(2,-2,0),AC=(4,2,-1),則從"(7是()

A.頂角為銳角的等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.頂角為鈍角的等腰三角形

考點五：空間向量的平行問題

(2022?高二課時練習)若Z=(2x,l,3),B=(l,-2y,9),且￡與石共線，求為y的值.

變式1.(2023春?高二課時練習)已知向量Z=(1,2,1),5=(3,2,2),且(心+楊//0-2楊，則實數上的值為

()

變式2.【多選】(2023秋.湖南衡陽.高二衡陽市田家炳實驗中學校考期中)與向量￡=(2,3,6)共線的單位

向量是()

—B.仔,"c/替馬碧

771）\J77；（777）777J

變式3.（2023秋?吉林長春?高二長春市第二實驗中學校考階段練習）已知空間兩點A（2,1,1）,8（3,2,

1）,下列選項中的，與/共線的是（）

A.；=（i，0,1）B.；=（2，1,1）C.；=（2，-2,0）D.；=（2,2,0）

變式4.（2022秋廣東江門?高二江門市第二中學校考期中汨知空間直角坐標系中，點4（-1,1,2）,3（-3,0.4）,

若口=6,且"與在反向共線，則"=.

變式5.（2022秋.福建泉州.高二福建省永春第一中學校考期末）在空間直角坐標系Oxyz中，A（2,l,l）,

*6,0,5）,C（0,c,4）,若四邊形Q4BC為平行四邊形，則b+c=.

考點六：利用坐標運算解決數量積問題

do例6.(2022?全國?高二專題練習)若42,"4,T),3(-1,5,1),C(3,~4,l),則無.麗=

()

A.-11B.3C.4D.15

變式1.(2022.高二單元測試)若向量￡=(2,1,-2),S=(6,-3,2),則70+2%.

變式2.(2023秋?廣東深圳?高二統考期末)已知向量1(1,1,x),%=(-2,2,3),若(21分很=1,則尤=()

A.-3B.3C.-1D.6

變式3.(2022秋?江蘇徐州?高二校考階段練習)在AABC中，A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).

（1）求頂點8,C的坐標;

⑵求

考點七：空間向量的垂直問題

例7.（2023秋?高二課時練習）已知￡=（1,0,—1）石=（1,一1,0）,單位向量5滿足日，則7=

變式1.（2023春?江蘇鹽城?高二鹽城中學校考期中）已知向量M=（2,l,2）石=（-2,x,l）,1=（4,3,2）,若

&±（5+c）,則x的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

變式2.（2022秋?廣東陽江?高二陽江市陽東區第一中學校考期中）已知向量￡=（2,-1,1）,B=若

2與5垂直，則卜+24=.

變式3.（2022秋?河南?高二校聯考階段練習）已知空間有三點4（2,0,-1）,8（0,4,1）,C（5,2,4）,若直線A3

上存在一點滿足?則點M的坐標為.

變式4.（2022秋?山東濟寧?高二統考期中）已知空間中三點4-2,0,2）,B（-l,1,2）,C（-3,0,4）,

設AB=a,AC=b-

⑴求向量2與向量B的坐標；

⑵若后+B與心-2石互相垂直，求實數%的值.

變式5.（2023?全國?高二專題練習）在空間直角坐標系中，若三點B（2,a,0）,C（l,a,-2）滿足

（AB-2AC）1BC,則實數a的值為（）.

Qa7

A.-B.1C.--D.——

222

變式6.（2023秋?河南南陽?高二南陽中學校考階段練習）已知長方體ABC。-中，AB=3,BC=4,

A4'=5，BP=ABC^若4尸，3。則4=（）

考點八：利用坐標運算解決夾角問題

例8.（2023.全國?高三對口高考）已知向量M=（l,2,3）石=（-2,-4,-6）,同=舊，若僅+小=7,

則@3=.

變式1.（2023春?重慶北倍?高二西南大學附中校考階段練習）已知。=（x,0,3）,方=（1,2,-L）1=（l,z,l）,

JjL露〃*，則萬與B+e的夾角為（）

71c兀-2-5

A.—B.—C.-71D.-71

6336

變式2.（2023春?江蘇?高二南師大二附中校聯考階段練習）若向量益=（1,九1））=（2,-1,-2）,且萬與石夾角

的余弦值為正，則X等于（）

6

A.-72B.6C.-0或④D.2

、［例9.(2023春?高二課時練習)若Z=(2,-l,4),B=(-l,r,-2),若Z與B的夾角是銳角，則/的值的取

值范圍為.

變式1.(2023秋.福建泉州.高二福建省泉州第一中學校考期中)點4(1,0,1),3(322),C(2+l,4,3),若

AB,衣的夾角為銳角，則力的取值范圍為.

變式2.(2023春?上海寶山?高二上海市吳淞中學校考階段練習)已知向量5=(1,1,0),1=(-1,0,2),若向量

方+后與2萬+5的夾角為銳角，求實數左的取值范圍_____.

變式3.(2023春?高二課時練習)已知空間中的三點P(-2,0,2),M(-l,l,2),N(-3,0,4),a=PM，b=PN.

⑴求APMN的面積；

⑵當初+B與初-25的夾角為鈍角時，求發的范圍.

變式4.(2023秋?高二單元測試)已知3(2,2,2)、C(3,2,4),則44BC的面積為.

變式5.(2023春?廣東佛山?高一佛山市南海區第一中學校考階段練習)長方體,AB=4,

4)=2,朋=岔，則異面直線A片與AG所成角的余弦值為()

A.1B.-C.-D.-

2555

變式6.(2023?河南洛陽?洛寧縣第一高級中學校考模擬預測)如圖四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為正方

形，且各棱長均相等，E是尸3的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為()

考點九：利用坐標運算解決距離問題

例10.(2023春?四川綿陽?高二四川省綿陽實驗高級中學校考階段練習)在空間直角坐標系。孫z中,

點A(-l,0,2),貝

變式1.(2022?全國?高二專題練習)若須=(-1,2,3),BC=(l,-l,-5),則|工卜)

A.45B.如D.10

變式2.(2022秋?上海徐匯?高二上海中學校考期中)設正四面體ABCD的棱長為1,點M、N滿足畫？=2MD，

CN=2NB，貝|||麗|=.

變式3.(2023秋?上海嘉定?高二上海市嘉定區第一中學校考階段練習)在空間直角坐標系中，

8(0/3),則網的最小值是.

變式4.(2022?高二單元測試)若A(x,5-x,2x-l),B(l,x+2,2-幻,當網取最小值時，x的值等于()

8819

A.19B.——C.-D.—

7714

變式5.(2022?全國?高三專題練習)在空間直角坐標系。-孫z中，已知A(T,0,2),8(0,1,-1),點C。分

—>

別在X軸，y軸上，且AD43C,那么C。的最小值是.

變式6.(2023春?上海寶山?高二統考期末)已知乙、石是空間互相垂直的單位向量，且同=8,己。=K3=2#,

則\s-mH-nb\的最小值是.

考點十：利用坐標運算求投影或投影向量

|例n.(2023春?高二課時練習)已知空間向量￡=(1,2,-3),則向量￡在坐標平面Oyz上的投影向量

是()

A.(0,2,3)B.(0,2-3)C.(1,2,0)D.(1,2,-3)

變式1.(2023春?湖北孝感高二校聯考階段練習)已知向量々=(1,3,0)3=(2,1,1),則向量￡在向量石上的

投影向量"=()

555555555

D.（2,4,4）

3,6,6

變式2.(2023春.江蘇宿遷.高二統考期中)已知向量M=(O,U),5=(1/,0),則向量日在向量,上的投影

向量為().

A.(0,-1,-1)B.(-1,0,-1)C.D?

變式3.(2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶市鳳鳴山中學校考階段練習)已知點

A(-l,l,0),B(l,2,0),C(-2,-l,0),r>(3,4,0),則須在而上的投影向量的長度為.

l]域真題演練f

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1.已知向量4=(1,0,-1),則下列向量中與4成60。的是

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.D.(-1,0,1)

2.已知向量之二(0,-1,1),5=(4,1,0),以萬+同=,且4>0,則2=

3.若向量2=(1,1,X),3=(1,2,1),2=(1,1,1)滿足條件6-芬2后一2,則尤=.

4.記動點P是棱長為1的正方體ABCD-A,BCD的對角線2,上一點，記黑=

XXX.當/"C為鈍角時,

5.如圖，在正四棱柱A3CQ-A46。中,AA=2,AB=1,點N是3c的中點,點M在CG上，設二面

角A-ON-M的大小為0.

G

M

C

(1)當夕=90°時，求AM的長；

(2)當cos8=逅時，求CM的長.

6

|]|過關檢

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一、單選題

1.(2023春?江蘇淮安?高二校考階段練習)已知點N(T-2,㈤，貝。癡=().

A.(l,-3,0)B.(-1,3,0)C.(1,-3,rri)D.(1,-3,m)

2.（2023?江蘇?高二專題練習）AABC三個頂點的坐標分別為4（-1,-2,11）,3（2,2,3）,。（4,-1,4）,則AAFC的

形狀為（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.正三角形D.直角三角形

3.（2023?全國?高二專題練習）如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=BC=BB'=2,AB1BC,D為

AB的中點，點E在線段C'Z）上，點/在線段班'上，則線段E/長的最小值為（）

A-fB.亭C.1D.后

4.（2023?全國?高二專題練習）已知。（0,0,0）,N（5,-l,2）,4（4,2,-1）,若麗=而，則點2的坐標為（）.

A.(—1,3,13)B.(9,1,1)

C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)

5.（2023春?福建寧德?高二校聯考期中）已知“1BC的三個頂點分別為4（3,1,2）,C（-l,-3,2）,

則BC邊上的高等于（）

A26口8石「4#N8A/6

3333

6.（2023春?福建寧德?高二校聯考期中）已知2=（2,3,-1）,5=（-2,1,4）,c=（2,2,2）,若Z,萬，之三向

量共面，則實數2等于（）

A.4B.5C.6D.7

7.（2023春?江蘇常州?高二常州高級中學校考階段練習）下列各組空間向量不能構成空間的一組基底的是

（）

A.（1,1,0）,（0,1,1）,（1,0,1）B.（3,0,0）,（1,1,2）,（2,2,4）

C.（1,2,3）,（1,3,2）,（2,3,1）D.（1,0,0）,（0,0,2）,（0,3,0）

8.（2023春?安徽合肥?高二合肥市第五中學校考期末）已知1=（1,2,1）,5=（2,-4,1）,貝1]2訝+6等于（）

A.(4,-2,0)B.(4,0,3)

C.(—4,0,3)D.(4,0,—3)

9.(2023?全國?高二專題練習)已知向量2=(-3,2,4),S=(l,-2,2),則力上()

A.2*710B.40C.6D.36

10.(2023春?寧夏固原?高二校考階段練習)已知福=(2,-1,3),=(-4,1,1),貝!J荏.而=()

A.-7B.-6C.-5D.-4

11.(2023春?江蘇常州?高二校聯考階段練習)若2=(-%),S=(2-x,0,3),且Z與B的夾角為鈍角,

則元的取值范圍是（）

1C.D.fp3jU(3,+°0)

A.B.—,+00

2

12.（2023春?寧夏中衛?高二中衛中學校考階段練習）已知向量）=（2,1,2）,b=（-2,x,2）c=(4-2,3),若

b±（a+c）,則x的值為（）

A.-2B.2C.-6D.6

二、多選題

13.（2023春?江蘇宿遷?高二校考階段練習）已知向量25=（2,-1,0）,c=（O,l,-2）,則下列結

論正確的是（）

A.70+@=4B,僅得@-@=-8

C.記Z與，二的夾角為。，則cosd=；D.若（。+到_Lc,則2=3

14.（2023春?福建莆田?高二莆田第十中學校考階段練習）已知空間向量G=（1,2,1）,B=（3,-2,1）,O=（T,4,T）,

則（）

A.|司="B.方萬忑是共面向量

C.albD.（a+b\c=W

15.（2023春.安徽合肥.高二統考開學考試）已知向量￡=（1,-1,0）3=（-1,0,1）1=（2,-3,1）,則（）

A.|a-5|=6B.（a+2方）?（方+c）=7

C.（a+5b\±cD.a//（b-c\

16.（2023春?江蘇淮安?高二校聯考期中）已知2=（1,1,-2）,b=（-2-2,4）,則（）

A.忖=#B.a-2b=（3,3,~6）

C.aVbD.a//b

17.（2023春?福建龍巖?高二校聯考期中）已知向量2=（m,2〃z,2）,b=（2m-5,-m,-l）,則下列結論正確的

是（）

[12

A.若allb，則m=2B.若％_1_3，貝打”