山西省孝義市九校2025屆高三第二次適應性考試數學試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．百年雙中的校訓是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個字，有放回地從中任意摸出一個小球，直到“仁”、“智”兩個字都摸到就停止摸球.小明同學用隨機模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產生1到4之間（含1和4）取整數值的隨機數，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示摸球三次的結果，經隨機模擬產生了以下20組隨機數：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．2．若函數在時取得最小值，則（）A． B． C． D．3．設，則，則（）A． B． C． D．4．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，、分別是、的中點，則下列結論中錯誤的是（）A．， B．存在點，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值5．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．7．在直角坐標平面上，點的坐標滿足方程，點的坐標滿足方程則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．59．若為純虛數，則z＝（）A． B．6i C． D．2010．已知（為虛數單位，為的共軛復數），則復數在復平面內對應的點在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．復數為純虛數，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i12．若圓錐軸截面面積為，母線與底面所成角為60°，則體積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設點P在函數的圖象上，點Q在函數的圖象上，則線段PQ長度的最小值為_________14．已知，滿足約束條件，則的最大值為________．15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數a的值為_______．16．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）求函數在處的切線方程（2）設函數，對于任意，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次小（如5，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數學期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.19．（12分）已知曲線的參數方程為為參數，曲線的參數方程為為參數).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點，且，求的值.20．（12分）已知在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數.).以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，曲線與直線其中的一個交點為，且點極徑.極角（1）求曲線的極坐標方程與點的極坐標；（2）已知直線的直角坐標方程為，直線與曲線相交于點(異于原點)，求的面積.21．（12分）在平面直角坐標系中，將曲線（為參數）通過伸縮變換，得到曲線，設直線（為參數)與曲線相交于不同兩點，.（1）若，求線段的中點的坐標；（2）設點，若，求直線的斜率.22．（10分）設橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數比20即可得解.【詳解】由題意可知當1，2同時出現時即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點睛】本題考查了簡單隨機抽樣中隨機數的應用和古典概型概率的計算，屬于基礎題.2、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據正弦函數的最值，求得在函數取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數的最值的應用，屬于基礎題．3、A【解析】

根據換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點睛】本題考查換底公式和對數的運算，屬于中檔題.4、B【解析】

根據平行的傳遞性判斷A；根據面面平行的定義判斷B；根據線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【詳解】在A中，因為分別是中點，所以，故A正確；在B中，由于直線與平面有交點，所以不存在點，使得平面平面，故B錯誤；在C中，由平面幾何得，根據線面垂直的性質得出，結合線面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.5、D【解析】

連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設正方體的棱長為2，取的中點為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設正方體的棱長為2，則，，在等腰中，取的中點為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質和二倍角公式，還考查空間思維和計算能力.6、A【解析】依題意，基本事件的總數有種，兩個人參加同一個小組，方法數有種，故概率為.7、B【解析】

由點的坐標滿足方程，可得在圓上，由坐標滿足方程，可得在圓上，則求出兩圓內公切線的斜率，利用數形結合可得結果.【詳解】點的坐標滿足方程，在圓上，在坐標滿足方程，在圓上，則作出兩圓的圖象如圖，設兩圓內公切線為與，由圖可知，設兩圓內公切線方程為，則，圓心在內公切線兩側，，可得，，化為，，即，，的取值范圍，故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關系以及數形結合思想的應用，屬于綜合題.數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是運用這種方法的關鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數形結合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.8、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點睛】考查向量的數量積及向量模的運算，是基礎題.9、C【解析】

根據復數的乘法運算以及純虛數的概念，可得結果.【詳解】∵為純虛數，∴且得，此時故選：C.【點睛】本題考查復數的概念與運算，屬基礎題.10、D【解析】

設，由，得，利用復數相等建立方程組即可.【詳解】設，則，所以，解得，故，復數在復平面內對應的點為，在第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數的幾何意義，涉及到共軛復數的定義、復數的模等知識，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.11、B【解析】

復數為純虛數，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題.12、D【解析】

設圓錐底面圓的半徑為，由軸截面面積為可得半徑，再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為，由已知，，解得，所以圓錐的體積.故選：D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由解析式可分析兩函數互為反函數,則圖象關于對稱,則點到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導函數即可求得最值.【詳解】由題,因為與互為反函數,則圖象關于對稱,設點為,則到直線的距離為,設,則,令,即,所以當時,,即單調遞減；當時,,即單調遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查反函數的性質的應用,考查利用導函數研究函數的最值問題.14、【解析】

根據題意，畫出可行域，將目標函數看成可行域內的點與原點距離的平方，利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示，易知當，時，的最大值為．故答案為：9.【點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規劃問題，屬于中檔題.15、2【解析】

利用AB中有且只有一個元素，可得，可求實數a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素，所以，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，集合交集的運算本質是存同去異，側重考查數學運算的核心素養.16、【解析】

根據雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切線的點斜式方程，整理即可；（2）的取值范圍滿足，，求出，當時求出，的解，得到單調區間，極小值最小值即可.【詳解】（1）由于，此時切點坐標為所以切線方程為.（2）由已知，故.由于，故，設由于在單調遞增同時時，，時，，故存在使得且當時，當時，所以當時，當時，所以當時，取得極小值，也是最小值，故由于，所以，.【點睛】本題考查導數的幾何意義、不等式恒成立問題，應用導數求最值是解題的關鍵，考查邏輯推理、數學計算能力，屬于中檔題.18、（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數學期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設恰好獲得60元為事件A，因為60＝20×3＝40＋10＋10，所以．【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數學期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應的概率，側重考查數學建模的核心素養.19、（1），（2）0【解析】

（1）分別把兩曲線參數方程中的參數消去，即可得到普通方程；（2）把直線的參數方程代入的普通方程，化為關于的一元二次方程，再由根與系數的關系及此時的幾何意義求解．【詳解】（1）由曲線的參數方程為為參數），消去參數，可得；由曲線的參數方程為為參數），消去參數，可得，即．（2）把為參數）代入，得．，．．解得：，即，滿足△．．【點睛】本題考查參數方程化普通方程，特別是直線參數方程中參數的幾何意義的應用，是中檔題．20、（1）極坐標方程為，點的極坐標為（2）【解析】

（1）利用極坐標方程、普通方程、參數方程間的互化公式即可；（2）只需算出A、B兩點的極坐標，利用計算即可.【詳解】（1）曲線C：(為參數，)，將代入，解得，即曲線的極坐標方程為，點的極坐標為.（2)由（1），得點的極坐標為，由直線過原點且傾斜角為，知點的極坐標為，.【點睛】本題考查極坐標方程、普通方程、參數方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學生的運算能力，是一道基礎題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）由l參數方程與橢圓方程聯立可得A、B兩點參數和，再利用M點的參數為A、B兩點參數和的一半即可求M的坐標；（2）利用直線參數方程的幾何意義