2023九年級數學上冊第2章一元二次方程2.5一元二次方程的應用第1課時增長（降低）率問題教學設計（新版）湘教版授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間教學內容湘教版九年級數學上冊第2章一元二次方程2.5節，重點講解一元二次方程的應用，其中第1課時聚焦于增長（降低）率問題。本節課旨在引導學生運用一元二次方程解決實際問題，提高學生的數學建模能力和應用意識。具體內容包括：通過實例分析，理解增長（降低）率問題的數學模型；掌握一元二次方程的解法，應用于解決增長（降低）率問題；培養學生在實際問題中提取關鍵信息，建立數學模型的能力。核心素養目標分析本節課旨在培養學生的數學核心素養，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算。學生通過解決增長（降低）率問題，能夠抽象實際問題中的數量關系，形成數學模型；通過方程求解過程，鍛煉邏輯推理和數學運算能力；在建模過程中，提升解決實際問題的意識和能力。學情分析九年級學生在經過基礎數學學習后，已經具備了一定的代數基礎和解題能力。他們對一元二次方程的理解相對成熟，能夠在教師的引導下獨立求解簡單的方程問題。然而，在解決實際問題，尤其是涉及增長（降低）率的問題時，學生可能存在以下情況：

1.知識層面：學生可能對一元二次方程的解法掌握較好，但在應用方程解決實際問題方面存在困難，特別是在理解題意、建立方程模型等方面。

2.能力層面：學生的數學建模能力有待提高，他們可能難以從實際問題中提取有效信息，無法準確建立數學模型，從而影響方程求解的準確性。

3.素質層面：學生在解決問題的過程中，可能缺乏耐心和細心，容易忽略題目的細節，導致錯誤。

4.行為習慣：部分學生在學習過程中存在依賴心理，遇到難題時容易放棄，缺乏獨立思考和解決問題的勇氣。

5.對課程學習的影響：上述情況可能導致學生在增長（降低）率問題的學習上興趣不高，影響他們對數學的應用意識和實際操作能力的提升。

因此，在本次教學中，教師需要關注學生的這些特點，通過實例分析和問題引導，激發學生的學習興趣，同時通過逐步分解問題、強化練習，幫助學生克服困難，提高他們在數學建模和解決實際問題方面的能力。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有湘教版九年級數學上冊第2章相關教材，以便學生跟隨教材內容學習。

2.輔助材料：準備與增長（降低）率問題相關的圖片、圖表、案例視頻等多媒體資源，以豐富教學內容，增強直觀性。

3.教學工具：準備計算器、黑板或電子白板，以便進行現場計算和展示解題過程。

4.教室布置：設置小組討論區，方便學生分組討論問題，并預留空間進行實際操作演示。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

發布預習任務：通過在線平臺或班級微信群，發布預習資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預習目標和要求，如“請學生預習一元二次方程的基本概念和解法，并嘗試解決簡單的增長（降低）率問題”。

設計預習問題：圍繞“一元二次方程的應用”，設計問題如“如何將實際增長率問題轉化為數學模型？”和“一元二次方程在解決增長率問題時有哪些注意事項？”。

監控預習進度：通過平臺查看學生的預習進度，并通過課堂提問了解預習效果。

學生活動：

自主閱讀預習資料：學生閱讀預習資料，理解一元二次方程的基本概念和解法。

思考預習問題：學生針對預習問題進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

教學方法/手段/資源：

自主學習法：學生通過自主閱讀和思考，培養自主學習能力。

信息技術手段：利用在線平臺和微信群，實現預習資源的共享和監控。

作用與目的：

幫助學生提前了解一元二次方程的應用，為課堂學習做好準備。

2.課中強化技能

教師活動：

導入新課：通過實際案例，如“某商品價格每年增長5%，求五年后的價格”，引出增長率問題。

講解知識點：講解一元二次方程在增長率問題中的應用，如“如何建立方程模型來表示增長率？”。

組織課堂活動：設計小組討論，讓學生根據案例建立方程模型。

學生活動：

聽講并思考：學生認真聽講，思考講解中的關鍵點。

參與課堂活動：學生積極參與小組討論，嘗試解決類似的問題。

教學方法/手段/資源：

講授法：通過講解，幫助學生理解一元二次方程在增長率問題中的應用。

實踐活動法：通過小組討論，讓學生在實踐中應用所學知識。

合作學習法：通過小組合作，培養學生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

幫助學生深入理解一元二次方程在增長率問題中的應用，掌握解決這類問題的技能。

3.課后拓展應用

教師活動：

布置作業：布置涉及增長率問題的練習題，如“某城市人口每年增長3%，求20年后的人口數量”。

提供拓展資源：推薦相關書籍或網站，如“數學建模入門”等，供學生進一步學習。

學生活動：

完成作業：學生認真完成作業，鞏固課堂所學。

拓展學習：學生利用拓展資源，進行更深入的學習。

教學方法/手段/資源：

自主學習法：學生通過自主完成作業和拓展學習，提高解決問題的能力。

反思總結法：學生通過反思作業和解題過程，發現并改進自己的不足。

作用與目的：

鞏固學生在課堂上學到的知識，通過拓展學習，拓寬學生的知識視野和思維方式。拓展與延伸一、提供與本節課內容相關的拓展閱讀材料

1.《數學建模與實際問題》

-介紹數學建模的基本概念和步驟，以及如何將實際問題轉化為數學模型。

-通過實例分析，展示如何應用一元二次方程解決增長率、增長率變化等問題。

2.《數學思維訓練》

-提供一系列數學思維訓練題目，涉及增長率、增長率變化等實際問題。

-通過練習，提高學生的數學思維能力和解決問題的能力。

3.《高中數學競賽輔導》

-介紹一元二次方程在數學競賽中的應用，包括增長率、增長率變化等問題。

-通過競賽題目的解析，拓展學生的解題思路和方法。

二、鼓勵學生進行課后自主學習和探究

1.增長率問題在實際生活中的應用

-學生可以關注身邊的事物，如商品價格、人口數量、經濟數據等，了解增長率問題在實際生活中的應用。

-例如，調查某地區人口增長率的變化，分析其背后的原因，并預測未來人口趨勢。

2.增長率變化的實際問題

-學生可以嘗試解決一些增長率變化的問題，如“某商品價格每年增長5%，求連續三年后的價格”。

-通過解決這類問題，學生可以進一步理解一元二次方程在增長率變化問題中的應用。

3.建立增長率問題的數學模型

-學生可以嘗試根據實際問題建立增長率問題的數學模型，如“某商品價格每年增長5%，求三年內價格翻倍時的起始價格”。

-通過建立模型，學生可以加深對一元二次方程應用的理解。

4.增長率問題的優化與拓展

-學生可以嘗試將增長率問題與其他數學知識相結合，如概率、統計等，拓展解題思路。

-例如，研究某商品價格在連續增長過程中，其價格分布規律，并預測未來價格走勢。

5.增長率問題的實際應用案例

-學生可以收集一些增長率問題的實際應用案例，如經濟、環境、人口等領域的問題。

-通過分析案例，學生可以了解增長率問題在各個領域的應用，提高對數學應用的認識。

6.增長率問題的研究性學習

-學生可以選擇一個感興趣的增長率問題，進行深入研究，如“某城市人口增長率與經濟發展水平的關系”。

-通過研究性學習，學生可以培養獨立思考、團隊合作和創新能力。典型例題講解1.例題：某商品原價為200元，若每年降價10%，求三年后的價格。

解答：

設三年后的價格為x元，根據題意，每年降價10%，即每年價格變為原價的90%。因此，可以建立以下方程：

\(x=200\times(1-0.10)^3\)

\(x=200\times0.9^3\)

\(x=200\times0.729\)

\(x=145.8\)

所以，三年后的價格為145.8元。

2.例題：某市人口以每年1.5%的速度增長，如果目前人口為50萬，求5年后的人口數量。

解答：

設5年后的人口數量為x萬，根據題意，每年增長1.5%，即每年人口變為原數的101.5%。因此，可以建立以下方程：

\(x=50\times(1+0.015)^5\)

\(x=50\times1.015^5\)

\(x=50\times1.0826\)

\(x=54.13\)

所以，5年后的人口數量約為54.13萬。

3.例題：某股票的價格從100元開始，以每年20%的速度增長，求5年后股票的價格。

解答：

設5年后股票的價格為x元，根據題意，每年增長20%，即每年價格變為原價的120%。因此，可以建立以下方程：

\(x=100\times(1+0.20)^5\)

\(x=100\times1.20^5\)

\(x=100\times2.48832\)

\(x=248.832\)

所以，5年后股票的價格約為248.832元。

4.例題：某產品成本為10元，銷售價格每年提高5%，求連續三年后的銷售利潤。

解答：

設連續三年后的銷售利潤為x元，第一年的銷售價格為10元，利潤為0元，第二年的銷售價格為10元乘以1.05，利潤為\(10\times1.05-10\)元，第三年的銷售價格為第二年的價格乘以1.05，利潤為\(10\times1.05^2-10\)元。因此，可以建立以下方程：

\(x=(10\times1.05^2-10)\times1.05-10\)

\(x=(10\times1.1025-10)\times1.05-10\)

\(x=(11.025-10)\times1.05-10\)

\(x=1.0525-10\)

\(x=1.0525\)

所以，連續三年后的銷售利潤約為1.0525元。

5.例題：某企業年利潤為100萬元，若每年利潤增長率為5%，求多少年后企業的年利潤將超過200萬元。

解答：

設n年后企業的年利潤將超過200萬元，根據題意，可以建立以下方程：

\(100\times(1+0.05)^n>200\)

\(1.05^n>2\)

對數運算得：

\(n\log_{1.05}>\log_{1.05}2\)

\(n>\frac{\log_{1.05}2}{\log_{1.05}}\)

\(n>\frac{0.3010}{0.0500}\)

\(n>6.02\)

由于n必須是整數年，所以n取7。

所以，7年后企業的年利潤將超過200萬元。板書設計①一元二次方程的應用

-一元二次方程的概念

-增長（降低）率問題的數學模型

-增長（降低）率的計算公式

②增長（降低）率問題的解題步驟

①確定增長率（降低率）

②確定增長（降低）周期

③建立一元二次方程

④求解方程，得出結果

③關鍵知識點

①增長率（降低率）的計算公式：\(增長（降低）后的量=原始量\times(1+增長率（降低率）)^{增長（降低）周期}\)

②一元二次方程的解法：公式法、配方法、因式分解法

③實際問題轉化為數學模型的方法：提取關鍵信息，建立變量關系

④重點詞句

①“增長（降低）率”：表示數量增長（降低）的百分比。

②“增長（降低）周期”：表示數量增長（降低）的周期性。

③“數學模型”：表示實際問題中數量關系的數學表達式。教學評價與反饋1.課堂表現：

-學生積極參與課堂討論，對于增長（降低）率問題的數學模型建立和方程求解表現出較高的興趣。

-大部分學生能夠準確理解并運用增長率（降低率）的計算公式，展示出良好的數學思維和運算能力。

-學生在課堂活動中能夠主動提出問題，并嘗試通過小組合作解決，體現出團隊合作和溝通能力。

2.小組討論成果展示：

-學生在小組討論中能夠有效地分工合作，共同分析案例，建立數學模型，并嘗試用一元二次方程解決問題。

-小組討論成果展示環節，學生能夠清晰地表達自己的觀點，并能夠聽取他人的意見，提出合理的改進建議。

3.隨堂測試：

-隨堂測試包括選擇題和解答題，旨在評估學生對增長（降低）率問題理解和應用的能力。

-選擇題部分，學生能夠正確選擇答案，顯示出對基本概念的理解。

-解答題部分，學生能夠運用所學知識解決實際問題，但部分學生在建立數學模型和解題步驟上存在細節錯誤。

4.學生自評與互評：

-學生通過自評和互評，認識到自己在增長率問題解決過程中的優點和不足。

-學生在互評中能夠提出建設性的意見，體現出對他人學習的尊重和關心。

5.教師評價與反饋：

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