第一章概率論基礎(chǔ)知識(shí)主要內(nèi)容四個(gè)概念（隨機(jī)事件、概率、條件概率及事件的獨(dú)立性）四個(gè)公式（加法公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式）三個(gè)概型（古典概型、幾何概型、獨(dú)立試驗(yàn)概型即伯努利概型）1§1.1樣本空間與隨機(jī)事件2§1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)1.可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè)，且可以預(yù)知一切可能的結(jié)果的取值范圍；3.試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。

隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)特點(diǎn):對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)。3例如考慮試驗(yàn)：將一枚硬幣拋擲兩次，第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):可能結(jié)果為（正面為H，反面為T）:={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}可見，該隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，構(gòu)成一個(gè)集合：我們稱該集合為這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。4§1.1.2樣本空間在下圖中，用Ω表示一個(gè)試驗(yàn)的所有可能的集合，則稱Ω為樣本空間.而這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作ω.

樣本點(diǎn).

5----樣本空間的子集例：擲一顆骰(tou)子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).={1,2,3,4,5,6｝樣本空間：B={1,3,5}B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1，3，5中的某一個(gè)出現(xiàn).事件B就是

的一個(gè)子集隨機(jī)事件6從集合的角度看事件是由某些樣本點(diǎn)所構(gòu)成的一個(gè)集合．一個(gè)事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)屬于該事件的樣本點(diǎn)之一出現(xiàn)．由此可見，樣本空間Ω作為一個(gè)事件是必然事件，空集

作為一個(gè)事件是不可能事件，僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．7

§1.1.3事件的關(guān)系及運(yùn)算1.事件的包含與相等

“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”,記作A

B.

A＝B

A

B且B

A.2.事件的和（并）

“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作AB．n個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，記作．

9n個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生，記作A1A2…An．3.事件的積（交）:A與B同時(shí)發(fā)生，記作A

B或AB．10思考：何時(shí)A-B=何時(shí)A-B=A？注：A-B=A-AB．4.事件的差：A－B稱為A與B的差事件,表示事件發(fā)生而B不發(fā)生．?115.互不相容（互斥）的事件：如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB＝

，則稱A與B為互斥事件。

注：(b)互斥事件可同時(shí)不發(fā)生。

(a)基本事件組是互斥事件組，126.對(duì)立（互逆）的事件：如果A

B＝,且AB＝

,則稱A與B為互逆事件，記作B=如果A，B是任意兩事件，則有AΩ

注意對(duì)立事件與互斥的區(qū)別.137.完備事件組若事件A1,A2,…An為兩兩互不相容的事件，并且,稱事件組A1,A2,…An構(gòu)成一個(gè)完備事件組。注:

－A(a)A與構(gòu)成一個(gè)完備事件組；(b)基本事件組構(gòu)成一個(gè)完備事件組。事件的關(guān)系與運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是一致的，具有相同的運(yùn)算律。說(shuō)明：14事件間的運(yùn)算律：(課本第四頁(yè))1、交換律：A

B＝B

A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A

B)

C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，(AB)

C＝(AC)(B

C)4、對(duì)偶律，又稱德·摩根(DeMorgan)律：15(1)只有乙沒有擊中；(2)甲、乙至少有一人擊中，而丙未擊中；(3)至少兩人擊中目標(biāo)；(4)靶上僅中一彈；(5)三人都沒有擊中；(6)三人中至少有一人擊中目標(biāo)；例1：甲、乙、丙三人各向靶子射擊一次，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：思考：(7)三人中最多有一人擊中目標(biāo)；(8)靶上恰中兩彈。？16例2：一工人生產(chǎn)了n個(gè)零件，設(shè)Ai表示“第i個(gè)零件是正品”（i=1,2,….n).試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?1),(2),(3)解：（1）n個(gè)零件全為正品；（2）至少有一個(gè)零件不是正品，或；（3）有且僅有一個(gè)零件不是正品。i=1n17

我們關(guān)心某個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小：

想法：用P(A)來(lái)度量，P(.)的取值跟A有關(guān)，即：用一個(gè)與A有關(guān)函數(shù)來(lái)定義。因此：P(.)是個(gè)集函數(shù)。下面考慮該集函數(shù)的應(yīng)具有的性質(zhì)。§1.2事件發(fā)生的概率18

在不變條件下,重復(fù)進(jìn)行n

次試驗(yàn),事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)

p附近擺動(dòng),且一般地說(shuō),當(dāng)次數(shù)n越大時(shí),擺動(dòng)幅度越小,則稱常數(shù)p為事件A發(fā)生的概率,記作P(A)。頻率fn(A)雖然具有波動(dòng)性，但有刻畫事件A發(fā)生可能性客觀的一面，故被稱為A的統(tǒng)計(jì)概率。

定義1.1在次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生了次，則稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，稱為事件A發(fā)生的頻率，記為。191.非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A，0≤P(A)≤1;2.規(guī)范性：P(

)=1;3.可列可加性：對(duì)于兩兩互斥的事件A1,A2,…,有

概率的公理化定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間。對(duì)于每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),稱為事件A的概率，如果它滿足：20概率的性質(zhì)一般地，21AΩΩBA-BAB小結(jié)論:概率的性質(zhì)226°（加法公式）推廣：概率的性質(zhì)23∵P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5∴P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.2從而=0.1。例3:已知P(A)=0.7，P(B)=0.3，P(A-B)=0.5，求P(B-A)。解：24例4:某市有A,B,C三種報(bào)紙,調(diào)查表明居民家庭訂購(gòu)C報(bào)的占30%,同時(shí)訂A,B兩種報(bào)紙占10%,同時(shí)訂A,C及B,C兩種報(bào)紙各占8%與5%，三種都訂的占3%.求從該市任選一戶,問(wèn)該戶(1)只訂A、B兩報(bào)的概率；(2)只訂C報(bào)的概率。解:設(shè)A,B,C分別表示該戶訂A,B,C報(bào)這三個(gè)事件,則P(C)=0.3,P(AB)=0.1,P(AC)=0.08,P(BC)=0.05,P(ABC)=0.03.

于是，=0.1－0.03=0.07；2526等可能概型等可能概型是指在一次試驗(yàn)中，樣本空間的每個(gè)樣本點(diǎn)被取到的可能性相等的隨機(jī)試驗(yàn)類型，這是一種最簡(jiǎn)單的概率類型。古典概型幾何概型等可能概型27古典概型古典概型具有如下特點(diǎn)：（1）樣本空間中的樣本點(diǎn)的數(shù)量是有限的，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為有限個(gè)：Ω={ω1,

ω2

,…,

ωn}；（2）每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同：

P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).（3）在任何一次試驗(yàn)中，ω1,

ω2

,

…,

ωn中有且僅有一個(gè)發(fā)生．28古典概型的計(jì)算公式

在古典概型中，若中有n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A中有k個(gè)樣本點(diǎn)，則這就是古典概型概率的計(jì)算公式。29一般古典概型的概率計(jì)算步驟為：（1）判斷試驗(yàn)為古典試驗(yàn)，即基本事件總數(shù)為有限個(gè)，且各基本事件出現(xiàn)的可能性相同。（2）計(jì)算樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n；（3）計(jì)算事件A包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)k；（4）由計(jì)算事件A的概率。30

一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1－10。把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，故沒有理由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得.也就是說(shuō)，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10.1325678910410個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是1/10所以，稱這類概率模型為古典概型.23479108615示例：31在此示例中,若記A={摸到2號(hào)球}若記B={摸到紅球}223479108615132456

P(A)=1/10顯然：則P(B)=?

P(B)=6/10顯然：P(A)=?則這里實(shí)際上是從“比例”轉(zhuǎn)化為“概率”靜態(tài)動(dòng)態(tài)當(dāng)要求“摸到紅球”的概率時(shí)，實(shí)際上只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的比例.32加法原理：設(shè)完成一件事可以分為兩類（兩種途徑），第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法?；仡櫍号帕信c組合1、兩條原理：乘法原理：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法。33（1）有重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，共有nk

種排列方式.2、排列：（2）無(wú)重復(fù)排列（選排列）：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后不放回，將記錄結(jié)果排成一列，共有Ank=Pnk=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)種排列方式.（3）全排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取n次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后不放回，將記錄結(jié)果排成一列，共有An=Pn=n!種排列方式.34（1）從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè)，共有種取法.3、組合：（2）把n個(gè)元素隨機(jī)地分成m組(n≥m),要求第i組恰有ni個(gè)(i=1,…m)，共有種分法.?35n個(gè)不同元素分為m組，各組元素?cái)?shù)目分別為n1,n2,…,nm的分法總數(shù)為：…n1個(gè)元素nm個(gè)元素n2個(gè)元素n個(gè)元素因?yàn)椋悍纸M分配36

把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：CISNCEE問(wèn)：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？例1:37故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：

這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：解:設(shè)A：排列結(jié)果恰好拼成英文單詞SCIENCE

拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次.n:七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！38例2:

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求：其中恰有k件次品的概率.這是一種無(wú)放回抽樣.

令B={恰有k件次品}則：P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品解：39例3：30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員；B:3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組40

把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為：而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,例4:

n雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成n堆，每堆2只.問(wèn):“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？故得:解：41例5:盒中有6張面值相同的債券,其中有兩張中獎(jiǎng)債券,現(xiàn)從中任取兩次,每次取一張,考慮兩種取法:

(1).有放回地?。旱谝淮稳〕鲇^察后放回盒中混合均勻后再取第二次(放回抽樣)(2).無(wú)放回地?。旱谝淮稳〕龊蟛环呕睾兄?第二次從剩余的債券中再取一張(不放回抽樣)求：分別就兩種抽樣方式求取到的兩張都是中獎(jiǎng)的債券的概率？42解：顯然，本題屬古典概型。(1).有放回地抽取：設(shè)A：取到的兩張都是中獎(jiǎng)券第一次從盒中取，不論是否是中獎(jiǎng)券，總是從6張中取一張，第二次再?gòu)暮兄腥?，仍是?張券可供抽取，故有：中獎(jiǎng)券有2張，第一次取有2張可供抽取,第二次取仍有2張可供抽取，故有：從而:

43(2).

不放回地抽取：從而:

▲在此例中若將取法改為“一次抽取兩張”,其它條件不變則有:▲“不放回地抽取兩次,每次取一張”相當(dāng)于“一次抽取兩張”.故在許多問(wèn)題中如果不是有放回地抽樣,就統(tǒng)稱為“任意取出”多少個(gè)。注:44兩個(gè)基本的摸球模型口袋中有N只球，其中m個(gè)紅球，余下是白球,他們除顏色以外沒有差別，現(xiàn)隨機(jī)從中摸球n次并觀察摸出球的顏色，計(jì)算恰好摸到k個(gè)紅球的概率?？紤]如下兩種情況:(1)有放回摸球(2)不放回摸球45（1）有放回抽樣樣本空間中的樣本點(diǎn)總數(shù)一共有Nn

取出的n個(gè)球究竟哪k個(gè)是紅球：Cnkm個(gè)紅球中取k個(gè)：mk(N-m)個(gè)白球中取n–k個(gè)：(N-m)n–k概率論中稱為是二項(xiàng)分布的概率公式46（2）無(wú)放回抽樣中包含的樣本點(diǎn)，即從N個(gè)球中不放回抽取n個(gè)。我們感興趣的是：n個(gè)中有k個(gè)紅球。概率論中稱為是超幾何分布的概率公式。47§1.3.2幾何概型

幾何概型:保留古典概型等可能性的特征,允許試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為直線上的一條線段,平面上的一區(qū)域或空間中的一立方體等具有無(wú)限多個(gè)結(jié)果的情形,稱這種性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?48?例1在計(jì)算機(jī)上任意產(chǎn)生[0，1]區(qū)間上的一個(gè)隨機(jī)數(shù)x，問(wèn)x小于1/3的概率是多少？例2假設(shè)在500毫升的自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中任取2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，問(wèn)發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率是多少？49幾何概率的計(jì)算A作為一般的歐氏區(qū)域，m(A)作為A的測(cè)度（一維是長(zhǎng)度，二維是面積，三維為體積等）就得到幾何概率計(jì)算方法：如果把50例：某電臺(tái)每到整點(diǎn)均報(bào)時(shí)，某人早上醒來(lái)后打開收音機(jī)，求他等待的時(shí)間不超過(guò)10分鐘就能聽到電臺(tái)報(bào)時(shí)的概率。P=1/651例：某貨運(yùn)碼頭公能容納一船卸貨，而甲、乙兩船在碼頭卸貨時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí)。設(shè)甲、乙兩船在24小時(shí)內(nèi)隨時(shí)可能到達(dá)，求它們中任何一船都不需等待碼頭空出的概率。解：52例1.13蒲豐問(wèn)題1777年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐取一根針，量出它的長(zhǎng)度，然后在紙上畫上一組間距相等的平行線，這根針的長(zhǎng)度是這些平行線的距離的一半。把這根針隨機(jī)地往畫滿了平行線的紙面上投去。小針有的與直線相交，有的落在兩條平行直線之間，不與直線相交。這次實(shí)驗(yàn)共投針2212次，與直線相交的有704次，2212÷704≈3.142。得數(shù)竟然是π的近似值。這就是著名的蒲豐投針問(wèn)題。53平行線的距離a，針的長(zhǎng)度l，求針與平行線相交的概率。怎樣描述針與直線相交的情況？X表示針的中點(diǎn)與最近的一條平行線的距離54例1.13蒲豐問(wèn)題55取a=2L，投針N次，如果有k次與直線相交，則π的近似值為N/k例1.13蒲豐問(wèn)題56零概率事件不一定不發(fā)生在[0,1]區(qū)間上任意取一個(gè)隨機(jī)數(shù),則這個(gè)隨機(jī)數(shù)恰好等于0.5的概率是多少010.5P=點(diǎn)(0.5)的長(zhǎng)度/[0,1]區(qū)間的長(zhǎng)度=057§1.4.1條件概率58引例：設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;（2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率設(shè)A＝“第一次取到紅球”,B＝“第二次取到紅球”59顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間Ω中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則一般地，設(shè)A、B是Ω中的兩個(gè)事件，則可以定義條件概率如下定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件,則稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率,其中。60思考題一：你到一個(gè)家庭來(lái)做客，已經(jīng)知道該家庭有兩個(gè)孩子，但不知道性別，你發(fā)現(xiàn)來(lái)給你開門的孩子是個(gè)女孩，而另一個(gè)孩子你沒看到，則另一個(gè)孩子也是女孩的概率是多少？

思考題二：已知一家庭有兩個(gè)孩子，已知其中一個(gè)是女孩，求另一個(gè)也是女孩的概率。(假定生男生女是等可能的)61思考題二的解答由題意,樣本空間為:設(shè)B={其中一個(gè)是女孩},A={兩個(gè)都是女孩}，則B={(M,F),(F,M),(F,F)},A={(F,F)}。因此,要求的是:P(A|B)=1/362在樣本空間中，先求出P(AB)，P(B)，再由定義計(jì)算P(A|B)在縮減樣本空間B中求事件A的概率，就得到P(A|B)；。求條件概率的方法有兩種：63

擲骰子A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}則:P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)比如：64條件概率是概率，滿足公理化定義三條件容易驗(yàn)證：（3）設(shè)可列個(gè)事件A1，A2，A3…兩兩互不相容，則類似可以推出條件概率也滿足概率的基本性質(zhì)。65

設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問(wèn)現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).活到20年以上活到25年以上B

A例1:解：66§1.4.2乘法公式乘法公式………67

無(wú)條件概率

P(A)、條件概率

P(A|B)

及P(AB)的區(qū)別歸納

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，若設(shè)其樣本空間為

Ω

★68丙答出的概率。例2：依次請(qǐng)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)回答一個(gè)問(wèn)題，如果前面的同學(xué)回答對(duì)了就停止，回答錯(cuò)誤則由后面的同學(xué)回答。已知他們依次答對(duì)的概率分別是0.4、0.6、0.8。分別求出問(wèn)題由甲、乙、69設(shè)A、B、C分別表示問(wèn)題由甲、乙、丙答出，則解：70一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次試求：第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

例3:

波里亞罐子模型b個(gè)白球,r個(gè)紅球隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.

解:設(shè)Wi={第i次取出是白球},

i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，

j=1,2,3,471用乘法公式容易求出：=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)于是：W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.”

72一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券。大家都想去，只好用抽簽的方法來(lái)解決。

入場(chǎng)券5張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場(chǎng)券”，其余的什么也沒寫。將它們放在一起洗勻,讓5個(gè)人依次抽取例4:問(wèn)：后抽的人確實(shí)比先抽的人吃虧嗎73到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？請(qǐng)用已學(xué)的條件概率、乘法定理來(lái)計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到

‘入場(chǎng)券’

的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！?4設(shè)：Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券”i＝1,2,3,4,5.顯然：P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.也就是說(shuō)，則：表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，則第1個(gè)人一定沒抽到.由于：所以由乘法公式：計(jì)算得:第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率也是1/5.即：75這就是有關(guān)抽簽順序問(wèn)題的正確解答:

同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到.因此：＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn),每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率都是1/5.抽簽不必爭(zhēng)先恐后.由乘法公式76

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥§1.4.3全概率與貝葉斯公式77

有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求:取得紅球的概率.解：記Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}即:

B=A1B∪A2B∪A3B，

且:

A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時(shí)發(fā)生P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式123引例:注意到：78將此引例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/1579注：Ω的一個(gè)劃分一是要互斥，二是要充滿整個(gè)空間.樣本空間的劃分

設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間,為E的一組事件,若：則稱是樣本空間Ω的一個(gè)劃分或稱是一個(gè)互斥事件完備組。nBBBL,,21定義：80E的一組事件是S的一個(gè)劃分或構(gòu)成了互斥事件完備組E的另一組事件就不是S的一各劃分，或構(gòu)不成一個(gè)互斥事件完備組。比如：對(duì)“擲一顆骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”這一試驗(yàn)，其：81[證明]：則：

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,A為E的事件,為Ω的一個(gè)劃分,且稱為全概率公式.全概率公式定理1.1(1))(21nBBBAAΩAèèè==LQ82

▲全概率公式關(guān)鍵抓住尋找Ω的一個(gè)劃分或?qū)ふ乙粋€(gè)互斥事件完備組(這里事件是導(dǎo)致事件A發(fā)生的一組原因,而事件A的出現(xiàn)只能與中之一同時(shí)出現(xiàn))。注：83每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和即為全概率公式.某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因Ai(i=1,2,…,n)如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是：P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式：▲從另一個(gè)角度去理解▲全概率公式一搬用于“用條件概率求非條件概率”的問(wèn)題。即P(A)不易求,但卻很容易找到S的一個(gè)劃分時(shí)用全概率公式比較方便84

設(shè)甲袋中有3個(gè)白球,5個(gè)紅球,乙袋中有4個(gè)白球,6個(gè)紅球,現(xiàn)從甲袋中任取一個(gè)球放入乙袋中,再?gòu)囊掖腥稳∫磺颉Ｇ螅簭囊掖腥〉冒浊虻母怕?。設(shè)A：從乙袋中取得白球取球只有兩種情況，要么白球要么紅球所以設(shè)：例4:甲:乙:解：因?yàn)?85顯然：甲:構(gòu)成一個(gè)互斥事件完備組乙:86

某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,四條流水線的產(chǎn)量分別占該產(chǎn)品總產(chǎn)量的且四條流水線生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別是0.01,0.02,0.03,0.025,

求：從出廠的這種產(chǎn)品中任取一件恰是次品的概率。例5：87

因?yàn)槌槌龅漠a(chǎn)品只能出自這四條流水線，故設(shè)：從而：解：取出的一件是次品取出的一件次品恰出自第條流水線四條流水線產(chǎn)量(率):15%,20%,25%,40%四條流水線次品(率):0.01,0.02,0.03,0.025顯然:Ω88該球取自哪號(hào)箱的可能性最大實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題：“已知結(jié)果求原因”這一類問(wèn)題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.引例某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問(wèn):89有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球。1231紅4白?求：該球是取自1號(hào)箱的概率

引例：

90某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率.記Ai={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求:P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到：貝葉斯公式1231紅4白?91貝葉斯公式(逆概公式)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,A為E的事件,稱為貝葉斯(Bayes)

公式[證明]：略.貝葉斯公式與全概率公式一樣都是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用,值得一提的是，后來(lái)的學(xué)者依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計(jì)推斷的方法，稱作為：“貝葉斯統(tǒng)計(jì)”（這也足可見貝葉斯公式的影響）定理1.1(2):則:92

▲貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.P(Ai)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化▲貝葉斯公式適用于“用條件概率求條件概率”當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生）,人們對(duì)諸事件.發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì).注:93

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件B)之前，偵破人員根據(jù)過(guò)去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為:比如，原來(lái)認(rèn)為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯。例如:某地發(fā)生了一個(gè)案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情細(xì)節(jié)后,這個(gè)估計(jì)就有了變化。P(A1|B)知道B發(fā)生后P(A2

|B)P(A3|B)最大偏小94例6:在例5中已知任取一件產(chǎn)品是次品．問(wèn)：此次品出自哪條的流水線的可能性大解：例5:某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,四條流水線的產(chǎn)量分別占該產(chǎn)品總產(chǎn)量的且四條流水線生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別是0.01,0.02,0.03,0.025,求：從出廠的這種產(chǎn)品中任取一件恰是次品的概率.15%,20%,25%,40%出自第四條流水線可能性大95例7：商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,由Bayes公式:96甲、乙二人進(jìn)行擊劍練習(xí)，甲先向乙進(jìn)攻，擊中的概率為0.2，若未擊中，則乙還擊，擊中甲的概率為0.3；若未擊中甲，則甲再次進(jìn)攻，擊中乙的概率為0.4。求這幾個(gè)回合中：(1)甲被擊中的概率；(2)乙被擊中的概率；(3)若乙被擊中，求他是在第一回合中被擊中的概率。例8：97解：Ai表示第i回合擊中對(duì)方，i=1,2,3.A表示甲被擊中，B表示乙被擊中，則98§1.5事件的獨(dú)立性及伯努利概型

設(shè)P(A)>0、P(B)>0,如果事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響，即P(A|B)=P(A),則稱事件A對(duì)于事件B獨(dú)立。

若A對(duì)于B獨(dú)立，則B對(duì)于A也一定獨(dú)立，于是，稱事件A與事件B相互獨(dú)立。？99例：10件產(chǎn)品中有4件正品，連續(xù)取兩次，每次取一件，作有放回抽樣。設(shè)B、A分別表示第一、二次取得正品，則P(A)=0.4，P(A|B)=0.4，故有P(A)=P(A|B).換言之，有P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B).100定義1.4設(shè)A,B是隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，若

則稱事件A，B

相互獨(dú)立。

于是，我們也可以按如下方式來(lái)定義事件A、B的相互獨(dú)立關(guān)系：101多個(gè)事件的獨(dú)立性

如果n(n>2)個(gè)事件A1,A2,…,An中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響，則稱A1,A2…,An相互獨(dú)立。定義：若三個(gè)事件A、B、C滿足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。102兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立定義1.5：設(shè)A1，A2，…，An(n>=2)是n個(gè)事件，如果Ai，Aj是其中任意兩個(gè)事件，(i≠j)有

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)則稱這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立。103定義1.6

設(shè)A1，A2，…，An(n≥2)是n個(gè)事件，如果則稱n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立。m104事件獨(dú)立性的性質(zhì)：1.設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若P(A)>0，則事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(B|A)=P(B)。

若P(B)>0，則事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A|B)=P(A)。1052.若事件A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與中的每一對(duì)事件都相互獨(dú)立。－B－B－A－A僅證左邊:右邊：1063.

若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則特別地，若A、B、C相互獨(dú)立，則∪∪∪∪∪1074.

必然事件Ω與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立；不可能事件

與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立。108思考題答：概率為1的事件與任何事件都相互獨(dú)立；概率為0的事件與任何事件都相互獨(dú)立.概率為1