第01講勾股定理

題型歸納________________________________________

【題型1:用勾股定理解三角形】

【題型2：已知兩點坐標求兩點距離】

【題型3：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

【題型4：勾股定理的證明】

【題型5：勾股定理與無理數】

【題型6：勾股數】

基礎知識,知識梳理理清教材

考點1:勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形N2C的兩直角邊長分別為

a,b,斜邊長為c,那么/+62=°2.

注意：(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

(2)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方

程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：

a2=c2-b1,b1=c~-a2>c2=(a+b)2-lab.

運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為五的線段

題型分類深度剖析———\

試卷第1頁，共14頁

【題型1:用勾股定理解三角形】

【典例1】

（24-25八年級上?貴州?期末）

1.如圖四邊形N2C。中，AD±AB,BD1CD,AD=3,4B=4,BC=13,求四邊形/BCD

的面積.

（24-25八年級上?河北保定?期末）

2.如圖，當無人機從地面的/處豎直上升30米時，與地面上3處的距離為50米，若4

8在一條直線上，則48之間的距離為（）

【變式1-2]

（24-25九年級上?陜西西安?期末）

3.如圖，△48C中，NBAC=90。,4D是8c邊的高，￡是的中點，若NC=30。,

AE=2,則/。的長度為（）

【變式1-3】

（24-25八年級上?廣東佛山?階段練習）

4.如圖，在△/BC中，ZACB=9Q°,CD_L/B于點。，AC=8,BC=6,求CZ）的長.

試卷第2頁，共14頁

c

【題型2：已知兩點坐標求兩點距離】

【典例2】

(24-25八年級上?山東棗莊?期中)

5.閱讀下列一段文字，回答問題.

【材料閱讀】平面內兩點”(士,乂)，NU，%),則由勾股定理可得，這兩點間的距離

22

MN=y/(xl-x2)+(yt-y2).

例如.如圖1,A/(3,l),N(l,-2),則ACV=J(3_l『+(l+2)2=5?

圖1圖2

【直接應用】

(1)已知P(2,-3),0(-1,3),求尸、。兩點間的距離；

(2)如圖2,在平面直角坐標系中的兩點/(T,3),5(4,1),P為x軸上任一點，求PA+PB

的最小值.

【變式2-1】

試卷第3頁，共14頁

（24-25八年級上?寧夏中衛?期末）

6.若以點/,8為圓心、1個單位長度為半徑的兩個圓的位置如圖所示，則/,3兩點的距

離為一個單位長度.

【變式2-2】

（24-25八年級上?浙江寧波?期中）

7?點/（0,-3）,8（2,0）是平面直角坐標系中的兩點，則線段/5=

【變式2-3]

（2024八年級上?上海?專題練習）

8.直角坐標平面內的點4-7,4）,S（-l,-3）,則.

【題型3：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

【典例3】

（22-23八年級上?江蘇揚州?期中）

9.問題再現：數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的

數學知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數學里的一些代數公式，很多都可以

通過表示幾何圖形積的方法進行直觀推導和解釋.

圖1圖2

(1)如圖1,在Rt448C中，NNCB=90。，BC=a,AC=b,AB=c,以RtZ\48C的三邊長向

外作正方形，其面積分別為品邑，?，直接寫出如S],S3之間存在的等量關系：

（2）如圖2,在RtZk4BC中，ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt/LIBC的三邊長為

試卷第4頁，共14頁

直徑向外作半圓，其面積分別為E，$2,S、,那么第（I）問的結論是否成立？請說明理由.

【變式3-1]

（24-25八年級上?江蘇揚州?期中）

10.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，若正方形4B、C、E的面積分別為1,2,5,10,則正方形。的面積是.

【變式3-2]

（24-25八年級上?陜西西安?階段練習）

11.圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長為7cm,則圖中

/、8兩個正方形的面積之和為（）

C.28cm2D.49cm2

【變式3-3】

（24-25八年級上?江蘇南京?階段練習）

12.如圖，RtA48C中，ZACB=90°,以“8。的三邊為邊長向外作等邊三角形，已知

S“ABE=10，SDACD=6,則S^BCF=

試卷第5頁，共14頁

基礎知識,知識梳理理清教材

考點2：勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中“力w8=3+b）2=c2+4x1A,所以

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中；''正"小必=d=97）2+4乂$兒所以/=/+戶

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

二1通I所以

22

題型分類深度剖析,）

【題型4：勾股定理的證明】

【典例4】

（24-25八年級上?寧夏中衛?期末）

13.請閱讀下面文字并完成相關任務.

勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”在我國最早對勾股定理進

行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽.如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角

形拼成，用它可以驗證勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于人,另

一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，從而得到等式

1

c2=-abx4+（b-a）72,化簡得出+^^?，這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或

方程的方法，我們稱之為“雙求法”.請你用“雙求法”解決下面問題：

試卷第6頁，共14頁

A

6

圖1圖2

圖3圖4

⑴如圖2,A48C中，4D是3C邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設=求x的值.

(2)2002年在北京召開的國際數學家大會會標和2021年在上海召開的國際數學教育大會會標

都包含趙爽弦圖，如圖3,如果大正方形的面積為18,直角三角形中較短直角邊長為°,較

長直角邊長為6,且1+62=成+10,則小正方形的面積為多少？

(3)勾股定理本身及其驗證和應用過程都體現了一種重要的數學思想是；

A.函數思想B.整體思想C.分類討論思想D.數形結合思想

(4)請借助圖4,利用“雙求法”驗證勾股定理.

【變式4-1]

(24-25七年級上?山東煙臺?期中)

14.材料學習：在勾股定理的學習中，我們已經學會了運用圖1、圖2的圖形，驗證著名的

勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實際

上它也可用于驗證數與代數，圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律.

靈活運用：如圖，等腰直角三角板如圖放置，直角頂點C在直線加上，分別過點48作

直線m于點E,BM_1_直線m于點M,

A.函數思想B.分類討論思想C.數形結合思想D.整體思想

(2)試說明AE=CM-

試卷第7頁，共14頁

(3)若設△4EC三邊分別為a、b、c.參照以前的學習經驗，利用此圖證明勾股定理.

EacM

【變式4-2]

(24-25八年級上?河南平頂山?期中)

15.同學們學習了勾股定理，課后查閱資料發現有很多方法證明勾股定理.中國古代最早對

勾股定理進行證明的，是東漢末至三國時期吳國數學家趙爽，他用數形結合形式創制了“趙

爽弦圖”：如圖1,由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方

形，其中直角三角形的兩直角邊長為。，b{b>a>0),斜邊長為c.

CaB

圖2圖3

(1)在圖1中，若c=15,6=12,則小正方形的邊長為；

(2)探索：某同學提出了一種證明勾股定理的方法：如圖2,點B是正方形4CDE邊CD上一

點，連接得到直角三角形4C3,三邊分別為。，b,c,將△/(力裁剪拼接至△/所

位置，如圖3所示，該同學用圖2、圖3的面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明

勾股定理的過程；(提示：連接B尸)

(3)拓展：若圖1中較短的直角邊長為5,將這四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長

一倍，得到圖4所示的“數學風車”，若以43為邊的正方形面積為61,則這個風車的外圍周

長是.

【變式4-3]

(24-25八年級上?江蘇鹽城?期中)

16.中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位,

體現了數學研究中的繼承和發展.現用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦

圖”.RtA43C中，ZACB=90°,若4c=b,BC=a,請你利用這個圖形解決下列問題：

試卷第8頁，共14頁

(1)試說明：a2+b2=c\

（2）如果大正方形的面積是15,小正方形的面積是4,求+的值.

【題型5：勾股定理與無理數】

【典例5】

（24-25八年級上?江蘇揚州?期末）

每個小正方形的邊長為1.

1]1[[11111A

-4-3-2-1012345

（1）圖中陰影正方形的面積是.,邊長是

（2）請用無刻度的直尺和圓規在右圖的數軸上作出點可，使得點M表示的數為而（保留作

圖痕跡，不寫作法）.

【變式5-1]

（24-25八年級上?湖南長沙?期末）

18.如圖，數軸上的點。表示的數是0,點A表示的數是2,OBLOA,垂足為。，且

OB=1,以A為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點C,則點C表示的數為（）

B

-1CO

A.2-73B.-2+V5C.2-亞D.-2+V3

【變式5-2]

（22-23八年級上?寧夏銀川?期末）

19.如圖，在Rt448C中，4B=BC=l,N4BC=90。，點A,2在數軸上對應的數分別為1,

2.以點/為圓心，NC長為半徑畫弧，交數軸的負半軸于點。，則與點。對應的數是

試卷第9頁，共14頁

（24-25八年級上?廣東清遠?期中）

20.如圖所示，已知。4=。3,BC=2,OC—3.

（1）數軸上點A所表示的數為；

（2）求出點A表示的數的倒數為:

（3）在數軸上找出可對應的點.（保留作圖痕跡）

基礎知識,知識梳理理清教材

考點3：勾股數

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.

勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數

題型分類深度剖析/

【題型6：勾股數】

【典例6】

（24-25八年級上?江西九江?期末）

21.下列幾組數中，是勾股數的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.13,15,20D.6,8,11

【變式6-1]

（24-25八年級上?陜西西安?期末）

22.下面各組數中，是勾股數的是（）

A.2,3,4B.V5,百，8C.1,1,2D.3,4,5

【變式6-2]

（24-25八年級上?河南鄭州?期中）

試卷第10頁，共14頁

23.下列給出的四組數中，是勾股數的一組是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.0.3,0.4,0.5D.6,8,10

【變式6-3】

（24-25八年級上?河北保定?期中）

24.右面是數學交流群中的一個截圖片段，則回答正確的是（

C.殼鳧D.明明

、嗡達標測試

（24-25八年級上?浙江衢州?期中）

25.如圖，兩個大正方形的面積分別為132和108,則小正方形M的面積為（）

A.240B.V240C.724D.24

（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）

26.下列各組數中，不是勾股數的是（）

A.6,8,10B.5,12,13C.8,15,17D.5,7,9

（24-25八年級上?江蘇蘇州?期中）

27.中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一，中國古代數學家稱直角三角形為勾股形,

較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定

試卷第11頁，共14頁

理.小立發現勾是9,股是40,軍格為（）

勾

A.7B.31C.41D.49

（24-25八年級上?山西?期中）

28.我國是最早了解勾股定理的國家之一.早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一

根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦

五”，它被記載于下列哪部著名數學著作中（）

《周脾算經》《九章算術》《海島算經》《幾何原本》

（24-25八年級上?遼寧鐵嶺?期中）

29.某商場一樓與二樓之間的手扶電梯如圖所示，其中48、CD分別表示一樓、二樓地面

的水平線，CE是豎直線，高度為4m,8c的長是8m,則BE的長是（）

8

A.4GmB.8mC.-V3mD.4m

3

（22-23八年級上?四川內江?期末）

30.在學習“勾股數”的知識時，愛思考的小琦發現了一組有規律的勾股數，并將它們記錄在

試卷第12頁，共14頁

A.242B.200C.128D.162

（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）

31.如圖，MSVPS,MNLSN,PQ1SN,垂足分別為S、N、Q,若MS=PS=5,

（23-24七年級上?山東淄博?期中）

32.如圖，ZUBC中，44以=90。,。，22于點。,/。=6,8。=8,則CD的長為.

（24-25八年級上?內蒙古包頭?期中）

33.如圖，過/作且。/=/4=1，根據勾股定理，得。4=行，過4作

且44=1得04=6；以此類推，得。4期=

（24-25八年級上?福建泉州?階段練習）

34.已知△ABC中，/8=么。,。_148于點￡）.

⑴若乙4=36。，求/DC8的度數.

⑵若AB=10,CD=6,求5C的長.

試卷第13頁，共14頁

(24-25八年級上?貴州畢節?期中)

35.兩個全等的直角三角形按如圖1所示的方式擺放，連接A/BC的三邊長分別為

a,b,c(a>b),四邊形/CF。的面積可以表水為彳(。+6乂4+6)或+—，從而可

2,乙

圖1

(1)將從圖1的位置開始沿2C向左移動，直到點尸與點B重合時停止(如圖2),此時

48與。E相交于點。，連接4D,AE,請利用圖2證明勾股定理;

(2)在圖2的基礎上，若四邊形的面積為200,AC=12,求8c的長.

試卷第14頁，共14頁

1.36

【分析】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.

在直角三角形中，利用勾股定理求出AD的長，再利用勾股定理求出C。，根據四邊形

ABCD的面積=直角三角形的面積+直角三角形8CA的面積，即可求出四邊形的面積.

【詳解】解：?.?/￡）2AB,BDVCD,

：./A=/BDC=9G°,

根據勾股定理得：BD=y/AD2+AB2=5，

又C8=13,

???根據勾股定理得：CD=yjBC2-BD2=12-

則,四邊物BCZ>=S9ABD+^^BCD=~x3x4+-xl2x5=36.

2.D

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三

角形中，兩條直角邊分別為。、b,斜邊為C,那么/+/=,2.根據勾股定理進行計算即可.

【詳解】解：■■-ZCAB=90°,/C=30米，8c=50米，

???AB=^BC2-AC-=A/502-302=40（米），

即A,8之間的距離為40米.

故選：D.

【分析】本題考查勾股定理，含30。的直角三角形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵;

根據題意，計算出22的長度，進而求得8。的長度，利用勾股定理，即可求解；

【詳解】解：???/A4c=90。，E是的中點，

.-.BC=2AE,

???AE=2,

8c=2x2=4,

答案第1頁，共19頁

vZC=30°,

.■.AB=-BC=-x4^2,/8=180。-/8/。-/。=60。，

22

則/胡。=30°,BD=^AB=\,

AD=YIAB2-BD2=倉—干=6；

故選：A

4.CD=4.8

【分析】本題考查了勾股定理，以及等面積法，先運用勾股定理列式計算，得

ABVAC'BC?=1。，結合等面積法，貝U/8xCDxg=24,求出CD=4.8,即可作答.

【詳解】解：???N/C2=90。，AC=S,BC=6,

?1-AB=y/AC2+BC2=10>S"c=/Cx2C*g=24,

???CD143于點。，

S.ABC=4BxCDx—,

即y45xCDxl=24,

2

.-.C￡>=4.8.

5.(l)3>/5

⑵歷

【分析】本題主要考查了兩點間的距離公式，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關鍵.

(1)根據兩點間的距離公式求解即可；

(2)作點3關于x軸的對稱點9，連接/夕，交x軸于點尸，則根據“兩點之間，線段最短”

知，P/+尸8的最小值為的長，

根據兩點間的距離公式求解即可.

【詳解】(1)解："(2,-3),0(-1,3),

-PQ=5/(-1-2)2+[3-(-3)]2=V9+36=745=375;

(2)解：如圖，作點5關于x軸的對稱點連接/夕，交x軸于點p,則尸3=PQ,

答案第2頁，共19頁

”(4,1),

.?㈤(4,-1)

根據“兩點之間，線段最短"知，P/+P8的最小值為的長，

又AB'=J(一1一4『+[3-(-1)丁=V41,

.?.P/+PB的最小值為"1.

6.5

【分析】本題考查了兩坐標間的距離，由圖得”(1,2),4(5,5),利用兩坐標間的距離公式

列式計算即可得解.

【詳解】解:由圖可得4(1,2),4(5,5),

???/,2兩點的距離為J(5-口+(5-2)2="2+32=5,

故答案為：5.

7.V13

【分析】本題考查了坐標系中求兩點間的距離，熟練掌握兩點間的距離公式是解題關鍵；根

據兩點間距離公式計算即可.

【詳解】解：5(2,0),

故答案為：VTs.

答案第3頁，共19頁

8.V85

【分析】本題考查兩點間的距離公式：設有兩點/(孫必)，8(無2,%)，則這兩點間的距離

為NB=J(X「X2)2，直接利用兩點間的距離公式求解，熟練掌握兩點間的距離

公式是解此題的關鍵.

【詳解】解：???點月(-7,4),5(-1,-3),

AB=^(-7+1)2+(4+3)2=V85.

故答案為：底.

9.(1)耳+邑=5

(2)成立，理由見解析

【分析】此題考查了運用勾股定理解決幾何問題的能力，關鍵是能準確理解題意并列式，運

用勾股定理進行推理、求解.

(1)先根據正方形的面積分別列式表示出際S]:，S3,再運用勾股定理可得品+邑=$3；

(2)先根據半圓的面積分別列式表示出E，$2,M，再運用勾股定理可得￡+邑=$3.

【詳解】(1)解:在Rta/BC中，AACB=90°,

■■AC2+BC2=AB2,

22

由題意得S]=8C~,S2=AC,S3=AB,

.?再+$2=$3；

故答案為：工+邑=號；

(2)解:成立，理由如下：

在RtZ\48C中，ZACB=90°,

■■AC2+BC2=AB2,BPb2+a2=c2,

2￡

.v_1_b7r_11°丫_/70=ijT=—'

22812uJ8328

..a27i萬(/+/)_

8+8-88

.?.Si+82=83.

答案第4頁，共19頁

10.2

【分析】本題考查了勾股定理的應用，設中間兩個正方形和正方形。的面積分別為x,九

z,然后由勾股定理解答即可，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一

定等于斜邊長的平方是解題的關鍵.

【詳解】解：設中間兩個正方形和正方形。的面積分別為X,y,Z,如圖，

由勾股定理得：x=l+2=3,y=5+z,x+y=10,

二3+5+z=10；

正方形。的面積z=2,

故答案為：2.

11.D

【分析】本題考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平

方.根據正方形的面積公式，運用勾股定理，發現：2個小正方形的面積和等于最大正方形

的面積.

【詳解】解：由圖形可知2個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，

故正方形8的面積之和=7?=49cn?.

故選：D.

12.4

【分析】本題主要考查了等邊三角形性質和勾股定理.

根據勾股定理和等腰直角三角形的面積公式，可以證明：以直角三角形的兩直角邊為邊長的

等邊三角形的面積和等于以斜邊為邊長的等邊三角形面積由此即可解題.

【詳解】解：過點。作。C,垂足為

答案第5頁，共19頁

???A/CZ>是等邊三角形，

AD=AC=CD,AH=CH=—AC,

2

???HD=ylAD2+AH2==*AC,

2

■,S^ACD=^AC-HD=^-AC,

同理可得：S^=^AB\BCF，

4ABBEE4sAx>C/^力4BC。

NACB=90°,

■■AC2+BC2=AB2,

2222

s—CD+SABCF=與AC。+^-BC=^-(AC+BC)=^-AB,

S“BE=S./CZ)+SQBCF,

S-BE=10，S—c?=6,

?'?S、BCF=S.ABE-S.4C?=1。—6=4,

故答案為4.

9

13.(l)x=-

(2)2

⑶D

⑷見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用、完全平方公式的應用等知識，理解并掌握勾股定

理及其驗證過程是解題關鍵.

(1)結合題意可知BO=x,CD=6-x,然后在和RS/CD中，利用勾股定理列

式求解即可；

(2)設大正方形的邊長為。，由題意可知02=18,利用勾股定理可得1+62=,2=18,結

合/=06+10易得=8,然后根據完全平方公式，(Z>-a)2=a2-2ab+b1,即可求得

答案第6頁，共19頁

答案.

(3)勾股定理本身及其驗證和應用過程都體現了數相結合的數學思想，即可獲得答案；

(4)根據梯形的面積等于三個直角三角形的面積，以及梯形面積等于其上底加下底乘高除

以2進行證明即可.

【詳解】(1)解：???AD是8C邊上的高，

AD1BC,

AB=4,AC—5,BC=6,BD=x,

CD=BC—BD—6—x,

在RtAABD和RtA^CZ>中,

可有=AB2-BD2=AC2-CD2,

BP42-X2=52-(6-X)2,整理可得12X=27,

9

x-a；

(2)解：設大正方形的邊長為c,

根據題意，C2=18,

a2+b1=c1=18,

?-?a1+b2=ab+10,

■■■ab=S,

又???小正方形的邊長為：b-a,

■■.(b-a)2=a2-2ab+b2=18-2x8=2,

即小正方形的面積為2.

(3)解：勾股定理本身及其驗證和應用過程都體現了一種重要的數學思想是數形結合思想.

故選D；

(4)解：S梯形+5〃,

梯形的面積又可表示為

S地的=-ab~\—c2H—ab——c~+ab,

梯形2222

—a2+—b2+ab=—c2+ab

222

^a2+b2=c2,

???直角三角形的三邊滿足此關系式，其中c為斜邊，a,6為直角邊.

答案第7頁，共19頁

14.(1)C;

(2)見解析;

(3)見解析.

【分析】本題主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質，勾股定理的證明，解

本題的關鍵是判斷兩三角形全等.

(1)根據題意可得它體現的數學思想是數形結合思想；

(2)通過證得根據全等三角形的對應邊相等證得結論；

(3)利用等面積法證得勾股定理.

【詳解】(1)解：根據題意可得它體現的數學思想是數形結合思想，

故選：C

(2)解：由題意得：AC=BC,NACB=90。

ZACE+ZBCM=90°

AE_L直線m,BM_L直線m

NAEC=ZCMB=90°

:.ZACE+ZCAE=9Q°

/CAE=/BCM

:."EC=ACMB(AAS)

AE=CM

(3)解：由(2)可知：AAEC*CMB

:.AE=CM=b,EC=MB=a,AC=BC=c

]16/2人2

S梯形4EM5=—x(BM+AE)xEM=-x(?+b){a+b)=—+—+ab

111c1

又S梯形AEMB=SAAEC+S“CB+S.BCM=-^axb+-xcxc+-xaxb=ab+—

.a2b2c2

..---1----Fcibk=ab~\----

222

/b2c2

一+一=一

222

:.a2+b2=c2

15.(1)3

⑵見解析

⑶76

答案第8頁，共19頁

【分析】本題考查勾股定理的證明，完全平方公式與幾何圖形的面積，熟練掌握勾股定理是

解題的關鍵.

（1）先根據勾股定理求出a=9,然后根據線段的和差求解即可；

（2）連接3尸，根據正方形4CDE的面積與四邊形尸的面積相等即可證明；

（3）根據外延部分的4個三角形全等，且AD=AC=府手=6,由勾股定理求得

BD=^CD2+BC2=13，根據風車的外圍周長是4義（題＞+AD）,計算求解即可，

【詳解】（1）解：由勾股定理得：a=V7^F=V152-122=9-

，小正方形的邊長為：12-9=3,

故答案為：3；

（2）（答案不唯一）

圖1圖2

證明：如圖，連接3尸，

AC=b,

二?正方形ZCDE的面積為〃，

*/CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,

:.BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b,

???ZCAE=90°,

/./BAC+/BAE=90°,

：ABAC=AEAE,

/./EAF+/BAE=90°,

.??△A4P為等腰直角三角形，

四邊形ABDF的面積為：—c2+—(ft—a)(a+Z))=—c2+—^b2—a2),

1??正方形4COE的面積與四邊形NBZ汨的面積相等，

答案第9頁，共19頁

.?方一+犯-。

:.a2+b2=c2.

(3)解：如圖，???以48為邊的正方形面積為61,

由題意知，外延部分的4個三角形全等，圖1中較短的直角邊長為5,

AD=AC=V61-52=6，

CD=12,

BD=4CD-+BC2=V122+52=13，

這個風車的外圍周長是：4x(8。+=4x(13+6)=76

故答案為：76

16.(1)見解析

(2)26

【分析】此題考查了勾股定理的證明和應用.

(1)大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積，據此列式計算即可得到結

論；

(2)由大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積列式求出仍=裝，由題意

知c2=/+b2=i5,即可求出+的值.

【詳解】(1)由圖形可知，大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積.

答案第10頁，共19頁

/.c2=；〃bx4+(b-a)2,

/—2ab+b?+a?—2ab，

c2=a2+b2.

(2)由圖形可知，大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積.

,?,大正方形的面積是15,小正方形的面積是4,

15=—abx4+4,

2

711

ab=——,

2

由題意知＜2=/+/=15,

11

:\a+b)?=/+/+2。6=15+2、萬=26.

17.(1)13；加

(2)見解析

【分析】本題考查了算術平方根，割補法求網格中圖形面積，勾股定理與無理數，尺規作圖

等知識；掌握這些知識是關鍵；

(1)用大正方形面積減去四個面積相等的小三角形即可求解；利用算術平方根即可求得正

方形的邊長；

(2)構造兩直角邊分別為2與3的直角△042,由勾股定理得斜邊08=瓦，再在數軸上

以。為圓心，后為半徑，在數軸上原點右邊截取線段=即可.

【詳解】(1)解：陰影正方形的面積為5X5-4X；X2X3=13；

陰影正方形的邊長為：V13；

故答案為：13；V13；

(2)解：如圖，點M表示的數為JT5.

【分析】本題考查了實數與數軸、勾股定理，由勾股定理可得而了=石，

答案第11頁，共19頁

再求出0c=/。-。/=遙-2,結合數軸即可得解.

【詳解】解：由題意可得：AC=AB=yJOA2+OB2=V5>

■■OC=AC-OA=45-2,

???點c表示的數為2-石，

故選：C.

19.1-72

【分析】本題考查實數與數軸，勾股定理，利用勾股定理求出NC的長，進而得到4D的長,

利用兩點間的距離公式進行求解即可.

【詳解】解：???/8=3C=l,48C=90°,

■■AC=Vl2+12=V2>

由作圖可知：AD=4C=C，

???與點。對應的數是1-右；

故答案為：1-收.

20.(1)-713

⑵-噂

⑶見解析

【分析】本題為考查勾股定理、實數與數軸，二次根式的化簡，體現了“數形結合”的思想,

解題的關鍵構造恰當的直角三角形.

(I)根據勾股定理即可求得08的長度，從而得出。/的長度，再考慮點/位于原點的左側，

為負數，即可得解；

(2)根據倒數的定義得到點/表示的數的倒數，再將分母有理化即可解答；

(3)過表示數3的點。作數軸的垂線取DE=1,以。為圓心，為半徑畫弧與數

軸相交于點，則點G就是表示的點.

【詳解】(1)解：???8C=2,OC=3,

.,.在RM50C中，BO=yjBC2+OC2=VF+F=V13>

OA=OB=，

答案第12頁，共19頁

???點4表示的數是-JiW.

故答案為：-ViX

(2)解：???一舊的倒數是一」=一姮,

V1313

.-?點A表示的數的倒數為-史.

13

故答案為：-恒

13

(3)解：如圖，點G表示的數為

【分析】本題考查了勾股數“能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數”，熟

記勾股數的定義是解題關鍵.根據勾股數的定義逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、F+22=5片32,則此項不是勾股數，不符合題意；

B、32+42=25=252,則此項是勾股數，符合題意;

C、13」+15%394*202,則此項不是勾股數，不符合題意；

D、62+82=100^112,則此項不是勾股數，不符合題意；

故選：B.

22.D

【分析】本題考查了勾股數的知識，判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還

需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方.

【詳解】解：A、22+32^42,不是勾股數，故本選項不符合題意.

B、(V5)2+(V3p82,不是勾股數，故本選項不符合題意.

C、『+12/22,不是勾股數，故本選項不符合題意.

D、32+42=52,是勾股數，故本選項符合題意.

故選：D.

23.D

【分析】本題主要考查了勾股數的定義，首先勾股數要滿足都是正整數，其次勾股數中兩較

答案第13頁，共19頁

小的數的平方和等于最大數的平方，據此求解即可.

【詳解】解：A,■.■12+22^32,

.?.1,2,3不是勾股數，故此選項不符合題意；

B、?■?22+32^42,

??.4,2,3不是勾股數，故此選項不符合題意；

C、???0.3,0,4,0.5不是整數，

??.0.3,0.4,0.5不是勾股數，故此選項不符合題意；

D>?,?62+82=102,

??.6,8,10是勾股數,故此選項符合題意；

故選：D.

24.C

【分析】本題考查勾股定理及勾股數，根據勾股定理依次判斷即可.

【詳解】解：A、0.3,04,0.5不是正整數，不屬于勾股數，不符合題意；

B、42+52^62,不屬于勾股數，不符合題意；

C、82+152=172,屬于勾股數，符合題意；

D、若不是正整數，不屬于勾股數，不符合題意；

故選：C.

25.D

【分析】本題考查勾股定理，熟練掌握以直角三角形的三邊為邊長的圖形面積計算方法是解

題的關鍵.利用兩個大正方形的面積分別為132和108,得出48?=132,SC2=108,再利

用勾股定理求出即可求解.

【詳解】解：如圖，

???兩個大正方形的面積分別為132和108,

=132,5c2=108,

???NACB=90°,

答案第14頁，共19頁

???^c2=T4S2-5C2=132-108=24，

小正方形”的面積為24,

故選：D.

26.D

【分析】本題考查了勾股數的定義，掌握勾股數的計算是解題的關鍵.

勾股數是指能夠構成直角三角形三邊的一組正整數，滿足勾股定理：兩條直角邊的平方和等

于斜邊的平方，由此即可求解.

【詳解】解：A、62+82=102,故該選項是勾股數，不符合題意；

B、52+122=132,故該選項是勾股數，不符合題意；

C、82+152=172,故該選項是勾股數，不符合題意；

D、52+72^92,故該選項不是勾股數，符合題意；

故選：D.

27.C

【分析】本題考查了勾股定理，直接由勾股定理列式計算即可.

【詳解】解：由勾股定理得：弦長=-/=41，

故選：C.

28.A

【分析】本題考查了勾股定理的歷史淵源，加強教材的閱讀，熟記相關知識的來源于出處.

【詳解】解：早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾

等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于下列哪部著名數

學著作《周脾算經》中.

故選：A.

29.A

【分析】本題考查了勾股定理，理解在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方

是解答關鍵.

根據題意得到兩條直角邊的長度，用勾股定理求解.

【詳解】解：由題意得CE=4m,BC=8m,

.-.BE=yjBC2-CE2=A/82-42=4>/3(w).

故選：A.

答案第15頁，共19頁

30.D

【分析】本題考查了勾股數，關鍵是注意觀察表格中的數據，確定。、6、。的數量關系.

根據表格中數據確定。、b、。的關系，然后再代入。=18求出6、。的值進而可得答案.

【詳解】解：根據表格中數據可得：a2