茶陵縣2024年下期期末質量檢測九年級數(shù)學試卷

時量120分鐘，滿分120分一、選擇題：本題共10小題，共30分.在每小題給

出的選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.反比例函數(shù)y=的圖象一定經過的點是（）

A.（1,10）B.（-2,5）C.（2,5）D.（2,8）

2.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x->=5B.無+工=5C.x2+1=0D.y2-x+3=0

X

3.已知1為關于x的一元二次方程/一分+1=0的根，貝"值為（）

A.2B.3C.4D.5

4.紅星村種的水稻2021年平均每公頃產7200kg,2023年平均每公頃產

8450kg.求水稻每公頃產量的年平均增長率.設水稻每公頃產量的年平均增長率

為X.列方程為（）

A.7200(1+x)2=8450B.7200(1+2x)=8450

C.8450(1-%)2=7200D.8450(1-2x)=7200

5.若?=：，則/7的值為()

b5a+b

25

C.D.

58

6.在孔△ABC中，ZC=90°,cos/=g,那么sinB的值等于（）

A.|B.—C.—D.1

222

7.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的

試卷第1頁，共6頁

53

A.-B.2C.-D.5

22

8.若關于x的方程依2+4x-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則左的取值范圍是（）

A.k>-2B.左>-2且左wOC.k<2D.左<2且立片0

9.如圖，下列條件中不能判定的是（）

A.ZADC=ZACBB.—=--

BCCD

C.NACD=/BD.AC2=AD-AB

10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a?0)的圖象如圖，有下列5個結論：

①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b：⑤a+b>m(am+b)(m#l的實數(shù)).

其中正確結論的有()

A.①②③B.①③④C.③④⑤D.②③⑤

二、填空題：本題共8小題，共24分.

11.因式分解：x2-4=.

12.如圖，△ABC中，DE//BC,DE=\,AD=2,DB=3,則的長是

BC

13.一元二次方程V-2x=l的兩根a、B,貝lJa+〃+a/=

試卷第2頁，共6頁

14.中國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四

步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？翻譯成數(shù)學問題是：一塊矩形田

地的面積為864平方步，它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步？利用方

程思想，設寬為x步，則依題意列方程為.

15.如圖，在A45C中，乙4=30。，乙5=45。，AC=26,則Z8的長為.

16.若拋物線"f_x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點，則c的取值范圍是.

17.對于實數(shù)a,b,定義運算…，〃*6=卜:丁例如4*2,因為4>2,所

[ab-b

以4*2=42-4x2=8.若再,是一元二次方程/-8x+16=0的兩個根,則

X|*馬=.

18.如圖，在矩形0/8C和正方形CDE尸中，點/在y軸正半軸上，點C,尸均在

x軸正半軸上，點。在邊8C上，BC=2CD,AB=3.若點比E在同一個反比例

函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達式是.

三、解答題：本題共8小題，共66分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

19.計算：（無+2024）。+2sin45。一出.

20.先化簡，再求值：p+—-TV2,其中<7=夜-1.

Va-\）a-1

21.解下列方程：

試卷第3頁，共6頁

⑴尤2-4x+3=0;

(2)x(x-3)=2(x-3).

22.4月23日是世界讀書日，習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力,

讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣”.某校響應號召，開展了“讀紅色經典,

傳革命精神”為主題的讀書活動，學校對本校學生五月份閱讀該主題相關書籍的

讀書量進行了隨機抽樣調查，并對所有隨機抽取的學生的讀書量(單位：本)進

行了統(tǒng)計.根據(jù)調查結果，繪制了不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.

(1)本次調查共抽取學生多少人？

(2)表中a的值為扇形統(tǒng)計圖中“3本”部分所對應的圓心角p的度數(shù)為

(3)已知該校有3000名學生，請估計該校學生中，五月份讀書量不少于“3本”的

學生人數(shù).

23.中國的探月工程激發(fā)了同學們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最

高點尸恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離8。=4m,仰角為淇

淇向前走了3m后到達點。，透過點尸恰好看到月亮，仰角為尸，如圖是示意

圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面2。的距離"=CD=L6m,點尸到時的距離

尸°=2.6m,/C的延長線交于點E.(注：圖中所有點均在同一平面)

試卷第4頁，共6頁

⑴求力的大小及tana的值；

⑵求CP的長及sinZAPC的值.

24.如圖，點尸為函數(shù)y=*+i與函數(shù)y='(x>0)圖象的交點，點尸的縱坐標為

2X

4,尸軸，垂足為點瓦

(1)求機的值；

(2)點M是函數(shù),v='(x>0)圖象上一動點，過點〃作MD_L3P于點。，若

x

tanZPMD=~,求點M的坐標.

25.如圖，四邊形N8CZ)中，BD平分/4BC,AADB=ZDCB=90°,E為42的中

點，CE與BD交于點、F.

(1)求證：AABDSADBC；

(2)求證：DE//BC；

⑶若小：8尸=2:3,BD=6,求￡>￡的長.

26.如圖，在平面直角坐標系中，直線/與x軸交于點46,0),與y軸交于點

5(0,-6),拋物線經過點4B,且對稱軸是直線x=l.

試卷第5頁，共6頁

(1)求直線I的解析式；

(2)求拋物線的解析式；

(3)點尸是直線/下方拋物線上的一動點，過點尸作尸軸，垂足為C,交直線

/于點。，過點尸作尸河，/,垂足為求產”的最大值及此時尸點的坐標.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值.熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關鍵.分別將各選

項的點坐標的橫坐標代入，求縱坐標，然后判斷作答即可.

【詳解】解：解：當x=l時，了=-￥=-10,圖象不經過(1,10),故A不符合要求；

當尤=-2時，＞=-二=5,圖象一定經過(-2,5),故B符合要求；

當x=2時，y=-y=-5,圖象不經過(2,5),故C不符合要求；

當x=2時，y=-y=-5,圖象不經過(2,8),故D不符合要求；

故選：B.

2.C

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是

否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.據(jù)此解答

即可.

【詳解】解：A、含有2個未知數(shù)，不符合題意；

B、為分式方程，不符合題意；

C、只含有一個未知數(shù)x,未知數(shù)的最高次數(shù)是2,二次項系數(shù)不為0,是一元二次方程，符

合題意；

D、含有2個未知數(shù)，不符合題意；

故選：C.

3.A

【分析】本題考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，將x=l代入方程可得

1-。+1=0,解一元一次方程即可得解.

【詳解】解：:l為關于x的一元二次方程》2一3+1=0的根，

1—Q+1=0,

???Q=2,

故選：A.

4.A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設水稻每公頃產量的年平均增長率為x,則

2022年平均每公頃7200(1+x)kg,則2023年平均每公頃產7200(l+x『kg,根據(jù)題意列出

答案第1頁，共15頁

一元二次方程即可.

【詳解】解：設水稻每公頃產量的年平均增長率為X,則2022年平均每公頃產

7200(1+%)kg,

則2023年平均每公頃產7200(1+好kg,

根據(jù)題意有：7200(1+x)2=8450,

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)?=:，可得到：。=金6,把。代入三化簡即可.

b55a+b

【詳解】解：*=之

b5

3,

a=—b

5

把代入可得：

5a+b

人

—3b4+b—?b588

55

故答案選：B

【點睛】本題主要考查了代數(shù)式，靈活轉變已知代數(shù)式代入求解是解題的關鍵.

6.A

【分析】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值及直角三角形的性質，先根據(jù)cos/=；,求出//

的度數(shù)，再由直角三角形的性質求出的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值即可得出sinB的

值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

?：RMBC中,ZC=90°,cosA=-,

2

ZA=60°f

???NB=90°一/4=90°-60°=30°,

答案第2頁，共15頁

sinB=sin30°=—,

2

故選：A.

7.D

【分析】過點力作平行橫線的垂線，交點8所在的平行橫線于。，交點。所在平行橫線于

E,根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，計算即可得解.

【詳解】解：過點力作平行橫線的垂線，交點3所在的平行橫線于。，交點。所在平行橫

???五線譜是由等距離的五條平行橫線組成的，

.AD_2

??=一，

AE3

AB_2

’亙=3,

~2

解得AB=5,

故選：D.

【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握并靈活運用該定理、找準對應線段

是解答此題的關鍵.

8.B

【分析】根據(jù)題意可得A=〃_4“c=16+8左>0,且左片0,可求解.

【詳解】解：???關于x的方程依2+4x-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

■.\=b~-4ac=16+8^>0,且左wO,

.,.左>-2且左片0.

故選：B.

【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式A=62-4ac,解題的關鍵在于熟練掌握當

A>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方程

無實數(shù)根.

答案第3頁，共15頁

9.B

【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟記相關判定定理即可求解；

【詳解】解：由圖可知：

若ZADC=N4CB,或ZADC=N4CB,則根據(jù)“如果兩個三角形的兩個角分別對應相等，

則這兩個三角形相似”可判定△/CDs,

故A、C正確，不符合題意；

若/。2=月。.45,即/C：/8=4D:/C,則根據(jù)“如果兩個三角形的兩邊對應成比例，并且

這兩邊的夾角相等，則這兩個三角形相似”可判定

故D正確，不符合題意；

AC

0=一不可判定故B錯誤，不符合題意；

JDCCJLJ

故選：B

10.C

【分析】由拋物線的開口方向判斷。的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根

據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

【詳解】①由圖象可知：a<0,b>0,c>0,abc<0,故①錯誤；

②當x=-l時，y=a-b+c<0,BPb>a+c,故②錯誤；

③由對稱知，當x=2時，函數(shù)值大于0,即y=4a+26+c>0,故③正確；

④當x=3時函數(shù)值小于0,y=9a+36+c<0,且x=-2=l,即。=心，代入得9(心)+36+c

-2a22

<0,得2cV3b,故④正確；

⑤當x=l時，y的值最大.止匕時，y=a+b+c,

而當x=m時，y=am2+bm+c,

所以a+b+c>am2+bm+c,

Sfca+b>am2+bm,BPa+b>m(am+b),故⑤正確.

綜上所述，③④⑤正確.

故選C.

【點睛】考查二次函數(shù)嚴"2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和、拋物線與>軸

的交點、拋物線與X軸交點的個數(shù)確定.

11.(x+2)(x-2)

【詳解】解：x2-4=x2-22=(X+2)(X-2)；

答案第4頁，共15頁

故答案為(，+2”-2)

【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質，根據(jù)相似三角形的判定及性質即可求解，熟

練掌握其判定及性質是解題的關鍵.

【詳解】解：

.△ADE^AABC,

,ADDE

"~AB~^C，

,:DE—1,AD—2,DB=3,

?2_1

,2+3-?

解得：sc=1.

故答案為：-.

13.1

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系，得到&+￡=2,ap=.\,把&+￡和3的值代入，求出代數(shù)

式的值.

【詳解】解：?.，、方是一元二次方程/-2"1(/_2_1=0)的兩根，

；.ct+(3=2,a。=-1,

,-.a+p+a-/3=2-1=1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，利用根與系數(shù)的關系求出代數(shù)式的值.

14.x(x+12)=864

【分析】本題理清題意后，可利用矩形面積公式，根據(jù)假設未知數(shù)表示長與寬，按要求列方

程即可.

【詳解】因為寬為x,且寬比長少12,所以長為x+12,

故根據(jù)矩形面積公式列方程：x(x+12)=864,

故答案：x(x+12)=864.

【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，此類型題目去除復雜題目背景后，按照常規(guī)公

式，假設未知數(shù)，列方程求解即可.

15.3+6

答案第5頁，共15頁

【詳解】過。作CD1/5于

：.Z.ADC=ABDC=90°.

,?25=45°,

?"0=45=45。，

:?CD=BD.

“=30。，4c=2日

■■CD=43,

■■BD=CD=C.

由勾股定理得：AD7AC?-CD?=3,

AB=AD+BD=3+A/3.

故答案是：3+G

【分析】本題主要考查了拋物線y=a/+6x+c與x軸的交點問題，掌握拋物線

y=a/+6x+c與x軸沒有交點與/-x+c=0沒有實數(shù)根是解題的關鍵.

由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關于c的一元一次不等式求解即可.

【詳解】解：???拋物線y=--x+c與x軸沒有交點，

???x2-x+c=0沒有實數(shù)根，

1

???A=l2-4xlxc=l-4c<0,c>—.

4

故答案為：c>—.

4

17.0

【分析】求出x2-8x+16=0的解，代入新定義對應的表達式即可求解.

【詳解】解：Y-8x+16=0,

答案第6頁，共15頁

解得：x=4,

即X]=%=4,

2

則XI*/=x1?x2-x2=16-16=0,

故答案為：0.

【點睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，對新定義的正確理解是解題的關鍵.

18.尸史

【分析】設正方形CDE尸的邊長為〃?，根據(jù)8C=2CD,AB=3,得到8（3,2加），根據(jù)矩形

對邊相等得到OC=3,推出E（3+機,以），根據(jù)點8,￡在同一個反比例函數(shù)的圖象上，得到

1O

3x2加=（3+加）加，得到冽=3,推出歹=一.

x

【詳解】解：???四邊形045。是矩形，

OC=AB=3,

設正方形。。￡尸的邊長為m,

：,CD=CF=EF=m,

?；BC=2CD,

??.BC=2m,

,E（3+m9m^,

k

設反比例函數(shù)的表達式為歹=￡,

X

3x2m=+,

解得加=3或機=0（不合題意，舍去），

???8（3,6）,

.,"=3x6=18,

1O

???這個反比例函數(shù)的表達式是

x

故答案為：》=空1o.

X

答案第7頁，共15頁

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，解決問題的關鍵是熟練掌握矩形性質，正方形性質,

反比例函數(shù)性質，人的幾何意義.

19.V2-1

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，先計算零次幕、特殊角三角函數(shù)值、負整數(shù)次塞，再進

行加減運算.

【詳解】解：原式=l+2x也-2

2

=1+72-2

=-$/2—1?

20.a+1,

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形,

約分得到最簡結果，最后把。的值代入計算即可.

【詳解】解：U+—

〈a-\Ja-1

_Q—1+1(a+l)(a—1)

a-\a

_a(?+l)(tz-l)

a-\a

=Q+1

當°=亞-1時，原式=0一1+1=收-

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

21.⑴再=3,X2=1

(2)%]=2,x2=3

【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解答本題的關鍵.

(1)方程左邊十字相乘法因式分解可得答案；

(2)移項后方程利用提公因式法求解即可.

【詳解】(1)解：x2-4x+3=0,

答案第8頁，共15頁

(x—3)(x-l)=0,

x-3=0或無一1=0,

解得Xj=3,X2=1；

(2)解:x(x-3)=2(x-3),

x^x—3^—2^x~3^=0,

(x-2)(x-3)=0,

x—2=0或x—3=0,

解得X1=2,X2=3.

22.(1)100

(2)20；108°

(3)1950人

【分析】(1)由2本人數(shù)及其所占百分比可得總人數(shù)；

(2)用總人數(shù)分別減去其它讀書量人數(shù)即可得出。的值；用360。乘“3本”所占百分比即可

得出扇形統(tǒng)計圖中“3本”部分所對應的圓心角/的度數(shù)；

(3)總人數(shù)乘以樣本中“讀書量”不少于3本的學生人數(shù)所占百分比即可.

【詳解】(1)解：抽樣調查的學生總數(shù)為：25+25%=100(人)，

答：本次調查共抽取學生100人；

(2)。=100-10-25-30-15=20；

30

扇形統(tǒng)計圖中“3本”部分所對應的圓心角/的度數(shù)為：360°x—=108°,

故答案為：20；108。；

(3)3000x3。+；；+15=1950(人)，

答：估計該校學生中，五月份讀書量不少于“3本”的學生人數(shù)為1950人.

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖的綜合運用以及用樣本估計總體，從統(tǒng)計圖中得到必要的信

息是解決問題的關鍵，扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

23.⑴45。，;

(2)72m-

34

答案第9頁，共15頁

【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數(shù)的定義是

解本題的關鍵；

（1）根據(jù)題意先求解CE=PE=lm,再結合等腰三角形的性質與正切的定義可得答案；

（2）利用勾股定理先求解C尸=VIm,如圖，過C作“，/尸于H,結合

tana=tanZ.PAE=,設CH=xm,則/H=4xm,再建立方程求解x,即可得到答

AH4

案.

【詳解】（1）解：由題意可得：PQ^AE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,

AE=BQ=4(m),AC=BD=3(m),

.?.CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m),ZCEP=90°,

CE=PE,

PF1

B=Z-PCE=45°,tana=tan/PAE=----=—；

AE4

(2)解：?；CE=PE=lm,ZCEP=90°,

■-cp=Vi2+12=V2m-

如圖，過C作。，14P于

tana-tanZ.PAE=-----=—,設CH=xm則AH=4xm,

AH4

???％2+(4、)2=402=9,

解得：尤=巫

17

??.CH=W,

17

3V17_

?CH3^/34.

"sinZAPC=——

CPV2-34

24.(1)24；(2)M點的坐標為(8,3)

【分析】（1）根據(jù)交點坐標的意義，求得點P的橫坐標，利用E計算加即可;

答案第10頁，共15頁

(2)利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可.

【詳解】解：(1)???點尸縱坐標為4,

...4=；x+l,解得x=6,

二尸(6,4)

..?4=一，

6

???加=24.

(2)tanZ.PMD=—,

2

PD_1

設尸￡>=k/>0),貝110M=2乙

當M點在P點右側，

點的坐標為(6+2容4-。，

(6+2力(4-Z)=24,

解得：4=1,t2=0(舍去)，

當6=1時，〃(8,3),

點的坐標為(8,3),

當〃點在尸點的左側，

二"點的坐標為(6-2/,4+7),

(6-2?)(4+力=24,

解得：4=0,馬=-1,均舍去.

綜上，加點的坐標為(8,3).

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函

數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點的意義，靈活運用三角函數(shù)的定義，構造

答案第11頁，共15頁

一元二次方程并準確解答是解題的關鍵.

25.(1)見詳解

(2)見詳解

(3)DE=273

【分析】(1)由8。平分/4BC,得NCBD=NABD,又NADB=ZDCB,然后問題可求證;

(2)由點E是48的中點，NADB=90。得DE=BE=AE,有NEDB=NEBD,而

ZCBD=ZEBD,即得/CBD=/EDB,從而問題可求證；

DFDE

(3)由。￡〃8C,可得ADEFs&BCF,即得釬=”，而。尸：昉=2:3,故

BFBC

――=—,——=—,設48=4機，貝lJ_8C=3加，由AABDS^DBC,BD=6,有切_=^2_

BC3BC3BD3m

然后問題可求解.

【詳解】(1)證明：?.?加)平分

/.ZABD=ZCBD,

???ZADB=ZDCB,

：.Z\ABD^/\DBC；

(2)證明：???點七是的中點，ZADB=90°,

DE=BE=AE,

AEDB=/EBD,

ACBD=/EBD,

/.ZCBD=ZEDB,

/.DE//BC；

(3)W：-DE//BC,

ZEDF=ZCBF,ZDEF=ZBCF,

:ADEFS^BCF,

.DF_DE

一茄一茄’

?:DF:BF=2:3,

?DE_2

,茄一］，

?3AB2

BC~3

答案第12頁，共15頁

?4B_4

,,一，

BC3

設力5=4加，則8。=3掰，

由（1）知"BDsaBC；

.ABBD

BD=6,

??BD2=ABBC,即12/=36,

w=V3（負根舍去），

/.AB=4m=4A/3,

:.DE=-AB=2y[3.

2

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，涉及平行線的判定與性質、直角三角形的性質

及應用，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理和性質定理.

26.（1）歹=%-6

11

⑵片片?-2X-6

（3）尸川的最大值是竽，此時的P點坐標是（3,-彳]

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)題意可設拋物線的解析式為7=。（》-1）2+左，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（3）由題意易證△尸DM為等腰直角三角形，即得出府=1尸。.設點尸的坐標為

2

一；/_6）,則D?J_6）,從而可求出PD=+（.再結