第=page11頁，共=sectionpages11頁北京師范大學貴陽附屬中學2024-2025學年高一（下）第一次月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|0≤x≤3}，B={x|x≥2}，則A∪B=(

)A.{x|x≥2} B.{x|1≤x≤3} C.{x|x≥0} D.{x|x≤3}2.“x>2”是“x>1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若a>0，b>0，且a+b=6，則(

)A.ab有最小值為3 B.ab有最大值為3 C.ab有最小值為9 D.ab有最大值為94.已知e1，e2是平面上兩個不共線的向量，以下可以作為平面向量一組基底的是(

)A.a=0，b=e1?e2 B.a=2e1+5.已知α為第四象限角，且tanα=?2，則cosα=(

)A.55 B.?55 6.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=3，A.?2 B.?1 C.1 D.27.在△ABC中，若ABcosC=BCcosA，則△ABC的形狀一定是(

)A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形8.已知△ABC中，若A=2π3，c=2，△ABC的面積為32，D為邊BC的中點，則ADA.5714 B.32 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=1+i的四個命題，其中為真命題的是(

)A.|z|=2 B.z?2=?2i

C.z的虛部為1 10.下列敘述正確的是(

)A.若a=b，b=c，則a=c

B.若a?b<0，則a與b的夾角為鈍角

C.若a為非零向量，則a|a|與11.設(shè)O為△ABC內(nèi)一點，已知OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，EA.OA+OB+OC=0 B.E，O，F(xiàn)三點共線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2+ii=______．13.為了測量某塔的高度，檢測員在地面A處測得塔頂T處的仰角為30°，從A處向正東方向走210米到地面B處，測得塔頂T處的仰角為60°，若∠AOB=60°，則鐵塔OT的高度為______米．14.已知等邊△ABC的邊長為26，△ABC外接圓圓心為O，P為△ABC的邊上的動點，M、N為圓上兩動點，且滿足MN=4，則PN?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知a=(2,1)，b=(?3,4)．

(1)設(shè)向量a，b的夾角為θ，求cosθ的值；

(2)求向量b在向量a上的投影向量的坐標；

(3)若(a?16.(本小題13分)

在△ABC中，cosA=17，a=8．

(1)若b=7，求c的值；

(2)若cosC=1114，求角B17.(本小題17分)

已知在△ABC中，N為AB中點，BM=13MC，|AB|=2，|AC|=4．

(1)若∠BAC=60°，求|AM|；

(2)設(shè)AB和AC的夾角為θ，若cosθ=14，求證：CN⊥AB；18.(本小題15分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ccosA=(2b?a)cosC．

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC的外接圓面積為4π，求△ABC周長的取值范圍．19.(本小題17分)

在直角梯形ABCD中，已知AB//DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動點E，F(xiàn)分別在線段BC和DC上，線段AE和BD相交于點M，且BE=λBC，DF=(1?λ)DC，λ∈R．

(1)當AE?BC=0時，求λ的值；

(2)當λ=23

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因為集合A={x|0≤x≤3}，B={x|x≥2}

由集合的并集運算可得，A∪B={x|x≥0}．

故選：C．

根據(jù)并集的定義求解即可．

本題主要考查了集合并集運算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A

【解析】解：由x>1，我們不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分條件；

∵x>2>1，∴由x>2，能得出x>1，∴x>1是x>2的必要條件

∴x>2是x>1的充分不必要條件

故選：A．

由x>1，我們不一定能得出x>2；x>2時，必然有x>1，故可得結(jié)論

四種條件的判斷，定義法是基本方法，不成立時，列舉反例即可．3.【答案】D

【解析】解：因為a>0，b>0，且a+b=6，

6=a+b≥2ab，即ab≤9，當且僅當a=b=3時，等號成立，故ab有最大值為9，沒有最小值．

故選：D．

利用基本不等式逐項判斷即可．4.【答案】C

【解析】解：已知e1，e2是平面上兩個不共線的向量，

對于A，因為a//b，所以a,b不可以作為平面向量一組基底，故A不符題意；

對于B，因為a=4b，所以為a//b；

所以a,b不可以作為平面向量一組基底，故B不符題意；

對于C，假設(shè)為a//b，則存在唯一實數(shù)λ，使得b=λa，即2e1+4e2=λ(e1?2e2)，所以2=λ4=?2λ5.【答案】A

【解析】解：因為α為第四象限角，cosα>0，

因為tanα=?2，所以cosα=11+tan2α=56.【答案】C

【解析】解：因為向量a，b滿足|a|=1，|b|=3，|a?2b|=3，

所以|a?2b|=(a?2b)7.【答案】B

【解析】解：因為ABcosC=BCcosA，

由正弦定理得sinCcosC=sinAcosA，即sin2C=sin2A，

因為A，C∈(0,π)，

所以2C=2A或2C+2A=π，

所以C=A或C+A=π2，

所以△ABC的形狀一定是等腰或直角三角形．

故選：B．

利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解．8.【答案】B

【解析】解：S△ABC=12bcsinA=12×2b×32=32，

故b=1，

由題意可得，AD=12(AB+AC9.【答案】BC

【解析】解：由z=1+i，得|z|=1+1=2，故A錯誤；

z?=1?i，則z?2=(1?i)2=?2i，故B正確；

復(fù)數(shù)z的虛部為1，故C正確；

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(1,1)，在第一象限，故D錯誤．

故選：BC10.【答案】ACD

【解析】解：對于A，因為a=b，b=c，

所以a,c同向且模相等，所以a=c，故A正確；

對于B，若a與b的夾角為π，則a?b<0，故B錯誤；

對于C，a|a|表示與a同向的單位向量，故C正確；

對于D，在等邊三角形ABC中，∠ABC=60°，

則AB與BC的夾角為120°，故D正確．

故選：ACD．11.【答案】BD

【解析】解：O為△ABC內(nèi)一點，已知OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點，

由OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA=3(OB?OA)+2(OC?OB)+(OA?OC)，

得3OA+OB+2OC=0，故A錯誤；

對于B，因為E，F(xiàn)分別為AB，AC中點，

所以O(shè)A+OB=2OE,OA+OC=2OF，

則3OA+OB+2OC=2(OA+OC)+(OA+OB)=4OF+2OE=0，

所以O(shè)E=?2OF12.【答案】1?2i

【解析】解：2+ii=?2i2+ii=1?2i．13.【答案】30【解析】解：設(shè)鐵塔OT的高為?，則可得AO=3?,BO=33?，

在△AOB中，則cos∠AOB=AO2+BO2?AB22AO?BO，即1214.【答案】?4

【解析】解：如下圖所示，設(shè)正△ABC的外接圓圓心為O，因為△ABC的邊長為26，

則圓O的半徑為r=262sinπ3=22，

因為|OM|=|ON|=22，MN=4，所以|OM|2+|ON|2=|MN|2=16，

所以△OMN為等腰直角三角形，所以O(shè)M?ON=0，

所以(OM+ON)2=OM2+2OM?ON+ON2=OM2+ON2=16，所以|OM+ON|=4．

因為P為△ABC的邊上的動點，設(shè)|OP|=x，

則當點P為正△ABC的頂點時，x取最大值15.【答案】?2525；

(?45【解析】解：(1)由a=(2,1)，b=(?3,4)，

得|a|=4+1=5，|b|=9+16=5，a?b=2×(?3)+1×4=?2，

所以cosθ=a?b|a||b|=?255=?2525；

(2)向量b在向量a上的投影向量的坐標為a16.【答案】c=5；

B=π3，S【解析】解：(1)因為b=7，cosA=17，a=8，

所以由余弦定理得：a2=b2+c2?2bccosA，

即64=49+c2?2c，解得c=5(c=?3舍去)；

(2)在△ABC中，cosA=17，cosC=1114，A，C∈(0,π)，

所以sinA=437,sinC=5314，

由正弦定理asinA=csinC，所以c=asinCsinA17.【答案】192；

證明見解答；

點P為線段NC【解析】解：(1)因為BM=13MC，則AM?AB=13(AC?AM)，

可得AM=34AB+14AC，

因為|AB|=2，|AC|=4，∠BAC=60°，

由平面向量數(shù)量積的定義可得AB?AC=|AB|?|AC|cos60°=2×4×12=4，

所以|AM|=14(3AB+AC)2=149AB2+6AB?AC+AC2

=149×4+6×4+42=192；

(2)證明：因為N為AB的中點，

則CN=AN?AC=12AB?AC，

由平面向量數(shù)量積的定義可得AB?AC=|AB|?|AC|cosθ=2×4×118.【答案】C=π3；

(6+2【解析】解：(1)因為ccosA=(2b?a)cosC，

由正弦定理得sinCcosA=2sinBcosC?sinAcosC，

即sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosC=sin(A+C)=sinB，

所以cosC=12，

又C∈(0,π2)，所以C=π3；

(2)設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，

則πR2=4π，所以R=2，

因為asinA=bsinB=csinC=2R=4，

所以c=4sinC=23,a=4sinA,b=4sinB=4sin(2π3?A)，

則a+b=4sinA+4sin(2π3?A)=6sinA+23cosA=43sin(A+π6)，

因為0<A<π219.【答案】解：(1)在直角梯形ABCD中，易得∠ABC=π4,BC=22，

∵AE?BC=0，∴AE⊥BC，

∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE