河南省濮陽市2024-2025學年高三下學期一模數學試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合N={x|y=J-x'+2x+15}，B={x\y=ln(x2-x-6)},則ND8=)

A.[-3,-2)u(3,5]B.[-3,5]

C.RD.(-oo,-2)u(3,+oo)

2.若i(l+z)=l,則zi=()

A.-2B.0C.2iD.-2i

3.已知圓。:^+/=2與拋物線C:「=2”（p>0）的準線相切，則。的值為（）

A.V2B.25/2C.2D.4

4.我國古代《洛書》中記載著一種三階幻方：將1-9九個數字填入一個3x3的正

方形方格，滿足每行、每列、每條對角線上的三個數字之和相同（如圖）.已知數

列｛%X"eN*）的通項公式為%=2”+2,現將該數列的前16項填入一個4x4的正方

形方格，使其滿足四階幻方，則此四階幻方中每一行的數字之和為（）

5.在V48c中，BC=3,sinS+sinC=——sin^4,且V48c的面積為gsin/,則/=

32

()

22

6.已知橢圓。:?心”）的左頂點、上頂點分別為48,右焦點為尸,

過/且與X軸垂直的直線與直線45交于點E,若直線45的斜率小于正。為坐標

4

原點，則直線的斜率與直線的斜率之比值的取值范圍是（）

A.2，+°°B.

C.D.14

7.截交線，是平面與空間形體表面的交線，它是畫法幾何研究的內容之一.當空間

形體表面是曲面時，截交線是一條平面曲線；當空間形體表面由若干個平面組成時

,截交線是一個多邊形.已知正三棱錐。-Z8C,滿足

OA1OB,OB1OC,OA±OC,OA=3,點尸在VNBC內部（含邊界）運動，且尸卜痛

,則點尸的軌跡與這個正三棱錐的截交線長度為（）

A.—B.叵C.-D.無

222

8.「“表示大于或者等于x的最小整數，［x」表示小于或者等于x的最大整數.已知

函數=F+3"+。'且/（x）滿足：對S./eR有

［e-x,x>0

（玉-%2乂/（芭）-/（%2））?。則〃的可能取值是（）

A.—B.0C."D

93-?

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列結論正確的有（）

A.若隨機變量4〃滿足〃=24+1,則。（〃）=2Z）C）+1

B.若隨機變量4~N（3,/）,且尸（一<6）=0.84,貝!）尸（3<岑<6）=0.34

C.若樣本數據（4%）。=1,2,3,-、〃）線性相關，則用最小二乘估計得到的經驗回

歸直線經過該組數據的中心點叵，歹）

D.根據分類變量X與丫的成對樣本數據，計算得到/=4.712.依據a=0.05的

獨立性檢驗（x。a=3.841）,可判斷X與/有關且犯錯誤的概率不超過0.05

10.已知c>0,且2"=3b=5',貝I（）

A.a>b>cB.ac<b2

C.—+D.若〃+c=ac,貝|b=log310

abc

11.若函數〃x）的圖象連續不斷，且存在常數4,使得〃x+2）+2〃x）=0對于任意

實數x恒成立，則稱/（x）為“學步”函數.下列命題正確的是（）

A.〃耳二工是"學步”函數

B.f（x）=a（。為非零常數）為“學步”函數的充要條件是4=-1

C.若/⑴是幾=-：的“學步”函數，且無』0,1時，/（x）=-l-,則

2Z）4—4x

D.若是2=2的“學步”函數,則〃無）在［0,2024］上至少有10函個零點

三、填空題（本大題共3小題）

12.向量扇分在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，則以向量落B為鄰邊的

平行四邊形的面積是.

13.橢球面鏡具有改變光路的方向、使光束會聚的作用，它經常被用來制作精密的

光學儀器的部件.橢球面鏡是以橢圓的長軸為旋轉軸，把橢圓轉動180。形成的立體

圖形，其內表面全部做成反射面，中空，橢球面鏡可以將從某個焦點發出的光線全

部反射到另一個焦點處.從橢球面鏡的焦點片射出的兩條光線，經橢球面鏡上的

43兩點反射后匯聚于焦點耳，若3麗=2瓦萬，且周=2|4區］,則橢球面鏡的軸截

面橢圓的離心率為.

14.用一張N4紙圍繞半徑為『的石膏圓柱體包裹若干圈，然后用裁紙刀將圓柱體切

為兩段，如圖①所示?設圓柱體母線與截面的夾角為伙如圖②將其中一

段圓柱體外包裹的14紙展開鋪平，如果忽略紙的厚度造成的誤差，我們會發現剪

裁邊緣形成的曲線是正弦型曲線，如圖③建立適當的坐標系后，這條曲線的解析式

可設為/(x)=/sinox(/>0,0).若/(x)的最小正周期為2兀，貝U廠=,此時

,若再有/=2,貝Usin6=.

四、解答題(本大題共5小題)

15.中國古代數學著作《九章算術》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體.該幾

何體是上、下底面均為扇環形的柱體(扇環是指圓環被扇形截得的部分).在如圖

所示的“曲池”中，44］，平面延長42，BC相交于點Q,

2兀

AQ=42=I，乙4。由=m,￡為弧44的中點.

(1)證明：AXD^^DE.

(2)若么4=4/。，求直線CE與平面旦所成角的正弦值.

16.假設在數字通信中傳送信號0與1的概率為0.8和0.2.由于隨機干擾，當傳

送信號0時，接收到信號為0的概率為0.8,當傳送信號1時，接收到信號為1的

概率為0.9.求：

(1)當接收到信號。時，傳送的信號是。的概率；

(2)在信息傳送過程中，當第一個人接收到信息后，將信息發送給第二個人，這樣

依次傳遞下去，在〃次傳遞中，0出現的次數為X,求E(X).

17.已知橢圓的離心率為英1,橢圓C的動弦48過橢圓C的右焦

點尸，當48垂直x軸時，橢圓C在48處的兩條切線的交點為

(1)求點M的坐標；

(2)若直線48的斜率為,，過點”作x軸的垂線/，點N為/上一點，且點N的縱

m

rn11

坐標為-5，直線NF與橢圓C交于尸，。兩點，證明：西+西為定值.

18.隨著大數據時代來臨，數據傳輸安全問題引起了人們的高度關注，國際上常用

的數據加密算法通常有4￡S、DES、RSA等,不同算法密鑰長度也不同，其中ASd的

密鑰長度較長，用于傳輸敏感數據.在密碼學領域，歐拉函數是非常重要的，其中

最著名的應用就是在AS/加密算法中的應用.設0,是兩個正整數，若p,。的最

大公約數是1,則稱■,互素.對于任意正整數〃，歐拉函數是不超過〃且與〃互

素的正整數的個數，記為夕(力).

⑴試求夕⑴+夕(9),。(7)+0(21)的值；

(2)設gg是兩個不同的素數，試用0,《表示"(P&)(左eN*),并探究。(網)與

夕(P)和。(4)的關系;

(3)設數列｛。“｝的通項公式為冊=?展“31")(加eN*)，求該數列的前小項的和

19.已知函數g(x)=21n(-x-l)+cos(-x-2).

⑴函數“X)與g(x)的圖象關于x=-l對稱，求的解析式;

⑵/(x)-lVax在定義域內恒成立，求。的值；

⑶求證：卜2〃eN*.

參考答案

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】3

13.【答案】旦/之出

55

14.【答案】1止

5

15.(1)連接DE,O.E,因為E為弧4巴的中點,

TT

則=為正三角形，于是4。，口￡,

因為平面43￡A，DDJ/AA,,則有，平面451G口，

又40u平面48c,于是而2￡cD2=2，

。￡,￡)口U平面。Z)]E,因此42_L平面￡)nE,又DEu平面工舊石,

所以&D口。￡.

(2)以〃為坐標原點，AQ為x軸，為y軸，。。為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系Dx-xyz,

貝|JE（O,G,O）,C—,,—4,Z）（0,0,—4）,B]（2,\/^,0）,

\7

則金T冬4）,詼=（o,64）,西=（2,百,4）,

/、[DE?m=>/3y+4z=0

設平面。￡4的法向量為成=（x,y,z）,貝I]——■廠

DB[?市=2x+J3y+4z=0

令z=g,得而=（0,-4,6），

設直線CE與平面4所成角為0,則

CE-rr\2#）

（

sin^=cosCE,m~w

故直線CE與平面瓦所成角的正弦值為手.

16.（1）記4="傳送信號0"，4="傳送信號1"，B="接收信號0”.

可知尸（4）=0.8,尸（4）=02,尸（814）=0.8,p（5|4）=o.i,

由貝葉斯公式得所求的概率為：

尸（）=P-⑷=0-8X0.8=32

°'尸（4）尸（為4）+尸（4）尸（引4）0.8x0.8+0.2x0.133

32

即當接收到信號0時，傳送的信號是0的概率為

（2）在一次傳送中，接收到0的概率為

P=P（4）P（8|4）+P（4）P（8I4）=0-8X0.8+0.2X0.1=0.66,

每次傳送都有相同的傳送概率和接收概率，則有x~3（”,0.66）,

所以E（X）=0.66〃.

丫2

解得/=5,所以橢圓方程為二+必=1,

5'

又c2=02—萬=5—1=4,所以右焦點廠（2,0）,

當Z5垂直X軸時，不妨取/2,2,根據對稱性可知點”在x軸上，且直線M4的

I5）

斜率存在,

設直線M4的方程為了=左（》一2）+\,

y=k（x-2）+^j-

聯立

X22?

消去了得：（1+5左2卜2+1。左\_一2kx+5---2k-5=0,

I5）I5,

（/7>f17KVI

則公=10---2kk-4x5---2k-1（1+5-）=0,

_15）J（5J

化簡得/+拽左+±=o,解得心-地，

555

所以直線以4的方程為了=-2x+石，

5

令尸。，解得x=g,故點河的坐標為[go].

（2）如圖，

m

所以后酒=—^-=-加，故直線NF與Z5垂直，

2--

2

聯立F+”-5,消去X得：（加2+5）「+4加y-l=0,

[x=my+2

E4加1

則%+%=FT7,必%=,

m+5m+5

所以|“同=J1+加2一刃=J1+加2.｛（弘+3^）2一4%%

J16加2+4（加2+5）2V5（m2+l）

=Jl+m2?

m2+5m2+5

27^4+1]

2V5（l+m2）

同理，|PQ|=—#—1

1+5m2

11m2+5l+5m2_6（l+m）_3也

所以兩+網=2遙"+心碎+叫=2括（1+也="'

11

故畫+網為定值.

18.（1）易得夕（1）=1,

不超過9且與9互素的正整數有1,2,4,5,7,8,則°（9）=6,

不超過7且與7互素的正整數有1,2,3,4,5,6,則°（7）=6,

不超過21且與21互素的正整數有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20

,則0（21）=12,

所以。⑴+°（9）=7,吊7）+夕（21）=18.

（2）在不大于爐的正整數中，只有。的倍數不與"互素，而0的倍數有pi個，

因此夕（力=/_p"T=（p_］）pi.

由P，g是兩個不同的素數，得。（0）=pT，（P@=q-1,

在不超過pg-1的正整數中，〃的倍數有gT個，<7的倍數有P-1個，

于是夕（pq）=pqT_（pT）_（q_i）=pq_p_4+i=（pT）（qT）,

所以夕（四）=。（。）/（4）.

（3）根據（2）得%=（5，w-3）x3"i,

所以7；=2X3°+7X3+12X32+--+（5〃Z-3>3'"T,

37；,=2X31+7X32+12X33+---+（5/M-3）-3,\

兩式相減,得-27；=2+5x3+5x32+…+5-3?1-（5冽-3）-3",

所以一27「"I_J一（5加一3）3'+2，

m1-3I'

19.(1)解：依題意，設/(x)圖象上任意一點的坐標為(%,%),

則其關于x=T對稱的點(-2-%,%)在g(x)的圖象上，

則%=/(%)=8(-2-%),

x

則f(o)=S(-^o-2)=21n(x0+1)+cosx0(x0>-l),

故f(x)=21n(x+l)+cosx(x>-1).

(2)解：令-〃x=21n(x+l)+cosx-l-辦(x>-1),

則人(%)?0在%￡(-1,+8)上恒成