PAGEPAGE1其次篇專題五第1講空間幾何體的三視圖、表面積和體積[限時(shí)訓(xùn)練·素能提升](限時(shí)45分鐘，滿分80分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分)1．將長方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖是解析由幾何體可以看出，側(cè)視圖應(yīng)為一個(gè)矩形外加一條從右上到左下的對角線，故選D.答案D2．(2024·上饒二模)某四棱錐的三視圖如圖所示，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為A．2B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)解析由三視圖可知，原幾何體為一個(gè)水平放置的四棱錐，底面是邊長為2，eq\r(2)的矩形，高是eq\r(2).由錐體的體積公式得V＝eq\f(1,3)×2×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(4,3)，故選D.答案D3．(2024·福州質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為A．2＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)B．2＋2eq\r(2)＋4eq\r(3)C．2＋6eq\r(3)D．8＋4eq\r(2)解析由三視圖可知，該多面體是如圖所示的三棱錐P－ABC，其中三棱錐的高為2，底面為等腰直角三角形，直角邊長為2，表面積為S＝S△ABC＋S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝2＋2eq\r(2)＋2eq\r(2)＋2eq\r(3)＝2＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)，故選A.答案A4．(2024·桂林模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是A．2B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2)D．3解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是一個(gè)直角梯形，底面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，四棱錐的高為x，因?yàn)樵搸缀误w的體積為3，所以eq\f(1,3)×3x＝3，解得x＝3，故選D.答案D5．(2024·南寧二模)一個(gè)簡潔幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖可能是①長、寬不相等的長方形；②正方形；③圓；④橢圓．A．①②B．①④C．②③D．③④解析由題設(shè)條件知，正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一樣，對于①，俯視圖是長方形是可能的，比如此幾何體為一個(gè)長方體時(shí)，滿意題意；對于②，由于正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一樣，故俯視圖不行能是正方形；對于③，由于正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一樣，故俯視圖不行能是圓形；對于④，假如此幾何體是一個(gè)橢圓柱，滿意正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一樣，故俯視圖可能是橢圓．綜上知①④是可能的圖形．答案B6．早在公元前三百多年我國已經(jīng)運(yùn)用“以度審容”的科學(xué)方法，其中商鞅銅方升是公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器，其三視圖如圖所示，若π取3，其體積為12.6，則圖中的x為A．1.2B．1.6C．1.8D．2.4解析由三視圖知，商鞅銅方升是由一個(gè)圓柱和一個(gè)長方體組合而成的，故其體積為(5.4－x)×3×1＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×x＝16.2－3x＋eq\f(1,4)πx＝12.6，又π＝3，故x＝1.6，故選B.答案B7．(2024·太原模擬)某幾何體三視圖如下，圖中三個(gè)等腰三角形的直角邊長都是2，該幾何體的外接球的體積為A.eq\f(4\r(3)π,3)B．2eq\r(3)πC．12πD．4eq\r(3)π解析由三視圖均為邊長為2的等腰直角三角形知幾何體為三棱錐，且棱錐的高為2，底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，其外接球?yàn)樵撊忮F補(bǔ)成的正方體的外接球，球直徑為正方體的體對角線長，即2R＝2eq\r(3)，所以V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.答案D8．(2024·鄭州質(zhì)檢)劉徽的《九章算術(shù)注》中有這樣的記載：“邪解立方，得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”意思是說：把一塊立方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫作塹堵，再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積比為2∶1，這個(gè)比率是不變的．如圖是一個(gè)陽馬的三視圖，則其表面積為A．2B．2＋eq\r(2)C．3＋eq\r(3)D．3＋eq\r(2)解析如圖所示，依據(jù)題設(shè)條件可知三視圖還原成的幾何體為四棱錐D′－ABCD(正視的方向是eq\o(BD,\s\up6(→)))，正方體的棱長為1，四棱錐D′－ABCD的表面積S＝S四邊形ABCD＋S△D′AB＋S△D′BC＋S△D′DC＋S△D′DA＝1＋eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝2＋eq\r(2).答案B9．(2024·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為A．2eq\r(17)B．2eq\r(5)C．3D．2解析由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側(cè)面綻開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.答案B10．(2024·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A．1B．2C．3D．4解析將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側(cè)棱和底面垂直的四棱錐，如圖所示．易知BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB為直角三角形，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴BC⊥PB，∴△PBC為直角三角形，簡潔求得PC＝3，CD＝eq\r(5)，PD＝2eq\r(2)，故△PCD不是直角三角形，故選C.答案C11．(2024·廣元適應(yīng)性統(tǒng)考)已知正三棱錐P－ABC內(nèi)接于球O，三棱錐P－ABC的體積為eq\f(9\r(3),4)，且∠BPO＝∠CPO＝∠APO＝30°，則球O的體積為A.eq\f(4,3)πB．4eq\r(3)πC.eq\f(32,3)πD．16π解析如圖，P，A，B，C是球O球面上四點(diǎn)，△ABC是正三角形，設(shè)△ABC的中心為S，球O的半徑為R，△ABC的邊長為2a，∴∠APO＝∠BPO＝∠CPO＝30°，OB＝OC＝R，∴OS＝eq\f(R,2)，BS＝eq\f(\r(3),2)R，∴eq\f(2\r(3),3)a＝eq\f(\r(3),2)R，解得a＝eq\f(3,4)R，∵三棱錐P－ABC的體積為eq\f(9\r(3),4)，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(3,2)R×eq\f(3,2)Rsin60°×eq\f(3,2)R＝eq\f(9,4)eq\r(3)，解得R＝2.∴球的體積為V＝eq\f(32π,3).答案C12．(2024·重慶二模)某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖為等腰梯形，則該幾何體的表面積是A．18B．8＋8eq\r(3)C．24D．12＋6eq\r(5)解析依據(jù)給定的三視圖，可得原幾何體如圖所示，其中面ABB1A1表示邊長分別為2和4的矩形，其面積為S1＝2×4＝8，△ABC和△A1B1C1為底邊邊長為2，腰長為eq\r(5)的等腰三角形，其高為h＝2，所以面積為S2＝S3＝eq\f(1,2)×2×2＝2，面AA1C1C和面BB1C1C為全等的等腰梯形，上底邊長為2，下底邊長為4，高為2，所以面積為S4＝S5＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以幾何體的表面積為S＝8＋2×2＋2×6＝24，故選C.答案C二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·聊城模擬)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E為線段A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是線段A1D與BC1上的動點(diǎn)，當(dāng)三棱錐E－FGC的俯視圖的面積最大時(shí)，該三棱錐的正視圖的面積是________．解析因?yàn)镋在底面ABCD上的投影為AB的中點(diǎn)E′，C′在底面ABCD上的投影為C點(diǎn)，F(xiàn)的投影在邊AD上，G的投影在邊BC上，如圖1：要使三棱錐E－FGC的俯視圖的面積最大，則F與D重合，G與B重合．此時(shí)三棱錐E－FGC的正視圖為等腰三角形EAB如圖2，底邊長為2，底邊上的高為2.所以面積S＝eq\f(1,2)×2×2＝2.答案214．(2024·太原二模)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，非常奇妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽視不計(jì))解析由題意，該球形容器的半徑的最小值為eq\r(32＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(41),2)，所以該球形容器的表面積的最小值為4π·eq\f(41,4)＝41π.答案41π15．(2024·煙臺二模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝1，沿對角線BD折成四面體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′－BCD頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為________．解析設(shè)H為梯形對角線的交點(diǎn)，O為DC中點(diǎn)，依題意有AH＝OH＝eq\f(\r(2),2)，四面體A′－BCD中，平面A′BD⊥平面BCD，所以A′H⊥平面BCD，所以A′O＝eq\r(A′H2＋HO2)＝1，又因?yàn)镺D＝OC＝OB＝1，所以O(shè)為四面體A′－BCD外接球的球心，故半徑R＝1.則該球的表面積為4πR2＝4π.答案4π16．(2024·天水二模)如圖，圖形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O，E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點(diǎn)，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分別以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F(xiàn)，G，H重合，得到一個(gè)四棱錐，當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接球的體積為________．解析連接OE交AB于點(diǎn)I，設(shè)E，F(xiàn)，G，H重合于點(diǎn)P，正方形的邊長為x(x>0)，則OI＝eq\f(x,2)，IE＝6－eq\f(x,2)，因?yàn)樵撍睦忮F的側(cè)面積是底面積的2倍，所以4×eq\f(x,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(