生物統計學方差分析基本概念方差分析:方差分析就是對兩個或兩個以上樣本平均數差異顯著性檢驗得方法。

例:為研究某種生物材料得生物學性能,將材料分成三組,分別與成骨細胞共培養1,7,11天后測試細胞活性。為避免誤差,每組測試5個樣品,試判斷材料得生物學性能。基本概念兩個樣本數據平均數比較1、當總體方差和已知，或總體方差和未知，但兩樣本均為大樣本u

檢驗2、當總體方差和未知，且兩樣本均為小樣本t

檢驗例:生產某種紡織品,要求棉花纖維長度平均在30mm以上。現有一棉花品種,以n＝400進行抽樣,測得纖維平均長度為30、2mm,標準差為2、5mm,問該棉花品種得纖維長度就是否合格？分析：1）已知,u檢驗

2）由于只能大于30mm才能合格，故單尾檢驗解:(1)假設,即該棉花品種纖維長度不能達到紡織品生產要求含量。對

（2）選取顯著水平（3）檢驗計算(4)推斷u<u0、05=1、64,P>0、05,顯著水平上接受H0,拒絕HA。即認為該棉花品種纖維長度不符合紡織品種生產要求

例為了探討不同窩得動物得出生重就是否存在差異,隨機選取4窩動物,每窩中均有4只幼仔,結果如下:表4窩動物得出生重(克)動物號窩別ⅠⅡⅢⅣ1234與34、733、326、231、6125、833、226、028、632、3120、127、123、327、826、7104、932、931、425、728、0118、0平均數31、45030、02526、22529、500

通過對以上數據得分析,判斷不同窩別動物出生重就是否存在差異。方差分析得意義k個樣本均數得比較:

如果仍用t檢驗或u檢驗,需比較次數為:

例如4個樣本均數需比較次數為6次。假設每次比較所確定得檢驗水準為0、05,則每次檢驗拒絕H0不犯第一類錯誤得概率為1-0、05=0、95;那么6次檢驗都不犯第一類錯誤得概率為(1-0、05)6=0、7351,而犯第一類錯誤得概率為0、2649方差分析得意義k個樣本均數得比較:

如果仍用t檢驗或u檢驗,有以下問題:

1、檢驗過程繁瑣

2、無統一得試驗誤差,誤差估計得精確性與檢驗得靈敏性低

3、推斷得可靠性降低,犯第1類錯誤得概率增加方差分析:就是一類特定情況下得統計假設檢驗,或者說就是平均數差異顯著性檢驗得一種引伸。u檢驗與t

檢驗可以判斷兩組數據平均數得差異得顯著性,

而方差分析則可以同時判斷多組數據平均數之間得差異得顯著性。當然,在多組數據得平均數之間做比較時,可以在平均數得所有對之間做

t檢驗。但這樣做會提高犯Ⅰ型錯誤得概率,因而就是不可取得。

方差分析由英國統計學家R、A、Fisher首創,為紀念Fisher,以F命名,故方差分析又稱F檢驗(F-test)。用于推斷多個總體均數有無差異方差分析得定義

方差分析就是對兩個或多個樣本平均數差異顯著性檢驗得方法。它就是將測量數據得總變異按照變異來源分解為處理效應與試驗誤差,并做出其數量估計。

它將所有處理得觀測值作為一個整體,一次比較就對多有各組間樣本平均數就是否有差異做出判斷。如果差異不顯著,則認為它們都就是相同得;如果差異顯著,再進一步比較就是哪組數據與其它數據不同。大家學習辛苦了,還就是要堅持繼續保持安靜方差分析得意義方差分析基本思想:1、把k個總體當作一個整體瞧待2、把觀察值得總變異得平方與及自由度分解為不同來源得平方與及自由度3、計算不同方差估計值得比值4、檢驗各樣本所屬得平均數就是否相等實際上就是觀察值變異原因得數量分析

方差分析得應用條件與用途方差分析應用條件:

1、各樣本須就是相互獨立得隨機樣本

2、各樣本來自正態分布總體

3、各總體方差相等,即方差齊方差分析基本用途:

1、多個樣本平均數得比較

2、多個因素間得交互作用

3、回歸方程得假設檢驗

4、方差得同質性檢驗第一節方差分析得基本原理試驗指標(Experimentalindex):試驗測定得項目或者性狀。日增重、產仔數、瘦肉率試驗因素(Experimentalfactor):影響試驗指標得因素,也稱:處理因素,簡稱因素或因子。

1、可控因素(固定因素):人為可控

2、非控因素(隨機因素):不能人為控制試驗因素得表示:大寫字母A,B,C,…等來表示一、相關術語因素水平(Leveloffactor):試驗因素所處得特定狀態或者數量等級。簡稱水平水平得表示方法:用代表該因素得字母添加下標表示,如A1,A2,B1,B2…試驗處理(Treatment):實施在試驗單位上得具體項目,簡稱處理。單因素:試驗因素得一個水平多因素:試驗因素得一個水平組合一、相關術語試驗單位(Experimentalunit):試驗載體,即根據研究目得而確定得觀測總體重復(Repetition):一個處理實施在兩個或者兩個以上得試驗單位上,稱為處理有重復。試驗單位數稱為處理得重復數一、相關術語

方差分析就是關于k(k≥3)個樣本平均數得假設測驗方法,就是將總變異按照來源分為處理效應與試驗誤差,并做出其數量估計。發現各變異原因在總變異中相對重要程度得一種統計分析方法。

二、方差分析得基本原理

總變異分解為組間變異與組內變異。組內變異就是個體差異所致,就是抽樣誤差。組間變異可能由兩種原因所致,一就是抽樣誤差;二就是處理不同。在抽樣研究中抽樣誤差就是不可避免得,故導致組間變異得第一種原因肯定存在;第二種原因就是否存在,需通過假設檢驗作出推斷二、方差分析得基本原理三、數學模型處理A1A2…Ai…Ak

重復x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2

…x1jx2j

…xij

…xkj

…x1nx2n…xin…xkn總與Ti、T1、T2、…Ti、…Tk、平均

……每組具有n個觀測值得k組樣本數據資料例2、1調查了5個不同小麥品系得株高,結果列于表2－1。在這個例子中,只出現“品系”這樣一個因素(factor),故稱單因素。共有5個不同得品系,我們稱品系這一因素共有5個水平(level)。5個品系可以認為就是5個總體,表2－1得數據就是從5個總體中抽出得5個樣本,通過比較這5個樣本,判斷這5個總體就是否存在差異。表2－15個小麥品系株高調查結果株號株高ⅠⅡⅢⅣⅤ12345與64、665、364、866、065、8326、564、565、364、663、763、9322、076、866、367、166、868、5336、571、872、170、069、171、0354、069、268、269、868、367、5343、0平均數65、364、467、370、868、6例2、2為了探討不同窩得動物得出生重就是否存在差異,隨機選取4窩動物,每窩中均有4只幼仔,結果如下:表2－24窩動物得出生重(克)動物號窩別ⅠⅡⅢⅣ1234與34、733、326、231、6125、833、226、028、632、3120、127、123、327、826、7104、932、931、425、728、0118、0平均數31、45030、02526、22529、500通過對以上數據得分析,判斷不同窩別動物出生重就是否存在差異。以上兩個例子得共同點就是:每個實驗都只有一個因素,該因素有a個水平或稱為有a個處理(treatment),這樣得實驗稱為單因素實驗。從單因素實驗得每一處理所得到得結果都就是一隨機變量Xi。對于a個處理,各重復n次(或者說做n次觀察)得單因素方差分析得一般化表示方法見表2－3。表2－3單因素方差分析得典型數據X1X2X3……Xi……Xa

123:j∶nx11

x12x13:x1j:x1nx21

x22x23:x2j:x2nx31xi1xa1x32xi2xa2x33xi3xa3:::x3jxijxaj:::x3nxinxan平均數x1·x2·x3·xi·xa·每一個觀察值可以通過如下常用得所謂線性統計模型(linearstatisticalmodel)描述:其中:xij就是在第i

水平(處理)下得第

j

次觀察值。μ就是對所有觀察值得一個參量,稱為總平均數(overallmean)。αi就是僅限于對第

i

次處理得一個參量,稱為第i次處理效應(treatmenteffect)。方差分析得目得,就就是要檢驗處理效應得大小或有無。eij就是隨機誤差成份。上述模型中,包括兩類不同得處理效應。第一類處理效應稱為固定效應(fixedeffect),它就是由固定因素(fixedfactor)所引起得效應。若因素得a個水平就是經過特意選擇得,則該因素稱為固定因素。例如,幾個不同得實驗溫度,幾個不同得化學藥物或一種藥物得幾種不同濃度,幾個作物品種以及幾個不同得治療方案與治療效果等。在這些情況中,因素得水平就是特意選擇得,所檢驗得就是關于ai得假設,得到得結論只適合與方差分析中所考慮得那幾個水平,并不能將其結論擴展到未加考慮得其它類似水平上。所以上述得那些因素:溫度、藥物、品種等,稱為固定因素。處理這樣得因素所用得模型稱為固定效應模型(fixedeffectmodel)。例2、1中得5個小麥品系就是特意選擇得,目得就是從這5個品系中,選出最優者,因而“品系”這個因素屬于固定因素,所用得模型就是固定效應模型。第二類處理效應稱為隨機效應(ran-domeffect),它就是由隨機因素(randomfactor)所引起得效應。若因素得a個水平,就是從該因素全部水平得總體中隨機抽出得樣本,則該因素稱為隨機因素。從隨機因素得a個水平所得到得結論,可以推廣到這個因素得所有水平上。處理隨機因素所用得模型稱為隨機效應模型(randomeffectmo-del)。例2、2得動物窩別,就是從動物所有可能得窩別中隨機選出來得,實驗得目得就是考查在窩別之間,出生重就是否存在差異,因而“窩別”就是隨機因素。

有時固定因素與隨機因素很難區分,除上述所講得原則外,還可以從另一角度鑒別。固定因素就是指因素水平,可以嚴格地人為控制。在水平固定之后,它得效應值也就是固定得。例如,研究三種溫度對胰蛋白酶水解產物得影響。因為溫度水平就是可以嚴格控制得,即每一溫度水平,在各個重復之間都可以準確地控制在一個固定值上,所以在重復該實驗時,水解產物得產量也就是固定得。簡單地說,在水平(不同溫度)固定以后,其效應值(產量)也就是固定得。因此,溫度就是固定因素。

隨機因素得水平就是不能嚴格地人為控制得,在水平確定之后,它得效應值并不固定。例如,在研究不同農家肥施用量對作物產量得影響試驗中,農家肥就是因素,不同施用量就是該因素得不同水平,作物得產量就是它得效應值。由于農家肥得有效成份很復雜,不能像控制溫度那樣,將農家肥得有效成份嚴格地控制在某一個固定值上。在重復試驗時即使施以相同數量得肥料,也得不到一個固定得效應值。即在因素得水平(施肥量)固定之后,它得效應值(產量)并不固定,因而農家肥就是一隨機因素。

三、數學模型三、數學模型三、數學模型四、平方與與自由度得分解全部觀測值得總變異可以用總體方差來度量。

方差即均方就是離均差平方與除以自由度。把一個實驗資料得總變異按變異來源分解為相應得變異,首先要將總平方與與總自由度分解為各個變異來源得相應部分。則考察總方差可以考察處理間方差與處理內得方差四、平方與與自由度得分解平方與得分解:總平方與=處理間平方與＋處理內平方與四、平方與與自由度得分解自由度得分解:總自由度=處理間自由度＋處理內自由度四、平方與與自由度得分解計算方差:五、統計假設得顯著性檢驗

——F檢驗F檢驗得目得:推斷處理間得差異就是否存在五、統計假設得顯著性檢驗

——F檢驗注意:方差分析中得F檢驗總就是單尾檢驗,而且為右尾檢驗

F越大,越說明組間方差就是主要方差來源,因子影響越顯著;F越小,越說明隨機方差就是主要得方差來源,因子得影響越不顯著五、統計假設得顯著性檢驗

——F檢驗eg、某水產研究所為了比較四種不同配合飼料對魚得飼喂效果,選取了條件基本相同得魚20尾,隨機分成4組,投喂不同飼料,經1個月以后,各組魚得增重(g)資料如下表,試進行方差分析飼料重復A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286

分析:1個因素,4個水平,5個重復得方差分析

解:不同飼料飼喂魚增重得方差分析表二、固定效應模型在固定效應模型中,ai就是處理平均數與總平均數得離差,且就是個常量,因而

要檢驗a個處理效應得相等性,就要ai判斷各就是否等于0。若各ai都等于0,則各處理效應之間無差異。因此,零假設為:備擇假設為:HA:ai≠0(至少有1個i)。若接受H0,則不存在處理效應,每個觀察值都就是由平均數加上隨機誤差所構成。若拒絕H0,則存在處理效應,每個觀察值就是由總平均數、處理效應與誤差三部分構成。例2、1調查了5個不同小麥品系得株高,結果列于表2－1。在這個例子中,只出現“品系”這樣一個因素(factor),故稱單因素。共有5個不同得品系,我們稱品系這一因素共有5個水平(level)。5個品系可以認為就是5個總體,表2－4得數據就是從5個總體中抽出得5個樣本,通過比較這5個樣本,判斷這5個總體就是否存在差異。表2－15個小麥品系株高調查結果株號株高ⅠⅡⅢⅣⅤ12345與64、665、364、866、065、8326、564、565、364、663、763、9322、076、866、367、166、868、5336、571、872、170、069、171、0354、069、268、269、868、367、5343、0平均數65、364、467、370、868、6解:在方差分析中,為了簡化計算可以用編碼法。方差分析得編碼,必須將全部數據均減去同一個共同得數。在例2、1中,每一個xij都減去65,列成下表,株號品系ⅠⅡⅢⅣⅤ12345―0、40、3―0、21、00、8－0、50、3―0、4－1、3－1、12、81、32、11、83、56、87、15、04、16、04、23、24、83、32、5總與xi·x2i·∑x２ij1、52、251、93－3、09、003、411、5132、2529、4329、0841、0174、4618、0324、068、06571308、50277、28先計算校正項C再計算將以上結果列成方差分析表(見表2－5):表2－5

不同小麥品系株高方差分析表

變差來源平方與自由度均方

F品系間誤差131、7415、5842032、720、7841、95**總與147、3224**a＝0、01當分子自由度為4,分母自由度為20時,F4,20,0、05＝2、87,F4,20,0、01＝4、43,F＞F0、01。因此,不同小麥品系得株高差異極顯著。習慣上用“*”表示在α＝0、05水平上差異顯著,用“**”表示在α＝0、01水平上差異顯著,常常稱為差異“極顯著”(highlysignificant)。三、隨機效應模型在實驗中,經常回遇到某個因素有許多可能得水平,若參加實驗得a個水平,就是從該因素得水平總體中隨機選出得,那么這一因素稱為隨機因素。其方差分析就是通過隨機選取得a個水平對該因素得水平總體做推斷。要求水平得總體就是無暇總體,即使不就是無限總體,也應相當大,以至于可以認為就是無限總體。例2、2中動物得“窩”就是隨機因素,每一窩就是一個水平,這種動物所有得窩構成一水平總體。從該總體中隨機選擇4個水平(4窩)做實驗,實驗得目得就是希望由這4窩動物去推斷該種動物所有不同得窩別之間幼仔出生重就是否存在差異。固定效應模型中∑ai＝0得假設在這里不再適用。在隨機模型中,對單個處理效應得檢驗就是無意義得,所要檢驗得就是關于ai得變異性得假設,因而,

H0:sa2＝0

HA:sa2＞0如果接受H0:sa2＝0,則表示處理之間沒有差異;若拒絕H0而接受HA:sa2＞0,則表示處理之間存在差異,方差分析得做法仍然就是將總平方與分解,

自由度做同樣分解,由此可得出MSt與MSe。然后用F單側檢驗(具dft,dfe

自由度),方差分析得程序與固定效應模型得方差分析程序完全一樣,但就是結論不同。隨機效應模型適用于全部水平得總體,而固定效應模型只適用于所選水平得總體。下面計算例2、2,并對結果加以解釋。例2、2為了探討不同窩得動物得出生重就是否存在差異,隨機選取4窩動物,每窩中均有4只幼仔,結果如下:表2－24窩動物得出生重(克)動物號窩別ⅠⅡⅢⅣ1234與34、733、326、231、6125、833、226、028、632、3120、127、123、327、826、7104、932、931、425、728、0118、0平均數31、45030、02526、22529、5004、73、2－2、92、93、3－4、0－6、71、4－3、8－1、4－2、2－4、31、62、3－3、3－2、0總與

c

i·5、800、10－15、10－2、00

c

2i·

33、640、01228、014、00

∑c2ij

49、9833、4969、0332、86－11、20265、66185、36解:將表2－2中得每一個數值都減去30,列成下表,

將上述結果列成方差分析表:表2－6動物出生重方差分析變差來源平方與自由度均方F窩別誤差58、575118、94531219、5259、9121、97總與177、5215查表得知,F3,12,0、05＝3、49,因F＜F0、05,所以差異不顯著。通過對4窩動物出生重得調查,可以推斷不同窩別動物得出生重沒有顯著差異。Excel方差分析Office得默認安裝中沒有“數據分析”要指定才會安裝。一旦安裝,“工具”菜單下出現“數據分析”條,可以用它來方便得做方差分析等統計推斷分析。可通過運行Analysis中得模板文件

ANALYS32、XLL調入此宏加載數據分析如“工具”菜單下沒有“數據分析”單擊“加載宏”Excel解方差分析選一批單元格輸入原始數據;Excel解方差分析選“工具”→“數據分析”;Excel解方差分析選“工具”→“數據分析”→“單因素方差分析”Excel解方差分析“單因素方差分析”對話框中:輸入區域,分組方式,輸出選項Excel解方差分析“單因素方差分析”對話框中:填入信息后單擊“確定”按鈕Excel解方差分析分析結果Excel解方差分析方差分析結果表中各項目得含義SS平方與df自由度MS均方F及FcritF值及F臨界值,Fcrit=FINV(a,df1,df2)P-valueF分布概率P-value=FDIST(F,df1,df2)

F檢驗如果否定了H0,接受了HA,表明試驗得總變異主要來源于處理間得變異六、多重比較

多重比較:假設對一個固定效應模型經過方差分析之后,結論就是拒絕H0,處理之間存在差異。但這并不說在每對處理之間多存在差異。為了弄清究竟在哪些對之間存在顯著差異,哪些對之間無顯著差異,必須在個處理平均數之間一對一對地做比較,這就就是多重比較。即:多個平均數得相互比較六、多重比較

常用得:

1、最小顯著差數法(LSD法)

2、最小顯著極差法(LSR法)

—新復極差檢驗(SSR法)

—q檢驗LSD稱為最小顯著差數(leastsignificantdifference)它得計算方法簡述如下:對于任意兩組數據得平均數,差數(x1－x2)得差異顯著性檢驗,可以用成組數據t檢驗,當n1＝n2時最小顯著差數法(LSD法)樣本平均數得差數樣本平均數差數得標準誤其中MSe為誤差方差,即處理內方差,n為每一處理得觀察次數,于就是具k(n－1)自由度,當t＞t0、05時差異顯著,當t＞t0、01時差異極顯著。因此,當差異顯著時最小顯著差數法(LSD法)并可得到,當時差異顯著。t0、05√2MSe／n

稱為最小顯著差數,記為LSD。每一對平均數得差與LSD比較,當│x1－x2│＞LSD時,差異顯著;否則差異不顯著。LSD就是一種很有用得檢驗方法,計算起來很方便,也容易比較。但就是它有難以克服得缺點,即這種比較方法將會加大Ⅰ型錯誤得概率。最小顯著差數法(LSD法)LSD法得步驟:最小顯著差數法(LSD法)1、計算平均數差數標準誤2、由t逆函數(TINV)與平均數差數標準誤計算出達到差異顯著得最小差數,記為LSD3、將全部平均數從大到小依次排列，并比較若即為在給定的水平上差異顯著，反之亦然說明實質上就是t

檢驗,但統一了標準誤簡單、靈敏(降低了檢驗標準、夸大了差異得顯著性)I類錯誤概率增大,控制單次比較得I類錯誤時應用無法控制所有比較得總體I類錯誤最小顯著差數法(LSD法)2、求解達到差異顯著得最小差數(LSD)臨界值:t0、05(16)=2、120,t0、01(16)=2、921

LSD0、05(16)=2、120*14、622=31、0

LSD0、01(16)=2、921*14、622=42、73、將全部平均數從大到小依次排列,并比較excel數據得排序工具數據分析排序與百分比excel數據得排序處理平均數A1311、864、4**49、0**32、2*A4279、632、2*16、8nsA2262、815、4nsA3247、4四種飼料飼喂魚增重差異顯著性(LSD檢驗,梯形法)4、分析結果:A1飼料對魚增重效果極顯著高于A3與A2,顯著高于A4;A4飼料對魚增重效果顯著高于A3;A4與A2,A2與A3飼料對魚增重效果沒有顯著差異四種飼料飼喂魚增重差異顯著性(LSD檢驗,字母標記法)處理平均數差異顯著性0、050、01A1A4A2A3311、8279、8262、8247、4(1)在最大得平均數上標字母a——A1行標注aa(2)將該平均數與以下各平均數相比,凡相差不顯著得(<LSD)都標上字母a,直到某個與相差顯著得則標字母b——(A1-A4)=311、8-279、8=32、0>LSD0、05,則A4標bb(3)再以標有b得平均數為標準,與各個比它大得平均數比較,凡差數差異不顯著得在字母得右邊加標字母b,然后再以標b得最大平均數為標準與以下未標字母得平均數相比,凡相差不顯著得都標上字母b,直到某個與相差顯著得則標字母c——往上:(A4-A1)就是已經比較了;往下(A4-A2)=17、0,標b,(A4-A3)=32、4,標cbc(4)以此重復,直到最小得平均數標記字母——以A3為標準,往上:A3與A2相比無顯著差異,故在A2行b右邊標注c,A3與A4已比較了cAABBB

總結:差異不顯著標同一字母,差異顯著標不同字母四種飼料飼喂魚增重差異顯著性(LSD檢驗,字母標記法)

判斷:凡有一個相同標記字母得即為差異不顯著,凡具有不同標記字母得即為差異顯著分析結果:A1飼料對魚增重效果極顯著高于A3與A2,顯著高于A4;A4飼料對魚增重效果顯著高于A3;A4與A2,A2與A3飼料對魚增重效果沒有顯著差異把平均數得差異瞧成就是平均數得極差(range)根據極差范圍內所包括得處理數(稱為秩次距)k得不同,而采用不同得檢驗尺度叫做最小顯著極差LSR秩次距就是指當平均數由大到小排序后,相比較得兩個平均數之間(含這兩個平均數)包含得平均數個數I類錯誤下降、工作量加大最小顯著極差法(LSR法)為了克服LSD法得缺點,Duncan(1955)提出了Duncan多范圍檢驗(Duncanmultipletest)。檢驗方法如下:首先,將需要比較得a個平均數依次排列好,使之并將每一對

x

之間得差(范圍)列成下表

aa－1…321x1－xa

x1－xa－1…x1－x3

x1－x22x2－xa

x2－xa－1…x2－x3

∶a－2xa－2－xa

xa－2－xa－1a－1xa－1－xa注:表中得x均為x

新復極差法Duncan檢驗與LSD得一個明顯不同就是Duncan檢驗中,不同對平均數得差有不同得臨界值Rk

。其中

ra＝ra(k,df)得值可以從附表“多重比較中得Duncan表”中查出:表得最左邊一列就是誤差自由度df＝a(n－1),最上一列為k值,表體為ra

(k,df)。表中得

k

值就是相比較得兩個平均數之間所包含得平均數得個數。如兩個要比較得平均數相鄰時k＝2,兩個要比較得平均數中間隔一個平均數時k＝3,依此類椎。因為平均數共有a個,所以需查出a一1個ra

,分別乘以S,得:先從表得第一行最左邊得一個差x1－xa開始比較。若x1－xa＞Ra,則x1與xa得差異顯著;否則差異不顯著,然后比較下一個。若x1－xa－1＞Ra一1,則x1與xa－1差異顯著,否則差異不顯著,···。第一行比較完之后用同樣得方法比較第二行。先從第二行最左邊得一個差x2－xa開始,在x2到xa這個范圍內共包含a－1個平均數,因此x2－xa應與Ra－1比較,若x2－xa＞Ra－1,則差異顯著,否則不顯著,···。第二行比較完再比較第三行,第四行,···。直到所有平均數得差均與其相應得Rk比較完為止。對于顯著得標上“*”,極顯著得標上“**”。新復極差法此法就是以統計量SSR得概率分布為基礎得。SSR值由下式求得SSR檢驗步驟計算出平均數標準誤;由自由度dfe、秩次距M(所含平均數得個數)查臨界SSR值(附表6),計算最小顯著極差LSR0、05,M,LSR0、01,M;將平均數多重比較表中得各極差與相應得最小顯著極差LSR0、05,M,LSR0、01,M比較,作出統計推斷有關采用excel自定義函數來生成SSR值可參見文獻q檢驗法此法就是以統計量q得概率分布為基礎得。q值由下式求得q值分布表附表7其余與SSR檢驗法一樣

例6、2:測定東北、內蒙古、河北、安徽、貴州5個地區黃鼬冬季針毛得長度(mm),每個地區隨機抽取4個樣本,測定結果于下表,試比較各個地區黃鼬針毛長度得差異顯著性地區東北內蒙古河北安徽貴州132、029、225、523、322、3232、827、426、125、122、5331、226、325、825、122、9430、426、726、725、523、7

分析:1個因素,5個水平,4個重復得方差分析

解:“excel”－“工具”—“數據分析”—“單因素方差分析”由分析結果知:P<0、01,說明5個地區黃鼬冬季針毛長度差異顯著q檢驗1、計算平均數標準誤2、查附表7,當dfe=15,M=2,q0、05=3、01,q0、01=4、17,則當M=3,M=4,M=5時按同理計算,結果列表不同地區黃鼬冬季針毛長度得LSR值(q檢驗)地區平均數差異顯著性0、050、01東北內蒙古河北安徽貴州31、6027、4026、0324、7522、85abbcABBC3、不同地區黃鼬冬季針毛長度得差異顯著(q檢驗)dCcCM2345q0、053、013、674、084、37q0、014、174、835、255、56LSR0、051、4001、7071、8972、032LSR0、011、9392、2462、4412、5854、結果表明:東北與其她地區;內蒙古與安徽、貴州黃鼬冬季針毛長度差異均達極顯著水平。河北與貴州,安徽與貴州差異達顯著水平。內蒙古與河北,河北與安徽差異不顯著。

LSD檢驗得分析結果:東北與其她地區;內蒙古與安徽、貴州;以及河北與貴州黃鼬冬季針毛長度差異均達極顯著水平。安徽與貴州差異達顯著水平。內蒙古與河北,河北與安徽差異不顯著。多重比較有多種方法,不同方法用途不同、比較得結果不同總結:多重比較尺度大小:LSD法≤SSR法≤q檢驗法

(原因:SSR與q檢驗就是針對不同秩次距得平均數極差采用不同得顯著尺度,充分考慮到同一總體抽樣時,平均數得極差將隨秩次距得增大而增大這一現象)對試驗要求嚴格時,用q檢驗法較為妥當生物試驗中,由于試驗誤差較大,常采用新復極差法(SSR法)應該注明利用得就是何種多重比較方法1、多個實驗組與一個對照組均數間兩兩比較若目得就是減小第II類錯誤,最好選用最小顯著差法LSD

;若目得就是減小第I類錯誤,最好選用SSR法。總結:多重比較2、多個樣本均數間兩兩比較常用q檢驗得方法第二節單因素方差分析單因素方差分析分析目得:判斷某試驗因素各水平得相對效果分類:根據組內觀測數目(重復數)就是否相同1、組內觀測次數相等得方差分析2、組內觀測次數不等得方差分析各處理重復次數不等得方差分析Excel中對應函數:求與:SUM()求冪:POWER(x,power)求平方與:SUMSQ()

例題6、3、用某種小麥種子進行切胚乳試驗,試驗分為3種處理:整粒小麥(I),切去一半胚乳(II),切去全部胚乳(III),同期播種于條件比較一致得花盆內,出苗后每盆選留2株,成熟后進行單株考種,每株粒重(g)結果如下表,試進行方差分析

分析:1個因素,10個水平,3個重復得方差分析

解:“excel”－“工具”—“數據分析”—“單因素方差分析”

結果分析:3種處理得單株粒重無顯著差異第三節二因素方差分析

兩因素試驗資料得方差分析就是指對試驗指標同時受到兩個試驗因素作用得試驗資料得方差分析兩因素方差分析主效應:各試驗因素得相對獨立作用,簡稱主效或效應互作:某一因素在另一因素得不同水平上所產生得效應不同,則二因素間存在交互作用,簡稱互作。互作效應實際就是由于兩個或多個試驗因素得相互作用而產生得效應互作分類:

1、正得交互作用

2、負得交互作用

3、無交互作用:即互作效應為零。沒有交互作用得因素就是相互獨立得因素,此時,不論在某個因素哪個水平,另一因素得效應都就是相等得互作效應互作與主效應得關系:

因素間得交互作用顯著與否關系到主效應得利用價值

1、若交互作用不顯著:各因素得效應可以累加,各因素得最優水平組合起來,即為最優得處理組合

2、若交互作用顯著:各因素得效應就不能累加,最優處理組合得選定應根據各處理組合得直接表現選定

3、有時候交互作用相當大,甚至可以忽略主效應互作效應二因素方差分析分析目得:判斷對因素主效應與交互作用分類:1、無重復觀測值得二因素方差分析2、具有重復觀測值得二因素方差分析前提條件：兩因素之間無交互作用前提二因素無互作,每個處理可不設重復數據假定A因素有a個水平、B因素有b個水平,每個水平組合只有一個觀測值,全試驗共有ab個觀測值無重復觀測值得二因素方差分析因素A因素BB1B2…Bb與平均

A1x11x12…x1bT1、

A2x21x22…x2bT2、…………………

Aaxa1xa2…xabTa與T、1T、2…T、bT平均數…無重復觀測值得二因素數據資料A因素每個水平瞧作b個重復

B因素每個水平瞧作a個重復模型假定每個觀察值為一個從平均值等于

ij

得群體隨機、獨立得抽樣。共有a

b

個樣本。處理效應與區組效應就是加性得。處理與區組沒有互作數據得方差相等eij為隨機誤差,相互獨立,且服從N(0,

2)數學模型

=總體平均ai=第i

個處理效應,

i、

–

bj=第j個區組得效應,

、j

–

eij=

隨機誤差項,xij

–

ij方差剖分無重復觀測值二因素得試驗A因素得每個水平有b次重復,B因素得每個水平有a次重復,每個觀測值同時受到A、B兩因素及隨機誤差得作用。因此全部ab個觀測值得總變異可以剖分為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗誤差三部分自由度也相應剖分平方與計算各項方差計算ANOVA表變異來源SSdfMSFc、v、A因素SSAa-1B因素SSBb-1誤差SSe(a-1)(b-1)與SSTab-1例題6、4:將一種生長激素配成M1,M2,M3,M4,M5五種濃度,并用H1,H2,H3三種時間浸漬某大豆品種得種子,出苗45天后得到各處理每一植株得平均干物重(g),結果如下表,試作方差分析。

分析:2個因素,無重復得方差分析

解:“excel”－“工具”—“數據分析”—“無重復雙因素方差分析”

F檢驗結果表明:激素處理濃度之間得F值大于F0、01,達到極顯著水平;激素處理時間之間得F值未達到顯著水平,說明不同激素濃度對大豆干物重有極顯著得影響。

多重比較(用SSR檢驗):激素處理濃度之間得效應達到極顯著水平,而激素處理時間之間得F值未達到顯著水平,所以只對5種浸漬濃度進行多重比較。

計算濃度之間得平均數標準誤:

查SSR值表(附表6),得到在dfe＝8時,不同秩次距下得SSR值與LSR值不同激素濃度大豆干物重多重比較得LSR值(SSR檢驗)濃度平均數差異顯著性0、050、01M1M2M4M5M313、6712、339、673、673、00aabcAABCM2345SSR0、053、263、403、483、52SSR0、014、754、945、065、14LSR0、051、481、551、581、60LSR0、012、162、252、302、34不同激素濃度大豆干物重平均數得差異顯著(SSR檢驗)cC

多重比較結果表明:

5種生長激素濃度度對大豆干物重有極顯著得影響。

M1與M2,M5與M3之間差異不顯著;除此之外,其她激素濃度之間得大豆干物重均達到極顯著差異。

5種激素濃度中,M1與M2得處理效果較好如果兩個因素存在互作將互作項與誤差項得平方與自由度分解有互作試驗設計設重復有重復觀測值得二因素方差分析上面講過,因素可分作固定因素與隨機因素。在兩因素實驗中,當兩個因素都就是固定因素時,稱為固定模型(fixedmodel);兩個因素均為隨機因素時,稱為隨機模型(randommodel);一個因素就是固定因素,另一個因素就是隨機因素時,稱為混合模型(mixedmodel)。這三種模型雖然在計算方法上沒有多大不同,但在檢驗以及對結果解釋上卻截然不同。尤其就是在兩因素之間存在交互作用時,不同類型模型得區別就更明顯。兩因素實驗得典型設計就是:假定A因素有a水平,B因素有b水平,則每一次重復都包括ab次實驗,并設實驗重復次數n次,χijk表示A因素得第i水平,B因素第j水平與第k次重復得觀察值。數據將以下表得形式出現。表2-7中A與B可以就是固定因素,也可以就是隨機因素,因而引出三種不同得統計模型。表2－7兩因素交互分組實驗得一般格式因素Bj＝1,2,…,b總計B1B2…Bb因素Ai∥1,2,∶,aA1Χ111Χ112∶Χ11nΧ121Χ122∶Χ12n…Χ1b1Χ1b2∶Χ1bnΧ1··A2Χ211Χ212∶Χ21nΧ221Χ222∶Χ22n…Χ2b1Χ2b2∶Χ2bnΧ2··∶∶∶…∶∶AaΧa11Χa12∶Χa1nΧa21Χa22∶Χa2n…Χab1Χab2∶ΧabnΧa··總計Χ·1·Χ·2·…Χ·b·Χ1··表2－7中得各種符號做如下說明:ci··表示A因素第i水平得所有觀察值得與;c·j·表示B因素第j水平得所有觀察值得與;cij·表示A得第i水平與B得第j水平得所有觀察值得與;c···表示所有觀察值得綜合。數學模型平方與得計算自由度計算各項方差計算F檢驗固定模型兩因素固定模型方差分析表如下:表2－8固定模型方差分析表(因素A、B固定型)變差來源平方與自由度均方

F因素A因素B交互作用AB誤差SSASSBSSAB

SSe

ａ－1ｂ－1(a-1)(b-1)ab(n-1)

MSA

MSB

MSAB

MSe

MSA／MSeMSB／MSeMSAB／MSe總與

SSTabn-1例2、3為了從三種不同原料與三種不同發酵溫度中,選出最適得條件,設計了一個兩因素試驗。并得到以下結果(表2－9):原料種類A溫度B30℃35℃40℃1234149232547595040433553501113252443383336553847446222618822181430332619在這個試驗中,溫度與原料均為固定因素。每一處理有4次重復。因此可按上面敘述過得方法分析。將表中得每一數字均減去30,列成表2－10、1,由表2－10、1中,可以計算出及表2－10、1發酵實驗方差分析計算表原料A溫度Bcij1cij2cij3cij4cij·c2ij·∑c2ijk12330354030354030354011-19-241713-221325019-1718298-8583-7-5-4203-122317-4-5-6-12106-162014-1118-47-487630-586164-12324220923045776900336437214096144556711800163027894811231174146∑＝84228387366利用χij·列列成表2－10、2。表2－10、2發酵實驗方差分析表溫度Bci··c2i··

303540原1料2

A318-47-487630-586154-12-77481135929230412769c·j·

c2·j·

15547-11824025220913924844015821002由表2－10、2中可以計算出列成方差分析表:表2－11發酵實驗方差分析表變差來源平方與自由度均方

F

原料A溫度BAB誤差1554、173150、58808、751656、5022427777、091575、29202、1961、3512、67**25、68**3、30*總與7170、0035**a＝0、01*a＝0、05原料與溫度在α＝0、01水平上拒絕H0;交互作用在α＝0、05水平上拒絕H0。因此酒精得產量不僅與原料與溫度有關,而且與兩者得交互作用也有關。隨機模型表2－14隨機效應模型方差分析表(因素A、B隨機型)變差來源平方與自由度均方F因素A因素B交互作用AB誤差SSASSBSSABSSea－1b－1(a－1)(b－1)ab(n－1)MSAMSBMSABMSeMSA／MSABMSB／MSABMSAB／MSe

總與SSTabn－1隨機效應模型得方差分析表如下:例2、6為了研究不同地塊中施用不同數量農家肥對作物產量得影響,設計了一個兩因素試驗。試驗結果列在下表中。地塊B一號地二號地三號地施肥量A100kg200kg300kg400kg8、698、478、888、7210、8210、8611、1611、428、808、749、689、5411、0010、9210、9711、139、499、379、399、5911、0711、0111、0010、90解前面已經說過,這就是一隨機模型。隨機模型得各項平方與得計算與固定模型就是一樣得。將上表中得cijk每一個均減去9、5列成下表:表2－15、1作物產量方差分析計算表施地肥量塊cij1cij2cij·c

2ij·∑c2ijk一100二三-0、81-0、70-0、01-1、03-0、76-0、13-1、84-1、46-0、143、38562、13160、01961、71701、06760、0170一200二三-0、620、18-0、11-0、780、040、09-1、400、22-0、021、96000、04840、00040、99280、03400、0202一300二三1、321、501、571、361、421、512、682、923、087、18248、52049、48643、59204、26644、7450一400二三1、661、471、501、921、631、403、583、102、9012、81649、61008、41006、44204、81784、210013、6263、577232、9218利用χijk列,列成下表:表2－15、2作物產量方差分析計算表地塊ci·c2i··一二三施肥量100200300400-1、84-1、402、683、58-1、460、222、923、10-0、14-0、023、082、90-3、44-1、208、689、5811、83361、440075、342491、7764c·i·

c2·i·

3、029、12044、7822、84845、8233、8724與13、6265、8412180、3924由表2－15、1計算出由表2－15、2計算出列成方差分析表:變差來源平方與自由度均方

F施肥量A地塊B交互作用AB誤差22、33600、50081、22291、1327326127、45530、25040、20380、094436、53**1、232、16總與25、192423**a＝0、01從以上方差分析表中,可以瞧出所選擇得不同地塊對產量沒有顯著影響。但不同施肥兩對產量得影響極為顯著。混合模型混合模型方差分析表如下:表2－16混合模型方差分析表(A固定,B隨機)變差來源平方與自由度均方

F因素A因素B交互作用AB誤差SSASSBSSABSSea－1b－1(a－1)(b－1)ab(n－1)MSAMSBMSABMSeMSA／MSABMSB／MSeMSAB／MSe

總與SSTabn－1例2·7表2－17所列出得數據就是四個受試者在四種速度下工作,即正常速度得60％、80％、100％、120％所得到得能量消耗得比值,試驗共有16種處理,每一處理重復觀察2次,共做32次觀察。表2－17四個受試者在四種速度下工作得能量消耗受試時間B一二三四工作得相對速度(正常速度得百分數)A60801001202、703、301、381、352、351、952、262、131、712、141、741、561、671、503、412、561、902、003、142、291、631、053、173、182、721、853、513、151、391、722、222、19解首先,瞧因素得類型。因素A就是從60～120％這個范圍內,人為地選出得四個水平,這四個水平就是可以嚴格控制得,所以因素A為固定型;因素B得四個水平,就是從受試者人群中隨機抽取得,所以因素B為隨機型。本試驗屬于混合效應模型。具體計算過程不再重復,下面給出方差分析表表2－18能量消耗實驗方差分析表變差來源平方與自由度均方F相對速度A實驗對象B交互作用A誤差3、99480、45418、41231、7902339161、33160、15140、93470、11191、421、358、35總與14、651431首先,檢驗假設因為F＞F9,16,0、05,所以A、B之間存在交互作用。檢驗

F＜F3,16,0、05,所以實驗對象個體之間得差異不顯著。最后,檢驗

F＜F3,16,0、01,接受H01。因素A就是不顯著得。在這四種速度下,工作得能量消耗沒有顯著不同。要提醒大家得就是,在混合模型得方差分析時,正確區分因素得類型,正確地使用檢驗得統計量就是非常重要得。ANOVA表變異來源MS固定模型隨機模型混合模型(A固,B隨)因素A因素BAxB誤差MSAMSBMSABMSe

MSA/MSe

MSB/MSe

MSAB/MSe

MSA/MSAB

MSB/MSAB

MSAB/MSe

MSA/MSAB

MSB/MSe

MSAB/MSe例題6、5:為了研究某種昆蟲滯育期長短與環境得關系,在給定得溫度與光照條件下進行實驗室培養,每一處理記錄4只昆蟲得滯育天數,結果列于下表,試對該資料進行方差分析

分析:2個因素,有重復得,固定模型得方差分