河南省新鄉市2024-2025學年高一上學期期末測試數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.2cos（-840。）=（）

A.—\/3B.—1C.1D.A/3

2.已知集合4={也”川，5={x|3-x>2},則—5=（）

A.{x\x>1}B.{x|0<x<1}

C.{x\x<0}D.{x|-l<x<0}

3.若扇形043的圓心角TT為面積為27r弓，則該扇形的弧長是（）

33

4兀一2兀兀

A.—B.兀C.—D.一

333

4.若塞函數/（無）=（蘇+加-1）—十1是偶函數，則機=（）

A.-2B.3C.1D.1或3

5.已知。=log32,6=（；產，c=9"則°，b,c的大小關系是（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

6.將函數〃x)=2sin[2x+3圖象上的所有點向右平移今個單位長度，得到函數g(x)的圖

象，則()

A.g(無)是奇函數

B.

C.g(x)的圖象關于點[-jo]中心對稱

D.g(x)的圖象關于直線x=-￡對稱

6

7.已知。>0,且awl,貝lj“3<a<2”是“函數=+2'X一0,在R上單調遞

2[JC-(a-2)x+2a,x>0

增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

試卷第1頁，共4頁

充分也不必要條件

8.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據國家有關規定：100mL血

液中酒精含量(單位：mg)在［20,80)內的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒

駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量為Img/mL,如果停止喝酒后,

他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，經過，小時后，該駕駛員可以駕駛車輛，

那么整數I的最小值是(參考數據：lg2BS301)()

A.6B.7C.8D.9

二、多選題

9.已知a>l>6>0,則下列不等式一定成立的是()

A.a—\>bB.ab>ba

C.Ina>lnZ>D.a1-a>ab-b

10.對于函數/(無)，存在％,使得=我們稱/(x)為“不動點”函數.下列函數中，

是"不動點''函數的是()

A./(x)=x2+3x+2

B./(尤)=2x+」-3

x

C./(x)=log2x+2-x

卜2+4X+2,X>°,

')［3\x<0

11.純音是指單一頻率的聲音，純音的數學模型是函數g(x)=/sins.我們在日常生活中聽

到的聲音，幾乎都是復合音，而復合音是由多個頻率不同的純音組成的.已知某聲音的函數

是/(x)=4sinx+sin3x,則()

A./(X)的最小正周期為2萬

B.7(x)的最大值為5

C./(x)的圖象關于直線x=1^對稱

D.方程/(同=3在［-2萬,2句內的所有實根之和為一3萬

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.函數〃x)=5tan(2x-￡|的最小正周期是.

13.已知f(x)是R上的奇函數，且當x>0時，/(X)=X2-1-2,則不等式(X-1)/(X)<0

的解集是.

14.已知a>0,b>0,且工+2=1,則二一+學的最小值是________.

aba-1b

四、解答題

15.已知集合4={x|x2-6x-7<,jg={x|a-2<x<a+3}.

(1)當。=一1時，求/UB；

(2)若ZAB=0,求。的取值范圍.

16.已知V^sin(夕++2cos］夕一j二0.

⑴求tan。的值；

⑵求tan(。+三)的值；

(3)求2sin29-cos2。的值.

17.已知函數/(2x—1)二二元.

⑴求“X)的解析式；

(2)判斷/'(x)在㈠收)上的單調性并根據定義加以證明；

⑶若函數g(x)=bg/(x)在11,2］上的最小值是T,求。的值.

18.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可

以從高處俯瞰四周景色.某市的摩天輪最高點距離地面的高度為160m,轉盤直徑為152m,

設有60個座艙，開啟后按逆時針方向勻速轉動，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙,

轉一周約需要30min.游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動ftnin后，距離地面的高度為Mn.

(1)在轉動一周的過程中，求H關于/的函數關系式；

(2)求游客甲在開始轉動25min后距離地面的高度；

(3)當游客距離地面的高度不低于122m時，可以俯瞰該市的全景，求游客甲在摩天輪轉動一

試卷第3頁，共4頁

周的過程中能俯瞰該市全景的時長.

19.若函數/(x)滿足對任意的x2e(O,+?),都有/(再)>0,/5)>0,且

/(Xl)+/(X2)<1(玉+迎),則稱［(X)為''超加性傾向函數

⑴若函數〃x)=log3(x+4),試判斷了(X)是否是“超加性傾向函數”，并說明理由.

(2)證明：函數g(x)=2"+"-1(a>0)是“超加性傾向函數”.

⑶若函數“尤)=4川-機-2是“超加性傾向函數”，求機的值.

試卷第4頁，共4頁

《河南省新鄉市2024-2025學年高一上學期期末測試數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案BBCCADACBCDBC

題號11

答案ACD

1.B

【分析】利用誘導公式求解即可

【詳解】2cos(-840°)=2cos8400=2cos(360°x2+120°)=2cosl20°=-1.

2.B

【分析】解不等式求得集合B,結合交集的定義可求得/c8.

【詳解】由題意可得/=何2-1}=何2-2°}=何x>0},

又8={x|x<l},所以/={x|0<x<1}.

故選：B.

3.C

【分析】根據扇形的弧長和面積公式列式運算求解.

【詳解】設扇形的半徑為「，弧長為/,

故選：C.

4.C

【分析】根據幕函數的定義得到方程，求出加=1或機=-2,結合函數奇偶性排除m=-2,

得到答案.

【詳解】因為/(X)是幕函數，所以加+加-1=1,解得加=1或機=-2.

當加=1時，/卜)=，是偶函數，符合題意；

當〃?=-2時，〃x)=xT是奇函數，不符合題意.

故選：C

5.A

【分析】利用指數函數、對數函數的性質比較大小.

答案第1頁，共10頁

121

330<i6

【詳解】a=log32<log33=l,c=9=3>3=(-)^=b>\,

所以。，b,c的大小關系是c>6>a.

故選：A

6.D

【分析】利用正弦型函數的性質進行判斷即可.

【詳解】由題意可得g(x)=2sin=2sm2x.因為g(O)=：THO,所以g(x)

不是奇函數，則A錯誤;

g[j=2sin^2j=1^3,則B錯誤；

令2'-^=航(左eZ),得x=g+A優eZ),所以g(x)的圖象的對稱中心為

(^+鼻。,eZ),則C錯誤；

令2x-弓=Bt+](/eZ),得工=一+三出eZ),當〃=一1時，工=一：則D正確.

故選：D.

7.A

【分析】先由/(x)在R上單調遞增求得。的取值范圍，再利用充分條件，必要條件的定義

即得.

a>1

/7-23

【詳解】由/(%)在R上單調遞增，得丁40,解得:

22

2a>3

3

故、<。<2”是“函數/(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件.

2

故選：A.

8.C

【分析】利用題意列出不等式，再利用指對數轉化，解不等式，然后用對數運算求值即可.

4?1

【詳解】由題意可得(1-20%丫<0.2,則1g<lg-?

l-lg2

Bx(l4-lg5)<-l5,所以x>=

Pgg1gl-31g2-

Ig21-0.301

因為lg2。0.301,所以=—~7.206

l-31g21-3x0.30197

答案第2頁，共10頁

則整數力的最小值是8.

故選：C.

9.BCD

【分析】利用賦值法可判斷A；由題意可得，>1，/<1,可判斷B；利用對數函數的單調

性可判斷C；利用不等式的性質可判斷D.

【詳解】當。=:，6=:時，a-l=b,則A錯誤.

因為”>1>6>0,所以/>i，ba<1,所以/>6",則B正確.

因為y=lnx在(0,+e)上單調遞增，因為。>6>0,所以lna>ln6,則C正確.

因為。>1>6>0,所以。>b,。-1>0,所以。所以/一則D

正確.

故選：BCD.

10.BC

【分析】將函數是否為“不動點”函數，轉化為方程是否有解，根據方程判別式的符號判斷

AB；根據x=l是方程1。82苫+2工-2苫=0的一個解判斷?；分兩種情況討論分別判斷方程是

否有解即可判斷D.

【詳解】令Y+3X+2=X,即f+2x+2=0.

因為A=22—4X2<0,所以f+2x+2=0無解，

則/(x)=X?+3x+2不是“不動點”函數，A不正確；

令2xH-----3—x,即xH------3=0,Bpx2—3x+1=0.

xx

因為A=(-3)2-4>0,所以/-3x+l=0有兩個不同的非零實根，

貝|1/卜)=2苫+'-3是"不動點”函數，B正確；

XX

log2^+2-x=x,BPlog2x+2-2x=0,

易知x=l是方程log2%+2"-2x=0的一個解，

貝iJ/(x)=log2X+2X—x是“不動點”函數，C正確；

當%>0時，令％2+4X+2=X,即/+3%+2=0,解得％=—1或x=-2,

則方程/+4%+2=%在(。+8)上無解;當)<0時,3*>0,

答案第3頁，共10頁

則方程3*=x在(-8,0)上無解.故/'(x)=；：；；2，">°，不是“不動點,,函數，口不正確;

故選：BC.

11.ACD

sinx=1

{sin3；=l，求解判斷B；

由/(兀-尤)=/(x)可判斷C；/(x)=7sinx-4sin3x,利用換元法可求得方程的所有實數根，

可判斷D.

兀

【詳解】因為y=4s%x的最小正周期為如，y=sin3x的最小正周期為2寧，

所以/'(無)的最小正周期為2兀，故A正確.

x-——F2kn,kGZ

若/(X)的最大值為5,則,所以xe0,故B錯誤.

x=—+—kTt.kGZ

因為/（兀一%）=4sin（兀-x）+sin3（兀一x）=4sinx+sin3x=/（x）,

所以/(x)的圖象關于直線x=5對稱，故C正確.

/(x)=4sinx+sinxcos2x+cosxsin2x=4sinx+sinx(^1-2sin2%^+2sinx(1-sin2x^

=7sinx-4sin3x.

設"sinx,則7￡—4d=3,即4\一7J+3=0,

1Q

所以⑵f⑵+3)(I)=0,解得或或

當t=即sinx=1時，因為xe[-2兀,2兀],所以》=一個或x=-乂或x=￡或》=多；

226666

3.3一

當/=—，即sinx=—時，xE0；

22

當1=1,即sinx=l時，因為-2兀,2句，所以x=-②或x=.

22

故方程/(X)=3在[一2兀,2可內的所有實根之和為一等+(—?]+[+等+[+^=—3兀,

故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：利用三角恒等變換可求得/(X)=3的根，從而求得所有實根之和，換

答案第4頁，共10頁

元法是解決具有某一類公同特征的類型問題的一種常用思路和方法.

【分析】利用正切函數的周期公式求解.

【詳解】由題意可得/(X)的最小正周期

故答案為：

2

13.{x|-2<x<0或l<x<2}

【分析】先得到f(x)在(0,+e)上單調遞增，/(2)=0,從而得到1〈尤<2,再由函數的奇

偶性，得到/(x)在(-鞏。)上單調遞增，且〃-2)=0,當x<0時，需滿足〃外>0,解得

-2Vx<0,從而得到不等式解集.

【詳解】'=>=-2在(0,+s)上均單調遞增，

故/(x)在(0,+8)上單調遞增,又"2)=0,

故當x>l時，x-l>0,需滿足/(x)<0,解得l<x<2,

當0<x<l時，x-l<0,由于此時/(x)<0,(x-i"(x)>o不合要求，

由于/'(可是R上的奇函數，故/(x)在(-叱0)上單調遞增，且〃-2)=〃2)=0,

當x<0時，x-l<0,故需滿足/(x)>0,解得-2<x<0,

綜上，(x-l)/(x)<0的解集為卜|-2。<0或l<x<2},

故答案為：何-2<》<0或l<x<2}

14.4

【分析】由已知條件可得二7=2,代入所求式子，再根據基本不等式求解.

【詳解】因為工+?=1,則3=1-所以工7=2,

abbaaa-\a

.24ab4a

所以~

a-\bab

因為。>0,b>0,所以—i-——4,

ab

當且僅當2即b=2〃=4時，等號成立，

ab

答案第5頁，共10頁

則2+半4Q的最小值是4?

a-1b

故答案為：4.

15.(1)ZD5=任|-3<%<7}

⑵(-°o,-4]U[9,+co).

【分析】(1)利用一元二次不等式的解法化簡集合4當。=-1時求出集合3,再求并集即;

(2)根據/口8=0,列不等式即可求。的取值范圍.

【詳解】(1)因為/={x|X2-6X-7<0}={X|-1<X<7}.

當”=一1時，B={x\-3<x<2\,

則4u5={x|-3<x<7}.

(2)因為4={x|-l<x<7},5={x|a-2<x<a-^-3}f

且4nN=0,

所以。-2之7或〃+3?-1,

解得〃29或a?-4,

即a的取值范圍是(-鞏-4]。[9,+8).

16.(1)tan^=——

2

(2)-373

八、86_4

(-7-

【分析】(1)根據誘導公式化簡條件式，結合商數關系求解；

(2)利用兩角和的正切公式求解；

(3)利用二倍角公式和平方關系，將原式化為齊次式，再將弦化切計算可得.

【詳解】(1)因為Gsin,+gJ+2cos,-；1=0,所以-Gcos8+2sin0=0,

所以2sin0=V3cos0>

c兀

/、tan”+tan一

(2)tan|6^+—|=...................—

I3J1_tanaan—

3

答案第6頁，共10頁

4sin0cos^-cos2^

(3)2sin20-cos2^=

sin20+cos2^

4tan8-12_8/3-4

tan26>+l-(百丫一7

4-x

17.(l)/(x)=

4+x

（2）/（x）在（-4,+⑹上單調遞減，證明見解析

（3）a=［或a=3.

【分析】（1）利用換元法可求函數1（司的解析式;

（2）利用單調性的定義可證/（x）在（-4,+向上單調遞減;

（3）分a>1兩種情況求得g（x）的最小值，再結合已知求得。的值.

【詳解】（1）設/=2x-l,得工=罟，

.￡+1

5—2x---.

則&)=2_

4-x

故/（無）=

4+x

（2）/（X）在（-4,”）上單調遞減.

證明如下:

任取再,％2€（-4,+<?）,且再<工2,

（4-3）（4+）2）-（4-々）?+3）

則/（匹）-/卜2）=

0+再）9+%）

8伍一占）

（4+XJ（4+X2）

因為再,％2￡4,+oo),且王<%2，所以4+再>0,4+x2>0,x2-xl>0,

答案第7頁，共10頁

所以(4+；(4；l)>°，所以小)“(％)，

則f(x)在(-4,+00)上單調遞減.

(3)當0<。<1時，V=log“x是(0,+司上的減函數，

由(2)可知函數/(x)是［T2］上的減函數,

所以g(x)是［T2］上的增函數，

53

所以g(x)min=g(T)=l°ga］=T，解得。=1.

當時，y=log“x是(0,+e)上的增函數,

由(2)可知函數/(X)是［T2］上的減函數,

則g(x)是［-1,2］上的減函數,

所以g(x)m,n=g⑵=bg0；=T，解得。=3.

3

綜上，或4=3.

___,.?7T71?.

18.(l)/f=76sin—+84,0<?<30.

⑵46m.

⑶10分鐘

【分析】(1)設游客甲乘坐的座艙距離地面最近的位置為點P,以摩天輪的軸心。為原點,

與地面平行的直線為無軸建立平面直角坐標系，依據題意建立三角函數模型，求出“⑺即

可；

(2)將"25代入〃(。，根據特殊角的三角函數值求解即可；

(3)根據正弦函數的圖象和性質解不等式即可.

【詳解】(1)設游客甲乘坐的座艙距離地面最近的位置為點P,以摩天輪的軸心。為原點,

與地面平行的直線為無軸建立平面直角坐標系，

答案第8頁，共10頁

當仁0時，H=8,此時尸(0,-76),以。尸為終邊的角是-

27rir

因為該摩天輪轉一周約需要30min,該摩天輪的角速度約為元=jjrad/min,

所以》=76sin|^|/-|^+84,0<Z<30.

(2)當"25時，H=76sin25-1^|+84=46,

即游客甲在開始轉動25min后距離地面的高度約為46m.

(3)由題意可得76sin[A7-T)+84N122,即sin[N.

因為0V/W30,所以一工4正，一二W型，

21522

所以2Ks解得104M20,

則游客甲在摩天輪轉動一周的過程中能俯瞰該市全景的時長為20-10=