熱點2-4函數的圖象及零點問題

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

近三年高考數學持續考查函數圖象的識別，要求函數圖象：將繼續重點考查圖象識別，以選擇題或填

考生根據函數表達式判斷其在給定區間內的大空題的形式出現，難度不大.

致形狀.同時，函數零點問題也是重點，包括零函數零點：依然是高考熱點，主要結合函數圖象研究

點存在性判斷、零點個數以及參數范圍的求解函數的零點.可能會考查利用單調性和函數零點存在

等.2023年還涉及根據函數部分圖象判斷解析式定理確定零點個數、根據函數零點的個數或位置、求

的內容.整體來看，這部分內容難度適中，注重解參數的取值范圍.

對基礎知識和基本技能的考查，同時也體現了對綜合應用：可能會將函數零點問題與導數、不等式等

數形結合思想的運用.知識綜合考查，如利用導數研究函數的單調性、極值、

最值，進而判斷零點的存在性和個數.

熱點題型解讀

題型1函數圖象畫去及圖象型奐j-、yo題型6確定函數零點的個數

題型2根據函數蹣式選擇整j題型7根據零點個數求參數范圍

題型函數零點四問題

題型3根據函數圖象選擇解析式o-—函數6勺囪象及零點問題——>8

題型4根據實際問題作函數圖象題型9函數零點和積范圍問題

題型5函數零點所在區間問題5^

題型10嵌套函數的零點問題

題型1函數圖象畫法及圖象變換

00混

i作函數圖象的方法

1、直接法：當函數表達式是基本函數或函數圖象是解析幾何中熟悉的曲線時,就可根據這些函數或曲線

的特征直接作出.

2、轉化法：含有絕對值符號的函數，可去掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫圖象.I

3、圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱變換得到，可利用圖象變換;

作出，但要注意變換順序.對不能直接找到熟悉的基本函數的要先變形，并應注意平移變換的順序對變換

單位及解析式的影響.

i

1.(1)利用函數/(%)=2%的圖象，作出下列各函數的圖象.

①y=f(-x);②y=f(國);③y=f(x)—1；④y=\f(x)—1|；⑤y=~f(x)；⑥y=f(尤―1).

(2)作出下列函數的圖象.

①y=1)W；

②y=|log2(x+1)I；

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析

【解析】(1)①把f(x)的圖象關于y軸對稱得到y=f(—X)的圖象，如圖.

②保留f(x)圖象在y軸右邊部分，去掉y軸左側的，

并把y軸右側部分關于y軸對稱得到y=f(|x|)的圖象，如圖.

③把f(x)圖象向下平移一個單位長度得到y=f(x)—1的圖象，如圖.

④結合③，保留x軸上方部分，然后把x軸下方部分關于x軸翻折得到y=|f(x)—1|的圖象，如

圖.

⑤把f(X)圖象關于x軸對稱得到y=—f(x)的圖象，如圖.

⑥把f(x)的圖象向右平移一個單位長度得到y=f(x—l)的圖象，如圖.

再將y=(J)x(x>0)的圖象以y軸為對稱軸翻折到y軸的左側，即得y=(J)|x|的圖象,

如圖①中實線部分.

②將函數y=log2x的圖象向左平移1個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，

即可得到函數y=|log2(x+1)|的圖象，如圖②中實線部分.

③因為丫=殳1=2+一!一，故函數圖象可由y=l的圖象向右平移1個單位長度，

Y—1Y一?丫

2.(24-25高三上?江蘇揚州?期中)已知圖①對應的函數為y=f(x),則圖②對應的函數是()

A.y=/(-H)B.y=-f(-\x\)

c.y=f[-x）D.y=-f{-x)

【答案】B

【解析】由圖②可知，將y=f（x）在xwo的圖象沿著y軸對稱得到＞=/（-國）,

然后再沿著x軸翻折，即可得到＞=-/（-閔）.故選：B

產3—+1X,G"F-—1二11）以，+動向左、向下分別平移2個、3個單位長度，所得圖象為（）

3.將函數y=＜

【解析】

4.將函數〃x）的圖像沿龍軸向左平移1個單位長度，得到奇函數g（x）的圖像，則可能是下列函數中

的（）

A.y-B.y=e、i-eJ

x+1

2

C.y=x+—D.y=log2（x+l）+l

【答案】B

【解析】對A：將函數圖像沿x軸向左平移1個單位長度，得到函數了=工的圖像，

函數>的定義域為龍2,不關于原點對稱，所以函數y=」二不是奇函數，故A錯誤；

x+2x+2

對B：將函數圖像沿X軸向左平移1個單位長度，得到函數〉=6,-e-x的圖像

e'-er=-（eT-e。，所以函數y=為奇函數，滿足條件，故B正確；

2

對C：將函數圖像沿x軸向左平移1個單位長度，得到函數）=九+1+—；的圖像，

x+1

2

函數y=%+l+——；的定義域為無w-l,不關于原點對稱，

X+1

2

所以函數y=x+l+—；不是奇函數，故C錯誤；

對D：將函數圖像沿x軸向左平移1個單位長度，得到函數y=log2（x+2）+l的圖像，

定義域為x>-2,不關于原點對稱，所以函數y=log2（x+2）+l不是奇函數，故D錯誤.故選：B

題型2根據函數解析式選擇圖象

圖象辨識題的主要解題思想是“對比選項，找尋差異，排除篩選”

1、求函數定義域（若各選項定義域相同，則無需求解）；

2、判斷奇偶性（若各選項奇偶性相同，則無需判斷）；

3、找特殊值：①對比各選項，計算橫縱坐標標記的數值；②對比各選項，函數值符號的差別，自主取值

（必要時可取極限判斷符號）；

4、判斷單調性：可取特殊值判斷單調性.

1.（24-25高三上?福建泉州?月考）函數"x）=cosxJn（7ZZ-x）的圖象大致為（）

【答案】B

【解析】因為函數“力的定義域為R,

(-X)In[J(r)2+1-(-x)J

且〃一無）=cos=cosx-In(Jf+i+x二cosxIn/---

y/x2+l-x

=cos%.hi（42+i一%）=-cosxln（「%2+1-%）=-/（%）.

所以函數八％）為奇函數，圖象關于原點成中心對稱，故AD錯誤;

又/（兀）=cos7iIn（，兀?+1_兀）=_m+]_兀）,

而J兀2+1〈兀+i，即0<而[1一兀<1，所以In（，兀2+i—兀）<0,所以/（兀）>。，故C錯誤.

B符合函數/（%）的性質.故選：B

2

2.（24-25高三上?安徽阜?月考）函數y=；—^的部分圖象大致為（

1-x

【答案】D

【解析】當0<x<l時,>0,故AC不正確;

當0<%<1時，y=1-%4>0,且y=l—/為減函數,

2

所以y=；一^為增函數，故B不正確.故選：D.

L-X

3.（24-25高三上?還你長沙?月考）函數y=的部分圖象大致為（）

【答案】A

【解析】/（刈=\—定義域為區，且/（-刈=、^=-/（無），則原函數為奇函數.排除B.

e1__1i

再取特殊值/⑴=J^e-=l-3<1,且為正數.排除D.

ee

當x>0時，y（x）==r=i-，7V1,尤越大函數值越接近1,排除C.故選：A.

ee

4.（23-24高三上?陜西安康?月考）函數〃%）=/log4^一的大致圖象是（）

2-x

7+r

【解析】因為二〉°，BP（X+2）.（X-2）<0,所以-2<XV2,

所以函數“xh/log”爐的定義域為（-2,2）,關于原點對稱，

2-x

又〃-尤）=（-無）21嗎2|=-/（可，所以函數〃力是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除B,C；

當xe（O,2）時，—>1,即log4*〉。，因此/'（x）>0,故排除A.故選：D.

2—x2—x

題型3根據函數圖象選擇解析式

（1）從圖象的最高點、最低點分析函數的最值、極值.

（2）從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性.

（3）從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性.

1.（24-25高三上?遼寧?月考）函數在區間（-，書上的大致圖象如圖所示，則〃尤）的解析式可能是（）

A./(x)=tan(|sinx|)B./(x)=tan(cosx)

C./(x)=ln(|sinx|)D./(x)=ln(cosx)

【答案】D

jrsin巴=1，/"）=tan走>0,與圖象矛盾，故A錯誤;

【解析】對于A,當X）時,

4242

對于B,當％=0時，cosO=l,則/（0）=tanl>0,與圖象矛盾，故B錯誤;

對于C,當％=0時，sin0=0,ln（|sin0|）無意義，故c錯誤；

對于D,因/(x)=ln(cosx),xe(—plijcosx>0,

由/(—%)=ln[cos(-x)]=ln(cosx)=f(x)知函數/(%)=In(cosx)為偶函數，圖象關于>軸對稱；

且當x=±]時，cosx=0,In(cosx)無意義；

當xe(0,9時，:(司=二—=-tan無<0,即函數〃x)=ln(co2在(0,9上單調遞減,

/COSJCN

故在（-京0）上單調遞增，該圖象均符合，即D正確.故選：D.

2.（24-25高三上?天津?月考）已知函數〃x）的圖象如圖所示，則函數〃尤）的解析式可能是（）

Y-J;

A.〃x)=(4,一4TMB./(x)=(4-4)log2|x|

xx

C.f(x)=(4+4-)\x\D./(x)=(4^+4-)log2H

【答案】D

【解析】對于A,〃x）=（4=4T）|x|,其定義域為R,有〃-?=（4-，-4，）n=-〃%）,

則函數/（X）為奇函數，不符合題意，故A錯誤；

r

對于B,/（x）=（4-4-^log2H，其定義域為例"0},

有〃-尤）=（47-4，）02國=-〃耳，則函數〃尤）為奇函數，不符合題意，故B錯誤;

對于C,〃外=（4"+『）凡在區間（0,1）上，/（x）＞0,不符合題意，故C錯誤.

對于D,/（-%）=（二+平）log2|-x|=（4,+4-、）log2|x|=/（%）,則為偶函數，

且在區間（0,1）上，/（尤）＜0,符合題意，故D正確.故選：D.

3.（24-25高三上?江西萍鄉?月考）已知函數了（無）的部分圖象如下圖所示，則/（尤）可能的解析式是（）

InIYI

A./(x)=eFn|%|B.=

e

C./(x)=ex+In|x|D./(x)=ex-ln\x\

【答案】c

【解析】對于A,因為〃x)=eFnk|,

所以/(T)=eT-lnT=0,f(-e)=e-e-ln|-e|=4)/(-e2)=e^2-ln|-e2|=^,

ee

___2ee2221

而2ee<e<e——=一，

ee2eeee

即一e2<_e<T,/(-e2)</(-e),所以/(x)在(一8,-!)上并不單調遞減，故A錯誤；

對于B,因為〃x)=叩，所以〃1)=叩=。，/(e)=^=1,f(e2)=^H=4>

eeeeee

顯然l<e<e2,/(e)>/(e2),所以在(L+s)上并不單調遞增，故B錯誤；

對于D,因為〃x)=e，_ln|x|,所以/(-l)=—1川一1|=：,f(-e)=e-e-ln|-e|=-^-1,

顯然/(-e)</(-l),所以/(x)在(3,0)上并不單調遞減，故D錯誤；

對于C,因為〃x)=e，+lnW定義域為{x|x#0},

當尤>0時，〃x)=e*+lnx,由復合函數的單調性易知〃力在(0,+s)上單調遞增；

當x<0時，〃x)=e*+ln(—x),y=e*在(Y?,0)上單調遞增且0<e"<1,

y=In(f)在(YO,0)上單調遞減，

當X--8時〃X).口，當x30時-00,符合題意，

結合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合題意，故C正確.故選：C.

4.(24-25高三上?江西南昌?月考)已知函數/(x)=sinx,g(x)=f+i,則圖象為下圖的函數可能是()

A.y=/(x)+g(x)-lB.y=/(x)_g(x)+l

/(X)

C.y=/(x)g(x)D.y=~r^

【答案】D

【解析】由題意函數/(x)=sinx,g(尤)=d+i,根據函數圖象可得函數圖象關于原點對稱，所以函數為奇函數,

對于A中，函數y=，a)+g(x)T=x2+sinx不是奇函數，所以A不符合題意；

對于B中，函數y=/(x)-g(x)+l=sinx-d不是奇函數，所以B不符合題意；

對于C中，函數y=/(x)g(x)=(x2+l卜inx此時函數為奇函數，

又由y'=cosx-(x2+l)+sinx-2x,當弓］時，/>0,此時函數在區間xe單調遞增，

而圖象中先增后減，所以C不符合題意.故選：D.

題型4根據實際問題作函數圖象

返

根據實際背景、圖形判斷函數圖象的方法：

（1）根據題目所給條件確定函數解析式，從而判斷函數圖象（定量分析）.

（2）根據自變量取不同值時函數值的變化、增減速度等判斷函數圖象（定性分析）.

1.（23-24高三下?安徽?模擬預測）如圖，直線/在初始位置與等邊VABC的底邊重合，之后/開始在平面上

按逆時針方向繞點A勻速轉動（轉動角度不超過60。），它掃過的三角形內陰影部分的面積S是時間。的函

數.這個函數的圖象大致是（）

C

AB

【答案】C

【解析】如圖所示，取2C的中點E,連接AE,因為VABC為等邊三角形，可得NE43=30。,

設等邊VABC的邊長為2,且=其中0。（々460。,

可得|￡）同=劇tan（30。一e）|=A/3|tan（30c-a）|,

E

又由VABC的面積為1ABe=6,可得S旗=立，

△/iDC△Aon,2

1Q

且々APE=—x^3x^3|tan(30°-^z)|=—|tan(3O°-6Z)|,

則△腦。的面積為5=5ABE—SA=---tan(30°-?)=—+-tan(a-30),

△ADC22、'

令S（x）=￥+Ttan（x-30。），其中0。4尤460。，

31

可得s'（X）=彳X>0,所以S（尤）為單調遞增函數，

又由余弦函數的性質得，當x=30。時，函數S（x）取得最小值，

所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快,

結合選項，可得選項C符合題意.故選：C.

2.（23-24高三下?山東?二模）如圖所示，動點尸在邊長為1的正方形ABCD的邊上沿AfCfO運動,

x表示動點P由A點出發所經過的路程，了表示△加的面積，則函數y=/（%）的大致圖像是（）

【答案】A

【解析】當時，y=|,是一條過原點的線段；

當xe［l,2］時，y=|,是一段平行于x軸的線段；

當xw［2,3］時，丫=寸，圖象為一條線段.故選：A.

3.（24-25高三上?北京?月考）如圖為某無人機飛行時，從某時刻開始15分鐘內的速度V（x）（單位：米/分

鐘）與時間X（單位：分鐘）的關系.若定義“速度差函數”v（x）為無人機在時間段［0,司內的最大速度與最

小速度的差，則v（x）的圖像為（）

【解析】由題意可得，當相［0,6］時，無人機做勻加速運動，V（尤）=60+可無，“速度差函數“心）=可了；

當xe［6,10］時，無人機做勻速運動，7（%）=140,“速度差函數"丫（無）=80；

當xe［10,12］時，無人機做勻加速運動，V?=40+10%,“速度差函數”心）=-20+10尤；

當xe［12,15］時，無人機做勻減速運動，“速度差函數”心）=100,

結合選項C滿足“速度差函數”解析式，故選：C.

4.（23-24高三上?湖南衡陽?月考）小李在如圖所示的跑道（其中左、右兩邊分別是兩個半圓）上勻速跑步，

他從點A處出發，沿箭頭方向經過點8、C、。返回到點A,共用時80秒，他的同桌小陳在固定點。位置

觀察小李跑步的過程,設小李跑步的時間為〃單位:秒），他與同桌小陳間的距離為，（單位:米），若y=f（t）,

則/?）的圖象大致為（）

【答案】D

【解析】由題圖知，小李從點A到點3的過程中，y的值先增后減，

從點8到點C的過程中，y的值先減后增，

從點c到點。的過程中，y的值先增后減，從點。到點A的過程中，，的值先減后增,

所以，在整個運動過程中，小李和小陳之間的距離(即y的值)的增減性為：

增、減、增、減、增，D選項合乎題意，故選：D.

題型5函數零點所在區間問題

確定;'(X)的零點所在區間的常用方法：

(1)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y=/(x)在區間切上的圖象是否連續，再看是否有

/(a)-/(^)<0,若有，則函數y=/(x)在區間(a,b)內必有零點.

(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與％軸在給定區間上是否有交點來判斷.

7

1.(24-25高三上?安徽亳州?月考)函數/(x)=ln尤-:的零點所在的大致區間是()

A.B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

【答案】C

【解析】/(2)=ln2-l<0,/(e)=l-->0,

e

由無)=lnx-(可知，函數在。+8)內單調遞增，

根據零點存在定理，函數/(x)=lnx-2的零點所在的大致區是(2,e).故選：C

2.⑵-25高三上?甘肅武威?期末)函數/⑴三一鳴、」的零點所在區間為()

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】A

【解析】函數/（X）定義域為（0,+8）,

因為L在區間（0,+8）上單調遞減，log?X在區間（0,+8）上單調遞增,

X

所以/（X）在（0,包）上單調遞減，

因為『（1）=1>0,〃2）=；-1-：<0,

所以Ax）的零點所在區間為（1,2）.故選：A

3.（24-25高三上?湖北?期中）已知函數=-那么在下列區間中含有函數/（尤）零點的是（）

A.］。,：B,gjCD.（L4）

【答案】B

【解析】因為y=_=-衰在（。,+巧上均單調遞減，則〃尤）=（j-/在（0,+e）上單調遞減,

對A,可得/（0）=［；）-0?=1-0=1>0.

因為基函數y=/在（0,+8）上單調遞增，所以公）=（；）'（￥>0,

且函數〃力在（。,+"）上連續不間斷，則〃力在，,g）上無零點，故A錯誤；

對B,因為>=在（0,+8）上單調遞減，

則/（：）=（9一（y<0,則/',）/■（；）<0,且函數仆）在（0,+動上連續不間斷，

故/（X）在上存在零點，故B正確；

13

對C,因為/⑴=］-1=-工<0,且函數“X）在（0,+8）上連續不間斷，

則〃無）在心，1］上無零點，故C錯誤；

對D,計算/（4）=（：）4-4：=（1）4-（^P<0，

且函數〃x）在（0,+向上連續不間斷，則在。,4）上無零點，故C錯誤；故選：B.

4.（24-25高三上.四川德陽?月考）設函數/（x）=ln國+國-2的零點都在區間&句（a,6eZ,a<b）內,則匕一a

的最小值為.

【答案】4

【解析】/(x)=ln|x|+|x|-2,

當尤>0時，/(x)=lnr+x-2,/'(x)=，+1>0,f(x)在(0,+8)上遞增，

而〃1)=-1<0,/(2)=ln2>0,.”>0時，在(1,2)內存在唯一零點，

??"(X)是偶函數，.?"(>)在(-8,0)上遞減，

TO/(-l)=-l<0,/(-2)=ln2>0,.”<0時,在(-2,-1)存在唯一零點,

零點都在(-2⑵內.

故當］=-2/=2時，Z?-々取最小值，且最小值為4.

題型6確定函數零點的個數

I00混

：零點個數的判斷方法

ii

1、直接法：直接求零點，令/(司=0,如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.

ii

，2、定理法：利用零點存在定理，函數的圖象在區間［a,可上是連續不斷的曲線，且/■(?)?/■(b)<0,結j

ii

;合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點.

3、圖象法：

(1)單個函數圖象：利用圖象交點的個數，畫出函數/(x)的圖象，函數/(x)的圖象與x軸交點的個數：

ii

;就是函數/(x)的零點個數.

(2)兩個函數圖象：將函數/(X)拆成兩個函數刈同和g(無)的差，根據/a)=0oMx)=g(x),

則函數/(X)的零點個數就是函數y=及(無)和y=g(x)的圖象的交點個數.

4、性質法：利用函數性質，若能確定函數的單調性，則其零點個數不難得到；若所考查的函數是周期函

數，則只需解決在一個周期內的零點的個數.

ii

1.(24-25高三上?福建平和?月考)函數=“VO；的零點個數為()

［log4X+A：-3,X>0

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】當工40時，令13+8=0,解得元=一2,

當尤>0時，/(2)=log42+2-3=1-l<0,/(3)=log43+3-3=log43>0,

“X）在（2,3）連續，所以〃元）在（2,3）上存在零點，

又因為〃"=1嗚%+尸3單調遞增，所以函數丫=/（久）在（0,+8）上有唯一零點,

綜上，“X）的零點個數為2.故選：C

2.（24-25高三上?浙江?月考）函數y=co&x與y=|l閡的圖象的交點個數是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

3.（24-25高三上?四川攀枝花?月考）函數2（x）=21gx-xlg2,則函數〃無）的零點個數是（）

A.2B.3C.1D.0

【答案】A

【解析】由題意可得尤＞0,

令/（元）=21gx-尤lg2=。，所以彳=41=log2X,

21g2

令＞=；,y=log?x,貝=y=log2尤在（0,+e）上都為增函數，

Y

且易得當％=2或%=4時，—=log2x,

當xe（O,2）時，易得y=logzX在y=］的下方，

當xe（2,4）時，易得y=logzX在y=5的上方，

當xe（4,+8）時，對數函數的增長速度小于一次函數，故此時/log?》在y=］的下方.

綜上：函數/（尤）有兩個零點分別為2,4.故選：A.

2，%＜0,13,、1

4.（24-25高三上?北京?月考）已知函數1小-2）心。當廣“7時,方程/⑴一小加的根的

個數為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】當x20時，/（x）=/（x—2）,即〃x+2）=/（x）,則/（x）的周期為2.

畫出函數的圖像,

由圖可知方程〃尤）=-：工+機的根的個數即為兩個函數圖像交點的個數,

O

由圖像可知，當了＜0時，存在一個零點，因為％=0時，2°=l＞m,

當工=一1時，一！%+根=’+機＞2一1.則在（一1,0）兩函數存在一個零點，

88

當x=2時，:＜相-：＜：＜2°則在（0,2）兩函數存在一個零點，

當x=4時，則在（2,4）兩函數存在一個零點，

當尤＞4時，一:X+根＜2（i）恒成立，則兩函數無零點.

O

綜上所述，兩函數有三個零點.故選：D.

題型7根據零點個數求參數范圍

-W

已知零點個數求參數范圍的方法

1、直接法：利用零點存在的判定定理構建不等式求解.

2、數形結合法：將函數的解析式或者方程進行適當的變形，把函數的零點或方程的根的問題轉化為兩個

熟悉的函數圖象的交點問題，再結合圖象求參數的取值范圍.

3、分離參數法：分離參數后轉化為求函數的值域（最值）問題求解.

1.（24-25高三上?河北承德?月考）若函數〃尤）=1口1-%有零點，則實數機的取值范圍是（）

A.(0,1]B.[0,1)C.(-8』D,

【答案】A

【解析】因為函數=】機有零點，即租?有解，

<1

故實數加的取值范圍就是求的值域.

.小*"的,'。,

，1、kT

故函數y=；的值域為(0』，則m的范圍為(0』，故選：A

2.*25高三上?海南?月考)已知函數仆)=[二：：=【：°'若方程小j有3個實數解，則實數%的

取值范圍為()

A.[-3,0)B.(-4,0)C.H，-3]D.(T-3]

【答案】D

【解析】因為方程/'(￡)=上有3個實數解，所以y=/Q)與、=后的圖像有三個交點,

x2+2x—3,x<0,

因為/(x)=<

-2+lnx,x>0,

所以做出y=f(x)與>=上的大致圖像，如圖,

由圖可知T〈左W—3,故選：D.

l,x<0

3.(24-25高三上?廣東普寧?期中)已知函數/'(對=1△，則使方程x+〃x)=機有解的實數機的取值范

圍是()

A.(1,2)B.(-co,—2)C.(―oo,l)U(2,+oo)D.(―CO,1]D[2,+OO)

【答案】D

x+l,x<0

【解析】設g(x)=^+/(x),則g(x)=1n.

XH---,X>0

、X

因為方程無+〃x)=M有解，

所以y=g(x)的圖象與y=%的圖象有解.

當尤>0時，g(x\=x+—,

X

根據對勾函數的性質可得g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，且g(x%n=g(l)=2.

作出函數y=g(x)的圖象如圖所示：

由圖可得，y=g(x)的圖象與丫=機的圖象有解,

則we(-oo,l]u[2,+oo).故選:D.

4.(24-25高三上?江西宜春?月考)設函數/(x)=[9一"+1乂：+1)/<1,若恰有2個零點，則。的取

[lgx-o,xNl

值范圍是.

【答案】(-O),0]U[2,4W)

(無一a+l)(x+l),x<l

【解析】因為〃x)=

lgx-a,x>l

令/(x)=0,可得:

當x<l時，(x-a+l)(x+l)=0,所以x=-l或x=a-l,

當a=0或aN2時，方程(x-a+l)(x+l)=0在(-8,1)上有唯一解x=-l,

當a<0或0<a<2時，方程(x-a+l)(x+l)=0在(fl)上有兩解為x=T或x=a-1,

當xNl時，lgx-a=0,

所以當時，元=10"21,即方程lgx-o=0有一個解，

當a<0時，x=10"<l,即方程lgx-a=。在[L+00)上無解，

綜上，當。<0時，函數/(x)有兩個零點

當。=0時,函數有兩個零點-1,1,

當0<a<2時，函數有三個零點-1,4-1,10",

當a22時，函數/（無）有兩個零點-1,10".

因為/（元）恰有2個零點，所以。22或aVO,

所以。的取值范圍是（Y°,0]U[2,+OO）.

故答案為：（=?,。]口[2,小）

題型8函數零點求和問題

；在解決“函數零點求和問題”時，首先需要確定函數的零點，即求解方程/'（x）=0的根.對于多項式函

i

數，可利用韋達定理直接求得零點之和，而對非多項式函數，則需通過分析其性質（如對稱性、周期

I

性等）來簡化求解過程.最終將所有零點相加得到結果，并進行驗證以確保準確性.

3

1.（24-25高三上?貴州六盤水?模擬預測）己知函數/（x）=2"+尤,g。）=log2尤+x,h（x）=x+x的零點分別為。,

b,c,貝U“+Z?+c=（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】A

3

【解析】由題設，2"=-a,log2b=-b,c=-c,

所以問題可轉化為y=-x與y=2"、y=logzx、y=V的交點問題，函數圖象如下：

因為y=2*與y=log2X關于y=x對稱，而丁=一無與丁=了互相垂直,

所以a+6=0,c=0,貝！Ja+b+c=0.故選：A

2.（24-25高三上?陜西漢中?期中）函數y=4sin7Lr+而，所有零點的和為（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【解析】如圖，繪制函數y=4sin;*與函數>=_氐二2的圖象，

可知y=4sin7tx與丫=-yjsx-jr的圖象恰有6個公共點，

且它們的圖象均關于直線x=|對稱，所以y=4sin?+而二7所有零點的和為15.故選：C

3.(24-25高三上?山東?月考)已知函數/(x)=lnQTi予—x)+V,?lk^U)^^VxeR,g(x-4)+g(-x)=0,

若函數/@)=/(x+2)-g(x)恰有2025個零點，則所有零點之和為()

A.-4050B.-4048C.-2026D.-2024

【答案】A

【解析】由7m-x>|x|-xN0,得函數/(x)的定義域為R，

又/(-x)+f(x)=ln(71+x2+x)-x3+ln(71+x2-x)+V=0,即函數/(尤)是奇函數，

函數fM的圖象關于點(0,0)對稱，則函數/(x+2)的圖象關于點(-2,0)對稱，

由VxeR,g(x-4)+g(-x)=0,得函數g(x)的圖象關于點(一2,0)對稱，

因此函數取龍)的圖象關于點(-2,0)對稱，由函數依尤)恰有2025個零點，

得函數萬(無)有一個零點為無=-2,其余零點關于-2對稱，

所以所有零點之和為1012x(-4)+(-2)=-4050.故選：A

4.(24-25高三上?廣西?月考)偶函數〃x)滿足/'a)=〃2_x),當xe［0,l］時，/(x)=x2,則方程=g

在［T7］上所有的實數根之和為()

A.20B.22C.24D.26

【答案】C

【解析】當為?0』時,f(x)=x2,當xe［T,0］時,-xe［0,l］,則〃T)=(—X了，

又〃尤)是偶函數，則/(r)=/(x),所以xe［T,0］時,f(x)=x2,

又〃x)=/(2-x),所以的周期7=2,其在區間［T7］上的圖象如圖所示，

2

T\1y=f(x)

A

-1O1234567x

不妨設y=/'（x）與y=1?在區間［-L7］上的交點分別為w,3,毛,與尤5，天,當，演，

由圖可知，（玉+9）+（毛+%）+（毛+*6）+（勺+/）=。+4+8+12=24,

則方程“X）=g在上所有的實數根之和為24,故選：C.

題型9函數零點和積范圍問題

bc

1、巧用韋達定理：%+%=---，玉，入2=—；

aa

2、巧用對數運算法則：如log|x|=m＞0,一定有

3、同一變量，構造函數求和積范圍.

|lg%|,x>0

1.（24-25高一上?黑龍江哈爾濱?期中）（多選）已知函數/（力=若/(x)=〃x)乂有四

x2+2尤+l,xV0'

個不同的零點X］,無2，%，甚且無1＜工3＜%,則下列說法正確的是（）

A.0＜左＜1B.xi+x2=-2C.退，％4=1D.x3+x4<10

【答案】BC

【解析】左函數草圖如下：

對A：由圖可知，若尸（x）=〃x）-上有四個不同的零點，則0＜左41,故A錯誤；

對B：因為再＜%＜。，且再,馬關于直線x=-l對稱，所以占+%=-2,故B正確;

對C：因為、＜尤3＜1＜匕＜10,所以〃w）=—lgw，"xjTgZ，

由〃毛）="*4）n坨忍+坨匕=0=＞坨仿％）=°=T，故C正確；

對D：因為陽彳4=1，所以鼻+%=%