禹州市第三高級中學潤澤校區2024—2025下學期高二（3月）階段性考試數學試卷命題人：劉倩倩審題人：陳水彩一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．）1.已知直線與垂直，則實數（）A.3 B.-3 C.2 D.12.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.53.如圖，四面體中，，，，，，且（）A. B.C. D.4.在的展開式中，的系數為（）A. B.15 C. D.305.編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，若任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有（）A.10種 B.12種 C.15種 D.18種6.“City不City”是一個今年在網絡上迅速走紅的流行語，這句流行語也成為了外國游客表達對中國城市深刻印象的一種新穎方式.現將一對C，一對i，一對t，一對y重新組合排成一行，若至多有2對相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A.2124種 B.2148種 C.2352種 D.2420種7.提供四種不同顏色顏料給圖中六個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，有公共邊的兩個區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有（）A.288種 B.296種 C.362種 D.384種8.設分別是雙曲線左右焦點，過雙曲線上一點作切線交軸于點，若，，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分．）9.已知展開式的二項式系數和為512，，下列選項正確的是（）A. B.C.被8整除的余數為1 D.10.現有個編號為的盒子和個編號為的小球，要求把個小球全部放進盒子中，則下列結論正確的有（）A.沒有空盒子的方法共有種B.有空盒子的方法共有種C.恰有個盒子不放球的方法共有種D.沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有種11.如圖，“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現，則下列關于“楊輝三角”的性質中正確的是（）A.B.第8行所有數字之和為256C.D.記第20，21行數字的最大值分別為，則三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在處的切線的傾斜角為__________.13.已知，那么________．14.數學的浪漫難以言表，今年是2025年，，，我們將可以表示成某個整數的平方且可以表示為連續正整數的立方和的年份成為“完美平方年”，小張同學想給下一個完美平方年的人寫一封信，則標題可起為______年之約.四、解答題（共5小題，共77分．解題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法種數．（1）全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩端位置；（2）全體排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（3）全體排成一行，其中男生必須排在一起；（4）全體排成一行，男、女各不相鄰；（5）全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；（6）全體排成前后兩排，前排3人，后排4人．16.如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F分別為AD，AB的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，P是線段上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.17.已知數列是等差數列，首項，公差為d且，，成等比數列.（1）求的通項公式；（2）若，數列滿足，求數列的前n項和.18已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）若對任意，恒成立，求實數取值范圍.19.已知橢圓的離心率為是的左、右焦點，且，直線過點與交于兩點.（1）求的方程；（2）若，求的方程；（3）若直線過點與交于兩點，且的斜率乘積為分別是線段的中點，求面積的最大值.

禹州市第三高級中學潤澤校區2024—2025下學期高二（3月）階段性考試數學試卷命題人：劉倩倩審題人：陳水彩一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．）1.已知直線與垂直，則實數（）A.3 B.-3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用兩條直線垂直的充要條件計算即可得解。【詳解】因，所以，所以。故答案為：B2.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據空間向量垂直的坐標運算求得，然后利用空間向量模的坐標運算求解即可.【詳解】由向量，，且，得，則，則.故選：C3.如圖，在四面體中，，，，，，且（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據已知條件，結合空間向量的線性運算法則，即可求解．【詳解】，，，即.故選：D.4.在的展開式中，的系數為（）A. B.15 C. D.30【答案】B【解析】【分析】結合二項展開式的通項公式可求的系數.【詳解】的展開式的通項公式為，令，故，故的系數為，故選：B.5.編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，若任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有（）A.10種 B.12種 C.15種 D.18種【答案】A【解析】【分析】在四盞熄滅的燈中，使用插空法即可求解；【詳解】四盞熄滅的燈產生的5個空中放入3盛亮燈，即不同的開燈方案有（種）故選：A6.“City不City”是一個今年在網絡上迅速走紅的流行語，這句流行語也成為了外國游客表達對中國城市深刻印象的一種新穎方式.現將一對C，一對i，一對t，一對y重新組合排成一行，若至多有2對相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A.2124種 B.2148種 C.2352種 D.2420種【答案】C【解析】【分析】由間接法，求得恰有3對和4對的情況，即可求解；【詳解】恰有3對相同的字母相鄰的排法有：,有4對相同的字母相鄰的排法有：,8個字母的全排列為：,所以至多有2對相同的字母相鄰的不同的排法有：，故選：C7.提供四種不同顏色的顏料給圖中六個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，有公共邊的兩個區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有（）A.288種 B.296種 C.362種 D.384種【答案】D【解析】【分析】分2號區域和6號區域同色，2號區域與4號區域同色，2號區域與4號區域，6號區域均不同色三種情況討論，進而可得出答案.【詳解】首先三個區域有種涂法，當2號區域和6號區域同色時，有種涂法；當2號區域與4號區域同色時，有種涂法；當2號區域與4號區域，6號區域均不同色時，有種涂法，綜上，共有384種涂法.故選：D.8.設分別是雙曲線的左右焦點，過雙曲線上一點作切線交軸于點，若，，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的光學性質可知切線為的角平分線，求得各個內角，再結合正弦定理即可求解；【詳解】連接，由雙曲線的光學性質可知切線為的角平分線；則，又，所以，所以在中，由正弦定理可得：，所以，也即，所以，故選：D二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分．）9.已知展開式的二項式系數和為512，，下列選項正確的是（）A. B.C.被8整除的余數為1 D.【答案】BCD【解析】【分析】先利用二項式系數和結論得到，然后取特殊值即可驗證A，取得，與聯立求解即可驗證B，換元并使用二項式定理即可驗證C，求出每一項系數的符號并取特殊值即可驗證D．【詳解】由已知有，故，．所以．對于A，取得，取得，所以，A錯誤；對于B，取得，又，所以，B正確；對于C，，則后一項即為余數1，C正確；對于D，由有．在中取得，所以，D正確.故選：BCD．10.現有個編號為的盒子和個編號為的小球，要求把個小球全部放進盒子中，則下列結論正確的有（）A.沒有空盒子的方法共有種B.有空盒子的方法共有種C.恰有個盒子不放球的方法共有種D.沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有種【答案】AC【解析】【分析】對于A，沒有空盒即4個球4個盒子全排列即得；對于B，可以有空盒子，有4個球，每個球有4種放法，再減去沒有空盒的情況，即可求解；對于C，恰有一個空盒，即另外三個盒子都有球，而球共四個，必然有一個盒子中放了兩個球，求解即得；對于D，只需從四盒四球中選定標號相同的球和盒，另外的球與盒不能對應，求解即得．【詳解】對于選項A，把4個小球全部放進盒子中，沒有空盒子，相當于4個小球在4個盒子上進行全排列，故共有種方法，所以選項A正確，對于選項B，有空盒子，因為有4個球，每個球各有4種放法，故共有種方法，所以選項B錯誤；對于選項C，恰有1個盒子不放球，說明另外三個盒子都有球，而球共4個，則必有一個盒子放了2個球，先將四盒中選一個作為空盒，再將4球中選出2球綁在一起，再對三個盒子全排共有種方法，故C正確；對于選項D，恰有一個小球放入自己編號的盒中，則從四盒四球中選定標號相同的球和盒有種，另外三球三盒不能對應共2種，則共有種方法，故D錯誤.故選：AC.11.如圖，“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現，則下列關于“楊輝三角”的性質中正確的是（）A.B.第8行所有數字之和256C.D.記第20，21行數字的最大值分別為，則【答案】BC【解析】【分析】根據“楊輝三角”，利用組合數的計算可判斷A和C；利用二項式系數的性質可判斷B和D.【詳解】對于A，，所以，故A錯誤；對于B，由二項式系數的性質知，第行各數的和為，所以第8行所有數字之和為，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，第20行數字的最大值為，第21行數字的最大值為，所以，故D錯誤.故選：BC.三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在處的切線的傾斜角為__________.【答案】（或）【解析】【分析】根據導數的幾何意義求導即可求得斜率，可得傾斜角.【詳解】由題意得，當時，切線的斜率為1，故切線的傾斜角為.故答案為：13.已知，那么________．【答案】【解析】【分析】根據組合數公式的性質計算可得；【詳解】解：因為所以所以，解得故答案為：14.數學浪漫難以言表，今年是2025年，，，我們將可以表示成某個整數的平方且可以表示為連續正整數的立方和的年份成為“完美平方年”，小張同學想給下一個完美平方年的人寫一封信，則標題可起為______年之約.【答案】千或1000【解析】【分析】利用數學歸納法證明，根據得到下一個完美平方年為，即可得答案.【詳解】由題設，猜想，顯然時，若時，成立，當時，，所以時，也成立，由，故下一個完美平方年為年，所以，故標題可為千年之約.故答案為：千或1000四、解答題（共5小題，共77分．解題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法種數．（1）全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩端位置；（2）全體排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（3）全體排成一行，其中男生必須排在一起；（4）全體排成一行，男、女各不相鄰；（5）全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；（6）全體排成前后兩排，前排3人，后排4人．【答案】（1）2160種（2）3720種（3）720種（4）144種（5）840種（6）5040種【解析】【分析】（1）先安排甲，剩下元素全排列即可求解；（2）直接法：甲是否在最右端分兩類求解；間接法：先排最左端位置（除去甲外），減去甲不在最左端且乙在最右端的情況即可；（3）由捆綁法即可求解；（4）先排好男生，再由插空法求解；（5）由定序法即可求解；（6）分排問題轉換成直排即可求解；【小問1詳解】甲為特殊元素，故先安排甲，左、右、中共3個位置可供甲選擇，有種排法，其余6人全排列，有種排法．由分步乘法計數原理得共有種排法．【小問2詳解】直接法（位置分析）：按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端有種排法；第二類：甲不在最右端時，甲有5個位置可選，而乙也有5個位置可選，而其余全排列，有種排法，由分步乘法計數原理得有種排法．故共有種排法．間接法：先排最左端位置，除去甲外，有種排法，余下的6個位置全排列有種，但應剔除甲不在最左端且乙在最右端的排法種．則符合條件的排法共有（種）．【小問3詳解】將男生看成一個整體，進行全排列有種排法，把這個整體看成一個元素再與其他4人進行全排列有種排法，共有種排法．【小問4詳解】先排好男生，然后將女生插入排男生時產生的4個空位中，共有種排法．【小問5詳解】第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為，第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為7個人的全排列，因此有，故（種）．【小問6詳解】由已知，7個人排在7個位置，與無任何限制的排列相同，有種排法．16.如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F分別為AD，AB的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，P是線段上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意建立空間直角坐標系，求得兩平面的法向量，可得答案；（2）由（1）的空間直角坐標系，求得平面的法向量與直線的方向向量，可得答案.【小問1詳解】，，所以，又，，又，，，.在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，.，，，設為平面的一個法向量，令，得，.設平面的一個法向量，則，取，又平面與平面不重合，平面平面.【小問2詳解】當時，為平面的一個法向量，，則，設，，，設直線與平面所成角為，，當且僅當時，等號成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.17.已知數列是等差數列，首項，公差為d且，，成等比數列.（1）求的通項公式；（2）若，數列滿足，求數列的前n項和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據等比中項的性質得到，即可求出，從而求出通項公式；（2）由（1）可得，再利用錯位相減法計算可得.【小問1詳解】因，，成等比數列，又，所以，即，解得或，當時數列的通項公式；當時數列的通項公式；所以或.【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，則，所以，所以.18.已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）的單調遞減區間是，單調遞增區間是（2）【解析】【分析】（1）利用導數求函數的單調性；（2）分離參數得，構造，利用導數求最大值即得.【小問1詳解