重難點(diǎn)05解三角形的實(shí)際應(yīng)用

明考情■知方向

2025年考向預(yù)測：正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

重難點(diǎn)題型解讀

迪正、余艇理判三角形形狀

?求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

解三角形的實(shí)際應(yīng)用

避3幾何圖形中的計(jì)算

題型4正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

題型1正、余弦定理判定三角形形狀

1.已知在VABC中，三邊。，瓦c分別對應(yīng)三個(gè)內(nèi)角AB,C；且-----=-------

c+b-ab

(I)求角C的大??；

(2)當(dāng)在VABC外接圓半徑尺=1時(shí)，求VABC面積的最大值，并判斷此時(shí)VABC的形狀.

2.在VA2C中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c.已知2bsinA-W=0,且B為銳角.

⑴求角B的大??；

⑵若3c=3"+回，證明：VA2C是直角三角形.

3.（2023?上海虹口?一模）設(shè)VABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，瓦c,已知

2cos（7t+A）+sin+2=0.

⑴求角A；

⑵若c-b=Ba,求證：VABC是直角三角形.

3

4.（2024?上海寶山?二模）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.

⑴求角B的大小；

（2）若&ABC的面積為6,求a+c的最小值，并判斷此時(shí)ABC的形狀.

題型2求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

1.（2024?上海寶山?一模）在VABC中,已知層+/=/+慶.

（l）若sinC=2sinB且6=2,求VABC的面積；

⑵若b+c=l,求。的取值范圍.

2.（2023?上海徐匯?三模）如圖，VABC中，角A、5、C的對邊分別為〃、b、c.

（1）若3a-c=3〃cosC,求角B的大??；

TT

（2）已知》=3、B=-,若。為VABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求△ADC周長的最大值.

3.（2023?上海青浦?一模）在VA2C中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且滿足〃+/一從十的=。.

⑴求角B的大小；

（2）若匕=24，求VABC的周長的最大值.

4.（2023?上海?模擬預(yù)測）高鐵的建設(shè)為一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了強(qiáng)大的推進(jìn)力，也給人們的生活帶來極

大便捷.以下是2022年開工的雄商高鐵線路上某個(gè)路段的示意圖，其中線段代表山坡，線段CD為

75

一段平地.設(shè)圖中AB、3C坡的傾角滿足tan。=或，tan。=丘,A3長250m,BC長182m,CD長132m.假設(shè)該路

段的高鐵軌道是水平的（與。平行），且端點(diǎn)E、/分別與A。在同一鉛垂線上，每隔30m需要建造一個(gè)橋

墩（不考慮端點(diǎn)尸建造橋墩）

⑴求需要建造的橋墩的個(gè)數(shù)；

（2）已知高鐵軌道的高度為80m,設(shè)計(jì)過程中每30m放置一個(gè)橋墩，設(shè)橋墩高度為無（單位：m）,單個(gè)橋墩

的建造成本為W=0.65/z+5（單位：萬元），求所有橋墩建造成本總和的最小值.

題型3幾何圖形中的計(jì)算

1.如圖，矩形A2CD區(qū)域內(nèi)，。處有一棵古樹，為保護(hù)古樹，以。為圓心，D4為半徑劃定圓。作為保護(hù)

區(qū)域，已知AB=30m,AD=15m,點(diǎn)E為AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P為CD上的動點(diǎn)，滿足E尸與圓。相切.

(1)若NAOE=20°,求EP的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在A8的什么位置時(shí)，梯形FE8C的面積有最大值，最大面積為多少？

(長度精確到0.1m,面積精確到O.OlnP)

2.如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形ABCD的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以/DCB和ZZMB

為圓心角的兩個(gè)扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個(gè)扇形的圓弧均與80相切.

(1)若AD=4歷，AB=3歷,BD=37(長度單位：米)，求種植花卉區(qū)域的面積；

(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則/8D4多大時(shí)，平行四邊形綠地ABC。占地面積最??？

3.某公園要建造如圖所示的綠地Q4BC,OA,OC為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄AB與BC的

7T

總長度為12米，S.ZBAO=ZBCO.設(shè)NBAO=a（0<a<一）.

2

TT

⑴當(dāng)AB=4,a時(shí)，求AC的長；（結(jié)果精確到0.1米）

（2）當(dāng)A3=6時(shí)，求。4BC面積S的最大值及此時(shí)a的值.

4.（2023?上海徐匯?一模）近年來，為“加大城市公園綠地建設(shè)力度，形成布局合理的公園體系”，許多城市陸續(xù)

建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計(jì)劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,

以砂中點(diǎn)A為圓心，尸G為半徑的扇形草坪區(qū)A3C,點(diǎn)尸在弧上（不與端點(diǎn)重合）,48、弧BC、CA,PQ、

PR、R。為步行道，其中PQ與A8垂直,PR與AC垂直.設(shè)

⑴如果點(diǎn)尸位于弧8C的中點(diǎn)，求三條步行道尸。、PR、R。的總長度；

（2）“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”對于“拉動靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道

PQ、PR、R。開辟臨時(shí)攤點(diǎn)，積極推進(jìn)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”發(fā)展，預(yù)計(jì)每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬元、5萬

元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少？（精確到1萬元）

5.（2023?上海浦東新?一模）在臨港滴水湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營基地，如圖ABC。所示.為考慮露營客

人娛樂休閑的需求，在四邊形A2CD區(qū)域中，將三角形48。區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形區(qū)域設(shè)立

成燒烤區(qū)，邊AB、BC、CD,D4修建觀賞步道，邊BO修建隔離防護(hù)欄，其中CD=100米，3c=200米,

（D如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長的隔離防護(hù)欄（精確到0.1

米）？

（2）考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形A3。區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉

觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？

題型4正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

TT

1.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，A0,為直線岸線，04=1000米，08=1500米，ZAOB=-,

該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧AB，過弧AB上一點(diǎn)尸按線段申和必修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知

2兀

ZAPB=—.

3

（1）求岸線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的直線距離；

（2）如果線段以上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段網(wǎng)上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記

ZPAB=0,則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）

2.如圖，某公園有一三角形的花壇A3C,已知圍欄長5米，AC長7米，3=60,擬在該花壇中修建

一條直圍欄尸。（即線段尸。，點(diǎn)AQ分別在三角形的兩邊上），以種植兩種不同顏色的菊花供游客觀賞，花

壇設(shè)計(jì)者希望通過圍欄實(shí)現(xiàn)兩種菊花的種植面積相等且同一時(shí)刻花壇邊游客近距離賞花的人數(shù)的最大值相

等.試問：在VABC的邊上是否存在RQ兩點(diǎn)，使得線段PQ既平分VASC的面積又平分其周長？若存在，求

出所有滿足要求的點(diǎn)尸、。的位置（結(jié)果精確到01米）；若不存在，請說明理由.

C

AB

3.如圖，A、B、C三地在以。為圓心的圓形區(qū)域邊界上，AB=30公里，AC=10公里，ZBAC=60°,。是

圓形區(qū)域外一景點(diǎn)，ZDBC=90°,ZDCB=60°.

D

（1）0,A相距多少公里？（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

⑵若一汽車從A處出發(fā),以每小時(shí)50公里的速度沿公路AD行駛到D處.需要多少小時(shí)?（精確到小數(shù)點(diǎn)

后兩位）

4.如下圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿A3,公園內(nèi)的小

山下是一個(gè)水平廣場（虛線部分）.某高三班級數(shù)學(xué)老師留給同學(xué)們的周末作業(yè)是：進(jìn)入該公園，提出與測

量有關(guān)的問題，在廣場上實(shí)施測量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題.老師提供給同學(xué)們的條件是：已知AB=10

米，規(guī)定使用的測量工具只有一只小小的手持激光測距儀（如下圖，該測距儀能準(zhǔn)確測量它到它發(fā)出的激

光投射在物體表面上的光點(diǎn)之間的距離）.

（1）甲同學(xué)來到通往山腳下的筆直小路/上，他提出的問題是：如何測量小山的高度？于是，他站在點(diǎn)C處,

獨(dú)立的實(shí)施了測量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決了問題.請寫出甲同學(xué)的解決問題方案，并用假設(shè)的測量數(shù)據(jù)（字

母表示）表示出小山的高度//；

（2）乙同學(xué)是在一陣大風(fēng)過后進(jìn)入公園的，廣場上的人紛紛議論：旗桿似乎是由于在根部A處松動產(chǎn)生了

傾斜.她提出的問題是：如何檢驗(yàn)旗桿4?是否還垂直于地面？并且設(shè)計(jì)了一個(gè)不用計(jì)算就能解決問題的獨(dú)

立測量方案.請你寫出她的方案，并說明理由；

（3）已知（1）中的小路/是東西方向，且與點(diǎn)A所確定的平面垂直于地平面.又已知在（2）中的乙同學(xué)已經(jīng)

斷定旗桿A8大致向廣場方向傾斜.如果你是該班級的同學(xué)，你會提出怎樣的有實(shí)際意義的問題？請寫出實(shí)

施測量與解決問題的方案，并說明理由（如果需要，可通過假設(shè)的測量數(shù)據(jù)或運(yùn)算結(jié)果列式說明，不必計(jì)

算）.

5.某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地AQ5進(jìn)行改建.如圖所示，平行四邊形

OMPN區(qū)域?yàn)橥＼噲?，其余部分建成綠地，點(diǎn)P在圍墻A3弧上，點(diǎn)”和點(diǎn)N分別在道路。4和道路OB上，

且。4=60米，4403=60°,設(shè)ZPOB=。.

（1）求停車場面積S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并指出。的取值范圍；

（2）當(dāng)。為何值時(shí)，停車場面積S最大，并求出最大值（精確到0.1平方米）.

6.如圖所示，某人為“花博會”設(shè)計(jì)一個(gè)平行四邊形園地，其頂點(diǎn)分別為4（/=1,2,3,4）,44=30米，

ZA4A=i20,。為對角線44和AA的交點(diǎn).他以4、4為圓心分別畫圓弧，一段弧與44相交于4、

另一段弧與44相交于A3,這兩段弧恰與44均相交于。.設(shè)乙414r>=e.

（1）若兩段圓弧組成“甬路”L（寬度忽略不計(jì)），求L的長（結(jié)果精確到1米）；

（2）記此園地兩個(gè)扇形面積之和為跖，其余區(qū)域的面積為S?.對于條件（1）中的L,當(dāng)心一些<0.12

時(shí)，則稱其設(shè)計(jì)“用心”，問此人的設(shè)計(jì)是否“用心”？并說明理由.

7.為打贏打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某村加大旅游業(yè)投入,準(zhǔn)備將如圖扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，

2

分別種植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半徑為100米，圓心角為§萬，點(diǎn)P在扇形的弧上，點(diǎn)。在

上，且尸

(1)當(dāng)。是OB的中點(diǎn)時(shí)，求尸。的長；

(2)已知種植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分別為30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香

種植區(qū)△OPQ的面積盡可能的大，求△。尸。面積的最大值，并求此時(shí)扇形區(qū)域A08種植花卉的總成本.

8.（2023?上海楊浦?一模）某數(shù)學(xué)建模小組研究擋雨棚（圖1）,將它抽象為柱體（圖2）,底面A3C與

全等且所在平面平行，VABC與各邊表示擋雨棚支架，支架AA、BB］、CQ垂直于平面ABC.雨滴

IT7T

下落方向與外墻（所在平面）所成角為:（即4402=7），擋雨棚有效遮擋的區(qū)域?yàn)榫匦蜗?。。?、。|

66

分別在C4、C鴻延長線上）.

（1）擋雨板（曲面的面積可以視為曲線段BC與線段8月長的乘積.已知。4=1.5米，AC=0.3米,

AA=2米，小組成員對曲線段BC有兩種假設(shè)，分別為：①其為直線段且44。?=三；②其為以。為圓心的

圓弧.請分別計(jì)算這兩種假設(shè)下?lián)跤臧宓拿娣e（精確到01平方米）；

（2）小組擬自制VABC部分的支架用于測試（圖3）,其中AC=Q6米，ZABC=-,NC4B=6,其中:＜。＜彳，

求有效遮擋區(qū)域高。4的最大值.

9.如圖所示，在河對岸有兩座垂直于地面的高塔C。和EF.張明在只有量角器（可以測量從測量人出發(fā)的兩

條射線的夾角）和直尺（可測量步行可抵達(dá)的兩點(diǎn)之間的直線距離）的條件下，為了計(jì)算塔CD的高度，他在點(diǎn)

A測得點(diǎn)D的仰角為30°,/CAB=75。，又選擇了相距100米的B點(diǎn)，測得ZABC=60.

（1）請你根據(jù)張明的測量數(shù)據(jù)求出塔CD高度；

（2）在完成（1）的任務(wù)后，張明測得/BAE=90,并且又選擇性地測量了兩個(gè)角的大?。ㄔO(shè)為。、夕）.據(jù)此,

他計(jì)算出了兩塔頂之間的距離.

請問：①張明又測量了哪兩個(gè)角？（寫出一種測量方案即可）

②他是如何用d6表示出D尸的？（寫出過程和結(jié)論）

10.落戶上海的某休閑度假區(qū)預(yù)計(jì)于2022年開工建設(shè).如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直角三角

形的迎賓區(qū)，=迎賓區(qū)的入口設(shè)置在點(diǎn)A處，出口在點(diǎn)2處，游客可從入口沿著觀景通道4C-8

到達(dá)出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到達(dá)出口（P為AABC內(nèi)一點(diǎn)）.

（1）若APBC是以尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行

至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結(jié)果精確到1分鐘）

（2）園區(qū)計(jì)劃將APBC區(qū)域修建成室外游樂場，若NBPC造24,該如何設(shè)計(jì)使室外游樂場的面積最大，請說

明理由.

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：60分鐘）

一、填空題

1.（22-23高三上?上海寶山?期中）在△ABC中，角B為銳角，所對的邊長b=6,AABC的面積為15,外接

圓半徑R=5,則△ABC的周長為.

2.（24-25高三上?上海?期中）銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，則其最大邊長與最小邊長比值的

取值范圍是

3.（23-24高三上.上海徐匯?期中）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120。的扇形A02,小區(qū)的兩個(gè)出

入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，且小區(qū)里有一條平行于3。的小路C￡＞；已知某人從C沿8走到。用了10分

鐘，從。沿￡%走到A用了6分鐘；若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長為

（精確到1米）

O

4.（23-24高三上?江蘇無錫?開學(xué)考試）如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度在鸛雀樓的正東方向找到

一座建筑物高約為37m,在地面上點(diǎn)C處三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A,鸛雀樓頂部河的

仰角分別為30°和45，在A處測得樓頂部M的仰角為15，則鸛雀樓的高度約為m.

5.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)建模小組模擬“月距法”測量經(jīng)度的一個(gè)步驟.如圖所示，點(diǎn)

均在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，點(diǎn)分別代表“月球“與“軒轅十四”（恒星名）.組員在地面C處測得

軒較十四的仰角/BCD=40,隨后向著兩“天體”方向前進(jìn)4米至。處，測得兩“天體”的仰角分別為

ZADH=3Q、NBDH=75.若"月球"距離地衣的高度AH為3米,貝『‘軒轅十四"到"月球"的距離約為.

6.（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)C在點(diǎn)0的正北方向，點(diǎn)A、點(diǎn)8分別在點(diǎn)。的正西、正

49

東方向，且sin/ACB=,,sin（A-B）=y,AB=4,若/AC2為銳角，則OC=.

二、單選題

7.（22-23高三下?上海楊浦?開學(xué)考試）在VABC中，"sinA+cosA<l”是“VABC為鈍角三角形”的（）條

件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

JT

8.（22-23高三下?上海普陀?階段練習(xí)）已知銳角VABC,AB=2幣,C=-,則A3邊上的高的取值范圍為

（）

A.（0.3]B.（0,3）C.（2,3]D.（2,3）

9.（2020?上海松江?模擬預(yù)測）如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離.已知

山高A5=1（M,CD=3（M,在水平面上E處測得山頂A的仰角為30。，山頂C的仰角為60。，ABED=120°,

則兩山頂A、C之間的距離為

A.20（%利）B.VlO（fon）C.屈（km）D.3?（km）

10.（2023?上海普陀?模擬預(yù)測）己知點(diǎn)。為VABC的外心，且AB+BO-BCvCO.C4,則丫4屈為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

三、解答題

11.（22-23高三上?上海浦東新?期中）某公園有一塊等腰直角三角形的空地4BC,其中斜邊的長度為400

米，現(xiàn)欲在邊界BC上選擇一點(diǎn)尸，修建觀賞小徑PM,PN,其中Af,N分別在邊界AB,AC上，小徑

PN與邊界BC的夾角都是60。，區(qū)域尸M8和區(qū)域PNC內(nèi)部種郁金香，區(qū)域AMPN內(nèi)種植月季花.

A

B

PC

(1)探究：觀賞小徑PM,PN的長度之和是否為定值？請說明理由；

(2)為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑MN,當(dāng)點(diǎn)尸在何處時(shí)，三條小徑(PM,PN,MN)的

長度之和最少？

12.(22-23高三下?上海?階段練習(xí))雨天外出雖然有雨傘，時(shí)常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，小明

想通過數(shù)學(xué)建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量小.為了簡化問題小明做出下列假設(shè)：

假設(shè)1：在網(wǎng)上查閱了人均身高和肩寬的數(shù)據(jù)后，小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為170cm、40cm的矩形“紙

片人”：

假設(shè)2：受風(fēng)的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為60。的直線；

假設(shè)3：傘柄OT長為60cm,可繞矩形“紙片人”上點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)；

假設(shè)4：傘面為被傘柄。7垂直平分的線段AB,AB=120cm.

以如圖1方式撐傘矩形“紙片人”將淋濕“褲腳”；以如圖2方式撐被矩形“紙片人”將淋濕“頭和肩膀”.

(1)如圖3在矩形“紙片人”上身恰好不被淋濕時(shí)，求其“褲腳”被淋濕(陰影)部分的面積(結(jié)果精確到(M