專題08塞函數與二次函數

【考點預測】

1.幕函數的定義

一般地，y=x"(aeR)(a為有理數)的函數，即以底數為自變量，募為因變量，指數為常數的函數稱為

累函數.

2.累函數的特征：同時滿足一下三個條件才是暴函數

①r的系數為1；②/的底數是自變量；③指數為常數.

(3)基函數的圖象和性質

3.常見的募函數圖像及性質:

y=x￡

23

函數y=xy=xy=x^y=1」

yy

圖象/V

/O4-X0x

定義域RRR{x|x>0}{x\x^0]

值域R{yly>0）R3”0}{y|"0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在R在(-以0)上單在(—CO,0)和

在R上單在［0,+8)上

單調性上單調遞調遞減，在(。，+°°)(0,+s)上單調遞

調遞增單調遞增

增上單調遞增減

公共點（1，1）

4.二次函數解析式的三種形式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c(a0)；

(2)頂點式：/(x)=?(x-m)2+n(a*0)；其中，為拋物線頂點坐標，x=機為對稱軸方程.

(3)零點式：/(x)=?(x-x1)(x-x2)(a*0),其中，為9是拋物線與x軸交點的橫坐標.

5.二次函數的圖像

二次函數/。)=取2+"+式。/0)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為X=-3，頂點坐標為

2a

b4-ac-b2

(i)單調性與最值

bb

①當〃>0時，如圖所示，拋物線開口向上，函數在(-8,——］上遞減，在［———,+8)上遞增，當

2a2a

X=—2時，/(x),J。。-J②當a＜0時，如圖所示，拋物線開口向下，函數在(—00,—2］上遞

2a4。2a

工.—b、?“bq”、4ac-b2

培，在［----,+00)上遞減，當％=----時，；/(%)max=?

2a4a

當A=Z?2一4ac＞。時，二次函數/(x)=g?+bx+c(aw0)的圖像與x軸有兩個交點”］(Xi，0)和

M、(x9,0),IMyMr,|=|玉—1=J(無］+%)2-4%］%2=———.

"-\a\

6.二次函數在閉區間上的最值

閉區間上二次函數最值的取得一定是在區間端點或頂點處.

對二次函數/(》)=奴2+法+c(qwO),當。＞0時，/(%)在區間［p,4］上的最大值是拉，最小值是

m,令/=，?：

b

(1)右一~Wp,則機=/(p),M=/(q)；

2a

bb

(2)右p＜一二＜%o，則冽=/(一二),M=/(q)；

2a2a

bb

(3)若％o4一丁＜夕，則加=/(一丁),"=/(〃)；

2a2a

b

(4)右-＜則wi=/(4),/=/(p).

2a

【方法技巧與總結】

1晶函數y=x"(ae&在第一象限內圖象的畫法如下：

①當a＜0時，其圖象可類似y=x-畫出；

②當0＜"1時，其圖象可類y似-x畫出；

③當時，其圖象可類似y=Y畫出.

2.實系數一元二次方程以2+6%+。=0(4彳0)的實根符號與系數之間的關系

A=Z?2-4ac>0

(1)方程有兩個不等正根%,4ob_

%/=--〉U

a

c

XjX=—>0

2a

A=b2-4ac>0

(2)方程有兩個不等負根為4b八

%+/=--<。

a

xx=—>0

{2a

方程有一正根和一負根，設兩根為XpMO=—<0

a

3.一元二次方程以2+6x+c=0（。w0）的根的分布問題

一般情況下需要從以下4個方面考慮：

b

（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸光=——與區間端點的關系；（4）區間端點函數值的正負.

2a

設看,%為實系數方程ax2+bx+c^0（?>0）的兩根，則一元二次ax2+bx+c^0（。>0）的根的分布

與其限定條件如表所示.

A>0

b

V----<m

2a

x<x<m

12J工/(m)>0

y

A<0

mnx

八y

A=0

Z\L

xl=x2<m

或X]=x2>m

I0m?X

二A>0

b

<-----<m

\2a

在區間(m,n)f(m)>0

內

沒有實根

yA>0

b

----->n

\\/:2a

/W>0

\iy?

4mn;x

7(m)<0

V

/(?)<o

（1）要熟練掌握二次函數在某區間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題一動軸定區間

和定軸動區間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區間兩個端點和區間中點，一軸指對稱軸.即注意對對

稱軸與區間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：①軸處在區間的左側；②軸處在區間的右側；③軸

穿過區間內部（部分題目還需討論軸與區間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論.

（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區間端點函數值

正負.

【題型歸納目錄】

題型一：幕函數的定義及其圖像

題型二：塞函數性質的綜合應用

題型三：二次方程以2+為：+。=0（0/0）的實根分布及條件

題型四：二次函數“動軸定區間”、“定軸動區間”問題

【典例例題】

題型一：幕函數的定義及其圖像

例1.（2022?全國?高三專題練習）幕函數〃。=（*-2加+1）/2在（0,+句上為增函數，則實數加的值為

（）

A.-2B.0或2C.0D.2

例2.（2022?全國?高三專題練習）已知嘉函數J（p,q￡Z且p,q互質）的圖象關于y軸對稱，如圖

y-x

所示，貝!I（）

A.p,q均為奇數，且2＞0

B.q為偶數,p為奇數，且“＜。

q

c.g為奇數，P為偶數，且￡＞。

q

D.q為奇數，p為偶數,且/＜。

例3.（2022?海南?文昌中學高三階段練習）已知幕函數/（x）=x"（aeR）過點4（4,2）,則/（：）=.

例4.（2022?黑龍江?哈九中高三開學考試（文））已知事函數〃尤）的圖象過點（-8,-2）,且〃a+l）4-”4-3）,

則a的取值范圍是.

例5.（2022.全國?高三專題練習）如圖是募函數y=B（況＞0,=1,2,3,4,5）在第一象限內的圖象,

其中aj=3,a2=2,oo=l,%=1，%=!，已知它們具有性質：

23

①都經過點（0,0）和（1,1）；②在第一象限都是增函數.

請你根據圖象寫出它們在（1,+oo）上的另外一個共同性質：.

例6.（2022?全國?高三專題練習）已知塞函數y=/（x）=x4*3（加€2）在（0,+s）是嚴格減函數，且為偶

函數.

（1）求>=/（尤）的解析式;

（2）討論函數目=歹（無）+（。-2）上./0）的奇偶性,并說明理由.

【方法技巧與總結】

確定幕函數y=x"的定義域，當Q為分數時，可轉化為根式考慮，是否為偶次根式，或為則被開方式

非負.當。<0時，底數是非零的.

題型二：暮函數性質的綜合應用

例7.（2022?河北石家莊?高三期末）已知實數°,6滿足a3+e“=e-"+l,b3+eb=eb-l,貝3+6=（）

A.-2B.0C.1D.2

例8.（2022?四川眉山.三模（文））下列結論正確的是（）

A.2百〈（石『B.2屈C.2"<log20D.2點<log&2

[2%>2

例9.（2022.廣西.高三階段練習（理））已知函數/（x）=x'",若關于x的方程〃力=上有兩個不

（X-1）3,X<2

同的實根，則實數上的取值范圍為（）

A.（0,1）

B.

C.（0,1]

D.（0,+e）

例10.（2022?浙江.模擬預測）已知。>0,函數〃*）=￡-"（*>0）的圖象不可能是（）

例11.（2022?全國?高三專題練習）不等式（爐_1『"+/。。2+2元2_：14（）的解集為：.

例12.（2022.上海市實驗學校高三階段練習）若函數〃x）=（7"+3）x"（加aeR）是基函數，且其圖象過點

（2,應），則函數g（x）=log”（x2+/nx-3）的單調遞增區間為.

-1

feklv＞o

例13.（2020?四川?瀘州老窖天府中學高二期中（理））已知函數〃x）=2'，若方程

-X2-2x+l,x＜0

產（無）+加＞）+2=0有8個相異的實數根，則實數6的取值范圍是.

例14.（2022?全國?高三專題練習）已知幕函數〃尤）=（/-2%-2）/-4z在上單調遞減.

（1）求m的值并寫出的解析式；

（2）試判斷是否存在。＞0,使得函數g（x）=（2"T）x-啟+1在（0,2]上的值域為（1,11]?若存在，求出a

的值；若不存在，請說明理由.

【方法技巧與總結】

緊扣累函數＞的定義、圖像、性質，特別注意它的單調性在不等式中的作用，這里注意a為奇數

時，X。為奇函數，a為偶數時，f為偶函數.

題型三：二次方程以2+加：+。=0（0/0）的實根分布及條件

例15.（2022.河南.焦作市第一中學高二期中（文））設P：二次函數/（力=依2+依+i（awo）的圖象恒在x

軸的上方，q：關于x的方程f-2分+/一1=。的兩根都大于一1,則。是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例16.（2022.重慶.模擬預測）已知二次函數y=f-4x+a的兩個零點都在區間。,收）內，則。的取值范圍

是（）

A.（^?,4）B.（3,-Ko）C.（3,4）D.（-oo,3）

例17.（2022.江西省豐城中學高一開學考試）函數〃力=3,且〃a+2）=18,函數g（x）=3儂-4,.

⑴求g（元）的解析式；

⑵若關于x的方程g（x）-m8=0在區間［-2,2］上有實數根，求實數機的取值范圍.

例18.（2022?湖北?高一期末）已知函數〃x）=|2sinx-1|,尤€［0,刈.

（1）求了（X）的最大值及一（X）取最大值時X的值；

（2）設實數aeR,求方程3［/（x）］2-24（x）+1=0存在8個不等的實數根時。的取值范圍.

【方法技巧與總結】

結合二次函數/（x）=?%2+6x+c的圖像分析實根分布，得到其限定條件，列出關于參數的不等式，

從而解不等式求參數的范圍.

題型四：二次函數“動軸定區間”、“定軸動區間”問題

例19.（2022?全國?高三專題練習）已知/。）=加+bx+c（a>0）,g（x）=/（/（功，若g（x）的值域為［2,+助,

/（X）的值域為卜，+8）,則實數%的最大值為（）

A.0B.1

C.2D.4

例20.(2022.全國?高三專題練習)己知值域為［-1,內)的二次函數/5)滿足，(-1+彳)=/(-1-尤)，且方程

f(x)=0的兩個實根士,三滿足卜-引=2.

⑴求了(尤)的表達式；

⑵函數g(x)=f(x)-丘在區間［-2,2］上的最大值為/(2),最小值為了(-2),求實數上的取值范圍.

例21.(2022?貴州畢節?高一期末)已知函數/(x)=f—2or(a>0).

⑴當。=3時，解關于尤的不等式-5</(尤)<7；

⑵函數y=/(x)在上J+2］上的最大值為0,最小值是T,求實數。和f的值.

例22.(2022?全國?高三專題練習)問題：是否存在二次函數/(x)=ox2+bx+c(awO,6,ceR)同時滿足下列

條件：

/(0)=3,/*)的最大值為4,—?若存在，求出Ax)的解析式；若不存在，請說明理由.在①

〃l+x)=/(l-x)對任意xeR都成立，②函數y=/(x+2)的圖像關于y軸對稱，③函數/⑴的單調遞減

區間是這三個條件中任選一個，補充在上面問題中作答.

例23.(2022?全國?高三專題練習)已知二次函數/(尤)滿足/(-1)=/(3)=3,/(1)=-1.

(1)求/⑺的解析式；

(2)若Ax)在匕-1,“+1］上有最小值-1,最大值/(a+D,求a的取值范圍.

例24.(2022?全國?高三專題練習)設函數/(；0=如2+法+1(a,beR),滿足/(-1)=0,且對任意實數尤均

有f(x)20.

⑴求的解析式；

⑵當xe時，若g(x)=/(x)-時是單調函數，求實數左的取值范圍.

【方法技巧與總結】

“動軸定區間”、“定軸動區間”型二次函數最值的方法：

(1)根據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論；

(2)根據二次函數的單調性，分別討論參數在不同取值下的最值，必要時需要結合區間端點對應的函

數值進行分析；

(3)將分類討論的結果整合得到最終結果.

【過關測試】

一、單選題

1.(2022?全國?高三階段練習)已知函數=其中〃>0,/(0)<0,〃+}+c=0,貝！J()

A.Vxe(O,l),都有〃")>0B.Vxe(O,l),都有〃x)vO

C.3xoe(O,l),使得〃光。)=。D.Hxoe(O,l),使得/?)>O

2.（2022?北京?二模）下列函數中，與函數y=J的奇偶性相同，且在（O,+8）上有相同單調性的是（）

A.yB.y=lnx

C.y=sinxD.>=x\x\

3.（2022?全國?高三專題練習）已知塞函數/何=（〃2+2〃-2卜'（/1€2）在（0,+8）上是減函數，貝心的值為

（）

A.1或-3B.1C.-1D.-3

4.（2022?全國?高三專題練習（理））設ce1-L,g,l,2,31,則使函數y=x"的定義域為R,且該函數為奇函

數的a值為（）

A.1或3B.—1或1C.—1或3D.—1、1或3

5.（2022.全國?高三專題練習（理））已知幕函數/（x）=x。的圖像過點（8.4）,則/■（xQx"的值域是（）

A.（-8,0）B.（-℃,0）5°，4<30）

C.（O,+8）D.[O,人）

6.（2022?北京.高三專題練習）設XeR,口]表示不超過％的最大整數.若存在實數，，使得⑺=1"4=2,一，

[〃]=〃同時成立，則正整數”的最大值是

A.3B.4C.5D.6

、_m

7.（2022?全國-IWJ三專題練習）若塞函數/⑶=/（m,幾￡N*,m,〃互質）的圖像如圖所示，貝U（）

A.m,〃是奇數，且%<1

n

B.加是偶數，〃是奇數，且%>1

n

rii

C.機是偶數，〃是奇數，且一<1

n

D.機是奇數，”是偶數，且%>1

n

二X0

8.（2022?全國?高三專題練習）已知了。）=儼’",若關于x的方程2/2。）_左"（勸-1=。有5個不

3x—x3,x<0

同的實根，則實數%的取值范圍為（）

72727272

A.一一e）B.一—e]C.（-oo,--）|J（一一e,+8）D.U（一一4+②）

2e2e2e2e

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習）若函數y=x，4x-4的定義域為［0,a）,值域為［-8，T，則正整數，的值可

能是（

A.2B.3C.4D.5

10.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（%）=32x-2.3'+2,定義域為收，值域為口⑵，則下列說法中

一定正確的是（）

A.A/=[0,log32]B.Mc（^o,log32]

C.log32GMD.OeM

11.（2022?廣東揭陽?高三期末）已知函數/（*）=/+工，實數加，〃滿足不等式〃2〃z—3〃）+/（〃-2）>0,則

）

n〃+l

A.e>eB.—>——

mm+1

c.In（m-n）>0D.m2021<n2021

12.（2022?全國?高三專題練習）設點（x，?）滿足（3x+y）5+%5+4x+y=0.則點（x,y）（

A.只有有限個B.有無限多個

C.位于同一條直線上D.位于同一條拋物線上

三、填空題

13.（2022?內蒙古赤峰?模擬預測（文））寫出一個同時具有下列性質①②③的函數/（x）=.

①/（-X）=/（%）;

②當xe（O，+°°）時，/（A-）>0；

③/。2）=/㈤,/㈤；

14.（2022?全國?高三專題練習（文））已知6（6，-2,-1,-3。1,2,31.若基函數於