第01講平面向量的數量積及其應用5種常見考法歸類

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學習目標

i.理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積；

2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意義；

3.會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；

4.能用坐標表示平面向量的數量積、平面向量垂直的條件，會表示兩個平面向量的夾角;

［唾|基礎知識'

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1.向量數量積的定義

⑴向量的夾角：已知兩個非零向量a",。是平面上的任意一點，作漢=“，彷=以如圖所示)，則/AOB

仇0W把幾)叫做向量a與b的夾角.

(2)向量的平行與垂直：當。=0時，a與匕同向；當。=兀時，。與反向；如果a與方的夾角是5，我

們說。與6垂直，記作a_L6.

(3)向量的數量積：已知兩個非零向量a與方，它們的夾角為0,我們把數量|a物cos。叫做向量a與?的

數量積(或內積),記作。仍,即a0=|⑷步|cosO.

規定：零向量與任一向量的數量積為0.

2.向量的投影

(1)定義：如圖，設。，％是兩個非零向量，融=a,Ct=b,作如下的變換：過屈的起點A和終點8,

分別作瓦)所在直線的垂線，垂足分別為Ai,Bi,得到筋宓，則稱上述變換為向量a向向量B投影，所花叫

做向量a在向量b上的投影向量.

⑵計算：設與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為0,則向量a在向量b上的投影向量是|a|cos0e.

注：|a|cos6叫做向量。在Z,方向上的投影數量，當。為銳角時，它是正數；當。為鈍角時，它是負數;

當。為直角時，它是0.

3.平面向量數量積的幾何意義

a?萬的幾何意義：數量積a小等于。的長度與。在。方向上射影Slcos。的乘積.

4.向量數量積的性質

設a,是非零向量，它們的夾角是仇e是與入方向相同的單位向量，則

(1)a-e=ea=|a|cos0.

注：任意向量與單位向量的數量積等于這個向量在單位向量上的投影的數量.

(2)a_LZ>d》=0.

注：可用于解決與兩個非零向量垂直有關的問題.

(3)當a與辦同向時,a-b=\a\\b\；當a與辦反向時,。：=一|。||瓦特別地,a-a=\a\2^\a\=y[a^a.

注：當兩個向量的相等時，這兩個向量的數量積等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.

d?b

(4)cos6>=——(]a\\b\^0).

\a\\b\

注：夾角公式，實質是平面向量數量積的逆用，可用于求兩平面的夾角.

(5)|a。阿

注：可用于解決有關“向量不等式”的問題.

5.向量數量積運算的運算律

對于向量a,b,c和實數九有

(l)ab=ba；

(2)(2a)-ft=2(ab)=a(Ab)；

(3)(Q+B)C=QC+)C.

6.數量積的坐標表示

已知非零向量。=(再，％),%=(%，％)，。為向量。、b的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模\a\=yja-aIa卜:

數量積a-b^a\\b\cosOa-b=xix2+yiy2

c°sd=4

夾角

\a\\b\A2+y"?"后+￡

的充要

ab=O個2+%為=0

條件

?！ㄈ氲某湟?/p>

a-w0)X]%一%乂=0

條件

1。同與

區|a|傳|(當且1占%+M%W

\a\\b\

僅當a〃〃時等號成立)河+—?"￥+￡

的關系

7.數量積的有關結論

(1)(〃土方)2—〃2±2°仍+b2.

(2)(〃+b)\a—b)=a2—b2.

(3)層+方2=0毋=0且b=Q

T弱解題策略

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1、向量數量積的求法

(1)求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩個向量的夾角是求數

量積的關鍵.(注：兩向量的夾角要共起點且夾角的范圍為［0,用)

(2)根據數量積的運算律，向量的加、減與數量積的混合運算類似于多項式的乘法運

算.

2、求向量模的一般思路及常用公式

(1)求向量模的常見思路

(2)常用公式

@(a-b).(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2；

(2)|a+b|2=(a±b)2=a2±2a-b+b2.

3、解決向量垂直問題一般思路

解決向量垂直問題常用向量數量積的性質=0.這是一個重要性質，對于解平面幾何圖形中有

關垂直問題十分有效，應熟練掌握.

4、求向量a,b的夾角。的思路

(1)求向量的夾角的關鍵是計算a-b及|a||b|,在此基礎上結合數量積的定義或性質計算cos0=儒,最

后借助0G[0,71],求出6值.

(2)在個別含有|a|,|b|與a-b的等量關系式中，常利用消元思想計算cos6的值.

5、解決向量投影問題應注意以下三點

(1)向量a在b方向上的投影向量為|a|cos6e(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共

線，其方向由向量a和b夾角0的余弦決定.

(2)向量a在b方向上的投影向喘春

(3)注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示

為|b|cos端

6、數量積的坐標表示

設。=(?,%),b=(%yi),則

?a-b=x\xi+y\y2\a2=xi+yi；|〃|=(看+=.

②〃_LbGi%2+yiy2=0.

③|%iX2+%y2Kd4+yh/人+曾

④設。是Q與)的夾角，則

a,b%1」+男丁2

C°S⑷網.一+的.+4

Q考點剖析

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考點一：平面向量的數量積運算

已知向量祝方滿足I引=2,出1=5,且々與5夾角的余弦值為g,貝U(M+25).(3日一方)二(

A.—28B.-18C.12D.72

【答案】A

【分析】運用平面向量的數量積運算可求得結果.

【詳解】因為|刈=2,出1=5,且乙與5夾角的余弦值為g，

所以卜+2孫（34-5）=3問2+5￡/-2,=3乂22+5乂2*54-2乂52=-28.

故選：A.

變式1：已知￡,人工均為單位向量，&a+2b=3c，則￡?"=（）

114

A.—B.—C.1D.一

333

【答案】C

【分析】將原等式轉化為￡-3"=2九平方后化簡即可求解.

【詳解】,「a+2B=3c,「.a—3c=2九「.（M—33=（25），.二7—6￡.1+9丁=4片,

a?b，c均為單位向量,二.1一6〃,。+9=4,:.ac=l-

故選：C

變式2：已知同=2,忖=3,萬與石的夾角為60。.求：

（1）75；

⑵（3萬-6）,萬+6）；

（3）12萬-耳,

【答案】⑴3

⑵T

⑶店

【分析】（1）根據平面向量數量積的定義即可得到答案；

（2）將式子展開化簡，結合向量Z石的模和數量積即可得到答案;

（3）先將忸-耳化為“21耳,進而展開化簡可得答案.

【詳解】（1）因為同=2,|0=3,M與方的夾角為60。，

所以。.匕=2X3XCOS600=3:

（2）由⑴3%=3,

所以（2H）.R+3B）=-3片+5—6=2x22-3x3?+5x3=-4；

(3)由(1)a-b=3f

所以忻-W=J(2W詢2=\l4a+b-4a-b=V16+32-12=A/13.

2.在邊長為6的正AABC中，若點￡）滿足麗=2比，則而?冊=

【答案】6

【分析】以：W、羽作為一組基底表示出而、BC，再根據數量積的運算律計算可得.

11r\1

［詳解］因為麗=2友，所以而=E+而=衣+§函=/+§（通—芯）=§芯+§適,

BC=AC-AB，

所以而反=1|玄+；呵西—砌=|k_；而.eg宿

=新2T同.碎osNBA*網2

2111

=—x629——x6x6x------x692=6.

3323

故答案為：6

變式1：在AABC中，C=90。，點。在AB上，AD=3DB，|CB|=4,則屈.①=（）

A.8B.10C.12D.16.

【答案】C

【分析】用而,麗表示出前，從而根據數量積的定義及題中條件C=90。和|Q|=4可求出而?①的值.

【詳解】在AABC中，因為詬=3成，

所以麗=畫+而=百+_而=a+_怎+函=_回+_麗，

4444

所以C3CO=C5（—CA+—C5）=—C4C5+—C5=0+-\CB\=12.

4444411

故選：C.

變式2：已知等邊的邊長為3,Q是邊AB上的中點，則市?（麗+配）=

【答案】-49

4

【分析】根據平面向量加法的幾何意義，結合平面向量數量積的定義進行求解即可.

【詳解】因為。是邊AB上的中點，

所以麗=；（場+而）n比=_g（E+聞）=g（/+而），因止匕

nA.（DB+DC）=--AB-flAB+-AC+-BcV--AB-AC=--x3x3xl=-^,

',2（222）2224

9

故答案為：

4

變式3：在AABC中，AB^AC,AD是2c邊上的中線，且3c=4,AD=3,則通.而=（

A.-5B.5C.-8D.8

【答案】B

【分析】由題意，根據三角形的性質，結合向量的加法幾何意義以及數量積的運算律，可得答案.

【詳解】由題意如圖所示：

由所以而.成=0,而.礪=0

又A5=AC,所以。為3c的中點，

所以BO=r>C,BC=2,

2

所以麗.衣=（而+西.回+配卜而2=9-4=5,

故選：B.

立例3.UU1U__k

在平行四邊形ABC。中，若AC=（1,4）,AB=（2,3）f則而.而的值為（）

A.1B.5C.-1D.-5

【答案】A

【分析】根據向量加法與減法的坐標運算求出而和麗的坐標，再根據數量積運算即可求解.

【詳解】因為/=荏+亞，所以拓=*一通=（-1,1）,從而而=而一通=（一3,-2）,所以

AD-BD=-lx-3+lx-2=l.

故選：A

變式1：在邊長為3的正方形ABC。中，點E滿足區=2麗，則衣?瓦=（）

A.3B.-3C.-4D.4

【答案】A

【分析】建立直角坐標系，寫出相關點的坐標，得到衣，DE，利用數量積的坐標運算計算即可.

【詳解】以2為原點，BC,瓦1所在直線分別為無，y軸，建立如圖所示直角坐標系，

由題意得A（O,3）,E（1,O）,C（3,O）,D（3,3）,

所以前=(3,-3),DE=(-2,-3),

所以衣.詼=3x(-2)+(-3)x(-3)=3.

故選：A.

變式2：在邊長為2的正三角形ABC中，AD=^DB,CE=EB,則通.歷=（）

9339

A.——B.-C.——D.-

4224

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標系，得到向量的坐標，利用數量積運算求解.

【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標系：

則A(0,6),磯一1,0)設0(%y),則蒞=［，y-百)，麗=(-1_X,_y),

—.1.

因為A￡)=1O5,

111

x=--------xX=——

334j_3忖

所以1解得即。9

364~

y―石---y

貝匣=（0,_@,鼻匕3⑻

―■—■9

所以AE-DE=—,

4

故選：D

變式3：【多選】如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,AD±AB,AB=2AD=2CD=2,E是BC的

中點，則（）

.1?1.1.

A.AEBE=——B.EB=-AB——AD

242

—?3—，1—?

C.ACBC=0D.AE=-AB——AD

42

【答案】ABC

【分析】建立平面直角坐標系，得到點的坐標，利用坐標法計算可得.

【詳解】如圖建立平面直角坐標系,則4(0,0),8(2,0),0(0,1),E141

,正確;

對B,麗=：，-；，1AB-1A5=1（2,0）-1（0,1）=1,正確;

\乙乙J乙乙\乙乙J

對C,AC.BC=（l,l）.（-l,l）=O,正確；

對D,通=仔;），萍-;赤=%2,0）一如1）=住錯誤.

\乙乙J乙I*乙\乙乙J

故選：ABC.

AB=2DC,作AC于點X.若DH=2,則麗.礪=()

A.9A/3B.10C.1172D.12

【答案】D

【分析】設AC與8。交于點。，由已知可得麗=3而，則兩?麗=麗-3麗，且麗.皮二麗?即可求

結果.

【詳解】設AC與2。交于點。，因為通=2或，所以麗=3麗.

又Df/LAC于點〃，且DH=2,

所以麗?加=|說|皮卜（?2308=麗2=4,

所以而濟=麗.3前=3x4=12.

故選：D

變式1：如圖，已知正六邊形ABCDEF邊長為1,點尸是其內部一點，（包括邊界），則AP.AC的取值范

圍為______

【答案】[0,3]

【分析】易得".六=網?|相?COS（Q,衣）=若網.8$（衣,衣），再由網.COS（衣,正）表示而在

衣上的投影求解.

【詳解】解：由正六邊形的性質得：ZBC4=ZBAC=30°,

貝UAC=2xlxcos30°=6，ZC4F=120o-300=90%

A?-AC=|A?|-|AC|-cos（AP,AC）=退網.cos（3?,AC^,

而-cos（而，正）表示Q在衣上的投影，

當點尸在C處時，投影最大為G，當點P在尸處時，投影最小為0,

I1III1UUII1r

所以AP-AC的取值范圍為r[。，3],

故答案為：[。,3]

變式2：在邊長為2的正六邊形ABCOE尸中，點尸為其內部或邊界上一點，則通.而的取值范圍為.

【答案】[-U2]

【分析】利用數量積的幾何意義去求布.麗的取值范圍即可解決.

【詳解】正六邊形ABC。所中，過點2作班」AD于玄，貝小砌=4,|匹卜3,碎卜1

茄.麗=畫.網cos（亞，麗）

又T正,Wis,而卜os（亞，而）s礪,西

即-由通,麗際（亞，麗號12,故而.而的取值范圍為[-4,12]

故答案為：[T12]

考點二：平面向量的垂直問題

已知向量4==（―2,3）,若（依+B）J_（萬—5）,貝！］左=.

【答案】一…

【分析】由數量積等于0并結合數量積的坐標運算公式即可求解.

【詳解】由題意可得他+5=（左一2,2左+3）5=（3,—1）,

因為（熠+B）（6-5）,

則（跖+6）=3（左一2）—（2%+3）=0,解得左=9.

故答案為：一:

4

變式1：已知。為坐標原點，4（1,2）,B（m,6）,若況則實數機的值為.

【答案】-7

【分析】由題設得況=（1,2）,旗=（利-1,4）,應用向量垂直的坐標表示列方程求參數值即可.

【詳解】由題設函=（1,2）,荏=（加-1,4）,又重，荏,

所以況?通=機一1+8=0，可得加=-7.

故答案為：-7

變式2：已知向量＞=（2,1），b=（m,-3）＞若，-辦］，。，則實數加=（）

A.—6B.6C.TD.4

【答案】D

【分析】根據平面向量坐標的加減法運算，及向量垂直的坐標表示，即可求出機.

【詳解】由題可知,a=（2,1），b=（m,-3）＞

則tz-6=（2,1）-（/n,-3）=（2-肛4）＞

由于則（a_6）a=0,

即：2x（2-m）+4=0,解得：m=4.

故選：D

變式3：設向量a=(3,3),b=(1,-1),如果(>+與)_L(a-4),A>0,那么彳=()

A.2B.73C.3D.9

【答案】C

【分析】根據向量的垂直關系得到向量的數量積為0,再將1"分別用坐標表示出來，最后根據

坐標形式下的向量垂直對應的關系式求解出2的值.

【詳解】因為（￡+2石）_L（d-25）,

所以（a+旎）.（a-4）=0,

因為。=（3,3）,B=（l,-1）,

所以Z+"=（3+Z3-/）,Z-/lB=（3-Z3+/l）,

所以9-矛+9-；［2=0,

所以九=±3,

又4>0,

所以/I=3

故選：C

變式4：已知向量Z,B的夾角為‘且問=退『3,若（二+*2,則八.

【答案】=##-0.5

【分析】根據已知可得（4Z+石）工=0,代入即可求得丸的值.

【詳解】由已知可得，問=3,B卜百，7石=耶卜os^=3x百=}

因為（2a+可±a,所以卜〃+孫a=/La?+〃.6=0,即9/l+g=0,解得;I=一；.

故答案為：-;.

考點三：平面向量的模長問題

6.已知向量的夾角為30。任=石炳=3,貝42〃+@=()

A.5/5B.屈C.則D.7

【答案】C

【分析】根據向量的數量積的定義及運算性質求解.

【詳解】因為向量"的夾角為30。，同="W=3,

所以|2Z+B『=4|￡|2+||『+47B=12+9+4X^X3X#=39,

所以|2%+4=病.

故選：C

變式1：已知向量6=(2,3),力=(3,2)，則|22-昨()

A.y/2B.2C.717D.50

【答案】C

【分析】求出2之-石=(1,4),求模即可.

【詳解】???萬=(2,3),力=(3,2),???2力=(1,4),

|2a-5h>/l2+42=A/17.

故選：C.

變式2：已知向量Z=(2,0),b=(1,2),且(Z-3郎/(22+間(左eR),則悔+網為()

A.2歷B.4A/37C.2761D.4^61

【答案】A

【分析】首先求出Z-3B、22+0的坐標，再根據向量共線的坐標表示得到方程，求出參數%的值，最后根

據向量模的坐標表示計算可得.

【詳解】因為2=(2,0),5=(1,2),所以2-31=(-1,-6),

2a+kb=2(2,0)+左(1,2)=(4+左,2左),

又(2—31)〃(2￡+左3),所以一1x2左=-6x(4+左)，解得左=一6,

所以2%+左石=(-2,-12),則卜2+kb\=J(-2)2+(-121=2737.

故選：A

變式3：若平面向量扇5了兩兩的夾角相等且不為0,且向=M=1,同=4,貝m+B+W=

【答案】3

【分析】首先確定苕出忑兩兩的夾角為g,根據平面向量數量積的定義和運算律可求得卜+5+，，進而可

得卜+B+W.

【詳解】???苕,5忑兩兩的夾角相等且不為o,.?2,5忑兩兩的夾角為莖，

7*112兀I一一.7?一,1/2兀_

/.a'b=lxlxcos——=——,a'C=b-c=lx4xcos——=-2,

323

/.^a+6+c|=|同之+|同+|c|2+2a-B+2b-c+2a-c=l+l+l6—I—4—4=9,

/.++c|=3.

故答案為：3.

7.已知向量〃=（2,-3）,^=（4,m）,若卜+21=/-2,則機=.

【答案】I

【分析】根據向量模的展開計算，得出7B=o,從而進一步利用向量的線性計算求解.

【詳解】因為|a+2b\=\a-2^,

所以忖+2甲=衿2甲，

所以（2+25y=（萬一25）1

所以無+410+4/=62一4萬石+452,

所以=0，

所以（2,-3）-（4,加）=8-3加=0,

解得機=|,

Q

故答案為：I

變式1：已知向量Z,D滿足Z=(T2),U(x,l),|?+5|=3,則實數x=.

【答案】1

【分析】根據平面向量的坐標的線性運算求得N+B=(-l+x,3),根據向量的模的坐標運算列方程即可得實

數x的值.

【詳解】解：己知向量方，石滿足2=(-1,2),U(%,1),所以M+B=(-1+X,3),

則卜+5|=|(-1+x,3)|=J(-1+x)-+3。=3,解得尤=1.

故答案為：1.

變式2：已知向量Z=(x,4),&=(-1,1),若忖+囚=歸-1，貝口的值是()

A.2B.-2C.4D.T

【答案】C

【分析】直接求出Z+B與；一方的坐標，根據模相等即可解得X的值.

【詳解】由已知可得，Z+石=(x-1,5),力=(x+l,3),

因為|2+@=忖-@,所以去_1)?+52=&+1)?+32,

解得，x=4.

故選：C.

F例&

已知平面向量獲滿足同第=1,則忖+b\的最小值為

【答案】0

【分析】根據數量積的定義確定的范圍，在根據向量模與數量積的關系可得B+q的范圍，即可得B+q

的最小值.

【詳解】解：因為平面向量￡石滿足同咽=1,又伍駐[0,可，

所以=|?|-|5|COSa,b=Ixlxcosfl,^=cosa,bG[-1,1],

則忖+,=J(G+5)=心2+方2+2萬石=也+2灑5,由1,1],則2+2。/e[0,4],故卜+5卜[0,2],

貝胞+目的最小值為0.

故答案為：0.

變式1：已知向量石的夾角為60°,且|石|=2|2|=2,貝U|萬+石|QeR）的最小值是.

【答案】叢

【分析】|扇+司="￡+為2,展開計算得|應+」|=J（t+l）2+3,根據J?+l）2+3..后,則得到其最小值.

【詳解】\ta+b\=?^（Ja+b'y=+2巾帆.cos60。+1=〃+2t+4=?+1）。+3.

因為1+1）2..0,所以4+1＞+3..后,當且僅當/=-1時取等號，

所以|扇+印..市，則|耳+~的最小值是行

故答案為：73.

變式2：已知向量5的夾角為60。，（-力|=2括，則同+2忖的最大值為（）

A.35/7B.4近C.5近D.6幣

【答案】B

【分析】設同+2欠=左（左＞0），由已知條件得那-向響+,=12,把等式改寫為關于舊的方程，方程有

解，判別式A20,可求同+2網的最大值.

【詳解】向量方，5的夾角為60。，收-1|=2若，

1rh2rrrr內,rpm\Ya

則有〃=a2-lar-b+h1=\ar\9—2時?〃cos60°+〃=\ar\9―r同?〃+〃=12,

設同+2問=左（左＞0）,同=1_2跖

（左一21『一3一2?。?曬+伸=12,即7忖2_5刷+產_12=0,問存在，方程有解，

貝情△=25/-28（/-12”0,解得0＜心4J7,則同+2例的最大值為46

故選：B

考點四：平面向量的夾角問題

9:在&鉆C中,AB=y/3BC=1,AC=2,。是AC的中點，則彳方與前的夾角為

【答案】120°

【分析】根據向量的夾角的定義求解.

【詳解】如圖，A/WC中，AB2+BC2=AC2,所以/ABC=90。，而BC=1,AC=2,所以

A=30°,C=60°,。是AC的中點，則AD=OC=3。，ZADB=120°,

所以而與麗的夾角等于ZADB=120°.

故答案為：120。.

變式1：設［⑼),小,一當，則向量B的夾角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根據題意和平面向量的幾何意義與數量積的坐標表示求出同,W，初，結合平面向量的數量積的定

義計算即可求解.

【詳解】由題意知，

設1與B的夾角為。，0<6><180°

cos八%」

硼2

所以e=60.

故選：B.

變式2：已知向量+B=(l,0),a-b=-2,則向量與石的夾角為

2兀

【答案】y

【分析】由76=-2可得x,a+b，后由向量夾角的坐標表示可得答案.

a+bj-b

【詳解】a-b=-2=>x+1=—2=>x=-3,貝U〃+〃=(―,貝ljcos又

\a+b\\b\2

,+B,4G[0,可，則?+3,g

2兀

故答案為：y.

變式3：若非零向量滿足2同=忖=2,0-2?_1_鼠則向量￡與3夾角的余弦值為（）

A.-B.4C.-D.-

4234

【答案】D

【分析】求出同=1，W=2,根據"24，￡可得（"24a=0,代入化簡求解夾角余弦值即可.

【詳解】設）與石的夾角為。，

因為2時=W=2,0-2?_L鼠所以忖=1,W=2,

:.^a-2b^-a=a2—2|a||/j|cos^=0.

故選：D.

變式4：已知I那=2,向量不在向量方上的投影為百，則1與5的夾角為（）

,71_71_2兀_71

A.-B.-C.—D.一

3632

【答案】B

【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出Z與石夾角的余弦值，即可得出夾角大小.

【詳解】記向量萬與向量B的夾角為，，

:也在5上的投影為冏cosO=2cos。.

?.N在5上的投影為占，

.V3

..COSu-----，

2

V^e[0,7i],

故選：B.

已知向量Z=（2,0）,b=[x,2^3）,且￡與后的夾角為則為=

【答案】-2

【分析】依據向量數量積列出關于x的方程，解之即可求得尤的值.

【詳解】向量2=（2,0）,%=1,2若），則同=2,M=6+12

又￡與B的夾角為g，則2x+0x2石=2&2+12*[￡|=一6+12<0,

解之得九=-2或％=2（舍）

故答案為：—2

變式1：已知向量1=。/），S=（i,o）,"=〈〃,石〉二區。〉，則丸=

【答案】-1##-0.5

2

【分析】根據平面向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】因為向量aB=。,。），c=Aa+b?

所以c=（X+l㈤,因為〈￡,方〉=〈瓦2〉,

a-b_b-c1_2+11

22222

所以有同響|5|-|c|Vl+1xllXiy（2+l）+A;

故答案為：-;

11.已知）=（1,2）,石=（x,4）,若2與B的夾角是銳角，則實數x的取值范圍是

【答案】（-8,2）U（Z”）

【分析】由￡0>0,求得%>-8,再設￡=4，求得X=2,進而得到X的取值范圍.

【詳解】因為向量）=（1,2）,B=（尤,4）,

由。?石>0，可得=lxx+2x4=x+8>0，角星得％>—8,

設2=4,可得（l,2）=X（x,4）,即，J。，解得尤=2,此時向量￡與萬共線,

4/L=2

所以當％與B的夾角是銳角時，貝U滿足一8Vx<2或x>2,

所以x的取值范圍是（-8,2）U（2,-）.

故答案為：（-8,2）U（2,y）.

變式1：已知向量商=（》-1,2）方=（2,4）,貝『”>-3”是“￡與石夾角為銳角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據向量數量積的定義及坐標表示，由題設條件間的推出關系，結合充分、必要條件即可得答案.

【詳解】由題設：商石=|同WgsR,5）=2尤+6

當尤>-3時，a-b>0，伯力O.?，注意當尤=2時，,0=0,故充分性不成立.

當日與B的夾角為銳角時，無方=同忸際（萬，可=2x+6>0,解得無>-3.

故必要性成立.

故選：B.

變式2：已知平面向量2，B滿足同=1，W=2,（〃+2萬）.（2々-6）=—3.

（1）求夫

（2）若向量B與彳Z+B的夾角為銳角，求實數幾的取值范圍.

【答案】（1）5（2）（T,O）U（O,E）.

【分析】（1）由給定條件求出再根據向量模的計算公式即可得解；

（2）根據向量夾角為銳角借助數量積列出不等關系即可作答.

【詳解】（1）依題意，（a+26）.（2a-6）=2a-a-b+4ab—lb=3（?-Z?—6=—3,得a.B=1，

|a—Z?|=—="^a+b^-2a-b=Jl+4-2=\/3，

所以忖_,=4；

（2）由向量B與翁+B的夾角為銳角，可得址+5）>0,即有2+4>0,解得4>-4,

而當向量5與癡+B同向時，可知a=0,

綜上所述％的取值范圍為（yo）u（o,4w）.

變式3設兩個向量混滿足同=1,W=2.

（1）若（20-后）.（°+5）=-3,求°,B的夾角6；

⑵若Z出的夾角為60。，向量2肩-石與2Z+用的夾角為鈍角，求實數I的取值范圍.

【答案】（1）120。

⑵—1</<1

【分析】（1）根據數量積的運算律求出7B，再求出COS。，即可得解；

（2）由向量2扇。與2Z+用的夾角為鈍角，可得（2近-今（2￡+用<0,注意排除相反向量這一情況.

【詳解】⑴解：由（2日詢卡+5）=-3,得2^+a-b-b=-3^

又Q2=1,//=4,所以〃?/?=_],

ca-b1

所以cos”雨二一5,

又因為0°<^<180°,

所以￡石的夾角為120°；

（2）解：由已知得a.B=lx2xcos6（）o=l，

貝lj（2方〃-Z?）?（2a+tb）-4%Q+2t?a?b—2a,b—tb—2產—2,

因為向量2/Z-B與y+用的夾角為鈍角，所以25—2<0,解得-lv/vl,

設2瓶-石=丸（2々+"）,4<0,

2t=24

則V-1=〃，無解，故兩個向量的夾角不可能為180°,

A<0

所以向量-石與2〃+后的夾角為鈍角時，才的取值范圍為-1<%<1.

考點五：平面向量的投影、投影向量

已知向量Z=(1,O),石=(百,1),則另在Z方向上的投影是

【答案】出

【分析】根據向量投影的知識求得正確答案.

【詳解】石在2方向上的投影是背=乎=6

故答案為：73

變式1：已知點4-1,1),8(1,2),C(-2,-D,0(3,4),則向量通在前方向上的數量投影為

【答案】述

2

【分析】先求得向量福，麗的坐標，再根據數量投影的定義即可求得答案.

【詳解】AB=(2,1),CD=(5,5),

甌①2x5+lx53志

所以向量而在麗方向上的數量投影為|CD|一J25+25-2

故答案為：當.

變式2：設平面向量另滿足問=12,b=(l,2y/2),￡4=18,貝監在Z方向上的投影向量為(

1f1-1一1一

A.—〃B.—bC.—aD.—b

8822

【答案】A

【分析】直接利用投影向量的計算公式求解.

【詳解】解：...口=12,5=(1,2A/2),a-b=18

a-ba181-1-

.?力在z方向上的投影向量=口,口=歷?日??〃二§”.

故選：A.

變式3：已知非零向量石滿足同=2帆=2,且(2溝點則向量石在向量讓的投影為

【答案】g##0.5

【分析】根據向量數量積的性質由R-5可得￡Z=片，再根據投影的概念計算即可.

【詳解】解：因為R-卞，石,所以=a-b-b"=Q,所以￡%=片，又忖2忖=2,

所以向量石在向量Z上的投影為BCOS6=等

故答案為：y.

變式4：已知Z=（l,百），b=（3,m）.若B在％方向上的數量投影為3,則實數

【答案】叢

a-b.

【分析】由萬在々方向上的投影為瓦=3,代入計算即可得到答案.

【詳解】由題意知，a-b=3+\/3m,忖=Jl+3=2

a-ba-b3+6m。

因為方在2方向上的投影為開，所以可=一^=3,解得根=6.

HH2

故答案為：出

[^2]例13.已知向量|加=2,且|：-2'=而，則B在Z方向上的投影向量為（）

1--1-1_

A.—aB.—aC.-QD.—a

4488

【答案】D

【分析】根據向量的線性運算可得|【2方|2=7_4￡3+4片=10,可求得7石=弓，即可利用投影向量得出

答案.

【詳解】V|a|=2,|S|=1,且|[2"=癡,

\a—2b|2=a—4a-b+4b=10?

一一1

4—4rz-Z?+4=10,Cl'b=,

2

???5在，方向上的投影向量為1引8$<2]>?=|引￡^-二=絲日=-1日，

故選：D.

變式1：已知忖=1,慟=3,忖-?=4,則向量￡在向量B上的投影向量為.

【答案】-：6##上

33

【分析】由題知2出=-3,進而根據投影向量的概念求解即可.

【詳解】解：因為同=1相=邛一q=4

所以卜-0=忖-2a-^+|z>|=l-2a-b+9=16,解得。石=—3，

bci,b—3-1―

所以，向量z在向量加上的投影向量為■匕

故答案為：

變式2：已知向量2=(-2,⑷出=(1,1),且則幾=,1刃在后方向上的投影向量的坐標為

【答案】2(-1,一1)

【分析】①根據平面向量垂直的判定條件求解力的值即可；

②首先根據投影的計算公式求出各在B方向上的投影，進而求出工一了在后方向上的投影向量.

【詳解】①已知。=(一2㈤,=(1,1),由于Z_LB，所以Z%=(-2)xl+；lxl=0,解得幾=2；

②由①知:a=(-2,2),b=(l,l),得％-石=(-3,1),

則(a_4-B=(-3)xl+lxl=—2,忖=+『=^2,

(a-b\-b_2r

故在石方向上的投影為-夜，

得:與在石方向上的投影向量為平J=(T-1).

故答案為：2；(-1,-1)

|］域真題演練、

----------------------illllllllllllllllllllllllllllllllllllllll------------------------

1.已知向量最滿足|。|=1,|||=后,|?！?1|=3,則［石=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據給定模長，利用向量的數量積運算求解即可.

【詳解】解：,：\a-2b\2=］a\2-4a-b+4\b^,

又???|菊=1,|5|="|4-25|=3,

；.9=1-4限方+4x3=13-4無5，

??d'b=\

故選：C.

2.已知向量Z=(2,1)石=(-2,4),貝UR-4()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得1方，然后求得人心

【詳解】因為坂=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以歸一q=歷而=5.

故選：D

3.已知向量Z=(3,4),方=(l,0),2=a+力，^<a9c>=<b,c>,則力=()

A.—6B.—5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得

,、,、/、9+3/+163+%

【詳解】解：c=(3+r,4)