第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣州實驗外語學校高一（下）第一次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a=(1,2)，c=(m,?1)，若a⊥(a?cA.9 B.7 C.17 D.212.在△ABC中，BC=2，AB=4，cosC=?14，則AC的值為(

)A.2 B.3 C.4 D.53.已知AB=(?1,cosα)，BC=(2,0)，CD=(2,2sinα)，若A，B，D三點共線，則tanα=A.?2 B.?12 C.124.已知等邊三角形ABC的邊長是2，D，E分別是AB，AC的中點，則BE?CD=A.?332 B.?325.已知向量a=(1,3)，b=(?2,4)，且a在b上的投影向量為μb，則a?μb與A.π6 B.π4 C.π26.互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標和y坐標，記P(a,b).若斜坐標系中，x軸正方向和y軸正方向的夾角為θ，則該坐標系中M(x1,y1)和A.(x1?x2)2+(7.我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若BC=a,BA=bA.1225a?16C.1225a+8.如圖，已知D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點，且滿足AB=32AD，AC=4AE，BE與CD交于O，連接AO并延長交BC于F點.若AO=λA.73

B.43

C.52二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a，b，c滿足a=(1,1)，b=(?1,2)，c=(2m,n?1)，則A.|a?b|=5 B.當b//c時，4m+n=1

C.當(2a+b10.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點距離地面高度為60米，轉盤直徑為50米，設置有24個座艙，摩天輪開啟前，距地面最近的點為0號座艙，距地面最遠的座艙為12號，座艙逆時針排列且均勻分布，游客甲坐2號艙位，乙坐6號艙位，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，開啟后的第8分鐘這一時刻，游客甲和乙首次距離地面高度相同，游客甲在摩天輪轉動過程中距離地面的高度為H米，下列說法正確的是(

)A.H關于t的函數解析式為H=25sin(π12t?π6)+35

B.開啟后第20分鐘這一時刻游客甲和乙第二次距離地面高度相同

C.開啟后第10分鐘游客乙距離地面47.5米

D.開啟后第1011.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是(

)A.f(x)的圖像關于點(?π6,0)對稱

B.f(x)的圖像關于直線x=?5π12對稱

C.將函數y=2sin(2x?π6)的圖像向左平移π2個單位長度得到函數f(x)的圖像

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知α是第一象限角，且cos(α+π6)=51313.關于平面向量有下列四個命題：

①若a?b=a?c，則b=c，；

②已知a=(k,3)，b=(?2,6).若a/?/b，則k=?1．

③非零向量a和b，滿足|a|=|b|=|a14.若平面向量a，b，c滿足|a|=1，b?c=0，a?b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(m,?1)，b=(1,2)．

(1)若(a+b)⊥2b，求|a+2b|；

16.(本小題15分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分別為AB，BC上的點，且AE=2EB，CF=2FB．

(1)若DE=xAB+yAD，求x，y的值；

(2)求AB?DE的值；

17.(本小題15分)

已知在△ABC中，C=2A，cosA=34，且2BA?CB=?27．

(1)求cosB的值；

18.(本小題17分)

如圖，某公園有一塊扇形人工湖OMN，其中圓心角∠MON=π4，半徑為1千米，為了增加觀賞性，公園在人工湖中劃分出一片荷花池，荷花池的形狀為矩形ABCD(四個頂點都落在扇形邊界上)；再建造一個觀景臺，形狀為△DAM，記∠MOD=α．

(1)當角α取何值時，荷花池的面積最大？并求出最大面積．

(2)若在OA的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費用為每千米8萬元(不計橋的寬度)；且建造觀景臺的費用為每平方千米1619.(本小題17分)

設平面內兩個非零向量m,n的夾角為θ，定義一種運算“?”：m?n=|m||n|sinθ.試求解下列問題：

(1)已知向量a,b滿足a=(2,1),|b|=2,a?b=4，求a?b的值；

(2)①若a=(x1,y1),b=(x2參考答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.C

6.A

7.A

8.A

9.BCD

10.BCD

11.ABD

12.?513.②③④

14.2

15.解：(1)由題干得到：a=(m,?1)，b=(1,2)．

故得到：a+b=(m+1,1)，2b=(2,4)．

已知(a+b)⊥2b，所以可得(a+b)?2b=0，即2(m+1)+4=0．

解得m=?3．

所以a+2b=(?1,3)．

故|a+2b|=10．

(2)因為向量16.解：(1)∵DE=AE?AD=23AB?AD，

又DE=xAB+yAD，

∴x=23,y=?1．

(2)∵AB=4，AD=2，∠BAD=60°，DE=23AB?AD，

∴AB?DE=AB?(23AB?AD)

=23AB2?AB?AD

=217.解：(1)∵C=2A，∴cosC=cos2A=2cos2A?1=18，

∴sinC=378,sinA=74，

∴cosB=?cos(A+C)=916.…(6分)

(2)∵C=2A，∴csinC=asinA，∴c=32a.?…(8分18.解：(1)由題意可得D(cosα,sinα)(0<α<π4)，

所以|BC|=|AD|=sinα，

又因為∠MON=π4，

所以△BCO為等腰直角三角形，

所以|OB|=|BC|=sinα，

所以|AB|=|OA|?|OB|=cosα?sinα，

所以S矩形ABCD=|AB|?|AD|

=(cosα?sinα)sinα

=cosα?sinα?sin2α

=12sin2α+12cos2α?12

=22sin(2α+π4)?12，

因為0<α<π4，

所以π4<2α+π4<3π4，

所以當2α+π4=π2，即α=π8時，

S矩形ABCD取最大值，為2?12；

所以當α=π8時，荷花池的面積最大，最大面積2?12(平方千米19.解：(1)