函數(shù)的概念【九大題型】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1函數(shù)的概念】.........................................................................2

【題型2同一函數(shù)的判斷】.....................................................................3

【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】............................................................4

【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】............................................................4

【題型5已知函數(shù)定義域求參數(shù)】..............................................................5

【題型6已知函數(shù)類型求解析式】..............................................................5

【題型7已知｛g(x))求解析式】.................................................................5

【題型8函數(shù)值域的求解】.....................................................................6

【題型9分段函數(shù)及其應(yīng)用】...................................................................6

?考情分析

1、函數(shù)的概念

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

函數(shù)的解析式與定義域、值域問題是高

(1)了解函數(shù)的含義，會(huì)求

2021年浙江卷：第12題，5考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情

簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域

分況來看，高考對(duì)函數(shù)的概念考查相對(duì)穩(wěn)

⑵會(huì)根據(jù)不同的需要選

2022年浙江卷：第14題，5定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變

擇恰當(dāng)?shù)姆椒?圖象法、列

分化不大，函數(shù)的解析式在高考中較少單

表法、解析法)表示函數(shù)

2023年北京卷：第11題，5獨(dú)考查，多在解答題中出現(xiàn).高考對(duì)本節(jié)

(3)了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，

分的考查不會(huì)有大的變化，仍將以分段函

并會(huì)應(yīng)用

數(shù)、定義域、值域及最值為主.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的定義域的求法】

1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式

或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

(1)若已知函數(shù)段)的定義域?yàn)椋踑,6］,則復(fù)合函數(shù)九g(x)］的定義域可由不等式a<g(x)<b求出.

⑵若已知函數(shù)九g(x)］的定義域?yàn)閯t以)的定義域?yàn)間(x)在用上的值域.

【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)解析式的四種求法】

1.函數(shù)解析式的四種求法

(1)配湊法：由已知條件Hg(x))=F(x),可將尸(_￥)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以X替代g(x),便得外)

的表達(dá)式.

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.

(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)｛g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.

(4)方程思想：已知關(guān)于段)與/(J)或大㈤等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方

程組，通過解方程組求出/(x).

【知識(shí)點(diǎn)3求函數(shù)值域的一般方法】

1.求函數(shù)值域的一般方法

(1)分離常數(shù)法；

(2)反解法；

(3)配方法;

(4)不等式法；

(5)單調(diào)性法；

(6)換元法；

(7)數(shù)形結(jié)合法；

(8)導(dǎo)數(shù)法.

【知識(shí)點(diǎn)4分段函數(shù)的應(yīng)用】

1.分段函數(shù)的應(yīng)用

分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決,

即分段函數(shù)問題，分段解決.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的概念】

【例1】(2023?山東?模擬預(yù)測(cè))下列圖象中，能表示函數(shù)y=f(x)圖象的是()

A.①②B.②③C.②④D.①③

【變式1-11⑵-24高一上?廣東佛山?期末）給定數(shù)集4=R,B=（0,+8）,久,y滿足方程/一y=0,下列對(duì)

應(yīng)關(guān)系/為函數(shù)的是（）

A.f-.A^B,y=/(x)B.f-.B^A,y-f(x)

C.f:A^B,x=f(y)D.f-.B^?A,x=/(y)

【變式1-2]（2024?江西?一模）設(shè)用={刈0WxW4},N{y\-4<y<0],函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椤?，?/p>

域?yàn)镹,則f（x）的圖象可以是（）

【變式1-3]（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）

A.A=N,B=N,f\x^y=(%-1)2B.4=N,B=N,f-.x^y=±Vx

1

C.A=N,B==—D.A-R,B={y\y>0},/:x—y=\x\

【題型2同一函數(shù)的判斷】

【例2】（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）

A./(x)=x,g(x)=fB./(%)=x(xGR),g(x)=x(xeZ)

x,x>0

D./(%)=x,g(x)=(V%)2

C.f(x)=|x|,g(x)=—x,x<0

【變式2-1]（2024?山東?一模）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A.f(x)=e1n",g(%)=%

B./。）=年應(yīng)（%）=久一2

csin2x.

C-/(%)=,2(%)=sm%

D./(%)=|%|,5(X)=V%2

【變式2-2]（2024?重慶?二模）下列函數(shù)中，與y=x是相同的函數(shù)是

A.y=V%2B.y=lglOx

C.Jy=-XD.y=7(%-1)2+1

【變式2-3]（23-24高二下?福建三明?階段練習(xí)）下列各組函數(shù)相等的是（）

A./(%)=x2,g(x)=(V%)4B./(%)=x-1,g(x)=7-1

n"、II"、fX,X>0

C./(x)=1,g(x)=x°D./(%)=\x\,gQ)=[_xx<0

【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】

【例3】（23-24高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）函數(shù)f（x）=J蕓的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(—00,3]B.(1,+8)C.(1,3]D.(—oo,1)U[3,+oo)

【變式3-1]（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[—4,1]B.[—4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,l]

【變式3-2]（2024吉林?一模）函數(shù)y=考"的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,-1]

【變式3-3】（2024?山東泰安?三模）已知函數(shù)/（久）=展示，則函數(shù)與渣的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-oo,l)B.(—oo,—1)

C.(_8,_l)U(_l,0)D.(―8,—1)U(—1,1)

【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】

【例4】（2023?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)y=/（2x）的定義域?yàn)閇―2,4],則y=/（久）一/（—x）的定義域?yàn)?/p>

A.[-2,2]B.[-2,4]

C.[-4,4]D.[-8,8]

【變式4-1]（2024?陜西西安?一模）若函數(shù)久久）的定義域是[0,4],則函數(shù)gQ）=等的定義域是

A.[0,2]B.（0,2）C.[0,2）D.（0,2]

【變式4-2]（2023?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)y=箋￡+（%—2）。

的定義域是（）

A.（1,5]B.（1,2）U（2,5）C.（1,2）U（2,3]D.（1,3]

【變式4-3]（2024?湖北荊州?模擬預(yù)測(cè)）定義域是一個(gè)函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)/zzxQ）定義域?yàn)?/p>

[211,985],貝iJ函數(shù)s/mcmgy(%)=/zz%(2018%)+/zz%(2021%)的定義域?yàn)?)

A.211985B[衛(wèi)里

2018,2021.L20212018J

c.211985D[衛(wèi)空]

201812018.L20212021J

【題型5已知函數(shù)定義域求參數(shù)】

【例5】(23-24高一上?陜西西安?期中)已知函數(shù)/(X)=JmN+⑺一3)x+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的

取值范圍是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(—oo,l]u[9,+oo)D.{3}

【變式5-1](23-24高一上?遼寧鞍山?期中)已知函數(shù)f=J(a2—1)*+9+1)刈+1的定義域?yàn)镽,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[-1,1]B.(―8,—1)咔,+8)

C.[|,+°°)D.(_8,_1]u修,+8)

【變式5-2](22-23高二上?寧夏石嘴山?階段練習(xí))若函數(shù)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)人的取值

\kxz+kx+l

范圍是()

A.(0,4)B.[0,4)C.[0,4]D.(0,4]

2

【變式5-3]⑵-24高一上?浙江?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)的定義域{久la2-4a<x<a-8}是關(guān)于力的不

等式(x+a+2)(%—2)>。的解集的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[2+y/-3,+8)B.(—8,2]U[2++8)

C.(2,2+㈣D.(2,3]

【題型6已知函數(shù)類型求解析式】

【例6】(2024?山東濟(jì)南?二模)已知函數(shù)/'(尤)=一/一2%+3,貝行(久+1)=.

【變式6-11(2024?廣東東莞?二模)已知函數(shù)fQc)=ax-b(a>0),/(/(%))=4%-3,則f(2)=.

【變式6-2](2023?江西九江?模擬預(yù)測(cè))若三角形的面積為S(cm2),底邊長(zhǎng)為lOcm,底上的高為人

(cm),則〃關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系式是.

【變式6-3](2024,山東濟(jì)南，一模)已知集合4={u(x)|u(x)=a%2—缶+6)%+6,a,beR},函數(shù)/(%)=%2

一1.若函數(shù)g(x)滿足:對(duì)任意”(久)64,存在R,使得u(久)=2/(%)+〃9(久)，則。(久)的解析式可以是.

(寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即可)

【題型7已知危(幻)求解析式】

【例7】(2023?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(l—x)0),則〃>)=()

11

A.(%_])2—1(%W。)B.(刀_])2—1(%。1)

4,4

C.._1)2—1(%W0)D.(久_1)2-1(%W1)

【變式7-1](2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(I—%)=安~(%。0)，則/(%)=()

11

A?(久_1)2-1(%W0)B.(%_i)2T(%H1)

44

C(久一i)2-1(%W0)D.(久_1)2-1(%H1)

【變式7-2](23-24高一上?安徽蚌埠?期末)已知函數(shù)/(%)滿足：/(%_￡)=/+*則/(%)的解析式為

()

A./(x)=x2+2B./(x)=x2

C./(%)=%2+2(%豐0)D./(%)=%2-2(%豐0)

【變式7-31(23-24高一上?湖南衡陽?期中)函數(shù)/(%)滿足若f(g(%))=9%+3,g(%)=3%+l,則f(%)=

()

A.f(%)=3xB./(%)=3

C./(x)=27x+10D.f(x)=27x+12

【題型8函數(shù)值域的求解】

【例8】(2024?湖南懷化?三模)已知函數(shù)/(x)=女1WxW2),則函數(shù)g(x)=2/(x)+fQ2)的值域?yàn)?)

A.[3,2+272]B.[|,3]C.[^,3]D.[|+V2,3]

【變式8-1](2024?湖北?三模)函數(shù)y=比一:4久一N的值域?yàn)?).

A.[2-2V2,4]B.[0,4]C.[0,2+2>/2]D.[2—2魚,2+2?

11

【變式8-2](2008?江西?高考真題)若函數(shù)y=/(尤)的值域是由3],則函數(shù)F(x)=f(x)不的值域是

A.百3]B.[2,學(xué)C.[1,y]D.[3,學(xué)

【變式8-3](2024?浙江寧波?三模)若函數(shù)/(%)滿足a</(%)<b(a<b),定義b-。的最小值為/(%)的值

域跨度，則下列函數(shù)中值域跨度不為2的是()

A./(%)=cos2x+1B./(%)=、2x+1—久2

C./（%）=\x\-|x-1|D.f（x）

【題型9分段函數(shù)及其應(yīng)用】

【例9】（2024吉林長(zhǎng)春?三模）已知函數(shù)/（久）={〃>2；,,七0，則/（—3）=（）

A.1B.2C.4D.8

【變式9-1]（2024?廣東佛山?二模）如圖，△。力B是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△02B位于直線x=t

C0<t<2）左側(cè)的圖形的面積為f（t）.則函數(shù)y=f（t）的大致圖象是（）

【變式9-2]（2024?江西南昌?一模）設(shè)函數(shù)/（x）=若/（I）是f（久）的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍為（）

A.[-1,2）B.[-1,0]C.[1,2]D.[1,+oo）

【變式9-3]（2023?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）定義在R上的函數(shù)/（X）滿足/（*+1）=3（力且當(dāng)久6[0,1）時(shí)，f⑶

Q

=1—|2%—1].當(dāng)XE[m,+8）時(shí)，f（%）<—,則zn的最小值為（）

2729「13「15

AA?百DB.互C--D.-

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(23-24高一上?上海奉賢?期末)以下圖形中，不是函數(shù)圖象的是()

2.(2023?江西九江?模擬預(yù)測(cè))下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(久)=筆苧，。0)=久B./(%)=%,g(x)=V%2

C./(x)=1,g(x)=x°D./(x)=x,g(x)=亍

3.(2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=依+廠1的定義域是()

A.(0,1)B.[0,1]C.[0,+oo)D.[0,1}

4.(2024?江蘇南通?二模)已知f(x)對(duì)于任意久,yeR,都有/(久+y)=f(K)?f(y),且fg)=2,則/(4)=

()

A.4B.8C.64D.256

5.(2024?北京懷柔?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=禺，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)久久)的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

6.(2023?江西九江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/(*)的定義域?yàn)閇―1,5],則函數(shù)y=f(2/—1)的定義域?yàn)?/p>

()

A.[0,3]B.[-3.3]C.[-V3,V3]D.[-3,0]

1x<1

7.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))已知=|正,：之1‘若/(0=1,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.1B.4C.1或4D.2

8.(2024?山東?二模)如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形4BCD的邊上沿4-BTCFD運(yùn)動(dòng)，x表示動(dòng)點(diǎn)P

由N點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過的路程，y表示△力P。的面積，則函數(shù)y=/O)的大致圖像是().

二、多選題

9.(23-24高一上?安徽六安?期中)下列說法中正確的是()

r2_i_r

A.函數(shù)/(%)=不五的最小值為2

若貝！<——

B.a>b>0,zn>0,aa+m

C.函數(shù)f(久)=甘的值域?yàn)?—8,2)U(2,+OO)

D.函數(shù)/'(x)=Vx-1-+1與函數(shù)9(久)=7x2一1為同一個(gè)函數(shù)

1

10.(2024?全國(guó)?一模)設(shè)。為常數(shù)，/(0)=-,/(x+y)=/(x)/(cz-y)+/(y)/(a-x),則().

A./(a)=1

B.f(x)=:成立

C.f(x+y)=2/(x)/(y)

D.滿足條件的/■(>)不止一個(gè)

11.(2024?湖南益陽?模擬預(yù)測(cè))下列命題中，正確的是()

(1,當(dāng)x>0時(shí)_

A.函數(shù)"(%)=」與"(%)=]。，當(dāng)％=。時(shí)表示同一函數(shù)

”(一1,當(dāng)％<0時(shí)

B.函數(shù)u(x)=x2—2%+2與=t2—2t+2是同一函數(shù)

C.函數(shù)