第六屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽ò、二年級試卷,,題號一題號一二三四五六總分滿分得分姓名:準(zhǔn)考證號姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè):注意:1.所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊,寫在其它紙上一律無效.2.密封線左邊請勿答題,密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記.3.如答題空白不夠,可寫在當(dāng)頁背面,并標(biāo)明題號.,一、,一、(本題20分)填空題(每小題5密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線(1)實二次型2x1x2—x1x3+5x2(1)實二次型2x1x2—x1x3+5x2x3的規(guī)范型=z+z—z.(3)計算第一型曲面積分的值:I=x2+y2+z2=1(4)A=(aij)為n階實對稱矩陣(n>1),rank(A)=n—1,A的每行元素之和均為0.設(shè)2,3,...,n為A的全部非零特征值"用A11表示A的元素a11所對應(yīng)的代數(shù)余子式.則有A11=(n—1)!.(4)解:1)秩A=n—1)(4)解:1)秩A=n—1)秩A*=1且Ax=0的解空間維數(shù)為1,2)注意到AA*=0,從而A*的每一列均形如又由于A為實對稱矩陣,故A*也為實對稱矩陣"故A*=.3)考慮特征多項式,f(λ)=jλI—Aj=λ(λ—2)···(λ—n).,第1頁(共5頁)第2頁(共5頁)其一次項系數(shù)為(—1)n-1n!.另一方面,由f(λ)=jλI—Aj又知,其一次項系數(shù)為(—1)n-1(A11+···Ann).結(jié)果a=(n—1)!.二、(本題15分)設(shè)空間中定點P到一定直線l的距離為p.一族球面中的每個球面都過點P,且截直線l得到的弦長都是定值a.求該球面族的球心的軌跡.解:以l為z軸,以過點P且垂直于z軸的直線為x軸來建立直角坐標(biāo)系"可設(shè)球面C的球心為(x0,y0,z0),由于C過點P,則設(shè)P:設(shè)球面C的球心為(x0,y0,z0),由于C過點P,則即由此得到兩個解為故弦長a=jt1t2j=2√z(2px0反之,如果球面C的球心滿足(2),如果C過點P,此時二次方程(1)的判別式反之,如果球面C的球心滿足(2),如果C過點P,此時二次方程(1)的判別式方程有兩個實根從而C和l相交,而且截出來弦長為a.故所求的軌跡為三、證明題,其中C表復(fù)數(shù)域"試證,明:8A∈Γ,A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形JA仍然屬于Γ;進(jìn)一步還存在可逆的矩陣P∈Γ使,得P-1AP=JA.姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè):證明:對A=姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè):jz2jz20.:此時,z2=0,z1=此時,z2=0,z1=Rez1,從而A==JA∈取P=I即,,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線情形2.△<0.此時A的特征值為從而從而現(xiàn)取A關(guān)于λ1的一個非0特征向量則有,,直接檢驗知因此為A關(guān)于λ1的一個非0特征向量"令P=,則有P可逆,且P∈P-1AP=JA.................15分四、(本題20分)設(shè),,第3頁(共5頁)求最大常數(shù)Q滿足若,取xn=-1,yn=則下證由于f(x)為偶函數(shù)?不妨設(shè)0≤x<y.令z=sup{u≤y|f(u)=f(x)},五、(本題15分)設(shè)a(t),f(t)為實連續(xù)函數(shù)??t∈R有f(t)>0,a(t)>1.f(t)dt=+∞.已知x(t)滿足x,,(t)+a(t)f(x(t))≤0,?t∈R.求證:x(t)在[0,+∞)有上界.證明:由x//(t)≤-a(t)f(x(t))<0,故limt→∞x/(t)存在或為-∞.第4頁(共5頁)若limt→∞x(t)=+∞,則x/(t)>0,limt→∞x(t)=+∞......................6分故,x/(t)f(x(t))≤a(t)x/(t)f(x(t))≤-x/(t)x//(t),姓名:準(zhǔn)考證號:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè):令t→∞得六、(本題15分)設(shè)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)可導(dǎo),且f(0)=f(1)=0.求證:,,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線等號當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=A(x-x3)時成立,其中A是常數(shù).證明:分部積分可得6xf(x)dx=(1-3x26xf(x)dx=(1-3x2)f/(x)dx.