年中考數學復習《四邊形綜合壓軸題》專項訓練題1．（2025?茄子河區一模）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若四邊形ABCD是正方形如圖1：則有AC＝BD，AC⊥BD．旋轉圖1中的Rt△COD到圖2所示的位置，AC′與BD′有什么關系？（直接寫出）若四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，旋轉Rt△COD至圖3所示的位置，AC′與BD′又有什么關系？寫出結論并證明．2．（2025?惠州一模）如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC＝2，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，垂足為O，連接OA、OP．（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？（2）請判斷OA、OP之間的數量關系和位置關系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值．3．（2025?任城區一模）如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數，并說明理由；（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，BC＝b（a、b為常數），E是線段BC上一動點（不含端點B、C），使頂點G恰好落在射線CD上．判斷當點E由B向C運動時，∠FCN的大小是否總保持不變？若∠FCN的大小不變；若∠FCN的大小發生改變，請舉例說明．4．（2025?南山區校級一模）【性質探究】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，AE平分∠BAC，交BC于點E．作DF⊥AE于點H，AC于點F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF＝2OG．【遷移應用】（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當＝時，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射線AB于點F，【性質探究】中的其余條件不變，連接EF時，請直接寫出tan∠BAE的值．5．（2025?膠州市校級模擬）已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，點C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，BC＝BF＝6cm，延長DC交EF于點M．點P從點A出發，速度為2cm/s；同時，沿MF方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作GH⊥AB于點H（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點N，當四邊形PQNH為矩形時；（3）連接QC，QH，設四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；（4）點P在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點P在∠AFE的平分線上？若存在；若不存在，請說明理由．6．（2025?雷州市一模）綜合與實踐問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，得到△CBE′（點A的對應點為點C）．延長AE交CE′于點F猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE'的數量關系并加以證明；解決問題：（3）如圖①，若AB＝15，CF＝37．（2025?香洲區校級一模）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，E是CD邊上一點，連接AE，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于點G．（1）求線段CE的長；（2）如圖2，M，N分別是線段AG，DG上的動點（與端點不重合），設AM＝x，DN＝y．①寫出y關于x的函數解析式，并求出y的最小值；②是否存在這樣的點M，使△DMN是等腰三角形？若存在，請求出x的值，請說明理由．8．（2025?津南區校級模擬）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣2，0），B（6，0），∠ACB＝90°．（Ⅰ）如圖①，求點C的坐標；（Ⅱ）將△AOC沿x軸向右平移得△A′O′C′，點A，O，C的對應點分別為A′，C′．設OO′＝t，△A′O′C′與△OBC重疊部分的面積為S．①如圖②，△A′O′C′與△OBC重疊部分為四邊形時，A′C′，E，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當S取得最大值時，求t的值（直接寫出結果即可）．9．（2025?沈丘縣校級一模）在?ABCD中，∠BAD＝α，以點D為圓心，分別交邊AD、CD于點M、N，再分別以M、N為圓心的長為半徑畫弧，兩弧交于點K，交對角線AC于點G，交射線AB于點E得線段EP．（1）如圖1，當α＝120°時，連接AP；（2）如圖2，當α＝90°時，過點B作BF⊥EP于點F，請求出∠FAC的度數，以及AF，AD之間的數量關系，并說明理由；（3）當a＝120°時，連接AP，若，請直接寫出線段AP與線段DG的比值．10．（2025?鹽湖區校級一模）【問題情境】（1）同學們我們曾經研究過這樣的問題：已知正方形ABCD，點E在CD的延長線上，以CE為一邊構造正方形CEFG，如圖1所示，則BE和DG的數量關系為，位置關系為．【繼續探究】（2）若正方形ABCD的邊長為4，點E是AD邊上的一個動點，以CE為一邊在CE的右側作正方形CEFG，如圖2所示，①請判斷線段DG與BE有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；②連接BG，若AE＝1，求線段BG長．愛動腦筋的小麗同學是這樣做的：過點G作GH⊥BC，你能按照她的思路做下去嗎？請寫出你的求解過程．【拓展提升】（3）在（2）的條件下，點E在AD邊上運動時，則BG+BE的最小值為．11．（2025?武強縣校級模擬）如圖1和圖2，在矩形ABCD中，AB＝6，點K在CD邊上，點M，BC邊上，且AM＝CN＝2，點E在CD上隨P移動，且始終保持PE⊥AP，點P，Q同時出發，點P到達點N停止，點Q隨之停止．設點P移動的路程為x．（1）當點P在MB上時，求點Q，E的距離（用含x的式子表示）；（2）當x＝5時，求tan∠PQC的值；（3）若PB＝EC，求x的取值范圍；（4）已知點P從點M到點B再到點N共用時20秒，若CK＝，請直接寫出點K在線段QE上（包括端點）12．（2025?市中區校級一模）【證明體驗】（1）如圖1，AD為△ABC的角平分線，∠ADC＝60°，AE＝AC．求證：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F為AB上一點，DG＝2，CD＝3【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，點E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，AD＝2AE，求AC的長．13．（2025?博興縣模擬）綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數學知識，某校九年級數學興趣小組的同學進行了數學折紙探究活動．【探究發現】（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，折痕為EF，將紙片展平，即，請你判斷同學們的發現是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對角線，使點A的對應點G，點C的對應點H都落在對角線BD上，連結EG，FH，若FG∥CD，那么點G恰好是對角線BD的一個“黃金分割點”2＝BD?GD．請你判斷同學們的發現是否正確，并說明理由．14．（2025?順河區校級模擬）點M在四邊形ABCD內，點M和四邊形的一組對邊組成兩個三角形，如果這兩個三角形都是以對邊為斜邊的等腰直角三角形，如圖1，在四邊形ABCD中，MA＝MB，MC＝MD【概念理解】如圖2，正方形ABCD中，對角線AC，說明理由．【性質探究】如圖3，在蝴蝶四邊形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°．求證：AC＝BD．【拓展應用】在蝴蝶四邊形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°，，MC＝MD＝1，求此時BD2的值．15．（2025?濮陽模擬）綜合與探究問題情境：如圖1，四邊形ABCD是菱形，過點A作AE⊥BC于點E猜想證明：（1）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；深入探究：（2）將圖1中的△ABE繞點A逆時針旋轉，得到△AHG，點E，H．①如圖2，當線段AH經過點C時，GH所在直線分別與線段AD，N．猜想線段CH與MD的數量關系，并說明理由；②當直線GH與直線CD垂直時，直線GH分別與直線AD，CD交于點M，N，BE＝4，直接寫出四邊形AMNQ的面積．16．（2025?濱海新區校級模擬）已知，在平面直角坐標系內有四邊形OABC，點A與點C分別在y軸與x軸上，且點B坐標為（10，8），OC＝16，將△ADB沿BD折疊，點A的對應點E在x軸上．（Ⅰ）如圖1，求線段BC的長度和點D的坐標；（Ⅱ）將四邊形AOEB沿x軸向右平移，得到四邊形A′O′E′B′，點A，O，E，O′，E′，當點E′到達點C時停止平移，設OO'＝t①如圖2，當四邊形A′O′E′B′與△BEC重疊部分的圖形為五邊形時，試用含有t的式子表示S；②當3≤t≤11時，直接寫出S的取值范圍．17．（2025?游仙區模擬）綜合與實踐問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，其中點B與點F重合（標記為點B）．當∠ABE＝∠A時，試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．數學思考：（1）請你解答老師提出的問題；深入探究：（2）老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在△ABC內部①“善思小組”提出問題：如圖3，當∠ABE＝∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M，并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當∠CBE＝∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H，AC＝12，求AH的長．請你思考此問題18．（2025?南寧模擬）綜合與實踐：【思考嘗試】（1）數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，AG⊥DG，AG＝CF，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發，逆向思考并提出新的問題：如圖2，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，GD⊥DF交AH于點G，可以用等式表示線段FH，CF的數量關系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3，E是邊AB上一點，AH⊥CE于點H，且AH＝HM，連接AM，可以用等式表示線段CM，BH的數量關系，請你思考并解答這個問題．19．（2025?佛山一模）?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，將ED繞點E逆時針旋轉90°，得到EF（1）當點E在線段BC上，∠ABC＝45°時，如圖①，求證：AE+EC=BF；（2）當點E在線段BC延長線上，∠ABC＝45°時，如圖②，∠ABC＝135°時，，如圖③，請猜想并直接寫出線段AE，EC，BF的數量關系；（3）在（1）、（2）的條件下，若BE＝3，則CE＝．20．（2025?樟樹市校級一模）【課本再現】（1）如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長都為1，四邊形OEBF為兩個正方形重疊部分1B1C1O可繞點O轉動．則下列結論正確的是（填序號即可）．①△AEO≌△BFO；②OE＝OF；③四邊形OEBF的面積總等于；④連接EF，總有AE2+CF2＝EF2．【類比遷移】（2）如圖2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一個頂點，A1O與邊AB相交于點E，C1O與邊CB相交于點F，連接EF，矩形A1B1C1O可繞著點O旋轉，猜想AE，CF，并進行證明；【拓展應用】（3）如圖3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4cm，直角∠EDF的頂點D在邊AB的中點處，BC相交于點E，F，∠EDF可繞著點D旋轉，求線段EF的長度．

參考答案1．解：圖2結論：AC′＝BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵將Rt△COD旋轉得到Rt△C′OD′，∴OD′＝OD，OC′＝OC，∴AO＝BO，OC′＝OD′，在△AOC′與△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′＝BD′，∠OAC′＝∠OBD′，∵∠AO′D′＝∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O＝90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′＝90°，∴AC′⊥BD′；圖3結論：BD′＝AC′理由：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OB＝OAOC，∵將Rt△COD旋轉得到Rt△C′OD′，∴OD′＝OD，OC′＝OC，∴OD′＝OC′，∴＝，∴△AOC′∽△BOD′，∴＝＝，∠OAC′＝∠OBD′，∴BD′＝AC′，∵∠AO′D′＝∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O＝90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′＝90°，∴AC′⊥BD′．2．（1）四邊形APQD為平行四邊形；（2）OA＝OP，OA⊥OP∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，在△AOB和△OPQ中，∴△AOB≌△POQ（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP；（3）如圖，過O作OE⊥BC于E．①如圖1，當P點在B點右側時，則BQ＝x+2，OE＝，∴y＝×?x（x+1）5﹣，又∵5≤x≤2，∴當x＝2時，y有最大值為2；②如圖2，當P點在B點左側時，則BQ＝2﹣x，OE＝，∴y＝×?x（x﹣1）8+，又∵5≤x≤2，∴當x＝1時，y有最大值為；綜上所述，∴當x＝2時．3．（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG．（2）解：∠FCN＝45°，理由是：作FH⊥MN于H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠EBA＝90°，∴△EFH≌△ABE，∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）解：當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，理由是：作FH⊥MN于H，由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，結合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG，又∵G在射線CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90°，∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴＝＝；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝，∴當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變．4．（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠6，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過點O作OL∥AB交DF于L．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝8OL，∴BF＝2OG．（3）解：如圖3中，過點D作DK⊥AC于K，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S3＝?OG?DK，S5＝?BF?AD，又∵BF＝3OG，＝，∴＝＝，設CD＝2x，則AD＝x，∴＝＝．（4）解：設OG＝a，AG＝k．①如圖4中，連接EF，點G在OA上．∵AF＝AG，BF＝5OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝7（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD8＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k5+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由題意：10××5a×，∴AD2＝10ka，即10ka＝5k2+4ka，∴k＝3a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如圖5中，當點F在AB的延長線上時，連接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝8a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[8（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）5＝3k2﹣8ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由題意：10××2a×，∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，綜上所述，tan∠BAE的值為或．5．解：（1）∵AB∥CD，∴，∴，∴CM＝，∵點M在線段CQ的垂直平分線上，∴CM＝MQ，∴1×t＝，∴t＝；（2）如圖3，過點Q作QN⊥AF于點N，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，∴AC＝＝＝10cm＝＝10cm，∵CE＝4cm，CM＝，∴EM＝＝＝，∵sin∠PAH＝sin∠CAB，∴，∴，∴PH＝t，同理可求QN＝6﹣t，∵四邊形PQNH是矩形，∴PH＝NQ，∴6﹣t＝t，∴t＝3；∴當t＝3時，四邊形PQNH為矩形；（3）如圖6，過點Q作QN⊥AF于點N，由（2）可知QN＝6﹣t，∵cos∠PAH＝cos∠CAB，∴，∴，∴AH＝t，∵四邊形QCGH的面積為S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，∴S＝×6×（8﹣t+××[6﹣（6﹣×（6﹣t+4）＝﹣t2+t+；（4）存在理由如下：如圖3，連接PF，∵AB＝BE＝3cm，BC＝BF＝6cm，∴△ABC≌△EBF（SSS），∴∠E＝∠CAB，又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°，∵S△CEM＝×EC×CM＝，∴CK＝＝，∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，∴PH＝PK，∴t＝10﹣8t+，∴t＝，∴當t＝時，使點P在∠AFE的平分線上．6．解：（1）四邊形BE'FE是正方形，理由如下：∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，又∵∠BEF＝90°，∴四邊形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四邊形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如圖②，過點D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，∴AE＝CE'，∵四邊形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝CE'，∴CF＝E'F；（3）如圖①，過點D作DH⊥AE于H，∵四邊形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝32＝E'B4+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+3）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝3，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE＝＝＝3．7．解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，則DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣4＝4，在Rt△EFC中，則有：（8﹣x）3＝x2+42，∴x＝3，∴EC＝3．（2）①如圖8中，∵AD∥CG，∴＝，∴＝，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝，在Rt△DCG中，DG＝，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM∽△GMN，∴＝，∴＝，∴y＝x2﹣x+10．當x＝7時，y有最小值．②存在．由題意：∠DMN＝∠DGM，推出∠DNM≠∠DMN，所以有兩種情形：如圖3﹣5中，當MN＝MD時，∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴＝，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝8﹣10．如圖7﹣2中，當MN＝DN時．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵MH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得＝，∴＝，∴MG＝，∴x＝AM＝8﹣＝．綜上所述，滿足條件的x的值為8．8．解：（Ⅰ）如圖①，∵A（﹣2，B（6，∴OA＝4，OB＝6，∵∠AOC＝∠BOC＝∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，∴△AOC∽△COB，∴＝，∴CO2＝OA?OB＝12，∵CO＞7，∴OC＝2，∴C（3，2）；（Ⅱ）①如圖②中，在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝，∴∠CAO＝60°，∴∠ACO＝∠C′＝∠ABC＝30°，∵OO′＝t，∴BO′＝6﹣t，∴O′E′＝（6﹣t），∴C′E′＝2﹣（4﹣t）＝t，∴D′E′＝C′E′＝tD′E′＝t，∴S＝S△A′O′C′﹣S△C′D′E′＝×6×2﹣×t＝﹣t2+2（2≤t＜6）；②如圖③中，當5＜t＜2時，S＝﹣t7+2﹣×（2﹣t）×t2+4t＝﹣）6+，∵﹣＜8，∴t＝時，S有最大值，當2≤t＜5時，t＝2時，∵＜，∴t＝時，S有最大值．9．解：（1）如圖1，連接PB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋轉知：EP＝EB，∴△BPE是等邊三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等邊三角形，∴AP＝AC．故答案為：AP＝AC；（2）AB2+AD4＝2AF2，理由：如圖3，連接CF，在?ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠FAC＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC4＝AC2，∴AB2+AD3＝2AF2；（3）由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，∴AB＝CD＝3BE，設BE＝a，則PE＝a，AB＝CD＝3a，①當點E在AB上時，如圖3，作AT⊥BC于點T、PC，當∠BAD＝α＝120°時，∠ABC＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∴DH＝AD?cos∠ADE＝2a?cos30°＝a，∵AD＝AE，AH⊥DE，DE＝6DH＝2a，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝＝＝，∴DG＝DE＝a，在Rt△ABT中，BT＝AB?cos∠ABC＝8a?cos60°＝aa，∴CT＝BC﹣BT＝5a﹣a＝a，在Rt△ACT中，AC＝＝＝a，由（1）知：AP＝AC＝a，∴＝＝．②如圖6，當點E在AB延長線上時，AB＝CD＝3a，過點A作AH⊥DE于點H，作AT⊥BC于點T、PC，當∠BAD＝α＝120°時，∠ABC＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∴DH＝AD?cos∠ADE＝4a?cos30°＝2a，∵AD＝AE，AH⊥DE，DE＝2DH＝4a，由①同理可得：△AEG∽△CDG，∴＝＝＝，∴DG＝DE＝a，在Rt△ABT中，BT＝AB?cos∠ABC＝2a?cos60°＝aa，∴CT＝BC﹣BT＝4a﹣﹣a＝a，在Rt△ACT中，AC＝＝＝a，由（1）知：AP＝AC＝a，∴＝＝，綜上所述，線段AP與線段DG的比值為或．10．解：（1）如圖1中，延長GD交BE于J．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCG＝90°，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∠BEC＝∠CGD，∵∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠DGC+∠EBC＝90°，即∠GJB＝90°，∴DG⊥BE，故答案為：DG＝BE，DG⊥BE．（2）①結論：DG＝BE，DG⊥BE．理由：如圖，延長BE，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCE＝∠DCG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠EBC＝∠CDG，BE＝DG，∵∠CDG+∠CDH＝180°，∴∠EBC+∠CDH＝180°，∵∠EBC+∠BCD+∠CDH+∠DHE＝360°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE．②如圖3，過點G作GH⊥BC，∵AE＝5，AD＝4，∴DE＝3，∵∠ECG＝∠DCH＝90°，∴∠ECD＝∠GCH，又∵EC＝CG，∠EDC＝∠H＝90°，∴△ECD≌△GCH（AAS），∴DE＝GH＝8，CH＝CD＝4，∴BH＝BC+CN＝8，∴BG＝＝＝．（3）如圖2中，由（2）可知，CH＝4，∴點G的運動軌跡是直線GH，直線GH與直線CD之間的距離為4，作點D關于直線GH的對稱點T，連接BT．在Rt△ABT中，∵∠A＝90°，AT＝12，∴BT＝＝＝4∵BE＝DG，DG＝GT，∴BE+BG＝BG+GT，∵GB+GT≥BT，∴BE+BG≥4，∴BE+BG的最小值為6，故答案為4．11．解：（1）由題意，DE＝AP＝2+xMP＝x，∴QE＝DE﹣DQ＝2+x﹣x＝8+x；（2）當x＝6時，點P在線段BN上，PC＝8﹣1＝8，QC＝6﹣DQ＝6﹣＝，∴tan∠PQC＝＝＝2；（3）①當點P在線段MB上時，四邊形PBCE是矩形，∴PB＝CE，此時0≤x≤7．②當點P在BN上時∵PE⊥AP，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠APB+∠PAB＝90°，∴∠PAB＝∠EPC，∵∠B＝∠C＝90°，若PB＝EC，則△APB≌△PEC（AAS），∴AB＝PC，即PC＝6，∴BP＝2，∴x＝BM+BP＝8，綜上所述，滿足條件的x的取值范圍為：0≤x≤4或x＝7；（4）由題意，點P的運動速度為＝，點Q的運動速度為．如圖2中，設BP＝m，則PC＝6﹣m，∵△ABP∽△BCE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣（m﹣4）2+，∵﹣＜0，∴m＝6時，y有最大值，當點Q運動到K時，t＝（6﹣＝，當點E運動到K時，y＝，由＝（﹣m3+8m），解得m＝4±，∴兩次運動到K的時間分別為（4+4﹣）÷）秒或（4+4+＝（16+2，∴點E先運動到K，∴第一次K在線段QE上時，時間＝（4+3﹣﹣（4﹣＝16﹣5﹣﹣2，第二次K在線段QE上時，時間＝（7+4+﹣＝16+2﹣+2，∴總時間＝﹣2+＝14（秒）．12．（1）證明：如圖1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如圖2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝8，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如圖3，在AB上取一點F，連結CF．∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝4∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝8；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝3AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝．13．解：（1）正確，作EM⊥BC于點M，∵EF⊥BG，∴∠BHF＝90°，∴∠FBH+∠BFH＝90°．∵∠EMF＝90°，∴∠MEF+∠BFH＝90°∴∠FBH＝∠MEF，又∵∠EMF＝∠C＝90°，∴△EMF∽△BCG． ．∵ABCD是矩形，EM⊥BC，∴四邊形ABME是矩形．∴AB＝EM．∴．（2）同學們的發現說法正確，理由如下，∵CD∥FG，∴，∠CDF＝∠DFG，由折疊知∠CDF＝∠BDF，∴∠DFG＝∠BDF．∴GD＝GF．∴，由平行四邊形及折疊知AB＝BG，AB＝CD，∴，∴BG2＝BD?GD即點G為BD的一個黃金分割點．14．【概念理解】解：結論：正方形ABCD為蝴蝶四邊形．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，正方形ABCD的對邊AB，∴正方形ABCD為蝴蝶四邊形；【性質探究】證明：∵四邊形ABCD是蝴蝶四邊形，∠AMB＝∠CMD＝90°，∴△AMB和△CMD都是等腰直角三角形，AM＝BM，∠AMB+∠CMB＝∠CMD+∠CMB，∴∠AMC＝∠BMD，∴△AMC≌△BMD（SAS），∴AC＝BD；【拓展應用】解：延長AM交CD于N，∵△ACD是等腰三角形，∴AC＝AD，∵AM＝BM＝，CM＝DM＝1，∵AM＝AM，∴△AMC≌△AMD（SSS），∴∠CAM＝∠DAM，AC＝BD，∵AC＝AD，∴AN⊥CD，CN＝DN，∴MN＝CN＝DN＝CD＝，∴AN＝AM+MN＝，∴AC＝，∴BD＝AC＝，∴以BD為邊的正方形的面積為（）2＝5．如圖4中，當AD＝DC時2＝AC3＝AN2+CN2＝（+1）7+（）6＝3+．綜上所述，BD3＝5或3+．15．解：（1）四邊形AECF為矩形．理由如下：∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠AFC+∠ECF＝180°，∠ECF＝180°﹣∠AFC＝90°∴四邊形AECF為矩形．（2）①CH＝MD．理由如下：證法一：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．∵△ABE旋轉得到△AHG，∴AB＝AH，∠B＝∠H．∴AH＝AD，∠H＝∠D．∵∠HAM＝∠DAC，∴△HAM≌△DAC，∴AM＝AC，∴AH﹣AC＝AD﹣AM，∴CH＝MD．證法二：如圖，連接HD．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC，∵△ABE旋轉得到△AHG，∴AB＝AH，∠B＝∠AHM，∴AH＝AD，∠AHM＝∠ADC，∴∠AHD＝∠ADH，∴∠AHD﹣∠AHM＝∠ADH﹣∠ADC，∴∠MHD＝∠CDH，∵DH＝HD，∴△CDH≌△MHD，∴CH＝MD．②情況一：如圖，當點G旋轉至BA的延長線上時，此時S四邊形AMNQ＝．∵AB＝8，BE＝4，∴由勾股定理可得AE＝3，∵△ABE旋轉到△AHG，∴AG＝AE＝5，GH＝BE＝4，∵GN⊥CD，∴GN＝AE＝3，∴NH＝2，∵AD∥BC，∴∠GAM＝∠B，∴tan∠GAM＝tan∠B，即，解得GM＝，則MH＝，∵tan∠H＝tan∠B，∴在Rt△QNH中，QN＝，∴S四邊形AMNQ＝S△AMH﹣S△QNH＝MH?AG﹣．情況二：如圖，當點G旋轉至BA上時，此時S四邊形AMNQ＝．同第一種情況的計算思路可得：NH＝7，QN＝，MH＝，∴S四邊形AMNQ＝S△QNH﹣S△AMH＝NH?QN﹣．綜上，四邊形AMNQ的面積為．16．解：（Ⅰ）過B作BF⊥OC于F，如圖：∵∠OAB＝90°＝∠AOB＝∠BFO，∴四邊形AOFB是矩形，∴AO＝BF，AB＝OF，∵B（10，8），∴AB＝OF＝10，AO＝BF＝8，∵OC＝16，∴FC＝OC﹣OF＝6，在Rt△BFC中，BC＝＝，∵將△ADB沿BD折疊，點A的對應點E在x軸上，∴BE＝AB＝10，AD＝DE，在Rt△BEF中，EF＝＝，∴OE＝OF﹣EF＝10﹣6＝4，設OD＝x，則AD＝8﹣x＝DE，在Rt△DOE中，OD2+OE5＝DE2，∴x2+22＝（8﹣x）7，解得x＝3，∴OD＝3，∴D（5，3）；∴線段BC的長度是10，點D的坐標為（0；（Ⅱ）①設A'O'交BE于K，B'E'交BC于T，過B作BF⊥x軸于F由（1）知BF＝8，EF＝CF＝6，∴BE＝＝10＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∴tan∠BEC＝tan∠BCE＝＝＝，由平移可得，OO'＝BB'＝EE'＝t，BE∥B'E'，∴四邊形BEE'B'是平行四邊形，∴S平行四邊形BEE'B'＝EE'?BF＝8t，∵OO'＝t，OE＝6，∴EO'＝t﹣4，在Rt△EO'K中，tan∠KEO'＝，∴＝，∴KO'＝，∴S△EO'K＝EO'?KO'＝，∵∠B'＝∠B'E'C＝∠BEC＝∠BCE＝∠B'BC，∴BT＝B'T，tanB'＝tan∠BEC＝，∴BH＝B'H＝BB'＝，∴＝，∴TH＝，∴S△BB'T＝BB'?TH＝＝，∴S＝S平行四邊形BEE'B'﹣S△EO'K﹣S△BB'T＝8t﹣﹣＝﹣t7+t﹣，∵OE＝2，OF＝10，∴4＜t＜10，∴S＝﹣t2+t﹣；②當t＝3時，如圖：∴OO'＝EE'＝BB'＝7，同①可得S平行四邊形BEE'B'＝3×8＝24，TH＝，∴S△BB'T＝×3×2＝8，∴S＝24﹣3＝21；當t＝4時，如圖：∴OO'＝EE'＝BB'＝3，同理可得S平行四邊形BEE'B'＝4×8＝32，TH＝，∴S△BB'T＝×2×＝，∴S＝32﹣＝；當6＜t＜10時，S＝﹣t2+t﹣）2+，∴當t＝時S最大為，當t＝10時，如圖：∴OO'＝EE'＝BB'＝10，同理可得S平行四邊形BEE'B'＝10×8＝80，TH＝，∴S△BB'T＝×10×＝，S△A'EO'＝×6×8＝24，∴S＝80﹣﹣24＝；當t＝11時，設A'O'交BC于R∴OO'＝EE'＝BB'＝11，∴OE'＝OE+EE'＝4+11＝15，∴O'E'＝OE'﹣OO'＝15﹣11＝8，∴S梯形A'O'E'B'＝＝56，∵B'H＝BB'＝，＝，∴TH＝，∴S△B'TH＝××＝，∵A'B＝BB'﹣A'B'＝11﹣10＝7，∴A'H＝BH﹣A'B＝﹣1＝，∵＝，∴A'R＝，∴S梯形A'RTH＝＝，∴S＝56﹣﹣＝；∵＜21＜＜＜，∴當3≤t≤11時，S的取值范圍是．17．解：（1）結論：四邊形BCGE為正方形．理由如下：∵∠BED＝90°，∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°，∵∠ABE＝∠A，∴AC∥BE，∴∠CGE＝∠BED＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形BCGE為矩形．∵△ACB≌△DEB，∴BC＝BE．∴矩形BCGE為正方形；（2）①結論：AM＝BE．理由：∵∠ABE＝∠BAC，∴AN＝BN，∵∠C＝90°，∴BC⊥AN，∵AM⊥BE，即AM⊥BN，∴，∵AN＝BN，∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC，∴AM＝BE．②解：如圖：設AB，DE的交點為M，∵△ACB≌△DEB，∴BE＝BC＝9，DE＝AC＝12，∠ABC＝∠DBE，∴∠CBE＝∠DBM，∵∠CBE＝∠BAC，∴∠D＝∠BAC，∴MD＝MB，∵MG⊥BD，∴點G是BD的中點，由勾股定理得，∴，∵，∴DM＝＝＝，即，∴，∵AH⊥DE，BE⊥DE，∴△AMH∽△BME，∴，∴，即AH的長為．18．解：（1）四邊形ABCD是正方形，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）HF＝AH+CF，理由：∵DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，∴四邊形HFDG是矩形，∴∠G＝∠DFC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AG＝CF，DG＝DF，∴矩形H