,,姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:題號一二三四五六總分滿分得分密封線答題時不要超過此線,密封線答題時不要超過此線,l1l21)證明l1和l2異面;2)求l1和l2公垂線的標準方程;3)求連接l1上的任一點和l2上的任一點線段中點的軌跡的一般方程"(1)證明:l1上有點r1=(4,3,8),方向向量為v1=(1,-2,1)"l2上有點r2=(-1,-1,-1),方向向量為v2=(7,-6,1)",,0,故l故l1和l2異面"(3分)(2)l1上的任一點P1=r1+t1v1與l2上的任一點P2=r2+t2v2的連線的方向向量為,=(-5+7t2-t1,-4-6t2+2t1,-9+t2-t1).公垂線的方向向量為,由P1P2與v2t1)得t1=1,t2=0.故點r2+0v2=(—1,—1,1)在公垂線上?從而公垂線的標準方程為(9分)(9分)(3)P1=r1+t1v1與P2=r2+t2v2的中點為因此中點軌跡為一個平面?平面的法向量為v=v1×v2=(4,6,8).又點,2,7)在平面上?故軌跡的方程為4x+6y+8z40=0.二、(本題15分)設f∈C[0,1]是非負的嚴格單調增函數"1)證明:對任意n∈N?存在唯一的xn∈[0,1]?使得(f(xn))n=(f(x))ndx.2)證明:limn→∞xn=1.證明證明:1)f(0)n≤(f(x))ndx≤f(1)n,由連續函數的介值性質得到xn的存在性"(3分)由于f是嚴格單調函數?xn是唯一的"(5分)2)對任意的小∈>0,由f的非負性和單調性?故從而liff(xn)≥f(1—∈).由f的單調性,,,三、(本題15分)設V為閉區間[0,1]上全體實函數構成的實向量空間,其中姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:向量加法與純量乘法均為通常的"f1,...,fn∈V.證明以下兩條等價:1)f1,...姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:i(aj))0,這里det表行列式.證明2))1).考慮方程λ1f1+···+λnfn=0.將a1,...,an分別代入,得方程組,密封線答題時不要超過此線注意到上述方程組的系數矩陣為(fi(aj))T,因此由det(fi(aj))0直接知道λ1=···=λn=0.(6分)密封線答題時不要超過此線1)1))2).用歸納法.首先,n=1時,結論顯然"其次,設n=k時結論真"則n=k+1時,由f1,...,fk+1線性無關知,f1,...,fkki(aj))k×k0"觀察函數,按最后一列展開得F(x)=λ1f1(x)+···+λkfk(x)+λk+1fk+1(x),其中λ1,...,λk+1均為常量"注意到λk+10,因此由f1,...,fk+1線性無關知F(x)不det(fi(aj))0.證畢"(15分)四、(本題15分)設f(x)在R上有二階導函數,f(x),f/(x),f//(x)都大于零,假設存在正數a,b使得f//(x)≤af(x)+bf/(x)對一切x∈R成立.求證:x(ii)求證:存在常數c使得f/(x)≤cf(x).,(iii)求使上面不等式成立的最小常數c.,證明:由條件知f及f/是單調遞增的正函數,因此x和x都存在"(2分)根據微分中值定理,對任意x存在θx∈(0,1)使得f(x+1)—f(x)=fI(x+θx)>fI(x)>0.上式左邊當x→—∞時極限為0,因而有(5分)fII(x)—cfI(x)≤(b—c)fI(x)+af(x)=(b—c)(fI(x)—cf(x)).這說明函數e—(b—c)x(fI(x)—cf(x))是單調遞減的。注意到該函數當x→—∞時極限為0,因此有fI(x)—cf(x)≤0.即,fI(x)≤cf(x).(10分)常數常數c是最佳的,這是因為對函數f(x)=ecx有fII(x)=af(x)+bfI(x).(15分)五、(本題20分)設m為給定的正整數.證明:對任何的正整數n,l,存在m階方陣X使得:I證明則所求的方程變為(3分)Xn+Xl=2I+2H+3H2+···+mHm—1.(3分)2H22+)考察的矩陣X,則有X=I+a1H+Xn=(I+a1H+a2H2+···+amHm—1)n=I+(na1)H+(na2+f1(a1))H2+···+(nam+fm—1(a1,···,am—1))Hm—1,類似地,有,Xl=I+(la1)H+(la2+g1(a1))H2+···+(lam+gm-1(a1,···,am-1))Hm-1.,姓名:準考證號:所在院校姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:直接可看出該方程組有解。命題得證。(20分):I密封線答題時不要超過此線,密封線答題時不要超過此線,求證求證limnkan=0,其中k>0.n→∞證明:由條件可知從某項開始{an}單調遞減。因此,若a>0,則當n充分大時,因為因為所以也發散,但此級數顯然收斂到a1—a.這是矛,,盾!所以應有a=0.