解三角形圖形類問題基礎練

2025年高考數學一輪復習備考

一、解答題

1.如圖，在平面四邊形A3C。中，ZACB=ZADC=90°,AC=26,ABAC=30°.

(1)若。=6，求BD；

(2)若NCB￡>=30°,求tanZBDC.

TT

2.平面四邊形A3C。中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADC=n,ZBCD=-.

⑴求3￡>;

⑵求四邊形ABC。周長的取值范圍；

⑶若E為邊3。上一點，且滿足CE=3E,SABCE=2S“DE，求△3CD的面積.

2bcsB

3.記VA5c的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,己知6=4,°=COsA+^.

ctanC

(1)求角B的大?。?/p>

(2)已知直線3。為—ABC的平分線，且與AC交于點。，若述，求VABC的周長.

3

27r

4.在VA2C中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,已知人=彳，c2-b2=accosC.

(1)求tanC；

(2)作角A的平分線，交邊于點。，若夜，求AC的長度；

⑶在(2)的條件下，求VABC的面積.

5.在VA2C中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,B=3O°-

(1)己知。=夜，bcosA+acosB=2

(i)求C；

(ii)若a<b,。為AB邊上的中點，求CD的長.

⑵若VABC為銳角三角形，求證：a〈組c

3

6.在VABC中，角A氏C的對邊分別為。，瓦。，且二=sinAtang.

2c2

⑴求c；

m

(2)若a=8,6=5,S是邊A3上的高，且CH=〃zC4+"C2,求一.

n

7.VABC的角A及C對應邊是a,b,c,三角形的重心是0.已知。4=3,08=4,OC=5.

⑴求a的長.

(2)求VABC的面積.

8.已知VABC的外心為。，點分別在線段A8,AC上，且。恰為的中點.

(1)若8C=6,OA=1,求VABC面積的最大值；

(2)證明：AMMB=ANNC.

9.VABC的內角的對邊分別為a,6,c,c>b,ARAC=20,ABC的面積為10月.

(1)求—4；

49

⑵設。點為VABC外心，且滿足0B-0C=-L，求心

6

10.記VABC的內角A3,C的對邊分別為a,b,c,已知c=6,6(l+cosC)=Esin8.

(1)求角C的大小和邊b的取值范圍;

(2)如圖，若。是VABC的外心，求OCAB+CA-CB的最大值.

參考答案:

1.(DA/13

⑵tanZBDC=布十^或tanZBDC=而一6

44

CD1

(1)在Rt^ACZ)中，cosZACD=—=-,所以N4CD=60。，

AC2

在Rt^ABC中，tan/2AC=g^=走，所以3c=2,又NACB=90。,

AC3

所以NDCB=NACB+NACD=150。，

在Z\BCD中由余弦定理BD2=DC2+BC2-2.DC-BCcos/BCD,

222

IPBD=(V3)+2-2X2XA/3X=13,

所以8。=JTL

回篇二4,

(2)由已知可得NABC=60。，又ZCBD=30°,所以NAB￡)=30。，

設DC=x(0<x<2代)，NBDC=a,則AD=J12-/，

40A3

在AABD中由正弦定理---------

sinZABDsinZADB

x

DCBC1.1

在△5CD中由正弦定理,即Isinaf所以sina=—,

sinZCBDsinZCDBx

2

又sin%+c0s%=l'所以［+±=1'解得'="答或/=任笠，

.sina1A/12-X2_1112-x2_1/12

田tana=-------

cosa

所以或2血=丁

2.⑴々

JTZ7T

(1)因為Z/WC+ZADC=TT,ZBCD=-,所以3，

在△BCD中由余弦定理BD=yjAB-+AD1-2ABADcosABAD

^l2+22-2xlx2x^-1^|=V7；

(2)在△BCD中BD1=CB2+CD2-2CBCDcosZBCD,

即7=CB'+CD1-CBCD,

所以CB2+CZ)2=7+caC。22cB-CO,所以0<CB-CDW7,當且僅當CBCD時取等號,

又(CB+CD)2=CB'+CD2+2cBCD=1+3CBCD,

貝|J7<7+3CB-CDW28,BP7<(CB+CZ))2<28,所以仇<.CB+CDW2。

所以CMCD=AC+A￡>+C8+C￡>=3+C8+C￡)e(3+4,3+2?],

即四邊形ABC。周長的取值范圍為(3+旨,3+2近]；

(3)因為SABCE=2%C°E，所以BE=2ED,又BD=用,

所以BE=mBC=￡1,DE=-BC=—,又CE=BE,所以CE=^^,

33333

在，BCE中由余弦定理CB2=CE2+BE2-2CE-BEcos/CEB,

BPCB2=—cosNCEB

99

在ADCE中由余弦定理CD2=CE2+DE2-2CE-DEcosZCED,

QCOQ

即cr>2=---------cosZCED,

99

又NCEB+NCED=n,所以cosNCE3=—cos/CEr>,

所以CB2+2C￡>2=14,

又7=9+CD--CBCD,所以次+2c=2cB?+2CD2-2CBCD,

^CB2=2CB-CD,所以C3=2CZ),

714

所以cr>2=_,所以CB.cr>=CB2+cr>2_7=一，

33

所以sBC?=!c8.CDsin/j3C￡>='x吧X走=2^一

BCD22326

c

(2)276+4

(1)由己知，得2CcosB=ccosA+'sin",

tanC

根據正弦定理，得2sinBcos8=sinCeosA+$也0..

tanC

BP2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC,

即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,

由于0<5〈兀，sinB>0,

1TT

所以cos8=彳，所以8=；；

23

⑵因為^AABC=S/\ABD+S/\BCD，

所以工QCsin/ABC=l5￡>csin/A5￡)+，3￡)Qsin/CB。,

222

因為直線50為ZABC的平分線,

171

所以ZABD=ZCBD=-ZABC=-,

26

所以L速，述c」+L述I

22232232

貝！JCac=?近(a+c),即ac=24(〃+c),

33V3

2222

由余弦定理得爐=a+c-2accos/.ABCf16=a+c-ac9

所以16=(Q+of-3ac=(a+c)2-2盧+c)

V3

解得a+c=2A/6或〃+c=(舍)，

3

故VABC的周長為2帽+4.

4.(1)1;

+拓

⑵0

2

9+56

4

(1)在VABC中，由/一〃=QCCOSC及正弦定理，f#sin2C-sin2B=sinAsinCeosC,

由A=§,得5+C=g,貝Usin3=sin(四一C)=^^cosC-LsinC，

33322

于是sin2C=(^-cosC--sinC)2+sin-sinCcosC=—cos2C+—sin2C，

22344

TT

整理得sin?C=cos?C,而?！?0,§),貝!JsinC=cosC,

所以tanC=1.

TTTT

(2)由A。為-54C的平分線，得=由(1)知，C=-,

在，ACZ)中，由正弦定理多AD=.CD",則CD=—高=6,

sinCsinZCAD

~T

由余弦定理得CD-=AD-+AC2-2AD-ACcos即3=2+AC2-&AC，

整理得AC?-應AC-1=0，而AC>0，

所以AC=更上在.

2

⑶由(2)知，s1nB=s1n(K-A-C)=s1n(1-J=^x^_lx21=2/t-^,

V2+A/6XA/2

b

由正弦定理得一則'==272+76,

sinC

4

所以VABC的面積S=—Z?csin—=—x

232

5.(1)(i)。=45°或135°;(ii)也—g

⑵證明見解析

(1)(i)因為匕=行，Z?cosA+〃cos3=2,所以Z?cosA+acosB=J5z?,

由正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=0sinB，即sin(A+3)=41sinB,

因為在VABC,8=30°,A+B+C=180°,

則sinC=^2x—=，

22

因為?！?0,兀)，所以。=45°或135°;

(ii)a<b,所以A<5,則。=135°,則)=15°,

a_c

sin15°sin135°

Xsin15°=,解得Q=6-1,C=2,

4

因為。為A3中點，則區￡＞=1,

在一5DC中，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2-2BC-BDcosB,

即CD?=i+(出_I)2_2X(省—l)xlx#=2—百，則CD=j2-5

⑵因為VMC為銳角三角形,『0。，則I：2。一獷則6。。＜。＜9。。，

要證a<28c，即證目sinA<2sinC,

由于GsinA-2sinC=^3sin(B+C)-2sinC=A/3(—COSCH-----sinC)-2sinC

22

=^-cosC-^sinC=cos(C+30°),

由60°<C<90°,則90°<C+30°<120°,所以-g<cos(C+30°)<。，

故J^sinA-2sinC<0,則6sinA<2sinC,則a<c,證畢.

3

6?⑴C=

n5

(1)VABC中，g=sinAtang,由正弦定理和同角三角函數的商數關系,

2c2

C..C

sinA?sin一sinAA?sm—

sinAsinA

得________2_由倍角公式得________2

2sinCCCCC

cos—4sin——?cos一cos—

2222

又因為AC為VABC的內角，所以

c

所以sinAwO,cos萬wO.

耳二［、］?2C1?C1

所以sm-=-1sm-=-,

則有5=得C=?.

2o3

TT

(2)方法一：a=8,b=5,C=j,G4-CB=|cA|-|cB|-cosC=flZ?cosC=5x8xcos|=20,

2

所以CA=〃=25,C?2=a=64>

由題意知CH_LA3,所以CH.A3=0，

即(mCA+?CB)-(CB-CA)=(m-?)(CB-CAj-mC/+ncS=20(/n-/7)-25m+64〃=0.

所以5根=44%所以生m=f44.

n5

方法二：VA3C中，由余弦定理得c2=a2+62-2abcosC=82+52-2x8x5x：=49,

所以c=7.

又因為右鉆0=；QbsinC=gc-S,

8x5x3r

所以absinC20K.

c77

所以A"='eV—.=3^L=_L

7AB49

5/\445

所以S=CA+AH=CA+—C5—CA)=—CA+—C5.

49'>4949

445

由平面向量基本定理知，根=77?九，

4949

7.(1)773;

(2)18.

(1)在VABC中，由。是重心，得OA+OB+OC=G，即有AO=OB+OC，

于是AO?=OB1+OC+2OB.<9C=42+52+2X4X5COSZ.BOC=32>解得cos/20C=-§,

而5。=0C-08，所以a=|BC|=而d+0B,-2OCOB=J42+52-2x4x5x(-1)=回.

(2)由(1)sinZBOC=^1-(-1)2=I,又。是重心，

133

所以VABC的面積SMc=3So8c=3x5O5-OCsinN3OC=5x4x5x—=18.

8.⑴至

4

(2)證明見解析

BC

(1)解：由正弦定理，得=2OA

sinZBAC

所以sinZBAC='°=，

2OA2

又NA4C?0,TI),所以ZBAC=m或日，

71

當/BAC=3時，

由余弦定理，BC2=AB2+AC--2ABxACxcosABAC

=AB2+AC2-ABxAC>2ABxAC-ABxAC=ABxAC,

所以ABxACV3,VABC的面積S='A2xACxsin巴4空，

234

當且僅當A8=AC=6時，取等號；

27r

當/&1C=一時，

3

同理可得ABxACWl,VABC的面積SW3，

4

當且僅當AB=AC=1時，取等號.

綜上，VA2C面積的最大值為地；

4

(2)證明：設AM=%,AN=%2，CN=%，

―…、,…八X^+OM2-AO2/…八y^+OM2-BO2

由余弦定理知cosNAMQ=-^-―——-——,cosZBMO=-^―——-——

2%1?OM2%-OM

因為cosZAMO+cosZBMO=0,

,X^+OM2-AO2yf+OM2-BO2

所CCI以-------------+—-------------=0n,

2xx-OM2yx-OM

化簡整理得a%+o"_a。?乂&+%)=0,

而西+%大0,因此占％=402_0暇2,

又因為。是VABC外心，^AO=BO=CO,

同理可知%%=4。2-。儲，

因為。恰為MN的中點，

因此占％=天2%,所以AM-MB=A7V-NC.

9.(1)60°

⑵7

(1)AB-AC=20nbccosA—20,SABC=10y/3=>16csinA=10s/3,

兩式相除得：tanA=若，

又0°<A<180°,/.ZA=60°.

(2)O為外心,故NBOC=2/4=120。,03OC=\OB|2x網=/

a14

由正弦定理可知：=2R=5=7

一71

10.(l)c=—,0<b<2

3

(2)i

(1)在VABC中，由。(l+cosC)=Gcsin8結合正弦定理可得:

sinB(1+cosC)=A/3sinCsinB,

因為Bw(0,兀)，則sin5w0,

化簡得瓜inC-cosC=2sin(C-工]=1,即sin(C--)=-,

V6J62

又因為c^(o,7i),則

oooy

所以c—￡=￡，解得。=g，