江蘇省常州市2024-2025學年高一上學期期末質量調研數學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合力=—,B={x|0<x<2},則4UB=()

A.{x|0<x<1}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<0}

2.若P(T〃z)為角a終邊上一點，且tana=；,則cosa=()

33-44

A.--B.-C.——D.-

5555

3."x>l是的()

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.下列函數中，是奇函數且在(0,+e)上單調遞減的為()

_22」J_

A.y_x3B.y=C?y=xD.y=

5.函數y=22i2的值域為()

A.[2,+^)B.(F,2]C.D.(0,2]

21

6.已知1cx<2,?=(log2x),b=\og2xfc=log2(2x),貝ij()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

7.形如2*+1(〃eN)的數稱為費馬數，記為￡,凡是一個冽位數，則加的值為(參考數據:

lg2?0.3010)()

A.19B.20C.21D.22

8.若直線了=加與函數〃x)=|bg3x|的圖象從左至右交于點A,B,直線了與/'(x)

的圖象從左至右交于點C,D,記線段/C和2。在無軸上的投影長度分別為。，b,則當機

變化時，的最小值為()

a

試卷第1頁，共4頁

A.2V2B.2A/3c.3V2D.3也

二、多選題

9.已知函數/(x)=2cos(gx+|^,貝I]()

A.1(x)的最小正周期為兀

B./(x)在區間[0,可上單調遞減

C.點Y，o1是/(X)圖象的一個對稱中心

D.將/(尤)的圖象向右平移g個單位長度后，得到的圖象關于V軸對稱

io.已知函數/卜)=忙￥：X：,，若/(/.))=1,則實數“的取值可能為()

12—1,XSU.

A.-2B.-C.1D.27

3

11.若函數/(%)在定義域內存在為,使得/(%+1)=/(/)+/(1)成立，則稱函數/卜)具

有性質下列函數中，具有性質M的有()

A.=：B./(x)=3，C./(x)=lgp^jD./(x)=x2+2'

三、填空題

12.已知扇形的周長為4cm,圓心角為2rad,則該扇形的面積為cm2.

13.若函數/(無)="2-。0&￥+”1在(-1,1)上恰有一一個零點，則實數。的值為.

14.已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，且當x20時，/(x)=a、(a>l).若對任意的

xe[0,t+l],1[^+：]2[/(力丁恒成立，則實數/的取值范圍是.

四、解答題

、2

?10&21

15.(1)求值:lg4+21g5+27+3

試卷第2頁，共4頁

(2)已知tan(兀+。)=2,求的值.

1，3=例y=cos2x+2sinx+加｝.

16.設加為實數，集合/小尸lg77r

（1）當加=1時，求Zc5；

（2）若（金工）。8=8,求機的取值范圍.

17.已知函數/(x)=Zsin(ox+0)A>0,1,0>0,忸區5的部分圖象如圖所示.

⑴求函數/（X）的解析式;

⑵若6小04],且〃0)=”求tane的值.

18.已知函數且⑴二三匚，令下（"=%，xeR.

（1）判斷函數尸（x）的單調性，并用定義證明:

⑵若存在x?ln21n3）,使得尸［/（2x）］+尸［2反（x）-3］>0,求實數2的取值范圍.

19.蘇教版必修一教材中有這樣一段話：對于等式〃=c（a>0,aWl）,如果將。視為自變量

x,6視為常數，c為關于。（即x）的函數，記為了，那么>=/,是幕函數；如果將。視

為常數，6視為自變量尤，。為關于6（即x）的函數，記為那么y=",是指數函數;

如果將。視為常數，c視為自變量x,b為關于c（即x）的函數，記為了，那么y=bg“x,

是對數函數.事實上，由這個等式還可以得到更多的函數模型.

如果c為常數e（e為自然對數的底數），將。視為自變量x（x>0,尤R1）,貝1］6為x的函數，記

為九將了表示成x的函數/（x）.

（1）直接寫出函數/（X）的定義域、值域、單調性、奇偶性：（不用證明）

試卷第3頁，共4頁

⑵若不等式(X-(X)＞o對任意的Xe(0,1)u(1,y)恒成立，求實數用的值:

(3)當函數〃(x)在區間［a,6］上連續，對任意X］,x2&［a,b］,

若恒有彳土產)＞，叫，⑷，則稱函數〃(x)是區間楨,可上的上凸函數，

若恒有h［七強］＜，則稱函數〃(x)是區間［凡可上的下凸函數，

當且僅當玉=%時等號成立，這個性質稱為函數的凹凸性.試判斷函數/(x)

在。,+⑹上的凹凸性，并證明你的結論.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省常州市2024-2025學年高一上學期期末質量調研數學試題》參考答案

題號12345678910

答案BAACDBBDBCABD

題號11

答案BCD

1.B

【分析】根據并集的定義直接求解即可.

【詳解】因為4={X|T<X41},B={x|0<x<2},

所以/UB={x|-l<x<2}.

故選：B

2.A

【分析】由條件結合三角函數的定義列方程求加，再結合三角函數定義求cose.

【詳解】因為尸(-3,〃?)為角c終邊上一點，

所以tancc=,由已知---=一，

-333

所以加=-4,故點尸的坐標為(-3,-4),

所以點P到原點的距離為^(-3)2+(-4)2=5,

--33

所以cosa=1-=一二.

故選：A.

3.A

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

11_

【詳解】解：由上<1,得二r<0,即(x-l)x>0解得x<0或x>l,

尤X

所以X>1是<1”的充分且不必要條件，

X

故選：A

4.C

【分析】根奇偶函數的性質和幕函數的性質對選項一一判斷即可得出答案.

_21

【詳解】對于A,y=x3=『的定義域為{小片0},

答案第1頁，共11頁

x2

且加了一席，所以在定義域內為偶函數，故A錯誤；

2

對于B,y=x3=^的定義域為R,

且再守=擊，所以y=/在定義域內為偶函數，故B錯誤；

_11

對于C,y=x3=-T=,的定義域為{x|xwo},

vx

1111

且玳=j=一正是奇函數,因為-所以y=x^在(0,+°0)單調遞減，故C正確;

對于D,>=￡=近的定義域為R，且步習=-次是奇函數，

因為g>0,所以了=/在(0,+8)單調遞增，故D錯誤；

故選:C.

5.D

【分析】令:2尤--4],所以了=2'(/Vl),結合指數函數的單調性即可求出答案.

【詳解】令/=2x-x2=_(x_l『+lVl,所以了=2(W1),

因為y=2'在R上單調遞增，所以0<2'42,

所以函數〉=22*4的值域為(0,2].

故選：D.

6.B

【分析】先根據l<x<2求出/=log2xe(0,l),作差比較出c>b>a.

【詳解】因為1cx<2,所以f=log2^e(0,l),

2

故a=/=log2x=21og,x=2t,c=log2(2尤)=l+log2無=1+t,

。―6=1+/—2%=1—，>0,c>b,

b—ci=2t—t2=t(2—t^>0,故Z?〉a,

所以

故選：B

7.B

答案第2頁，共11頁

【分析】r=264+1,設/=264，兩邊取常用對數估算m的位數即可.

【詳解】?.乜=264+1,設”264,則兩邊取常用對數得

1g/=1g2'4=641g2=64xOjo1。=19,264.

J=10以26%ip,

故片的位數是20,

故選：B.

8.D

【分析】設/,B,C,。的橫坐標分別為網用,馬,匕，根據題意得到再=,，W=',

X?X4

i2

2b—XAm+

乙=3",,匕=3罰，再由￡=廣3=%"4=32"求解.

【詳解】設4B,C,。的橫坐標分別為士,馬,巧,匕，

貝Ulog,X]=-m,logx=m,logx=--——-,logx=-——-

32332m+1342m+1

112

再“2=1,%3,％4=1，所以再=屋，/=￡，/=3"/4=3利，

D21/cC2113

又mT------=—(2m+1)H---------->2——=—,

2m+l2、)2m+l222

當且僅當：i(2/+1)=17；,即機=:1時，等號成立，

2''2m+l2

3

所以馬233=3/，

故選：D

9.BC

【分析】由周期公式判斷A；根據余弦函數的單調性可判斷B；由代值法判斷C；根據圖象

平移寫出解析式判斷奇偶性可判斷D.

T=空=4兀

【詳解】對于A,/(%)的最小正周期為1,故A不正確；

2

丫TT7T1TT

對于B,當xe[0,句時，-+-e,由余弦函數的單調性可得函數〃x)在[0,劃單調

答案第3頁，共11頁

遞減，故B正確;

對于C,因為H=2cos]；x；+m]=2cosT=0,故go）是/⑺圖象的一個對稱中心,

故C正確；

=2cos[$+I,顯然不關于了軸對稱，故D

不正確

故選：BC.

10.ABD

【分析】由題意可得1（。）=3或/（。）=-1,分類討論。>0和。<0,代入解方程即可得出答

案.

【詳解】令/（。）=乙所以/（〃叫=〃/）=1,

當/>0時，〃。=1限，=1,解得：/=3,所以/■⑷=3,

當°>0時，/（a）=log3a=3,解得：a=27,

當a<0時，f（a）=2-a-l=3,解得：°=-2,

當/W0,/（0=2-/-1=1,解得：t=-l,所以=

當a>0時，/（a）=log3c!=-l,解得：=j,

當aWO時，=無解，

綜上：實數。的取值可能為：（27,-2.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】假設各選項中的函數具有性質求對應的%,若/存在則判斷該選項所給函數

具有性質W,反之則說明該函數不具有性質由此確定正確選項.

【詳解】A,設函數/（尤）=，具有性質則存在看,滿足條件〃/+1）=/（%）+”1）,

所以--1,化簡可得工0=X0+1+%+%0,即X；+%o+l=O,

+1XQ

該方程無解，即滿足條件的X。不存在，矛盾，所以函數/（》）=：不具有性質W,A錯誤；

答案第4頁，共11頁

B,設函數/(x)=3,具有性質”，則存在天,滿足條件〃/+1)=/(/)+〃1),

所以3'川=3,。+3,化簡可得2了。=3,即3*。=],解得％=1-1叫2,

所以函數/(x)=3"具有性質/，B正確；

C,設函數/(尤)=lgW■具有性質則存在修,滿足條件〃x°+l)=/(x0)+/(l),

所以lg(x+；1+]=坨六+上；，化簡可得(X。+1)2+1=(片+1)2，

解得分=2或%=0,

所以函數/(x)=lgV1具有性質”，C正確；

D,設函數/'(x)=x2+2,具有性質/，則存在/,滿足條件〃/+1)=/&)+〃1),

所以(x0+1『+2'郵=片+2。+3,化簡可得2x0+2.-2=0,

因為函數了=2苫-2/=2工在(-00,+8)單調遞增，

所以函數了=2x+2工-2在(-吟+⑹單調遞增，

而x=0,y=\-2=-1,當x=l時，y=2f

所以方程2%+2與-2=0在(0,1)內有解，

所以函數/(力=爐+2-'具有性質M,D正確；

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算

五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助

于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新

題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

12.1

【分析】設扇形的半徑為五,然后根據題意列方程求出尺，再由扇形的面積公式可求得結果.

【詳解】設扇形的半徑為R,

因為扇形的周長為4cm,圓心角為2rad,

所以2R+2R=4,得夫=1,

答案第5頁，共11頁

所以扇形的面積為1尺％=：XFX2=1.

22

故答案為：1

13.2

【分析】易知當。=0時不符合題意；當awO時，利用轉化的思想可知函數了=cos尤與

g(x)=ox2+a_i圖象在(T,I)上恰有一個交點，結合余弦函數與二次函數的圖象與性質分析即

可求解.

【詳解】當0=0時，/(x)=-cosx-l,令〃x)=0,解得x=(2斤+1)匹左eZ,

當左=0時，x=?t免(-1,1),不符合題意；

因為函數/(無)在(-1，1)上恰有一個零點，

則方程辦2-cosx+a-1=0在(TJ)上恰有一個實根，

即函數V=cosx與g*)=ax?+a-1圖象在(-1,1)上恰有一個交點.

當。<0時，g(x)的圖象為開口向下、頂點位于了軸的拋物線，

此時ga)max=g(0)=a-l<0,與了=cos無圖象無交點，不符合題意；

當a>0時，COSXG[-1,1],

要使函數了=。。$》與g(x)=a?+a-1圖象在(-1,1)上恰有一個交點.

只需g(0)="l=l,解得a=2.

綜上，a=2.

故答案為：2

【分析】首先可得/(x)的單調性，再由[〃X)T=〃3X),即可得到對任意的尤+

x+；213M恒成立，從而得到對任意的x?0J+l]，(4x—)(8x+t)40恒成立，再分:0、

t>0、1<0三種情況討論，分別解出(4XT)(8X+/)W0,即可得到不等式組，從而求出參數

t的取值范圍.

【詳解】因為當x"時，=所以f(x)在[0,+s)上單調遞增且

[/(x)T=(，J=/*=/(3x)，

又函數/(尤)是定義域為R的偶函數，

答案第6頁，共11頁

則當x<0時，〃x）=〃-x）=「（a>l）,所以/（x）在（--0）上單調遞減且

[/（尤）T=（「）=。一”=/（玄），

所以[/（x）T=/（3x）,（xeR）,

因為對任意的xe[Oj+l],+；%[f（x）/恒成立,

即對任意的xe[O,/+l],/（x+；〉/（3x）恒成立，

顯然％+1>0,即"一1；

所以對任意的xw[O#+l],X+：2|3引恒成立，

即對任意的xe[Oj+l],8x2-fx--^-<0恒成立，

即對任意的xe[Oj+l],（4x-f）（8x+f）V0恒成立,

當1=0時，不等式（4xT）（8x+f）W0,解得x=0,顯然不成立;

/>0

當f>0時，不等式（4x-f）（8x+f）W0,解得一則-540,解得摩0；

O

->t+l

14

t<0

-<0

4Q

當/<0時,不等式（4xT）（8x+f）V0,解得x<--,則<解得-1<%；

O

8

，>—1

綜上可得：實數才的取值范圍是1-1,-1

故答案為：

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是根據函數的單調性與奇偶性將函數不等式轉化為對任意的

xe[0j+l],x+；2|3x|恒成立.

15.(1)13(2)2

【分析】（1）利用對數的運算性質求解即可;

（2）利用誘導公式化簡計算即可.

答案第7頁，共11頁

【詳解】(1)原式=2(lg2+lg5)+3%+2=2+9+2=13；

(2)因為tan(兀+a)=tana=2,

c(—cosa)?(—sina)

所以原式二^^-----甘-----』=tana=2.

cosa

16.(1)/門2=1,3

1,

【分析】(1)解不等式求出集合A,再根據二次函數和正弦函數的性質求出集合B,然后利

用交集的定義可求出4c/；

(2)先求出集合A的補集，再由=得jB,再利用二次函數和正弦函

數的性質求出集合B,然后利用兩集的包含關系列不等式組可求得結果.

【詳解】⑴由2丫<一^5〉0,得(2x-5)(%+1)>0,解得x<-1或5

所以/=(-CO,-l)u[T，+8]，

當加=1時，^=l-sin2x+2sinx+1=-(siwc-1)2+3,

因為所以B=

所以何8=悖3；

(2)因為/=(-8,T)U(g,+sJ,所以a/=-1,|,

因為他2)口8=凡所以他

即=B.

=1-sin2x+2sinx+m=-^inx-1)2+2+m,

因為sinxG[-1,1],所以5=[-2+m,2+m],

—2+m<-1

所以c5,解得[V/MVL

2+m>—2

2

17.(1)/3=sinf2x+y

(2)tan。=1

【分析】(1)觀察圖象確定函數的最值，由此可求A,觀察函數的周期，結合周期公式求。,

答案第8頁，共11頁

由求。，由此可得函數解析式；

（2）由/（e）=g,結合特殊角三角函數值及正弦函數的圖象與性質求e,結合e的范圍確

定其值，再求tan。.

【詳解】（1）觀察圖象得函數/（X）的最大值為1,最小值為-1,故4=1,

觀察圖象可得7=2［善-白］=兀，xr=—,所以0=2,

V1212）co

由，［fl］=$出〔2*卷+=1,得0=5+2版,kwZ,

又冏W5,得夕=（，所以/（x）=sin（2x+；）；

（2）因為/⑻=$山（2。+：=；,

所以26+火=2版+殳，^26+-=2kTi+—,keZ

3636

jrjr

所以e=E---,或。=左兀+—,keZ,

124

又因為所以夕=：,

所以tan。=1.

18.⑴歹（x）是R上的增函數，證明見解析

7

⑵人-日

【分析】（1）先根據題意求得尸（無）=1-苫不，然后任取再,X2?R，且再〈無2,再化簡變

形尸（尤J-尸仁2）進行判斷符號,從而可判斷其單調性；

（2）先判斷尸（X）為奇函數，然后將不等式轉化為尸［;?。尤）］〉尸［3-22g（x）］,再根據尸（x）

71

是R上的增函數，得/'。力＞3-24g（x）,令ye-e-，，換元后將問題轉化為力＞：-g，

再構造函數可求得結果.

【詳解】（1）尸（x）是R上的增函數.

證明：由題意得，尸（"=黑=矢!1X2

2x-2xXGR,

-Xe+l-e+l

任取AweR,且王＜龍2,

答案第9頁，共11頁

2(2、2(e2xi-e2v2)

則P(xj-尸(9)=1--------11——=/,1、/,)、,

」I"J，e2X|+1(e2x2+lj(e2ri+l)(e2x2+l)

2V12x2

因為無i<Z,所以2占<2X2,e-<e,

所以e2w-e2*<0,Xe2x*+l>0,e2%2+1>0,

所以b(xj-尸(％)<0,即尸(再)〈尸卜2),

所以尸(無)是R上的增函數;

(2)因為尸(f)=J上=-尸［),所以尸(x)是R上的奇函數，

ex+ex

由尸［〃2x)］+尸［2念(尤)-3］＞0,得/口(2切＞-尸［2志［)-3］,

所以網一2Xg(x)］,

又因為尸(x)是R上的增函數，所以/(2力＞3-2聞司,

J