乘法公式的靈活運用解題技巧(6類熱點題型)

目錄

【考點一平方差公式中項的位置變換】.......................................................1

【考點二平方差公式中連續(xù)相乘應(yīng)用】.......................................................3

【考點三乘法公式中簡便運算變換】.........................................................8

【考點四乘法公式中項數(shù)的變換】..........................................................12

【考點五乘法公式中整體代換應(yīng)用】........................................................15

【考點六乘法公式中幾何圖形的應(yīng)用】.....................................................21

典型例題

【考點一平方差公式中項的位置變換】

例題：(23-24六年級下?山東東營?階段練習(xí))運用乘法公式計算(4+x)(x-4)的結(jié)果是.

【答案】x2—16/—16+x2

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查平方差公式.解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式(。+6)(。-6)=/-62的特征，題中的x是公

式中的a,4是公式中的6.

【詳解】解：(4+x)(x-4)=(x+4)(x-4)

=X2-42

=x2—16.

故答案為：x2-16.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24八年級上,黑龍江哈爾濱?期中)計算(-26-5)(26-5)=.

【答案】25-467-4&2+25

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題主要考查了平方差公式.利用平方差公式計算，即可求解.

【詳解】解：(-26-5)(26-5)=25-46。

故答案為：25-4〃

2.（24-25七年級上?上海閔行?階段練習(xí)）計算：（-2x+3y）（3y+2x）=.

【答案】9y2-4x2/-4x2+9y2

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查了平方差公式，熟練運用平方差公式是解題關(guān)鍵.根據(jù)平方差公式進行計算即可求解.

【詳解】解：（-2x+3H（3y+2x）=（3?_（2x）2=9/_4/

故答案為：9y2-4x2.

3.（24-25七年級上?上海浦東新?期中）計算：（2x-3y）（3x+2y）-（2x-y）（y+2x）

【答案】2x2-5xy-5y2

【知識點】計算多項式乘多項式、運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查了整式的乘法運算.根據(jù)多項式乘以多項式運算法則及平方差公式去掉括號，然后合并

同類項即可.

【詳解】解：^=6x2+4xy-9xy-6y2-（2x-y）（2x+y）

=6x2-5xy-6^2_（4——y2）

=6x2—5xy-6y2-4x2+y2

=2.x2-5xy-5y2.

4.（24-25七年級上?上海虹口?階段練習(xí)）計算：+-^2）,

Q1

【答案】fjx4-/

16

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查平方差公式，先前面兩個括號利用平方差公式計算，結(jié)果再和后面的括號利用平方差公

式計算即可.

5.（24-25七年級上.上海黃浦?期中）計算：+

【答案】4砂+（9/

Jy

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】此題考查了整式乘法公式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式乘法公式運算法則.

首先根據(jù)完全平方公式和平方差公式求解，然后合并同類項即可.

【詳解】解：+2x］

A2412f/I2

=4x---xy+-y-\4x---yI

?7417A117

=4x~——xy+—y-4x+—y

399

【考點二平方差公式中連續(xù)相乘應(yīng)用】

例題：（23-24七年級上?全國?專題練習(xí)）計算：（5+D（52+l）（5，+l）（58+la6+＞；=

532

【答案】—

4

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查平方差公式，將算式轉(zhuǎn)化為（（5-1）（5+1乂52+1）（5，+1）（58+1）（5|6+1）+；,利用平方差公

式進行簡算即可.

［詳解］解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+^

=：（5-1）（5+1心2叫（54+1*+1心F）+；

=：（5一乂52+川54+*58+1心6+1）+；

4（54-0（54+1）（58+1）（516+1）4

［（58T*+1心市）+；

=；6T）W+1）+；

一7；

故答案為：—.

4

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級下?山東淄博?期末）計算23_3x5x（24+D（28+l）…（2”+1）的結(jié)果是

【答案】1

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用；

先對原式進行變形，然后利用平方差公式依次計算即可.

【詳解】解：2128-3X5X（24+1）（28+1）--（264+1）

128224864

=2-（2-1）X（2+1）X（2+1）（2+1）---（2+1）

=2128-（24-1）X（24+1）（28+1）---（264+1）

=2128-（28-1）X（28+1）---（264+1）

128128

=2-（2-1）

=2128-2128+1

故答案為：1.

1

2.（23-24七年級下?江蘇徐州?期中）計算:+尹=

【答案】2

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題主要考查了平方差公式的運用.在原式的前面添上2x（1-即可連續(xù)運用平方差公式進行

=2'[1-/+曰+J

=2-齊+齊

=2.

故答案為：2.

3.（2024八年級上?全國?專題練習(xí)）計算:

2005

【答案】

4008

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】此題考查了平方差公式，首先根據(jù)平方差公式計算，然后計算乘法即可.

=—X—X—X—X---X-----------X------------

223320042004

12005

=—x------

22004

2005

-4008,

4.（23-24七年級下?山東濟南?期末）（1）計算：（a+6）（叱6）=_；（a-l）（a+l）（a2+l）=_；

（2）利用平方差公式進行計算：98x102

（3）計算：（2+l）x（22+l）x（24+l）x（28+l）x...x（21024+1）+1._；并直接寫出上面結(jié)果的個位數(shù)字是_；

（4）數(shù)學(xué)公式可以逆用，有時能達到簡便運算的效果.根據(jù)上面用到的數(shù)學(xué)公式，從下面的兩個題中，任

選一個題進行計算.（若兩個題都進行計算，只第一個題得分）

①計算：20242-20232+20222-20212+---+22-I2

②計算：［卜YLbD

222025

【答案】(1)a-b，/_](2)9996(3)22048；6(4)①2049300②左右

4048

【知識點】運用平方差公式進行運算、數(shù)字類規(guī)律探索

【分析】本題考查平方差公式，掌握(。+6)(。-9=力-從是正確解答的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平方差公式進行計算即可；

(2)將98x102寫成(100-2)(100+2),利用平方差公式進行計算即可；

(3)將原式形成(2-l)x(2+l)xQ2+1)x(2,+(xQ8+l)x...xQ3+l)+l,連續(xù)利用平方差公式得到結(jié)果為

22048,再根據(jù)底數(shù)為2的累的個位數(shù)字所呈現(xiàn)的規(guī)律得出答案；

(4)①將相鄰兩項結(jié)合，再逆用平方差公式變形求解即可；

②逆用平方差公式將原式變形，然后約分化簡即可.

【詳解】解：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2,

原式=(/川(]+1)

=6Z4—1,

故答案為：a2—b2fa4—1;

(2)原式=(100-2乂100+2)

=1002-22

=10000-4

二9996；

(3)原式=(2-l)x(2+l)x(22+1)x(24+1)x(2'+l)x...x(23+1)+1

=(22-1)X(22+1)X(24+1)X(28+1)X...X(21024+1)+1

=(24-1)X(24+1)X(28+1)X...X(21024+1)+1

=(28-1)X(28+1)X...X(21024+1)+1

=(216-1)X...X(21024+1)+1

=22048-l+l

=22048；

21=2,22=4-23=8,24=16,25=32,26=64,，

而2048+4=512,

...22048的個位數(shù)字是6,

故答案為：22048,6；

(4)①原式=(20242-20232)+(20222-202F)+…+啰一F)

=(2024+2023)(2024-2023)+(2022+2021)(2022-2021)+...+(2+1)(2-1)

=2024+2023+2022+2021+...+4+3+2+1

（2024+1）x2024

2

=—X—X—X—X—X—X…X-----------X------------X------------X------------

2233442023202320242024

12025

—_x_____

一22024

2025

-4048

5.（24-25八年級上?海南?期中）春秋時期，孔子有一天對他的弟子們說道：“舉一隅，不以三隅反，則不復(fù)

也."這句話的意思是說："教書先生舉出一個墻角，學(xué)生就應(yīng)該會獨立思考，融會貫通，從而類推到其余三

個墻角，然后用三個墻角反證老師先前提出的墻角，如果每個學(xué)生都這樣學(xué)習(xí)和思考，教書先生就不用再

費力氣教學(xué)生了".請閱讀下面的解題過程，感受從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，類比推理解決以下問題.

例題：化簡（2+1乂22+1）（24+1）.

解：原式=（2T（2+D（22+1）Q4+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）

=（2TW+1）

=28-l.

⑴填空：x（b+a）=a2-b-；

（2）化簡（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）；

⑶運用上面所學(xué)內(nèi)容直接寫出下面兩題的答案.

@（5-1）（52+1）（54+1）---（5128+1）=；

②若加（加/1）、"均為正整數(shù),貝I]（"7+1）（〃/+1）（"/+1）…（加筋+1）=.

【答案】⑴M-6）；

（2）|（332-1）;

（3）①幺5256一1）,②

6'7m-1x7

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查了平方差公式，讀懂題意，理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平方差公式即可求解；

（2）原式變形后，根據(jù)平方差公式即可求解；

（3）①原式變形后，根據(jù)平方差公式即可求解；

②原式變形后，根據(jù)平方差公式即可求解；

【詳解】（1）解：（"6）x（6+。）="-/,

故答案為：（a-b）；

（2）解：原式=g（3—l）（3+l乂32+1）（34+1乂38+）1（3|6+1）

=1（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）

4816

=1［34_1）（3+1）（3+1）（3+1）

8816

=1（3-1）（3+1）（3+1）

=1（316-1）（316+1）

（3）解：①原式=g（5+l）（5_°（52+l）（54+l）…（5⑵+1）

=:（5TS+11代+1）

IdT）

=*一），

故答案為：1（5256-1）；

②原式=―j-（m-l）（m+l）^m2+1）（*+1）…（加2〃+］）

=——1）（加之+1）（加4+1）...（加2〃+］）

=-（冽4—1）（加4+］）...（冽2〃+］）

m4n-lY

m—1

故答案為：一二(一"T)-

【考點三乘法公式中簡便運算變換】

例題：(24-25八年級上?山東泰安?階段練習(xí))簡便計算

⑴11x102?-11x98?

(2)121x0.13+12.1x0.9-12x1.21

【答案】⑴8800

(2)12.1

【知識點】有理數(shù)乘法運算律、有理數(shù)四則混合運算、運用平方差公式進行運算

【分析】本題主要考查了平方差公式，運算律在有理數(shù)運算中的應(yīng)用，

對于(1),先提出11,再根據(jù)平方差公式計算即可；

對于(2),逆用乘法分配律計算即可.

【詳解】(1)原式=11x(1022-982)=11x(102+98)(102-98)=11x200x4=8800；

(2)原式=121x0.13+121x0.09-121x0.12

=121x(0.13+0.09-0.12)

=121x0.1

=12.1.

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25八年級上?吉林長春?階段練習(xí))簡便運算

(1)20212-2022x2020;

⑵20gxi9；.

【答案】⑴1

⑵399g

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查了平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平方差公式進行計算，即可解答；

(2)利用平方差公式進行計算，即可解答.

【詳解】(1)20212-2022x2020

=20212-(2021+l)x(2021-1)

=20212-(20212-1)

=20212-20212+1

=1;

(2)20-xl9-

33

=(2O+IH2°-^

4

=400——

9

=399-

9

2.(23-24七年級下?全國?單元測試)簡便計算：

(1)30|X291

(2)972

【答案】⑴899g

(2)9409

【知識點】運用完全平方公式進行運算、運用平方差公式進行運算

【分析】本題主要考查了平方差公式及完全平方公式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式及完

全平方公式.

(1)把原式化為平方差的形式，然后根據(jù)平方差公式計算即可.

(2)把原式化為完全平方公式的形式，然后根據(jù)完全平方公式計算即可.

【詳解】(1)解：原式=(30+3，8一曰

4

二900——

9

=899-.

9

(2)解：原式=(100-3)2

=1002-2X100X3+32

=10000-600+9

=9409

3.(24-25八年級上,四川宜賓,階段練習(xí))簡便運算

(1)20242-2023x2025；

(2)186.72-2xl86.7x86.7+86T.

【答案】⑴1;

⑵10000.

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】(1)利用平方差公式進行運算即可；

(2)根據(jù)完全平方公式的逆用即可求解；

本題考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：原式=2024?-(2024-1)x(2024+1)

=20242-(20242-12)

=20242-20242+1

=1;

(2)解：原式=(186.7-86.7)2

=1002

=10000.

4.(24-25八年級上?吉林長春?階段練習(xí))用簡便算法計算.

(1)20242-2025x2023;

⑵4+4x196+982.

【答案】⑴1

(2)10392

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算、含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理數(shù)混合運算等知識點，能靈活運用平

方差公式和完全平方公式進行計算是解題的關(guān)鍵.

(1)先變形，再根據(jù)平方差公式進行計算即可；

(2)先變形，再根據(jù)完全平方公式進行計算即可.

【詳解】⑴解:20242-2025x2023

=20242-(2024+l)x(2024-1)

=20242-(20242-12)

=20242-20242+1

=1;

(2)解：4+4xl96+982

=22+2X2X2X98+982

=22+2X2X98+982+2X2X98

=(2+98)2+2X2X98

=1002+4x(100-2)

=10000+400-8

=10392.

5.(23-24七年級下?全國?單元測試)運用乘法公式計算：

⑴30gx29；；

⑵1.35?+2x1.35x2.65+2.652.

【答案】⑴894

9

⑵16

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了利用平方差公式和完全平方公式進行計算，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解

此題的關(guān)鍵.

(1)原式變形為[30+![(30-1；再利用平方差公式計算即可得出答案；

(2)利用完全平方公式計算即可得出答案.

21

【詳解】(1)解：30-x29-

4

二900——

9

=899-；

9

(2)解：1.352+2xl.35x2.65+2.652

=(1.35+2.65『

=42

=16.

【考點四乘法公式中項數(shù)的變換】

例題：(23-24七年級下?全國?單元測試)計算：(5a+36-2c)(5a-3b+6c).

【答案】25a2+20ac-12c2-9b2+24bc

【知識點】運用平方差公式進行運算、計算多項式乘多項式

【分析】本題考查了多項式乘多項式以及平方差公式的運算，先整理原式為(5a+2c)2-(3b-4c)2,再運用

平方差公式展開進行計算，再合并同類項，即可作答.

【詳解】（5a+3b-2c）（5a-3b+6c）

=（5a+36+2c-4c）（5a—36+2c+4c）

=［（5a+2c）+（3b-4c）］［（5a+2c）-（3b-4c）］

=（5a+2c）2-（3/?-4c）2

=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2

=25a2+20ac-12c2-9b2+24bc.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級下?遼寧錦州,期中）計算：（2a-b+5）（2a+b-5）.

【答案】4a+106-25

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】構(gòu)造平方差公式計算，本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

［詳解］（2“_b+5）（2a+6-5）=（2a）2_僅_5）~

=4a2-Z>2+10Z>-25.

2.（24-25七年級上?上海嘉定,期中）計算：（3"6+2乂30+6-2）.

【答案】9a2-b2+4b-4

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，先把原式變形為［3a-（6-2）］［3a+他-2）］,再利用

乘法公式求解即可.

【詳解】解：原式=［3"（6-2）］［3°+。-2）］

=（34_僅_2）2

=9/-（〃-46+4）

=9。2一〃+46一4.

3.（24-25七年級上?上海?期中）計算:（2x+y-3）（2x-y+3）

【答案】4x2-y2+6y-9

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了平方差公式與完全平方公式的運用，首先將原式進行適當(dāng)變形，然后應(yīng)用平方差公式,

再應(yīng)用完全平方公式進行展開和化簡.

【詳解】解：（2x+〉-3）（2x-y+3）

=［2x+（y-3）］［2x-（y-3）］

=4x2-(y2-6y+9)

=4x2—y2+6y—9.

4.(24-25七年級上?上海楊浦,期中)計算：(a+26-3c)("26-3c).

【答案]a2+9c2-6ac-4b2

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了平方差公式和完全平方公式.此題難度適中，注意首先把原式變形為：

[(?-3c)+26][(a-3c)—26]是解答止匕題的關(guān)鍵.

所求的式子可化成[(q-3c)+26][(a-3c)-26],然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解.

【詳解】解：(。+26-3c)(a-26-3c)

=[(a-3c)+2b][(a-3c)-2b]

=(a-3c)2-(2b)2

=a2+9c2-6ac-4b2-

5.(24-25七年級上?上海虹口?期中)計算：(2x—+3)(2x+~3).

【答案】4x2-r+6z-9

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查完全平方公式和平方差公式，先將3)看成整體運用平方差公式計算，再運用完全平方

公式計算即可.

【詳解】解：原式=[2x-("3)][2x+(-3)]

=4X2-(?-3)2

=4X2-(Z2-6?+9)

=4%2—+6,-9.

6.(24-25七年級上?上海?期中)利用乘法公式計算：(2a-36+4(36+2a-c).

【答案】4a2—9Z)2+6bc—c2

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了運用平方差公式和完全平方公式進行運算，將(3%-c)看作整體，根據(jù)平方差公式、完

全平方公式進行計算即可求解.

【詳解】解:(2a-3b+c)(3b+2a-c)

=(2a+36-c)[2a~(3b-c)]

=(2a)*-(3Z)-c)~

=4a2-9b2+6bc-c2.

7.(24-25七年級上?上海松江?期中)計算：(x+y-3)(x-y+3)+(y+3)M

【答案】x2+12y

【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式變形為[x+5-3)][-(了-3)]+(y+3『,

再利用完全平方公式和平方差公式進行求解即可.

【詳解】解：(x+y-3)(x-y+3)+(y+3『

=[x+(y-3)][x-(y-3)]+(y+3)2

=x2-(^y-3)2+y2+6y+9

=x2-y2+6y-9+y2+6y+9

—x2+12y.

8.(2024八年級上?全國?專題練習(xí))計算：(2a+3b-l)(l+2a-3b)+(l+2a-3b)2.

【答案】8a2—12ab+4a.

【知識點】運用完全平方公式進行運算、運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查了整式的乘法一乘法公式.利用平方差公式和完全平方公式計算即可求解.

【詳解】解：原式=[2a+(36-l)][2a-(36-1)]+[2a-(36-1)]

=4/_(3b-+4/_4。(36-1)+(36-爐

=8/_4a(36-1)

=8a2-12ab+4a.

【考點五乘法公式中整體代換應(yīng)用】

例題：(23-24七年級下?廣東茂名?單元測試)已知：a-6=3,ab=\,試求：

(1)a2+3ab+b2的值；

⑵(a+耳的值.

【答案】⑴14

⑵13

【知識點】通過對完全平方公式變形求值、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題主要考查完全平方公式，熟記公式的幾個變形公式對是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)完全平分公式的變形即可求解

【詳解】(1)解：,:a-b=3,ab=l

a1+3ab+b2

=(a-b)2+5ab

=9+5

=14；

(2)(4+6)2

=(a-b)~+4ab

=9+4

=13.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級下?廣東揭陽?階段練習(xí))同學(xué)們在學(xué)習(xí)八年級上冊第十四章《整式的乘法與因式分解》時,

學(xué)習(xí)了重要的公式一一完全平方公式，解答下列各題：

【基礎(chǔ)公式】請寫出完全平方公式(。+方)2=；

【公式變形】公式可以變形為/+〃=;

【應(yīng)用】

(1)已知：。+6==15,求/+〃的值；

(2)已知：a—=3,求—7的值.

aa

【答案】［基礎(chǔ)公式］/+2a6+〃

［公式變形］(a+6『一2°6

［應(yīng)用］(1)34

(2)7

【知識點】通過對完全平方公式變形求值

【分析】本題主要考查完全平方公式的運用，掌握完全平方公式及其變形計算是解題的關(guān)鍵.

［基礎(chǔ)公式］由完全平方和公式即可求解；

［公式變形］根據(jù)完全平方公式的變形即可求解；

［應(yīng)用］(1)根據(jù)完全平方公式的變形得到42+〃=g+32_2",代入計算即可；

(2)運用完全平方公式變形得到/+二=「+!丫-2,代入計算即可.

a\a)

【詳解】解：［基礎(chǔ)公式］(a+b)2=。2+2。8+62,

故答案為：a2+2ab+b2;

［公式變形］a2+b2=(a+b^~2ab,

故答案為：(tz+/?)2-lab；

［應(yīng)用］(1)va2+b2=(^a+ft)2-lab,a+b=S,ab=15,

???原式=82—2x15=64—30=34；

/C、21，1丫、1a

(2),*"ci~H—=67H——2,=3,

aVa)a

???M^=32-2=7.

2.(22-23七年級上?陜西寶雞?期中)閱讀材料：把形如"2+方龍+c的二次三項式(或其一部分)配成完全

平方式的方法叫做配方法?配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即力±2必+62=(.±6)2.

13

例如：(X-1)2+3,(x-2>+2x,(］工-2)2+^/是M-2X+4的三種不同形式的配方.

請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

⑴將X?-6x+4按三種不同的形式配方；

⑵將/+“6+〃配方(至少兩種形式)；

⑶已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b-C的值.

【答案】⑴(X-3)2—5；(尤-2p-2x；-|x2；

⑵(a+b『-a6；++-|/)2；L+6+〉；

2)4

⑶2

【知識點】通過對完全平方公式變形求值、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了完全平方公式的逆寫，熟練掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵.

(1)仿照例題，利用完全平方公式即可求解；

(2)仿照例題，利用完全平方公式即可求解；

(3)利用完全平方公式，將等式化為伍-2『+(cT『=0,進而求出6=2,a=l,c=l,再

代入求值即可.

【詳解】(1)解：X2-6X+4=X2-6X+9-5=(X-3)2-5；

—6x+4=—4x+4—2x—(x—2)—2x；

i95o(3]5o

x2-6x+4=—x92-6x+4——x2=-x-2——x2；

44UJ4

(2)解：a2+ab+b2=a2+lab+b2-ab=^a+-ab；

a2+ab+b2=a2+ab+—b2+—b2=\a+—b\+—b2

44I2J4

Q2+ab+〃——Q2+ab+H—ct^—\—a+b]H—Q2；

4412J4

(3)解：'：a2+b2+c2—ab—3b—2c+4=0

.?1/—++3b+3]+(02—2c+l)=0,

?.＞一："+j(，―2)2+(1)2=0,

/.a——b=0,6-2=0,c-1=0,

2

..b=2,4=1,c=l,

「.Q+6—c=l+2—1=2

3.(23-24八年級上?福建廈門?期中)圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成

四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形.

n

n

mm

?②

⑴觀察圖②直接寫出三個代數(shù)式(加+〃)2、(加-")2、4〃皿之間的等量關(guān)系

⑵請運用⑴中的關(guān)系式計算：若無+了=-3,孫=2,求X—的值；

(3)若(2024-a『+(a-2023『=7,求(2024-a乂a—2023)的值.

【答案】⑴+=

⑵±1

⑶-3

【知識點】通過對完全平方公式變形求值、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的前提，掌握公式

的變形是正確解答的關(guān)鍵.

(1)由題意可知，圖②中的四個長方形面積和為477OT,再根據(jù)大正方形面積減四個長方形面積等于中間小

正方形面積列式，即可得到答案；

(2)由(1)所得等式可知，(x+y)2-4xy=(x-y)2,再根據(jù)已知條件得出=1,再開平方即可求解;

(3)令2024-4=7〃，a-2023=n,貝"機+〃=1,由已知可得%?+/=7,再根據(jù)〃；,=(7"+〃)——(5+”)

2

求解即可.

【詳解】(1)解：由圖形可知，(m+w)2-4m?=(m-H)2,

故答案為：(加+〃『一4mn=(加-〃7

(2)解：由(1)所得等式可知，(x+y)2-4中=(x-y)2,

■：x+y=-3,xy=2,

.-.(x-y)2=(-3)2-4x2=l,

:.x-y=±l■

(3)解：令2024-a=m,A-2023=?,

:.m+n=2024—a+a—2023=1,

V(2024-a)2+(a-2023)2=7,

m2+=7,

(m+=m2+n2+2mn,

(m+w)2-(m2+w2)J2-7

mn=-------------------------=-------=-3,

22

.?.(2024-a)(〃-2023)=-3

4.(23-24七年級下?四川達州?期末)觀察以下等式：

(x+l)(、2_1+1)=工3+1,(1_2)12+2x+4j=x3-8,(x+3)^x2-3x+9)=x3+27,

(X-5)(X2+5X+25)=X3-125……

按以上等式的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：

①(Q+6)(Q2一?+⑹=/+戶；②(Q—6)(Q2+Q6+,2)=Q3

⑴利用多項式乘以多項式的法則，證明：(〃+田(/—仍+〃)=〃3+63成立；

出已知|〃+6-4|+("一2)2=0,求/+〃值；

(3)已知+y=3,a=；,求d-/的值.

【答案】⑴見解析

(2)40

(3)15.5

【知識點】多項式乘法中的規(guī)律性問題、通過對完全平方公式變形求值

【分析】本題考查多項式乘以多項式，利用完全平方公式變形求值：

(1)利用多項式乘以多項式的法則，將等式的左邊展開即可得證：

(2)根據(jù)非負性求出。+6,仍的值，進而求出/+〃的值，進而求出/+/的值即可;

(3)先求出,+「的值，整體思想求出丁-貫的值即可.

【詳解】(1)證明：(a+b^a2-ab+b2^

=cr'—a~b+ctb~+ci~b—ab~+b，

=a3+b3;

6/+Z?—4—0,cib—2=0,

：.a+b=4,ab=2,

.?./+〃=(“+6)2-2ab=16-4=12,

a3+Z>3=(a+Z))(a2-+Z)2)=4x(12-2)=40；

(3)yx>y,x+y=3,xy=—,

4

22=(x+y『_2xy=￡,(x-y)2=(x+yf-4xy=4,

x+y

■,■x>y,

：.x-y=2,

135

x3-y3=(x-y](x2+xy+y2=2x一+—=15.5.

24

5.(23-24八年級上?湖南永州?期末)閱讀材料：我們知道：若幾個非負數(shù)相加得零，則這些數(shù)都必同時為

零.

例如：①("Ip+(6+5)2=0,我們可以得：①-ip=0,3+5)2=0,

所以。=1,6=-5.

②若加2—4加+/+6"+13=0,求加、〃的值.

解：因為他2-4加+“2+6〃+13=0,

所以(蘇-4〃?+4)+(/+6〃+9)=0(我們將13拆成4和9,等式左邊就出現(xiàn)了兩個完全平方式)

所以(加一2)2+(〃+3)2=0,

所以(加-2『=0,(〃+3)2=0,

所以"=2,m=-3.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(l)a2-4a+4+b2=0,貝！1。=_,b=_.

(2)已知/+2孫+2/-6y+9=0,求￡’的值.

⑶已知仇中人)是長方形的長和寬，且滿足力+262_6"86+17=0,求長方形的周長.

【答案】⑴2；0

⑵-27

⑶10

【知識點】通過對完全平方公式變形求值、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用

【分析】此題考查完全平方公式的應(yīng)用，以及偶次方的非負性質(zhì)的應(yīng)用.

(1)利用完全平方公式變形把等式化成幾個非負數(shù)相加得零的形式即可；

（2）利用完全平方公式變形把等式化成幾個非負數(shù)相加得零的形式即可求出x、y的值，然后代入求值.

(3)同(2)根據(jù)完全平方公式求出0,6的值，然后根據(jù)長方形的周長公式計算即可.

22

【詳解】(1)解：■.■a-4a+4+b=0,

.■\a-2)2+b2=0,

。—2=0,b=0,

ci—2,Z?—0.

故答案是：2；0；

(2)vx1+2xy+2y2-6j+9=0,

???x2+2xy+y2+y2-6y+9=0.

.-.(x+y)2+(y-3)2=0.

x+y=0,y-3=0.

.??y=3,x=-y=-3.

7=(-3)3=-27；

(3)■■-2a2+b2-Sa-6b+n=0,

2cr—8a+8+—6b+9=0

.?.2(。2一44+4)+/-66+9=0

.?.2(a-2)2+(/,-3)2=0

—2=0,6—3=0

：?a=2,b=3,

長方形的周長為：2(a+6)=2x(2+3)=10

【考點六乘法公式中幾何圖形的應(yīng)用】

例題：（24-25七年級上?江蘇鹽城?期中）如圖1是一張邊長為。的正方形紙片，在它的一角剪去一個邊長為

6的小正方形，然后將圖1剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖2的一個大長方形（陰影部分）.

（1）將圖1陰影部分的面積記為E，圖2的面積記為$2,若用含。、6的代數(shù)式表示H和邑，則、=一,

⑵請你判斷W與S2之間的大小關(guān)系：H一邑(填"("或"=")；

⑶利用(2)中的結(jié)論,求2024?-2022?的值.

【答案】⑴氏(。+6)(。一，)

⑵二

(3)8092

【知識點】平方差公式與幾何圖形、運用平方差公式進行運算、列代數(shù)式

【分析】本題主要考查平方差公式與幾何面積、列代數(shù)式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)正方形和長方形的面積可直接進行求解；

(2)根據(jù)圖形可得結(jié)論；

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論可得/=(a+6)(a-b),進而利用結(jié)論進行求解即可.

22

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，S,=a-b,S2=(a+b)(a-b),

22

故答案為：a-b,(a+b)(a-b);

(2)解：根據(jù)圖形，圖2的大長方形是邊長為。的正方形紙片，在它的一角剪去一個邊長為6的小正方形,

然后將陰影部分剪拼成的，

故答案為：=;

(3)解：由(2)得=(a+1)(a-6),

???20242-20222

=(2024+2022)x(2024-2022)

=4046x2

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級下?江蘇揚州?期末)定義:對于任意四個有理數(shù)°、b、c、d,定義一種新運算:

ab

=a2+d之+be.

cd

-1-2

34

m-nm-n

是完全平方式，則后=_;

km2nkm2n

m-\-4n-4

(3)若有理數(shù)加、〃滿足加+3〃=5,且

4m2+2n24m-n

①求”加的值;

②如圖，四邊形A8CD是長方形，點￡、F、G、〃分別在邊BC、CD、D/上，連接EG、FH交于點

P,且EG、FH將長方形4BCD分割成四個小長方形，若48=9",BF=3n,CF=3m,DG=m,在①的

條件下，求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴11

(2)m2—kmn+4n2;±4

(3)①2；②,

【知識點】完全平方式在幾何圖形中的應(yīng)用、求完全平方式中的字母系數(shù)、多項式乘多項式一一化簡求值

【分析】本題考查了新定義，完全平方公式的變形求解，熟練掌握新定義和完全平方公式是解答本題的關(guān)

鍵.

ab、、

(1)根據(jù)，=/+屋+6c計算即可；

cd

ab、°

(2)根據(jù)+屋+慶計算，再根據(jù)完全平方式的特征求解即可；

cd

(3)①根據(jù)=/+/+6。得出(加+4療+(4加一〃)一4(4加2+2*)=13,再結(jié)合加+3〃=5即可求出加〃二2；

cd

②根據(jù)圖象可得S陰影=8矩形4BCD.S矩形NEP”-S&EBC~^^HDC，化簡后代入機+3〃=5,mn=2即可求解；

【詳解】⑴解：=(-1)2+42+3X(-2)=1+16-6=11；

m-n

(2)解：=m2-kmn+^n2;

km2n

m-n

若7c是完全平方式，則左=±4；

kmln

m+4n-4

⑶解：①???

4m2+2n24m-n

...(加+4〃『+(4機_〃『—4(4加2+2〃2)=13,

m2+9n2=13>

???(m+3H)2-6mn-13,

?加+3幾=5,

???25—6mn=13,

mn=2,

②由題意可知：S陰影_S矩形4BCZ)-S矩形4EPH_S^EBC_S^HDC

=9n?(3〃+3m)-3mn-g?3加?9〃一(?(9n-機)(3〃+3m)

271

=27〃2+27mn—3mn——mn——?(27H2+24m?-3m2)

271

=27nl+27mn—3mn——mw——?(27n2+24mn—3m2)

2733

=——n2—mn+—m2

222

-Imn

將機+3〃=5,用〃=2代入可得，原式=一.

2

2.（23-24七年級下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖1,邊長為。的大正方形中有一個邊長為6的小正方形，把圖

1中的陰影部分拼成如圖2所示長方形.

⑴根據(jù)圖1和圖2的陰影部分的面積關(guān)系，可得等式（用字母a,6表示）

⑵運用以上等式計算：

⑶如圖3,100個圓由小到大套在一起，從外向里相間畫陰影，最外面的圓的半徑為100cm,向里依次為

99cm,98cm，…，1cm,那么在這個圖形中，所有陰影的面積和是多少？（結(jié)果保留％）

【答案】⑴/-〃=（a+b）（。一6）

2025

⑵

4048

（3）5050^cm2

【知識點】運用平方差公式進行運算、平方差公式與幾何圖形

【分析】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，考核學(xué)生的計算能力和應(yīng)用意識，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵;

（1）根據(jù)圖1和圖2圖形的面積相等列出等式即可；

3452024202512320222023

（2）利用平方差公式整理成］xgxjx-X-----------X------------X—X—X—X---X------------X--即-----可-----求-解;

2023202423420232024

(3)根據(jù)圓的面積公式列出式子，根據(jù)(1)的規(guī)律計算即可.

【詳解】(1)解：解：①根據(jù)圖1和圖2陰影部分面積相等可得：a2-b2=(a+bXa-b),

故答案為：小一力=(a+b)(a-b)；

1+—!—1+^—

1—1—

2023202320242024

1+^—1+^—

1—1—

2023202320242024

3452024202512320222023

=—X—X—X?--X-----------X------------X—X—X—X---X------------X-------------

2342023202423420232024

20251

-------x--------

22024

2025

4048；

(3)解：100271-99271+...+427T-327T+227T-]17T

="(10()2-992+...+42-32+22-12)

=%(100+99+...+4+3+2+1)

=71-1-0-0-x-(-1-+-1-0-0-)

2

=5050^-(cm2),

答：陰影部分的面積為5050;rcm2.

3.(24-25八年級上,廣西南寧?期中)【知識生成】

通常情況下，通過用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式.如圖1,在邊長為。的

正方形中剪掉一個邊長為6的小正方形(?>&),把余下的部分剪開并拼成一個長方形(如圖2),圖1中陰

影部分的面積可表示為：a2-b2,圖2中陰影部分的面積可表示為：(a+b)(a-b),因為兩個圖中的陰影部

分的面積是相同的，所以可得到等式：a2-b2^(a+b)(a-b).

圖4

圖5

【結(jié)論探究】

圖3是一個長為2%寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖4的形狀拼成

一個大正方形.

(1)如圖4,用兩種不同方法表示圖中陰影部分面積，可得到一個關(guān)于(。+6『，(。-6)2,成的等式是

(2)若a+b=7,ab=5,求的值.

【類比遷移】

(3)如圖5,點C是線段3G上的一點，以3C,CG為邊向上下兩側(cè)作正方形/3C。，正方形CEFG,兩正

方形的面積分別記為W和S?,若BG=9,兩正方形的面積和W+$2=47,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)(a-b^=(a+bf-4ab-(2)29;(3)17

【知識點】完全平方式在幾何圖形中的應(yīng)用、平方差公式與幾何圖形、列代數(shù)式

【分析】(1)根據(jù)題意，陰影部分的面積=大正方形的面積-4個小長方形的面積，列出代數(shù)式即可；陰影

部分的面積=正方形的面積一長方形的面積-小長方形的面積，代入字母求出代數(shù)式即可；

(2)根據(jù)(1)代入數(shù)據(jù)計算即可；

(3)根據(jù)題意，延長Z。、FG交于點、H,設(shè)正方形CEFG的邊長為x,正方形/BCD的邊長為(9-x),兩

個正方形的面積和是47,得出方程/