2025屆安徽省北大附屬宿州實驗學校高三下學期第二次月考試題數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內，復數z=i對應的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數是（）A． B． C． D．2．存在點在橢圓上，且點M在第一象限，使得過點M且與橢圓在此點的切線垂直的直線經過點，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知直線是曲線的切線，則（）A．或1 B．或2 C．或 D．或14．復數，是虛數單位，則下列結論正確的是A． B．的共軛復數為C．的實部與虛部之和為1 D．在復平面內的對應點位于第一象限5．下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（）A． B． C． D．6．已知函數，若，，,則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．7．a為正實數，i為虛數單位，，則a=（）A．2 B． C． D．18．在中，是的中點，，點在上且滿足，則等于（）A． B． C． D．9．若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm310．如圖是國家統計局于2020年1月9日發布的2018年12月到2019年12月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.（注：同比是指本期與同期作對比；環比是指本期與上期作對比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環比）根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．2019年12月份，全國居民消費價格環比持平B．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格環比均上漲C．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格同比均上漲D．2018年11月的全國居民消費價格高于2017年12月的全國居民消費價格11．函數的大致圖象為A． B．C． D．12．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中項的系數與項的系數分別為135與，則展開式所有項系數之和為______.14．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.15．已知實數滿足，則的最小值是______________.16．在平面五邊形中，，，，且.將五邊形沿對角線折起，使平面與平面所成的二面角為，則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F到準線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．（1）求拋物線E的方程；（2）求△ABC面積的最大值．18．（12分）如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且，點是的中點，將沿著折起，使點運動到點處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）某地為改善旅游環境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F兩處建造建筑物，其中E，F到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當的平面直角坐標系，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標系中，寫出觀測點P的坐標．20．（12分）已知等比數列是遞增數列，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．21．（12分）在中，角的對邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若求的面積．22．（10分）已知函數，函數，其中，是的一個極值點，且.（1）討論的單調性（2）求實數和a的值（3）證明

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由復數z求得點Z的坐標，得到向量的坐標，逆時針旋轉，得到向量的坐標，則對應的復數可求.【詳解】解：∵復數z=i（i為虛數單位）在復平面中對應點Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉得到，

設＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對應復數為.故選：A.【點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.2、D【解析】

根據題意利用垂直直線斜率間的關系建立不等式再求解即可.【詳解】因為過點M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎題.3、D【解析】

求得直線的斜率，利用曲線的導數，求得切點坐標，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對于，令，解得，故切點為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點睛】本小題主要考查根據切線方程求參數，屬于基礎題.4、D【解析】

利用復數的四則運算，求得，在根據復數的模，復數與共軛復數的概念等即可得到結論．【詳解】由題意，則，的共軛復數為，復數的實部與虛部之和為，在復平面內對應點位于第一象限，故選D．【點睛】復數代數形式的加減乘除運算的法則是進行復數運算的理論依據,加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數化，其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為．5、C【解析】

結合基本初等函數的奇偶性及單調性，結合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數，不符合題意；B：在上不單調，不符合題意；C：為偶函數，且在上單調遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數，不符合題意.故選：C.【點睛】本小題主要考查函數的單調性和奇偶性，屬于基礎題.6、D【解析】

根據題意，求出函數的導數，由函數的導數與函數單調性的關系分析可得在上為增函數，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據題意，函數，其導數函數，則有在上恒成立，則在上為增函數；又由，則；故選：．【點睛】本題考查函數的導數與函數單調性的關系，涉及函數單調性的性質，屬于基礎題．7、B【解析】

，選B.8、B【解析】

由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據重心的性質，即可求解．【詳解】解：∵M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故選B．【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質：或取得最小值③坐標法：P點坐標是三個頂點坐標的平均數．9、B【解析】試題分析：該幾何體上面是長方體，下面是四棱柱；長方體的體積，四棱柱的底面是梯形，體積為，因此總的體積.考點：三視圖和幾何體的體積.10、D【解析】

先對圖表數據的分析處理，再結簡單的合情推理一一檢驗即可【詳解】由折線圖易知A、C正確；2019年3月份及6月份的全國居民消費價格環比是負的，所以B錯誤；設2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全國居民消費價格分別為，由題意可知，，，則有，所以D正確.故選：D【點睛】此題考查了對圖表數據的分析處理能力及進行簡單的合情推理，屬于中檔題.11、A【解析】

因為，所以函數是偶函數，排除B、D，又，排除C，故選A．12、A【解析】

由題先畫出基本圖形，結合向量加法和點乘運算化簡可得，結合的范圍即可求解【詳解】如圖，其中，所以.故選：A【點睛】本題考查向量的線性運算在幾何中的應用，數形結合思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、64【解析】

由題意先求得的值，再令求出展開式中所有項的系數和.【詳解】的展開式中項的系數與項的系數分別為135與，，，由兩式可組成方程組，解得或，令，求得展開式中所有的系數之和為.故答案為：64【點睛】本題考查了二項式定理，考查了賦值法求多項式展開式的系數和，屬于基礎題.14、【解析】

將三棱錐補成長方體，設，，，設三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結果.【詳解】將三棱錐補成長方體，設，，，設三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，根據三棱錐對棱長相等將三棱錐補成長方體是解答的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.15、【解析】

先畫出不等式組對應的可行域，再利用數形結合分析解答得解.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系，平移直線，易知當直線經過點時，直線的縱截距最小，目標函數取得最小值，且.故答案為：-8【點睛】本題主要考查線性規劃問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數形結合分析能力.16、【解析】

設的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，得到直線與的交點為幾何體外接球的球心，結合三角形的性質，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】設的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，則由球的性質可知，直線與的交點為幾何體外接球的球心，取的中點，連接，，由條件得，，連接，因為，從而，連接，則為所得幾何體外接球的半徑，在直角中，由，，可得，即外接球的半徑為，故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中熟記空間幾何體的結構特征，求得外接球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）y2＝6x（2）．【解析】

（1）根據拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；（2）根據中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F（，0）到準線x的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝6x；（2）設線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0（x﹣2），①可得x＝5，y＝0是①的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C（5，0），由①可得直線AB的方程為y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2②代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0③，由題意y1，y2是方程③的兩個實根，且y1≠y2，所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，|AB|，又C（5，0）到線段AB的距離h＝|CM|，所以S△ABC|AB|h?，當且僅當9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），或A（，），B（，）時等號成立，所以S△ABC的最大值為．【點睛】此題考查根據焦點和準線關系求拋物線方程，根據直線與拋物線位置關系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積關系常涉及韋達定理整體代入，拋物線中需要考慮設點坐標的技巧，處理最值問題常用函數單調性求解或均值不等式求最值.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，連接，，由，進而，由，得.進而平面,進而結論可得證（2）（方法一）過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點，上的點，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，由已知得，所以，又點是的中點，所以.因為，點是線段的中點，所以.又因為，所以，從而平面，所以，又，不平行，所以平面.（2）（方法一）由（1）知，過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則點，，，，所以，，.設平面的法向量為，由，得，令，得.同理，設平面的法向量為，由，得，令，得.所以二面角的余弦值為.（方法二）取的中點，上的點，使，連接，易知，.由（1）得，所以平面，所以，又，所以平面，所以二面角的平面角為.又計算得，，，所以.【點睛】本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計算能力，是中檔題19、（1）見解析，，x[0，1]；（2）P(，)時，視角∠EPF最大．【解析】

（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系，設出方程，通過點的坐標可求方程；（2）設出的坐標，表示出，利用基本不等式求解的最大值，從而可得觀測點P的坐標．【詳解】（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系由題意知：B(1，0.5)，設拋物線方程為代入點B得：p＝1，故方程為，x[0，1]；（2）設P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，記∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，則：，當且僅當即，即，即時取等號；故P(，)時視角∠EPF最大，答：P(，)時，視角∠EPF最大．【點睛】本題主要考查圓錐曲線的實際應用，理解題意，構建合適的模型是求解的關鍵，涉及最值問題一般利用基本不等式或者導數來進行求解，側重考查數學運算的核心素養.20、(1)(2)【解析】

（1）先利用等比數列的性質，可分別求出的值，從而可求出數列的通項公式；（2）利用錯位相減求和法可求出數列的前項和．【詳解】解：（1）由是遞增等比數列，，聯立，解得或，因為數列是遞增數列，所以只有符合題意，則，結合可得，∴數列的通項公式：；（2）由，∴；∴；那么，①則，②將②﹣①得：．【點睛】本題考查了等比數列的性質，考查了等比數列的通項公式，考查了利用錯位相減法求數列的前項和.21、（1）3（2）78【解