滄州五校2025年3月月考

皿1.、、乙

數(shù)學

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設(shè)石是非零向量，幾是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()

A.五與一啟的方向相反B.|-Aa|>|H|

C.2與於2的方向相同D.4a|=|4|a

2.已知花和書是兩個不共線的向量，若力B=a+ni6,BC=5a+4b,DC=—a—2b,且4B,D三點共

線，則實數(shù)a的值為()

11

A.-B.1C.--D.-1

3.已知向量乙1滿足同=2,1引=1,且石1G—W，則刃在往上的投影向量為()

[-*1~-*]-*

A.——ClB.—CLC.——ClD.—CL

44ZZ

4.在△4BC中，乙B=^,AB=8,AC=7,則BC=()

A.5B.3或5C.4D.2或4

5.在△ABC中，D為邊BC上一點,Z.DAC=-,AD=4,AB=2BD,且△4DC的面積為48，貝!Isin/ABD

=()

AJ15—BJ15+c—D

?8?8,4?4

6.設(shè)3為單位向量，間=4,當乙3的夾角為看時，五在3上的投影向量為()

A.-|eB.eC.跳D.2痘

7.在銳角三角形4BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.若爐一2csin8+c?=a?,且a=2,則

tari，￡>稱Lar｝iLr

的最大值為()

A.VS-2B.3-VSC.^-=-iD.^^-

24

8.向量a=(sin(3%—%sin3%),b=(sin?]+Jsinto%+2十cosa)%)?>0),函數(shù)g(%)=a-b—|■的兩個

相鄰的零點間的距離為全若無=久0(。<%0靖)是函數(shù)/(%)=方?石的一個零點，則cos2%o的值為()

A-1R3+111—T-XJ15+

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形48CDEFGH,

其中|方|=1,則給出下列結(jié)論()

?91

B.OB+OH=-y/20E

A.OA-OD=-^

C.屈在方向量上的投影為一孝D.AH-1W=BC-BO

10.下列說法正確的是()

A.在△4BC中，若荏?麗＞0,則△4BC為銳角三角形

B.若Z=(3,4)工=(-1,2),貝收在B方向上的投影向量為(一1,2)

C.若之=(1,￡)工=(2,2),且2+另與方共線，則為1B

D.設(shè)M是△4BC所在平面內(nèi)一點，且加+翔？+|■流=6,則含貶=4

LL、AMAC

11.下列說法中錯誤的為()

A.已知2=(1,2),1=(1,1),且五與Z+看的夾角為銳角，則實數(shù)4的取值范圍是(一|,+8)

B.向量藁=(2,—3)扃=岑一》不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.若力”，貝囁在3方向上投影的數(shù)量為同

D.三個不共線的向量瓦布瓦公，滿足后?(怨+學)=法?(怨+當=&7?(烏+當=0,則。是△

\AB\\CA\\BA\\CB\\CA\\BC\

ABC的內(nèi)心

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知萬？=五~OB=b,若|瓦?|=12,\OB\=5,且N4OB=90。，則位一百=

13.已知海島B在海島4的北偏東75。的方向上，且兩島的直線距離為30n而加.一艘海盜船以3071nl"e/h的

速度沿著北偏東15。方向從海島B出發(fā)，同時海警船以308的速度從海島4進行追趕，經(jīng)過t小時后

兩船相遇，則海警船的航行方向是北偏東

14.飛鏢運動于十五世紀興起于英格蘭，二十世紀初，成為酒吧常見的日常休閑活動.某熱愛飛鏢的小朋

友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢力BCDEFGH,該十字飛鏢由四個全等的三角形和一個正方形組成.在

△ABC中，AB=yfl3,AC=非,BC=4,邊DE上有4個不同的點P2,P3,P4,=P2P3=P3

P4=2EP1=2DP4.Hai=BC-BPt(S=123,4),則由+。2+。3+。4=?

B

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題14分)

已知向量a=(2,%),b=(1,2).

(1)若x=|,求2在加上的投影向量的模；

(2)若之〃反向量"=(1,久一1),求H與不夾角的余弦值.

16.(本小題14分)

如圖，已知。，E,F分別為△28C的三邊8C,AC,48的中點，求證：AD+~BE+CF=O.

17.(本小題15分)

在-ABC中，已知NB4C=120°,AB=2,AC^l.

(1)求sinzSBC；

(2)若。為BC上一點，且NB4D=90°,求△4DC的面積.

18.(本小題17分)

在△4BC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c.

(1)若a=3c,b-y/2,cosB-1,求c的值；

(2)若吟g=甯，求sin(B+多的值.

19.(本小題17分)

如圖，設(shè)。乂。丫是平面內(nèi)相交成a(0<a<7T)角的兩條射線，無，專分別為。X,Oy同向的單位向量，定義平面

坐標系xOy為a仿射坐標系.在a仿射坐標系中，若赤=x^+y*，記5?=(x,y).

(1)在a仿射坐標系中.

①若a=(m,n),求|a|；

②若之=(一1,2),另=(-2,1),且2,石的夾角為會求cosa；

(2)如圖所示，在黝射坐標系中，B,C分別在x軸，y軸正半軸上，|SC|=1,OD=|OC,E,尸分別為BD,

中點，求荏?赤的最大值.

答案

l.C

解：對于44>0時，H與一亮的方向相反，4<0時，,與一石的方向相同，二選項N錯誤;

對于B,國21時，I—祠2|可，|4|<1時，|—祠<同，.??選項8錯誤；

對于C,1?12^0,la與42a的方向相同，選項C正確；

對于。，1—2就是實數(shù)，回而是向量，二者不相等，.??選項。錯誤.

故選：C.

2.B

解：由已知可得BD=BC+CD=5a+46+a+2b=6a+6b,

因為4B,。三點共線，

所以存在實數(shù)九使得四=%而，即Z+m加=4（62+6石），

則｛至容解得皿=1?

故選：B

3.B【解析】解：因為石_1_0—石），所以石?0—3）=0,

所以2?b=\b\2=1,

設(shè)五方的夾角為仇

所以］在2上的投影向量為網(wǎng).第seGZ

3|a『4

故選：B.

4.5【解析】解：由余弦定理，得力5+8。2—248-810518=4。2,

即64+8。2-88。=49,即-8BC+15=0,

解得BC=3或5,

經(jīng)檢驗，均滿足題意.

故選：B.

5.4

1

解：由題可得S4AOC=萬義XACXsinNfMC

=^x4x4Cx孚=44，解得AC=4,

乙Z

所以△4DC為等腰三角形，

則乙4力（7=看,故〃DB若,

在中，由正弦定理得息磊=焉而，

即.嗎,得sin/BZD=

2s\nz.BAD1J4

C-T7-

因為乙4D8=T，所以NB4D為銳角，

O

故COSNBAD=足，

4

7T

故sinz_AB￡)=sin(Zi4DC—Z-BAD)=sin(^—zBXD)

=1coszBXD-退in/B/W=辿一圾

228

故選：4.

6.D

解：因為E為單位向量，Ml=4,2與3的夾角為*

所以為在3方向上的投影向量為|a|cos%-e=2"7.

故選：D.

7.8

解：因為扶一2csinB+=層，且。=2,則扶一acsinB+c2=。2,

22

由余弦定理可得層=b+c-2hccoSi4,所以acsinB=2bccosAf

即asinB=2bcos4由正弦定理可得sin/sinB=2sinBcos4

其中sinBwO,則sin4=2cosA,所以tan/=2,

又tanA=-tan(F+C)=—｝鬻膘=2,

化簡可得2tanBtanC-2=tanB+tanC,

且△ABC為銳角三角形，貝!JtanB>0,tanC>0,

所以2tanBtanC—2=tanB+tanC>2JtanBtanC,

即tanBtanC-qtanBtanC-1>0,

解得JtanBtanC>匕逆或｛tanBtanC<三亞(舍)，

所以1211班2貫2(專5)2=2聲，當且僅當tanB=tanC="時，等號成立,

則噌黑M的最大值為.=(6+"色5=等了=3-巡.

tant)tanc416+27b八6—16

故選：B.

8.B

解：g(%)=a-b=sin(a)x—~^)sin(o)x+])+sin1c^x+2木sina)xcoscox--

=sin(tox—^)cos[(tox+§—/]+sin2cox+y/^sin2oox—g

=sin(3%一§cos(3%—§+sin2tox+y/3sin2cox—^=|-sin(2cox—+sin2a)x+y/^sin2a)x—

通isn2o)%—cos2cox

=-'cos2a)x+-一c；s2"+y/^sin2a)x—71

—2sin(2a%一%)

TT

???g(%)相鄰零點間的距離為萬,

?,?周期T=7T,即區(qū)7[=兀，又3>0,0)=1,

???/(%)=9(%)+4=2sin(2%—芻)+4tt

2〃62是函數(shù)/(%)=。.力的一個零點,

,??％=%o(O4％o45)

???sin(2久o—$=一",

,.,0<x0<7>■■--^<2x0-^<^-,

又vsin(2x0一§=一彳<°，

7171

-%42%o—5<0,

cos(2x0

_x_q=cos(2x-x—sin(2x-x

rz0v0

.-.cos2x0=cos(2%0--)+-l丁吆2b>2

N°6^6」V15x73,lxl_375+1'

-XT+4X2------

故選8.

9.AB

解：圖2中的正八邊形48CDEFGH,其中|0川=1,

對于4瓦？?而=lxlxcos苧=—W，故/正確.

對于B:赤+57?=避?方=一避?反，故8正確.

對于C：屈在屈向量上的投影所|cos^=-當麗，而聯(lián)1,故C錯誤.

qz

對于D：?.?〔而|=|前|,|而|=|而|,但對應向量的夾角不相等，所以不成立.故。錯誤.

故選：AB.

10.BD

解：對于4因為荏?麗>0,所以瓦？?近<0,于是NB污，所以△ABC為鈍角三角形，所以4錯;

對于B,因為之=(3,4)石=(—1,2),貝展在辦方向上的投影向量為嘿=窸力=￡?

網(wǎng)\b\\b\25

(-1,2)=(-1,2),所以B對；

對于C,假設(shè)C對，則方1旅從而a?b=2+2k=0,于是k=—1,所以2+加=(3,1)與2=(1,—1)不共

線，所以與五+石與3共線矛盾，所以C錯；

對于。，取4C中點。，連接M8、MD,延長到N,使MD=DN,連接4N、CN,

則四邊形ANCM為平行四邊形，于是府=*近5+前)，又因為加+|拓？+|流=6,

所以而=〈(近？+而)=—|?祈瓦所以B、M、D共線，且MD另所以含些=4,所以。對.

2、，34MAC

故選：BD.

11.AC

TT.

解:4-a=(l,2)C=(l,l),a與2+助的夾角為銳角，

G,(a+26)=(1,2),(1+A,2+A)=1+4+4+2A=32+5>0且4豐。(此時a與a+2b的夾角為0)>故A

錯誤；

A???向量瓦=(2,—3)=4專，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，8正確；

C若2〃丸則,在右方向上的投影的數(shù)量為士向，故C錯誤；

D過。分別作4B、BC、AC的垂線，垂足分別為D、E、F,如圖，

D

B

EC

三個不共線的向量。4。8,。。，

田口z48

滿足707~AA（兩+商CA.）=0,

,■,0A'\BA\=°"’而

??\OA\-cosz.DAO-\BA\\OA\-cosZ.FAO-\CA\

即麗=\CA\'

gP|D/4|=\FA\,^Rt△OAD^Rt△OAF,貝!||OD|=|OF|,

同理可得|。。|=\OE\,即點。到△ABC三邊的距離相等，

則。是△4BC的內(nèi)心，。正確.

故錯誤的選項為4C.

12.13解：在Rt△力。B中，N4OB=90°,

a—b=OA—OB=AB,

因此成一說是RtaAOB的斜邊長，

所以區(qū)―說=152+122=13.

故答案為13.

13.45°

解:設(shè)海警船的航行方向是北偏東仇且0。<8<75。，

如圖所示，

貝!I在/ABC中，NCAB=75°—/^ABC=120°,AB=30nmile,AC=30y^tnmile/h,=30tnmile

/h,

斫ri...---------4cany茜qj--------------30pt

所以sin（75。一6）—sinl20。'即倆是sin（75。—6）一sinl20。'

1

解得sin（75O—0）=宗因為0。V75。一。V75。,所以75。-6=30。，解得8=45,

故答案為:45°.

14.96

解：延長BC交DE于點Q,

因為Z.CQE=Z.CEQ+NECQ=Z.ACB+^ECQ=所以8Q1DE.

在△28C中，COSNB4c=482富'218」2=卑,sin^BAC=^P，

ZAD-AC6565

設(shè)BC邊上的高為八，SAABC=^AB-AC-sin^BAC=^BC-h,解得％=2,即CQ=2.

at=BC-JPi=^C-(BQ+QPd=前?前=24,

故+0.2+的+。4=4x24=96.

故答案為96.

15.解:(1)當“割寸，==(2,|),

因為3=(1,2),

所以2在方上的投影向量的模為|ZcosO|=號個=強罵5=&

.—?—>..—>—>

(2)因為向重a=(2,%),b=(1,2)且a

所以2x2=1x%,解得％=4,即2=(2,4),c=(1,3),

22

所以cos〈a,c)=\-a\x\-c\=71422十+一4x/1?+十3。^=10

所以江與工夾角的余弦值為書.

16.證明：由題意知而=而+而，JE=JC+CE,

~CF=~CB+~BF,~EF=~CD,BF=~FA.

AD+BE+CF

=(標+而)+(麗+函+(3+麗

=(XC+CD+CE+BF)+(BC+CB)

=(AE+EC+CD+CE+JF)+0

=荏+而+而=族+%+同

=0

17.解：(1)由余弦定理可得：

BC2=a2=Z?2+c2—2bccosA

=4+l—2x2xlxcosl20°=7,

〃+c2—尼_7+4—1_5^7

則BC=",cosB=

2ac2x2x。14

sin乙48c=^/1—COS2B=

SdABD_^XABXADXsin90°

(2)由三角形面積公式可得=4,

SAACDIxACxADxsin30°

則S△/CD=gSA/Be=mxgx2xlxsinl20°)=看.

18.解:(1)?.?在△力BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.

a=3c,b=V2,COSB=

???由余弦定理得:

a2+c2—b210c2—2_2

cosB==

2ac3

解得。=字

..sinA_cosB

⑷.?=2b

???由正弦定理得：萼=甯=誓

???2sinB=cosB,

sin2^+COS2B=1,

???sinB—更,cosB=

55

???sin(B+芻=cosB=

19.1?：(1)①因為Z=(nvi),所以Z=TH無+71專，

_^2—2—2

2222

則a=(mej+?!專產(chǎn)=me1+2mneJ?互+ne2=m+2mncosa+n,

所以同=^/m2+2mncosa+n2；

②)由a=(-1,2)力=(—2,1),即。=—瓦+2強力=-2玩+逵,

得團=^/(—I)2+2X(—1)x2cosa+22=^/5—4coscr,

\b\=—2)2+2x(—2)xlxcosa+l2="5—4cosa,

a-b=(-ei+2麥)?(-2萬十》)

―2—>2,

=2e1+2e2—5萬?逵=4—5cosa

因為H與B的夾角為最

4