重難點05解三角形的實際應用

明考情.知方向，

2025年考向預測：正、余弦定理的實際應用

重難點題型解讀

迪正、余艇理判三角形形狀

敏2求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

解三角形的實際應用

避3幾何圖形中的計算

題型4正、余弦定理的實際應用

題型1正、余弦定理判定三角形形狀

1.已知在VABC中，三邊。，瓦c分別對應三個內角AB,C；且一—=c-b+a

c+b-ab

(I)求角C的大小；

(2)當在VABC外接圓半徑R=1時，求VABC面積的最大值，并判斷此時VABC的形狀.

【答案】(1)C=g(2)VABC是等邊三角形，面積最大值為地

34

【解析】(1)根據題中條件，由余弦定理，求出cosC,進而可得角C；

(2)根據正弦定理，由題中條件，求出。，再由題中條件，利用基本不等式，求出劭最大值，進而可得三

角形面積的最大值，以及判斷三角形的形狀.

【詳解】(1)—.魯一伍一。)2="，^b2+a2-c2=ab,

c+b-ab'7

由余弦定理可得：cosC1"

lab2

-rr

又角C為VABC的內角，所以0<C(］，因此C=§；

(2)因為VABC外接圓半徑R=l,

所以由正弦定理可得：2R=^—,則c=2RsinC=7^;

smC

所以〃+/一3=h,,貝！J〃人+3=〃+〃之2〃匕，:.ab<3,當且僅當a=b=石時等號成立,

「.ABCSABC=—absinC=^-ab<.

?曲244

即VABC的面積的最大值是述，當且僅當a=b=c=退時等號成立；

4

因此，此時VABC是等邊三角形.

【點睛】方法點睛：

求解三角形中有關邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式,

建立。+6,ab,之間的等量關系與不等關系，然后利用函數或基本不等式求解.

2.在VABC中，角A、3、C所對的邊分別為。、b、c.已知2bsinA-后=0,且3為銳角.

（1）求角B的大小；

⑵若3c=3°+四,證明：VABC是直角三角形.

【答案】⑴（

（2）證明見解析

【分析】（1）利用正弦定理邊化角可解得sinB=且，再由B為銳角即可求解（2）利用正弦定理邊化角之后

2

再消元，可得sin（c-?）=g,再結合C的范圍即可得證

【詳解】（1）由正弦定理可知，三=口=，

sinAsmB

2bsinA-y/3a=0,「.2sinBsinA=石sinA

又在VABC中，sinA>0,;.2sinB=G，sinB=—,

TT

3為銳角，??.8=1.

(2)-3c=3a+y/3b

所以由正弦定理得：sinC=sinA+sinB=sinA+—,

32

又A=TZ■一+sinC=sin[q+c]+g=^^cosC+gsinC+g,

即，sinC—且cosC=，，.?.sinfc-->1=—,

222I3J2

故可得c-g=g,

3o

即Y

ABC為直角三角形.

3.（2023?上海虹口?一模）設VABC的內角A,3,C所對的邊分別為a,b,c,已知

.,,、.[714I3八

2cos（7i+A）+sinI—+2AI+——0.

⑴求角A；

Q）若c-b力a,求證：VA2C是直角三角形.

3

【答案】⑴A=

⑵證明見解析.

【分析】（1）根據三角函數誘導公式以及二倍角公式，化簡2cos（7i+A）+sin[]+2A]+m=0,即可求得答

案；

（2）利用正弦定理邊化角可得sinC-sin3=3sinA,結合兩角和差的正余弦公式化簡，求值，可得答案.

3

【詳解】（1）由條件2cos（兀+A）+sinf'+2A]+3=。，得一2cosA+cos2A+』=0,

<2）22

即2cos2A—2cosA+；=0,亦即[cosA—g1=0,

171

故COSA=5，因為4W（0,TI）,所以4=4.

（2）證明：由正弦定理及o一。='^〃得5111。一51113=避^1124,

33

由⑴知A=g,故B+C=§,于是sin（空-5]-sin5=^sin二，

33I3J33

則—^sinB=—f即cosfB+-^-|=,

222I6J2

因0v3<§,故+”,又c-b=a>0,C>B,

36663

從而

63

所以3=2,則。=9

o2

因此VABC是直角三角形.

4.(2024.上海寶山?二模)在&ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、6、c,己知

sin。A+sin2c=sin2B+sinAsinC.

(1)求角8的大小；

(2)若ABC的面積為出，求a+c的最小值，并判斷此時AfiC的形狀.

【答案】(嗚

(2)4,VABC為等邊三角形

【分析】(1)由正弦定理角化邊可得〃2+C2="+碇，進而根據余弦定理可求3；

(2)由三角表面積可求得公=4,根據均值不等式可求得a+c的最小值，根據取得最小值可判斷三角形的

形狀.

【詳解】(1)由正弦定理得4+°2=/+%,

又由余弦定理得cosB=1+/->=旦=,

lac2ac2

因為3是三角形內角，所以8=。；

(2)由三角形面積公式得：

c」?兀_也

SAUC=—CLCSWLIJ=—〃csin—=—etc=73,

ABC2234

解得QC=4,

因為。+(?226^=4,當且僅當a=c=2時取等號，

所以a+c的最小值為4,此時VABC為等邊三角形.

題型2求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

1.(2024?上海寶山?一模)在VABC中,已知2+心儲+爐.

(1)若sinC=2sinB,且6=2,求VA2C的面積；

⑵若方+c=L求a的取值范圍.

【答案】⑴動

⑵即

【分析】(1)結合正弦定理、余弦定理和面積公式即可求解；

(2)結合基本不等式求最值和三角形邊的關系即可求解.

「sin「

【詳解】(1)由正弦定理得7=」;=2,又b=2,從而c=4,

bsinB

從而A=1,

所以VASC的面積S=—Z?csinA=—x2x4xsin—=273.

223

(2)由a?=/+/—〃c=(〃+c)2—3bc=i—3〃。，

又be］等［=；,當且僅當b=c=g時取等號，

311

從而。221_=所以。2彳，

442

又因為VABC中，b+c>a,從而a<l,

所以〃的范圍是

2.(2023?上海徐匯?三模)如圖，VABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、J

(1)若3a—c=3〃cosC,求角B的大小；

JT

(2)已知6=3、B=-,若。為VABC外接圓劣弧AC上一點，求△ADC周長的最大值.

【答案】⑴3=arccosg；

⑵3+2?

【分析】(1)根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再結合和角的正弦求解作答.

(2)由(1)及給定條件，求出，ADC,再利用余弦定理結合均值不等式求解作答.

【詳解】(1)在VABC中，由3a-c=3Z?cosC及正弦定理，得3sinA-sinC=3sin5cosC,

即3sin(B+C)-sinC=3sinBcosC,則3(sinBcosC+sinCcosB)-sinC=3sinBcosC,

整理得sinC(3cos5—l)=0,而sinCwO,即cos5=g,又因為0<3<?,

所以5=arccos；.

2兀

(2)在AADC中，AADC=y,AC=3,

2元

由余弦定理得4€'2=4￡)2+￡>(<-24￡>?￡>€'85可，

于是(AO+OCf=9+ADDC<9+(AD+DC),解得AD+OCV26，

4

當且僅當AD=DC=6時取等號，

所以當AO=OC=g時，△ADC周長取得最大值3+2代.

3.(2023?上海青浦?一模)在VABC中,角A,B,C所對的邊分別為b,c,且滿足人/一戶+四=().

(1)求角8的大小；

(2)若6=26，求VA3C的周長的最大值.

【答案】(1)8=3~

⑵4+2石

【分析】

(1)根據余弦定理可得B的大小；

(2)邊角互化，可得a+>+c=4sin(A+5j+2A,結合三角函數的性質可得最值.

【詳角畢】(1)由儲+°2一〃+〃c=o,可得〃2+/一〃2=一〃0,

ca2+/—一ac1

所以cos5=---------=——=——,

2aclac2

O<jr

又3式0,兀)，所以2=中.

(2)由⑴得2==,所以sinB=3,

32

b

則由正弦定理可得一二=4,

sinAsmCsin3

BP〃=4sinA,c=4sinC,

所以VABC的周長a+Z?+c=4sinA+4sinC+2A/5，

又在VABC中,C=7r-A-B=--A,

3

貝Ua+匕+c=4sinA+4sin+2A/3=4sinA+y+2A/3,

3

0<A<71

TT

又在VABC中，^7i，所以0<4<彳，

0<——A<713

I3

所以當A=9時，周長取最大值為4+26.

o

4.(2023?上海?模擬預測)高鐵的建設為一個地區的經濟發展提供了強大的推進力，也給人們的生活帶來極

大便捷.以下是2022年開工的雄商高鐵線路上某個路段的示意圖，其中線段AB、8C代表山坡，線段C。為

75

一段平地.設圖中AB、3C坡的傾角滿足tan。=2，tan。=丘,長250m,BC長182m,CD長132m.假設該路

段的高鐵軌道是水平的（與C。平行），且端點瓦尸分別與A。在同一鉛垂線上，每隔30m需要建造一個橋

墩（不考慮端點/建造橋墩）

⑴求需要建造的橋墩的個數；

（2）已知高鐵軌道的高度為80m,設計過程中每30m放置一個橋墩，設橋墩高度為（單位：m）,單個橋墩

的建造成本為W=0.65/z+5（單位：萬元），求所有橋墩建造成本總和的最小值.

【答案】⑴18個

（2）715.625萬元

【分析】（1）先由正切值得到余弦值，進而計算得到得到AC的長，再計算得出AD,結合每30m放置一個

橋墩，

即可求出需要建造的個數.

（2）可設最左邊的橋墩到E的距離為X米，。“為從左往由第〃個橋墩的高度，寫出*e［O,18］和xe（18,3O）

對應的橋墩高度。.的表達式，然后利用數列求和求出所有橋墩的高度，計算出成本總和的最小值即可得

出答案.

752412

【詳解】（1）由tan<9=五，tan0=五，可得cos。=云，cos^=—,過點3向AC作垂線，垂足為

則

AM=ABcose=240,CM=BCcoscp=168fAD=AM+CM+CD=5^G,

故修建橋墩個數為54芳0=18個.

（2）設最左邊的橋墩到石的距離為九米，4為從左往由第〃個橋墩的高度,

由第=24。3r8=13.6,AC之間可以建13或14個橋墩，當可以建14個橋墩時,

0240+168—13x30=18,當18V元<30時，AC之間可以建13個橋墩，而=8,

7

即AM之間可以建8個橋墩，在xe［（M8］時，當6=80—tanex=80—五%,

777

a?=80(x+30),%=80—(X+30x2),,.=80—(x+30九—30)；

^9<n<14,an=tan^[168-(x+30n-30-240)]

80-^(438-X-30H)；當〃〃=80；同理寫出％e[18,30],

a“表達式總結如下:

①當xe[0,18]時:

7二

80------(x+30〃-30),1<n<8

24

80-3(438-X-3(M9V〃W14

解得見=，

80,15<M<18

求和后得至IJ的高度總和/i(x)=80x8-([8x+30x^^i^—30x8]+80x6-5[438x6-6x-

30x6x(,4)]+80x4=962.5+1x

②當xe(18,30)時：

-7

80-----(x+30〃-30),1<H<8

24

an=<80-—(438-x-30n),9<n<13

80,14<n<18

求和后得到的高度總和

^(x)=80x8--[8x+30x^li^-30x8]+80x5--[438x5-5x-

24212

30X5X(^+13)]+80X5=970-1J

所以當xe[O,18],/?(0)min=962.5,當xe(18,3O),962.5</?(%)<965.5,

即橋墩高度總和最小為962.5,成本最小值為0.65x962.5+5x18=715.625萬元.

【點睛】方法點睛：利用數列求解最值問題一般有三種方法：

(1)數列也是特殊的函數，其定義域為正整數，因此可以利用函數單調性判斷數列的單調性，從而確定數

列的最值.

(2)結合基本不等式求最值，將通項或者前w項和轉化為基本不等式的形式求最值.

(3)利用相鄰項比較，判斷數列的單調性，求最大值只需要滿足向，得出最值.

1%N%

題型3幾何圖形中的計算

1.如圖，矩形A2CD區域內，。處有一棵古樹，為保護古樹，以。為圓心，D4為半徑劃定圓。作為保護

區域，已知AB=30m,AD=15m,點E為AB上的動點，點P為CD上的動點，滿足E尸與圓。相切.

(1)若NAOE=20°,求EP的長；

(2)當點E在A8的什么位置時，梯形FE8C的面積有最大值，最大面積為多少？

(長度精確到0.1m,面積精確到O.OlnP)

【答案】⑴23.3m

(2)當AE=8.7時，梯形FEBC的面積有最大值，最大值為255.14

【分析】(1)設跖與圓D相切于對點連接則。DH=AD=15,在直角△HED和直

角AFHD中分別求出EH,HF,從而得出答案.

(2)先求出梯形AEED的面積的最小值，從而得出梯形正防。的面積的最大值.

【詳解】(1)設跖與圓。相切于對點連接DH,則。DH=AD=15

則AE=EH,所以直角VADE與直角△fiED全等

所以NADE=ZHDE=20°

在直角△//￡?中，EH=DHtan20°=15tan20°

ZHDF=90°-2ZADE=50°

在直角△FHD中,HF=ADtan50°=15tan50°

sin20°sin50°

EF=EH+HF=15(tan20°+tan50°)=15-----------1-----------

cos20°cos50°

口sin20°cos50°+cos20°sin500口sin(20°+50o)°

=15x------------------------------------------=15x——--------------

cos20°cos50°cos20°cos50°

=15x―—=15a23.3

cos20°cos50°cos50°

(2)設ZAD石=0,NHD產=90。-29,則AE=15tane,

切=15tan（90。-2。）

15

S、EFD=^-x￡FxD//=y[15tan^+15tan（90°-2^）]=yH5tan^+

tan2。

SV,DF=1XADXAE=—xl5tan0

yADE22

所以梯形3D的面積為S=sg+S萩=：（30tane+」^］=竽［2tan6+與9粵］

21tan23J212tan6/J

225L八1>225」一-一廠225A/3

------3tan0H---------------------x23tan0x-------------------

4Itan3J4vAtan62

當且當3tane=」^,即tan0=g時取得等號，此時AE=15tand=15x走=5百土8.7

tan。33

即當tan。=正時，梯形AEED的面積取得最小值約8

32

則此時梯形FEBC的面積有最大值15x30-225百合255.14

2

所以當AE=8.7時，梯形EE8C的面積有最大值，最大值為255.14

2.如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形ABC。的區域進行綠化，在此綠化區域中，分別以/DCB和ZD4B

為圓心角的兩個扇形區域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與8￡?相切.

（1）若AO=4歷，AB=3A/37,BD=37（長度單位：米），求種植花卉區域的面積；

（2）若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則多大時，平行四邊形綠地ABC。占地面積最小？

【答案】⑴72兀

（2）22.5°

【分析】（1）根據余弦定理可得ZA的大小，再根據正弦定理可得sin進而求得扇形的半徑，從而

得到種植花卉區域的面積

（2）設ZBD4=。，根據直角三角形中的關系可得AD,AB關于0的表達式，從而得到平行四邊形的面積表

200

達式0sin（26+45。）一1從而根據三角函數的最值求解即可

由+信一協42x37+32x37-37?16+9-371皿

【詳解】（1）由余弦定理,--,故A=120。,

2ADAB_2x4扃x3扃-24

BDAD,故5皿44瓦）=4^5111120°=^^,所以扇形的半徑

又由正弦定理有

sin120sinZABDBDV37

r=AB-sinNABD=3回坐=66,故種植花卉區域的面積S=2xk至x(6/『=72萬

庖23'/

io_10一

(2)設NRDA=6,則44血=180°-135°-。=45°-6,故AD=—4ADB=./.,,故平行四邊形

singsin(430

”2][0]0.1%。_⑼_________100

綠地A5CD占地面積2sin。sin(45。-。)_&/..2sin^cos^-sin26

\)sin0-(cos0-sin0)

=sin2e+8s2"l=&sin（2e+45。）」,因為〃（。"巧，故要鈣。面積最小，則當sin（2O+40=l,

即29+45。=90。，6=22.5。時ABCD面積取得最小值，即NBD4=22.5。多大時，平行四邊形綠地ABC。占地

面積最小

3.某公園要建造如圖所示的綠地Q4BC,OA,OC為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄AB與BC的

TT

總長度為12米，S.ZBAO=ZBCO.設NBAO=a（0<a<一）.

2

TT

⑴當AB=4,a時，求AC的長；（結果精確到0.1米）

（2）當A3=6時，求。4BC面積S的最大值及此時a的值.

【答案】（1）11.6米

37r_

（2）當a時，養殖場（MBC最大的面積為180+18平方米

O

【分析】（1）在VABC中，根據余弦定理求解即可；

（2）當AB=6時，可得SuZxgoBx&Lxsin（，-0）,再化簡可得S=18點sin（2a-71+18,再根據正弦函

數的最值分析即可

TTTTTT）TT

【詳解】（1）在VABC中，AB=4,BC=8,/ABC=2兀----------=一，由余弦定理，得

3326

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=80+32石，故AC=J'80+32石藥1.6.

因此AC的長約為11.6米.

7T)冗

(2)連接02.由題意，AB=BC=6,ZABO=ZCBO=TV——a=——a,

44

由正弦定理@=BC

在403c中,得OB=6A/2sina.

smasinZBOC

于是S=2x；OBxBAxsin3兀3兀6.)

=36A/2sinasin-—sina

27

=36sincrcoscr+36sin2a=18sin2cr+18(1—cos2cr)=18A/2sin^2cif——j+18,0<ex<—.當2a—1=即a=-^-

37r

時，s取到最大值，最大值為180+18.因此，當夕=丁時，養殖場O4BC最大的面積為18啦+18平方米

O

4.（2023?上海徐匯?一模）近年來，為“加大城市公園綠地建設力度，形成布局合理的公園體系”，許多城市陸續

建起眾多“口袋公園”、現計劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,

以跳'中點A為圓心，尸G為半徑的扇形草坪區A3C,點尸在弧上（不與端點重合）,AB,弧BC、CA,PQ、

PR、R。為步行道，其中PQ與垂直,PR與AC垂直.設

⑴如果點尸位于弧BC的中點，求三條步行道尸。、PR、R。的總長度；

（2）“地攤經濟”對于“拉動靈活就業、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道

PQ、PR、R。開辟臨時攤點，積極推進“地攤經濟”發展，預計每年能產生的經濟效益分別為每米5萬元、5萬

元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產生的經濟總效益最高為多少？（精確到1萬元）

【答案】⑴200+1004（米）

（2）2022萬元

【分析】（1）根據圖依次求出三條線段長度即可求出總長度;

(2)將尸2、PR、RQ三邊通過圖中的關系用關于。的等式表示，再記經濟總效益W,將W進行表示，通過輔助角

公式化簡求出最值即可.

【詳解】(1)解:由題AC=200,EA=100,;.EC=100』,

.,.ZE4c=],同理=5，故ZBAC=；,

由于點P位于弧BC的中點，所以點尸位于，BAC的角平分線上，

則|尸。|=網=|叫sinZPAB=200xsin-=100,

6

|AC|=|AP|cosZPAB=200X￥=100A/3,

因為ABAC=j,|A(2|=|A7?|=IOOA/3,

所以為等邊三角形，

則忸9=|4。=100有，

因此三條街道的總長度為/=|尸。|+|依|+3。|=100+100+1006=200+1006(米).

EAF

(2)由圖可知|PQ卜|Msine=200sin。，

|P/?|=|AP|sin^-^=200sin一=100A/3cos<9-100sin6?,

[A。]=[AP|cose=200cose,

\AR\=\AP\cosg一“=200cos胃一“=100cos6?+100Asin6?,

在-4?Q中由余弦定理可知：

2

廬。『+|A7?|-2|Ae||A7?|cos^

=(200cosOp+(100cos6+1004sin0^

-2x200cose(100cose+100^sine)cos?

=30000,

則|R0=ioo6,

設三條步行道每年能產生的經濟總效益W,則

W=(|P2|+|P7?|)x5+|7?e|x5.9

=(200sin，+100石cos〃一100sin，)x5+590若

=1000sin,+3+5903

當$吊,+m=1即時W取最大值，

最大值為1000+59073?2022.

答:三條步行道每年能產生的經濟總效益最高約為2022萬元.

5.(2023?上海浦東新?一模)在臨港滴水湖畔擬建造一個四邊形的露營基地，如圖48。所示.為考慮露營客

人娛樂休閑的需求，在四邊形ABCO區域中，將三角形A8O區域設立成花卉觀賞區，三角形80區域設立

成燒烤區，邊AB、BC、CD、ZM修建觀賞步道，邊BO修建隔離防護欄，其中CD=100米，3c=200米,

(1)如果燒烤區是一個占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長的隔離防護欄(精確到0」

米)？

(2)考慮到燒烤區的安全性，在規劃四邊形ABCD區域時，首先保證燒烤區的占地面積最大時，再使得花卉

觀賞區的面積盡可能大，則應如何設計觀賞步道？

【答案】⑴247.4m

(2)應使得AB=AD=100V5m,NC=g來修建觀賞步道.

247

【分析】(1)由三角形面積公式求出sinC=不，得到cosC=-不，利用余弦定理求出&)1247.4m；

(2)解法一：先得到燒烤區的占地面積最大時，BD=100y/5m,C=g,設ZABO=c,利用正弦定理得

到40=不一.15$111&,48=不一,由面積公式得到5AMi=------------+cosl2a--it\\,結

合々€(0,|兀)，得到面積的最大值，及A8=AO=1006m,得到答案.

解法二：先得到燒烤區的占地面積最大時，BD=lQQy/5m,C=^,設AB=x,AO=y,由余弦定理得到

結合基本不等式求出孫，止匕時：

BD=10075,500002S1xysinA<1250073,AB=AD=100y/5,得到

結論.

【詳解】(1)S=-BCCD-sinC=-x100x200sinC=9600,

Rcn22

24

解得：sinC=|j,

7

因為C是鈍角，所以cosC=-石.

由余弦定理得：B￡>=7BC2+CD2-2BCC￡>COSC

=JlOO?+2002-2x100x200x(^-^?247.4,

故需要修建2474m的隔離防護欄；

(2)解法一：S=-BC-Cr>sinC<-BC-CD=10000,

Rcn22

當且僅達C=|■時取到等號，此時BD=100x/?m,設NABD=a,

ADAB

在△加中‘加一$山\-asin713

3

解得：=—=—Asin|兀一a

故ABD5000073..

S=3AD-AB-sinA=------------sinasin

3

250006

3

因為as0,—7i,所以2a——7ie——7i,—7i

故當2a-gn=0,即a=g兀時，cos12a-1■兀］取的最大值為1,

S"25。警xg+1]=125006，

當且僅當a時取到等號，此時AB=AO=1006

JT

答：修建觀賞步道時應使得A2=AO=1006加，ZC=-.

解法二：SBCD=12C?CD-sinCWg200)=10000,

當且僅達C=g時取到等號，此時50=100石，

設AB=%,AD=y.則由余弦定理，

BD=\/AB2+AD2-2AB-AD-cosA=Jx2+y2-2xy-^=100A/5,

故由平均值不等式，50000=x2+y2-xy>xy,

從而$ABD=1■孫sinA<125004,

等號成立當且僅當x=y=100曲.

答：修建觀賞步道時應使得AB=AO=1006m,ZC=|.

題型4正、余弦定理的實際應用

TT

1.某水產養殖戶承包一片靠岸水域.如圖，AO,為直線岸線，Q4=1000米，03=1500米，ZAOB=~,

該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧AB，過弧A8上一點尸按線段上4和依修建養殖網箱，已知

⑴求岸線上點A與點8之間的直線距離；

（2）如果線段以上的網箱每米可獲得40元的經濟收益，線段PB上的網箱每米可獲得30元的經濟收益.記

ZPAB=0,則這兩段網箱獲得的經濟總收益最高為多少？（精確到元）

【答案】（1）5004米

（2）55076元

【分析】（1）由余弦定理計算即可;

（2）先由正弦定理計算出相關長度，再計算收益表達式，最后由輔助角公式求最值.

【詳解】(1)AB=>JOA2+OB2-2XOAXOBCOS

=715002+10002-2xl500xl000cos60°=500。，

岸線上點A與點3之間的直線距離為5006米.

500療_PA_PB

(2)APAB中，.2Tt.nsin0,

sinsin(y-a

=（生一。），尸2=呼豆"，（。＜0＜巴）,

A/33石3

設兩段網箱獲得的經濟總收益為y元，則

…non40000々./3000077.〃

y=40PA+30PB=-----產——sin(8)+------產——sin3

-733

10000V7.7i小。.小IOOOOA/7/C[-八.八、

=-----尸——[r4ylsin(t----6)+3sin0]=-----尸——(2,3cos6+sinff)

V33V3

=1。吧％+32回

V3

當，+arctan2A=(即6a]—arctan2石e(0,f時，

10000拘—,一、

%=—"55076（兀）

所以兩段網箱獲得的經濟總收益最高約為55076元.

2.如圖，某公園有一三角形的花壇ABC,己知圍欄BC長5米，AC長7米，3=60,擬在該花壇中修建

一條直圍欄尸。（即線段尸。，點尸、。分別在三角形的兩邊上），以種植兩種不同顏色的菊花供游客觀賞，花

壇設計者希望通過圍欄實現兩種菊花的種植面積相等且同一時刻花壇邊游客近距離賞花的人數的最大值相

等.試問：在VABC的邊上是否存在R。兩點，使得線段PQ既平分VABC的面積又平分其周長？若存在，求

出所有滿足要求的點AQ的位置（結果精確到0.1米）；若不存在，請說明理由.

【答案】存在，即長約7.2米，8。長約2.8米

【分析】

由余弦定理可計算AB的長,進而求出VABC的面積以及周長,分情況討論點AQ在A&AC上，在以5c上,

在C4、C3上，列方程組計算可求出結果.

【詳解】由余弦定理，AC?=BC2+AB2—2BC-AB-COSB,可得：49=25+AB2-2x5xABx1,解得：A5=8.

2

所以S.ABC=；倉忸5?sin6010石，周長為20.

■-j.m―/..+AC*2—BC~11AC2+BC2-AB2_1

由余弦定理可r知：cosA=-----------------------=一，cosC=

2ACAB142ACBC7

則sinA=述，sinC=—

147

x+y=10

若點八。分別在9AC上，設A尸=%,AQ=y,于是有x<8,y<7,貝I1.<,該方程組無解.

—xysinA=5V3

、2

x+y=10x=5+45

若點八。分別在3ABe上，設8P=x,5Q=y,于是有xW8,yW5,貝lj1.…,解得

—xysinB=5v3y=5一小

%+y=10

若點尸、。分別在C4、C8上，設CP=x,C0=y,,于是有無<7,，45,貝|1.「「6，該方程組無解.

萬孫smC=5"

綜上，存在84上點尸和5c上點。，其中成長約7.2米，3Q長約2.8米滿足題意.

3.如圖，A、B、。三地在以O為圓心的圓形區域邊界上，AB=30公里，AC=10公里，ZBAC=60°,。是

圓形區域外一景點，ZDBC=9009ZDCB=60°.

D

(1)。、A相距多少公里？(精確到小數點后兩位)

⑵若一汽車從A處出發，以每小時50公里的速度沿公路行駛到。處.需要多少小時？(精確到小數點

后兩位)

【答案】⑴15.28公里

(2)1.25小時

【分析】(1)由余弦定理求出BC,由正弦定理得到VABC的外接圓半徑，即可求出O、A相距多少公里;

(2)求出8。，由正弦定理求出sinNABC,由余弦定理計算出公路的長，根據汽車的速度，即可求出

所需的時間.

【詳解】（1）由題意，設圓的半徑為R,

在VABC中，AB=30,AC=10,Zfl4c=60。，

由余弦定理，

BC=yjAB2+AC2-2,ABACcosZBAC=A/302+102-2x30xl0xcos60°=10幣

由正弦定理，

BC

=2R,

sinZBAC

解得：=y721?15.28,

由幾何知識得，。、A間的距離即為半徑R,

04=尺=3仞=15.28,

3

A相距15.28公里

（2）由題意及（1）得

在RtZXCBD中，ZDBC=90°,NJDCB=60°,BC=IQ幣,

：.=tan60°=1077x^=10^,

在VABC中，AB=30,AC=10,Zfl4C=60°,

由正弦定理，

.“sinABACsin600后

sinZABC=AC--------------=lOx-----==------,

BC107714

.?.在△ABD中,

V21

cosZABD=cos(NABC+ZCBD)=cosZASC+^=-sinZABC=-

~14~

由余弦定理,

AD=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=卜+（10萬了—2x30x10萬x卜答:=10屈,

?.?一汽車從A處出發，以每小時50公里的速度沿公路AD行駛到。處，

.而中葉向ADIOA/39A/39,

??所需時間：t=——=---=----?1.25，

v505

需要1.25小時.

4.如下圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿A3,公園內的小

山下是一個水平廣場（虛線部分）.某高三班級數學老師留給同學們的周末作業是：進入該公園，提出與測

量有關的問題，在廣場上實施測量，并運用數學知識解決問題.老師提供給同學們的條件是：已知AB=10

米，規定使用的測量工具只有一只小小的手持激光測距儀（如下圖，該測距儀能準確測量它到它發出的激

光投射在物體表面上的光點之間的距離）.

（1）甲同學來到通往山腳下的筆直小路/上，他提出的問題是：如何測量小山的高度？于是，他站在點C處,

獨立的實施了測量，并運用數學知識解決了問題.