甘肅省蘭州市第一中學2025年高三下學期統一考試數學試題理試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把函數圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．2．已知定義在上的函數滿足，且當時，，則方程的最小實根的值為（）A． B． C． D．3．若是定義域為的奇函數，且，則A．的值域為 B．為周期函數，且6為其一個周期C．的圖像關于對稱 D．函數的零點有無窮多個4．把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若函數是偶函數，則實數的最小值是（）A． B． C． D．5．已知集合，，則（）A． B．C． D．6．3本不同的語文書，2本不同的數學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數學書的概率是（）A． B． C． D．7．一輛郵車從地往地運送郵件，沿途共有地，依次記為，，…（為地，為地）．從地出發時，裝上發往后面地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發往該地的郵件，同時裝上該地發往后面各地的郵件各1件，記該郵車到達，，…各地裝卸完畢后剩余的郵件數記為．則的表達式為（）．A． B． C． D．8．“是函數在區間內單調遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知實數，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．810．某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為，若低于60分的人數是18人，則該班的學生人數是（）A．45 B．50 C．55 D．6011．如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應為（）A． B． C． D．12．已知若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義在R上的函數滿足：①對任意的，都有；②當時，，則函數的解析式可以是______________.14．在中，，點是邊的中點，則__________，________.15．在中，點在邊上，且，設，，則________（用，表示）16．已知復數（為虛數單位），則的模為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數列,其公比,且滿足,和的等差中項是1．(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)若,是數列的前項和,求使成立的正整數的值．18．（12分）在直角坐標系中，圓的參數方程為：（為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.（1）求圓的極坐標方程；（2）若直線：（為參數）被圓截得的弦長為，求直線的傾斜角.19．（12分）某工廠生產一種產品的標準長度為，只要誤差的絕對值不超過就認為合格，工廠質檢部抽檢了某批次產品1000件，檢測其長度，繪制條形統計圖如圖：（1）估計該批次產品長度誤差絕對值的數學期望；（2）如果視該批次產品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產的產品中隨機抽取2件，假設其中至少有1件是標準長度產品的概率不小于0.8時，該設備符合生產要求.現有設備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時，生產一件產品為標準長度的概率的最小值.20．（12分）設函數f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數的底數.（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區間（1，+∞）內恒成立.21．（12分）設橢圓：的右焦點為，右頂點為，已知橢圓離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點是棱的中點，，.（1）若，證明：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

試題分析：把函數圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），可得的圖象；再將圖象向右平移個單位，可得的圖象，那么所得圖象的一個對稱中心為，故選D.考點：三角函數的圖象與性質.2、C【解析】

先確定解析式求出的函數值，然后判斷出方程的最小實根的范圍結合此時的，通過計算即可得到答案.【詳解】當時，，所以，故當時，，所以，而，所以，又當時，的極大值為1，所以當時，的極大值為，設方程的最小實根為，，則，即，此時令，得，所以最小實根為411.故選：C.【點睛】本題考查函數與方程的根的最小值問題，涉及函數極大值、函數解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區分度的壓軸選這題.3、D【解析】

運用函數的奇偶性定義，周期性定義，根據表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數，則，，又，，即是以4為周期的函數，，所以函數的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數的性質，主要是抽象函數的性質，運用數學式子判斷得出結論是關鍵.4、A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根據三角函數圖象的對稱性可求實數滿足的等式，從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數解析式為，故.令，，解得，.因為為偶函數，故直線為其圖象的對稱軸，令，，故，，因為，故，當時，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的圖象變換以及三角函數的圖象性質，注意平移變換是對自變量做加減，比如把的圖象向右平移1個單位后，得到的圖象對應的解析式為，另外，如果為正弦型函數圖象的對稱軸，則有，本題屬于中檔題．5、A【解析】

根據對數性質可知，再根據集合的交集運算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運算可得.故選：A.【點睛】本題考查由對數的性質比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎題.6、D【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件．計數后可求得概率．【詳解】3本不同的語文書編號為，2本不同的數學書編號為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個，恰好都是數學書的只有一種，∴所求概率為．故選：D.【點睛】本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數計算概率．7、D【解析】

根據題意，分析該郵車到第站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數目，進而計算可得答案．【詳解】解：根據題意，該郵車到第站時，一共裝上了件郵件，需要卸下件郵件，則，故選：D．【點睛】本題主要考查數列遞推公式的應用，屬于中檔題．8、C【解析】，令解得當，的圖像如下圖當，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數圖像的畫法.9、D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據可行域求非線性目標函數的最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.10、D【解析】

根據頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據樣本容量求出班級人數.【詳解】根據頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學生人數）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率的應用問題，屬于基礎題11、B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環的條件．解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應填n≤1．故選B點評：算法是新課程中的新增加的內容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤．12、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函數的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關于的不等式，即可解得實數的取值范圍.【詳解】，先解不等式.①當時，由，得，解得，此時；②當時，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數的值域.當時，，則，此時；當時，，此時.綜上所述，函數的值域為，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數不等式恒成立求參數，同時也考查了分段函數基本性質的應用，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（或，答案不唯一）【解析】

由可得是奇函數，再由時，可得到滿足條件的奇函數非常多，屬于開放性試題.【詳解】在中，令，得；令，則，故是奇函數，由時，，知或等，答案不唯一.故答案為：（或，答案不唯一）.【點睛】本題考查抽象函數的性質，涉及到由表達式確定函數奇偶性，是一道開放性的題，難度不大.14、2【解析】

根據正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數量積求解即可.【詳解】中，，，可得因為點是邊的中點，所以故答案為：；.【點睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數量積的應用，考查計算能力，屬于中檔題.15、【解析】

結合圖形及向量的線性運算將轉化為用向量表示，即可得到結果．【詳解】在中，因為，所以，又因為，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算，關鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉化．16、【解析】，所以．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由等差數列中項性質和等比數列的通項公式，解方程可得首項和公比，可得所求通項公式；(Ⅱ)，由數列的錯位相減法求和可得，解方程可得所求值．【詳解】(Ⅰ)等比數列,其公比,且滿足,和的等差中項是即有，解得：(Ⅱ)由(Ⅰ)知：則相減可得：化簡可得：，即為解得：【點睛】本題考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的錯位相減法求和，以及方程思想和運算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）或【解析】

（1）消去參數可得圓的直角坐標方程，再根據，，即可得極坐標方程；（2）寫出直線的極坐標方程為，代入圓的極坐標方程，根據極坐標的意義列出等式解出即可.【詳解】（1）圓：，消去參數得：，即：，∵，，.∴，.（2）∵直線：的極坐標方程為，當時.即：，∴或.∴或，∴直線的傾斜角為或.【點睛】本題主要考查了參數方程化為普通方程，直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據題意即可寫出該批次產品長度誤差的絕對值的頻率分布列，再根據期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件產品是標準長度的概率為0.4，即可求出隨機抽取2件產品，都不是標準長度產品的概率，由對立事件的概率公式即可得到隨機抽取2件產品，至少有1件是標準長度產品的概率，判斷其是否符合生產要求；當不符合要求時，設生產一件產品為標準長度的概率為，可根據上述方法求出，解，即可得出最小值.【詳解】（1）由柱狀圖，該批次產品長度誤差的絕對值的頻率分布列為下表：00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數學期望的估計為.（2）由（1）可知任取一件產品是標準長度的概率為0.4，設至少有1件是標準長度產品為事件，則，故不符合概率不小于0.8的要求.設生產一件產品為標準長度的概率為，由題意，又，解得，所以符合要求時，生產一件產品為標準長度的概率的最小值為.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的期望的求法，相互獨立事件同時發生的概率公式的應用，對立事件的概率公式的應用，解題關鍵是對題意的理解，意在考查學生的數學建模能力和數學運算能力，屬于基礎題．20、（Ⅰ）當時，<0，單調遞減；當時，＞0，單調遞增；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.【解析】試題分析：本題考查導數的計算、利用導數求函數的單調性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導，再對a進行討論，判斷函數的單調性；第（Ⅱ）問，利用導數判斷函數的單調性，從而證明結論，第（Ⅲ）問，構造函數=（），利用導數判斷函數的單調性，從而求解a的值.試題解析：（Ⅰ）<0，在內單調遞減.由=0有.當時，<0，單調遞減；當時，＞0，單調遞增.（Ⅱ）令=，則=.當時，＞0，所以，從而=＞0.（Ⅲ）由（Ⅱ），當時，＞0.當，時，=.故當＞在區間內恒成立時，必有.當時，＞1.由（Ⅰ）有,而，所以此時＞在區間內不恒成立.當時，令=（）.當時，=.因此，在區間單調遞增.又因為=0，所以當時，=＞0，即＞恒成立.綜上，.【考點】導數的計算，利用導數求函數的單調性，解決恒成立問題【名師點睛】本題考查導數的計算，利用導數求函數的單調性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力．求函數的單調性，基本方法是求，解方程，再通過的正負確定的單調性；要證明不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數的單調性．本題中注意由于函數的極小值沒法確定，因此要利用已經求得的結論縮小參數取值范圍．比較新穎，學生不易想到，有一定的難度．21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，解得即可求出橢圓的C的方程；（Ⅱ）由已知設直線l的方程為y=k(x-2)，(k≠0)，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于