熱點2-2函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

近三年高考中，對函數基本性質的考查以選擇題和預計2025年高考仍將重點考查函數的單調性、奇

填空題為主，偶爾也會在解答題中滲透考查，分值偶性、周期性與對稱性，尤其是這些性質的綜合應

的占比相對穩定，是高考必考且重點考查的內容之用.可能會繼續將函數性質與其他數學知識如導

一.常將函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性數、不等式、數列等結合考查，增加題目的綜合性

結合在一起考查，同時還可能與函數圖像、函數零和難度.在保持傳統考查方式的基礎上，可能會進

點、不等式等知識綜合命題.雖然考查形式多樣且一步創新命題形式，如設計一些新穎的函數模型或

綜合性強，但題目多基于對函數基本性質的理解和實際應用背景，考查學生運用函數性質解決實際問

應用，部分題目在命題形式和考查角度上具有一定題的能力.

創新性.

熱點題型解讀

題型1函數單調性（單調區間）的判定題型6利用單調奇偶比較大小

題型2利用函數的單調性求參數題型7利用單調奇偶解不等式

題型3函數奇偶性的判定題型8函數的周期性及應用

題型4利用函數奇偶性求值求參題型9函數的對稱性及應用

題型5"M+N.中值模型的應用題型10函數性質的綜合應用

題型1函數的單調性（單調區間）的判定

I-------------------------------'"1"---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------、

\I-0U*i

i判斷函數的單調性的4種方法

ii

1,定義法：按照取值、作差變形、定號、下結論的步驟判斷或證明函數在區間上的單調性；

2、圖象法：對于熟悉的基本初等函數（或由基本初等函數構成的分段函數），可以通過利用圖象來判斷單i

調性；

3、直接法：利用已知的結論，直接得出函數的單調性，如一次函數、二次函數、反比例函數的單調性均

I

可直接得到

4、導數法：先求導函數，利用導數值的正負確定函數的單調性；

5、性質法：（1）對于有基本初等函數的和、差構成的函數，根據“加減”的性質進行判斷；（2）針對一些1

I

簡單的復合函數，可以利用符合函數的單調性法則（同增異減）來確定單調性.

I

【注意】求函數的單調區間，尤其是復合函數的單調區間，一定要注意原相應函數的定義域.

1.（23-24高三上.江蘇南通?月考）函數/四=口^與的單調遞減區間是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[2,+8）D.（-oo,2]

【答案】A

【解析】函數/（x）=J-2-2X中,-尤2-2x20,解得-2WxW0,

又y=—x?—2x的開口向下，對稱軸方程為x=-l,

函數y=—必―2x在上單調遞減，在[-2,-1]上單調遞增，又>=?在上單調遞增,

因此函數/?=b-2x在[-1,0]上單調遞減，在[-2,-1]上單調遞增,

所以函數的單調遞減區間是[-1,0].故選：A

2.（24-25高三上?廣東普寧?月考）函數g（x）=x-|x-l|+l的單調減區間為（）

1

A.-oo,—B.C.[1,+8)D.-00,2][1,+00

2

【答案】B

丫2_丫?1丫1

【解析】g(x)=x-|x-l|+l=2一'",畫出函數圖象，如圖所示:

—X+x+l,x<1

根據圖象知：函數的單調減區間為g，l.故選：B.

3.（23-24高三上?浙江紹興?期末）函數y=ln（尤2-2x）的單調遞減區間是（）

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(2,+oo)

【答案】C

【解析】由y=ln(/-2x),

.\X2-2X>0,解得x<0或%>2,

所以函數y=In(d-2x)的定義域為(-w,o)L(2,+8),

令叼=尤2_2h則函數"=/-2尤在(9,0)上單調遞減，在(2,y)上單調遞增,

而函數y=In”在(0,+8)上為增函數，

由復合函數單調性可得y=ln(x2-2x)的單調遞減區間為(-8,0).故選：C.

4.(24-25高三上?四川宜賓?一模)下列函數中，既是奇函數，又(。,+")在是增函數的是()

A./(x)=e'+e-xB./(x)=ex-e-lC./(x)=x-3D,〃x)=xl小

【答案】B

【解析】對于A,7(f)=eT+e'=_f(x)J(x)是偶函數，不滿足條件.

對于B,/(-%)=e-A-ev=一(e'一小)=-/(%),函數/(尤)是奇函數，由于y=e',y=一1

均在(。,+回單調遞增，故〃x)=e-er在(0,+“)單調遞增，符合條件，

對于C,/(-%)=(T尸=_小=_/(》)，則f(x)是奇函數，

.y=三在(0,+e)單調遞增，且為正，.?.函數〃x)=x-3=g在(0,+8)單調遞減，不滿足條件.

對于D,f(~x)=-xln\-x\=-xln|x|=-f(x),函數/(%)是奇函數，當％>0時，/(x)=xlnx,

/(1)=|ln|=-1ln2-/(；)=%n；=-；ln2,此時［［卜/［；］,不是增函數，不滿足條件.

故選：B.

題型2利用函數的單調性求參數

利用單調性求參數的三種情況：

1、直接利用題意條件和單調性代入求參；

2、分段函數求參，每段單調性都符合題意，相鄰兩段自變量臨界點的函數值取到等號；

3、復合函數求參，注意要滿足定義域要求，通過分離常數法或構造函數法轉化成恒成立或有解問題.

1.（24-25高三上?陜西渭南?月考）若函數〃%）=1。8。,5（辦-爐）在區間（_1,0）上單調遞增，貝壯的取值范圍

是（）

A.（0,2]B.[—2,0）C.[2,+co）D.2]

【答案】D

【解析】由于y=logo_5X在（0，+8）上單調遞減，令/=一尤2+奴，%e（-l,o）,

因為y=log。/為減函數，又/'（x）=log。，（依-X?）在區間（T，。）上單調遞增，

由復合函數的單調性法則可知，t=-d+依在（-1,0）上單調遞減，

且y-/+辦>。在（-1,0）上恒成立，因為/=一尤2+依為二次函數，開口向下，

對稱軸為天=（由仁-尤2+奴在㈠⑼上單調遞減，可得了-I,解得qV-2,

由f=-尤2+ax>0在（-1,0）上恒成立，即如>必，%e（-l,0）,

可得。<x在（—1,0）上恒成立，則

綜上，實數a的取值范圍為（f,-2].故選：D.

已知函數〃x）=3儼：辦+5）在區間（1,4）單調遞減,則。的取值范圍

2.（24-25IWJ二上,山西大同?月考）

是（）

A.(-a>,2]B.(f,4)C.[2,4)D.[4,+oo)

【答案】A

【解析】因為y=!在（0,+8）上單調遞減,y=正在[0,+8）上單調遞增,y=igX在定義域上單調遞增,

X

要使函數“X）=而（二辦+5）在區間（1，4）單調遞減，

則y=/一。％+5在（1,4）單調遞增且x2-ox+5>1在（1,4）恒成立,

_<1

所以2—,解得。02,所以，的取值范圍是（』2].故選：A

12-?+5>1

、12ov-2,x<l,

3.（24-25高三上?甘肅?期末）已知函數/（無）=工滿足Vx”/eR且無產斗,

[<7,X>1

（馬一國）"（）—/（々）]<。貝口的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,+⑹C.（1,2]D.（0,1）0（1,+?））

【答案】C

【解析】依題意，函數/(X)滿足％，尤2CR且X產馬，

(占一%)[/(周)一/'(%)]>0,則于(玲是R上的增函數,

〃>0

因止匕<a>l,解得lva42,

2a-2<a

所以〃的取值范圍為(1,2].故選：C

2x+4,x<a

4.(24-25高三上?江蘇南京?期中)已知函數〃x)=在R上單調遞增，則實數，的取值范圍是(

x2+l,x>a)

A.(-1,3]B.(9,3]C.[3,+oo)D.(-oo,-l]u[3,+<?)

【答案】C

2x+4,x<a

【解析】已知函數/(%)=21，當％<a時,

x+l,x>a

〃x)=2x+4單調遞增，所以最大值為2a+4；

當x>a且a>0時，“司=》2+l在(a,yo)上單調遞增，最小值為"+1；

/、[2x+4,x<a

所以要使函數〃%)=2?在R上單調遞增，

貝！Ja?+122Q+4,解得3或aW-I(舍去).故選：C.

題型3函數奇偶性的判定

?—這

I、函數奇偶性的判斷方法

(D定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數；若

函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷了(-x)與±/(x)之一是否相等.

(2)圖象法：奇(偶)函數等價于它的圖象關于原點(y軸)對稱.

(3)性質法：同名加減不變，異名加減不可；同名乘除得偶，異名乘除得奇.

2、常見的奇函數與偶函數

(I)f(x)=ax+ax(。〉0且。20)為偶函數；

(2)f[x}=ax-ax(。〉0且。20)為奇函數；

x_x2x-]

(3)y(x)=—a—a—=—a——(。>0且。20)為奇函數；

a+a'ax+I

b—Y

(4)/(x)=logfl----(”>0且4/0,/?/0)為奇函數；

b+x

(5)/(x)=log：(Jx?+1±尤)(a>0且a20)為奇函數;

(6)/(%)=麻+4+同一”為偶函數；

(7)/(%)=麻+耳一向一同為奇函數.

1.(24-25高三上?天津北辰?期末)下列函數中，圖象關于原點對稱的是()

A.y=ex+e-xB.y=ex-e~xC.?=尤2-2尤D.y=x2cosx

【答案】B

【解析】由函數圖象關于原點對稱，可得函數是奇函數，

對于A,y=定義域為R,

A

/(_x)=e-+e^=e+e-=/(%),故y=e，+6-，為偶函數，其圖象關于>軸對稱，A錯；

對于B,y=e^:-eT定義域為R,

且"r)=eT_e，=-(e—eT)=_〃x),故y=e*-e7為奇函數，其圖象關于原點對稱，B正確;

對于C,y=/-2x定義域為R,

但其圖象為開口向上的拋物線，且對稱軸為尤=1,

所以y=f-2尤既不是奇函數又不是偶函數，C錯；

對于D,y=x2cosx定義域為R,

{1/(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cosx=/(%),故yu/cosx為偶函數，其圖象關于>軸對稱，D錯.

故選：B.

2.(24-25高三上?四川自貢?期中)下列函數是偶函數的是()

2x22

A.y=co&x-xB.y=e-xC.y=log2Nx+1-xjD.y=sinx+4尤

【答案】A

【解析】/(x)=cosx—彳2的定義域為R,JEL/(-x)=cos(-x)-(-x)2=cosx-x2=/(x),

故/1(Hucosx-x2為偶函數，A正確；

B選項，g(x)=e-x2的定義域為R,g(-無)=--(-可2=±-丁，

g(f)Hg(x)，故g(x)=e*-V不為偶函數,B錯誤；

C選項，?(元)=1°82(5/+1—尤)的定義域為口,

=log+1_X2)-

/z(-x)+/i(x)=log220,

故/7(X)=log2(A/TW-q是奇函數，C錯誤；

D選項，［x)=sinx+4x的定義域為R,_Et(-x)=sin(-x)-4x=-(sinx+4x)=-t(x),

故《x)=sinx+4x為奇函數，D錯誤.故選：A

f+3x+4

3.（24-25高三上?青海?期中）設函數,則下列函數為奇函數的是（

%?+2%+3

A./(x+l)+lB./(x+l)-l

c.D.

【答案】c

彳2+3尤+4_(無2+2x+3)+(x+l)x+l1

【解析】/（%）=--------n——+l

%2+2%+3爐+2x+3(x+l)2+2

所以/（xT）+"TT）=7Tl+i+^77i+i=2,

所以函數“X）的圖象關于（Tl）對稱，

所以〃x-l）-1的圖象關于（0,0）對稱，是奇函數.故選：C

4.（24-25高三上?河北邢臺?月考）已知函數f（x）的定義域是R,則下列命題中不正確的是（

A.若外"是偶函數，g（x）為奇函數，貝株（〃力）是偶函數

B.若〃x）是偶函數，g（尤）為奇函數，則〃g（x））是偶函數

C.若f（x）是單調遞減函數，則/■（/（》））也是單調遞減函數

D.若/（X）是單調遞增函數，則/（/（》））也是單調遞增函數

【答案】C

【解析】對于A,令，7（x）=g（/（x））,貝|]/7（-X）=g（〃-X））=g（/（x））=/7（x）,

所以〃（X）為偶函數，即g（f（x））是偶函數，故A正確；

對于B,令加尤）=/（g（x））,則〃2（-_1）=/（8（-切=/（一8（動=/（8（動，

所以鞏無）是偶函數，即/（g（x））是偶函數，故B正確；

對于C,取〃x）=-x,則在R上單調遞減，

則/（/（》））=/（-x）=尤，在R上單調遞增，故C錯誤；

對于D,因為是單調遞增函數，任取占,％eR,且占<%，

則以A)<f(x2),所以/(/(&))<(7(/))，

所以/(/(元))也是單調遞增函數，故D正確.故選：C.

題型4利用函數奇偶性求值求參

.■immaMBmmHiiMamHiaMmiaiflMimMimHiaBiiBmaMiaaiaiamaimBMaBimmBaBmamaiBaaamaBimaMaBaBimmBaimmaMiamaiiMiiMiHiaaimmmaBiiHimaMmmaHiammBimaaiiHim?????■??????^y

i

3、由函數的奇偶性求參數：若函數解析式中含參數，則根據/(—%)=—/(X)或/(—%)=/(%),利用待;

定系數法求參數；若定義域含參數，則根據定義域關于原點對稱，利用區間的端點值之和為0求參數.

2、由函數的奇偶性求函數值：若所給的函數具有奇偶性，則直接利用/(-x)=-/(%)或/(-x)=/(x)求

解；若所給函數不具有奇偶性，一般利用所給的函數構造一個奇函數或偶函數，然后利用其奇偶性求值.

1.(24-25高三上?江蘇鹽城?月考)已知/(無)是定義在R上的奇函數，當xe(0,+8)時，/=logi,則

3

f(-9)=()

A.2B.3C.-2D.-3

【答案】A

【解析】因/(尤)是定義在R上的奇函數，則/(-9)=-/(9)=-1。8工9=1。839=2.故選：A

3

2.(24-25高三上?河南南陽?月考)已知定義在R上的偶函數/'(x)滿足當xe[O,+8)時，

/⑺大f2+-1x,0,x—>2,2,則/,(“.一2、)、)=——.

【答案】1

【解析】因/(x)是在R上的偶函數，貝1]/(-2)=/(2)=2-2=。，故/(〃_2))=/(0)=1.

3.(24-25高三上?湖南?月考)已知〃刈=早上是偶函數，則〃=()

2—1

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【解析】函數/。)=絲也的定義域為(3,0)-(0,+?),

2-1

2X-sinx2r-sin(-x)[2“-2(aT)」sinx八

由/(幻是偶函數，得/⑴-/(r)=二U,

2^-12一"_]2^-1

而sinx不恒等于0,則2*=2("T"恒成立，即尤=(。-1)彳恒成立，所以a=2.故選：A

4.(24-25高三上?安徽?期中)若〃x)=log4J--是奇函數，則/=()

A.|B.當C.&D,2

【答案】C

【解析】根據題意，已知/(x)=bg4「--a-》是奇函數，

1

當a=0時，/(x)=log4———b,

L-X

函數/(X)的定義域為{x\xX1},定義域不關于原點對稱，

此時，函數/'(X)一定不是奇函數，故awo,

則有占一"0,且awO,變形可得(1-磯1一硝一切20,

所以x)=0的根為-1,解可得故/(x)=log4J——\-b,

2Y—x2

又因為“X)為奇函數，則有〃T)+/(X)=O,

HPlog4J-—!-￡>+log4」——g-b=0,

1+x21-x2

即一20+log4+log4=0,所以一2b+log4|l|=0,

2(1+x)2(1-町|4|

_2

即—26—1=0,故6=.所以/=U=VL故選：c.

題型5“M+N”中值模型的應用

1

；若函數/(x)=奇函數+a,則我們把它稱為準奇函數，求準奇函數最大值+最小值之和(M+N),我們

把它叫做中值模型.

(1)若/(x)為奇函數,則其最大值與最小值和為0,即/(%)_+/(X)min=0；

M+M=0

(2)若/(%)為奇函數,則；

/(-xo)+/(xo)=O

'M+N=la

(3)常見考向y(x)=奇函數+

f(~x0)+f(x0)=2a

1.(24-25高三上?山東棗莊?期中)若函數=廠三；+sinx的最大值為M,最小值為N,則M+N=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】/(x)=X++sinx=—+sinx+1,xeR

')x2+lx2+l

令g(x)=^Tl+sinx，

因為函數/(x)=^-^±l+sinx的最大值為M,最小值為N,

所以函數g(x)的最大值為Af一1,最小值為N-1,

因為g(T)=-^―+sin(-x)=_--^――sinX=-g⑺，

人~?L4"T"i

所以函數g(》)=7、+sin尤是奇函數，

所以g(x)max+g(x)而n=°，即MT+N—1=。，所以M+N=2.故選：B.

2.(24-25高三上?河南?期中)已知函數〃9=黑、2+天+0(。為常數)，若外力在[-2,4]上的最大值

為M,最小值為加，且M+相=6,則。=()

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】因為〃x)=|^^+x+a=|^|^+Al+l+a，xe[-2,4]，

4>^=X-1G[-3,3],貝ij/(x)=g(/)=+/+1+。,

設W)=^^7+，，fe[—3,3],則h(f=s；([)T=-+r]=f(r),

乙十乙乙I*乙(乙-I乙J

所以。")是奇函數，最大值為M-(1+。)，最小值為根-。+〃)，

則"一(1+。)+小一(1+〃)=0,由"+刃=6,解得〃=2.故選：D.

3.(23-24高三上?安徽安慶?月考)設函數=在區間[-2,2]上的最大值為最小值為N,

則(M+N-1產3的值為.

【答案】1

【解析】由題意知，〃力==亨+??-2,2]),

設g(x)=^^,貝廳(x)=g(x)+l,

因為g(T)-x=_g(x),所以g(x)為奇函數，

所以g(x)在區間[-2,2]上的最大值與最小值的和為0,故M+N=2,

所以(M+N-1產3=(2-1嚴3=].

故答案為：1.

4.(23-24高三下?上海徐匯?月考)若函數/(xhar+Wogza+Gnj+Z在(-8,0)上有最小值一5(。、b為

常數)，則函數f(x)在(0,E)上最大值為.

【答案】9

【解析】考慮函數g(虐=加+blog21+Jx。+1b定義域為R,

又g(—x)=ci(—x)+blog?[-x+~+])=—cix^+Z?log21j=—j—Z?log2(x+Jx，+1)=—g(x),

=0

所以g(尤)=加+61。82(尤+后旬是奇函數，則g(龍)111ax+8(4,-

設〃尤)的最大值為M，最小值為小，則〃?=-5,

3

又〃x)=ax+Z?log2(x+Jx，+1)+2=g(x)+2,

所以M=g(x)max+2，m=8(力神+2，

所以M+m=g(x)1mx+2+g(xL+2=4,

貝lJ"—5=4,所以M=9,

故答案為：9.

題型6利用單調奇偶比較大小

一般解法是先利用奇偶性，將不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值，轉化為同一單調區間上

的自變量的函數值，然后利用單調性比較大小.

1.（24-25高三上?甘肅蘭州?月考）已知定義在R上的函數在（3,2）內為減函數,且〃x+2）為偶函數,

則的大小為（）

A./（-1）＜/（4）＜/^B./（4）＜/（-1）＜/[^

C.7[^＜/（4）＜/（-1）D./（-l）＜/[y]＜/（4）

【答案】B

【解析】/（尤+2）為偶函數，.?./（x+2）=/（-x+2）,

?"⑷=/（0）,慮）寸目,

0＞-1＞-1,定義在R上的函數/（X）在（一叫2）內為減函數，

.?/（O）＜/（-l）＜/f-1\QP/（4）＜/（-l）＜/M,故選：B.

2.（24-25高三上?山東濰坊?月考）己知函數/（x）滿足/（I-尤）=/（尤+3）,且/（%）在（0,2）上是增函數，則了⑴,

〃|），/（：）的大小順序是（）

A./（i）＜/（|）＜/（|）

C./（|）＜/（1）＜/（1）

【答案】B

【解析】由函數/（尤）滿足/（1一X）=/（元+?,得函數〃尤）的圖象關于直線x=2對稱,

1Q

顯然/（1）=/§）,/（!）=/（!）.而已＜1＜9，/（X）在（0,2）上是增函數，

因此/§）＜“）＜〃!）,所以/g）vf（i）＜/（|）.故選:B

3.（24-25高三上?河北邯鄲?模擬預測）已知〃無）在（1,+8）上單調遞增，若〃x+l）為偶函數，。=/卜

°則（）

A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b

【答案】A

【解析】因為/(x+1)為偶函數，貝x+l)=/(x+l),

所以“X)關于X=1對稱，所以=

令g(x)=e*-x-l,貝!|g<x)=e*-l,

當x>l時，g'(x)>0,所以g(x)在(1,+8)上單調遞增，

所以g(x)>g(l)=e-2>。，即e*>x+l,所以e?>e?>]+1=],

7Q

當%>1時，由e">x+l得，x>ln(x+l),則5>1115,

由上可得1<ln|<：<丁，又/(x)在(1,+8)上單調遞增,

所以小崗<嗎)<小］即小

所以a>c>6.故選：A.

4.(24-25高三上?江蘇鎮江?月考)已知/(x)=V+x_sinx,g(x)為偶函數，當xNO時，g(x)=/(x),設

a>b>0,貝!]()

A./(a)+f(-b)>g(b)+g{-a)B./(。)+/(-6)>gS)-g(-a)

C.f(b)+f(-a)>g(a)+g(-b)D.f(b)+f(-a)>g(a)-g(-b)

【答案】B

【解析】f'{x)=3x2+1-cosx>0,/(-x)=(-x)3-x+sinx=-/(%),/(x)是在R上遞增的奇函數，

當尤20時，g(x)=/(x),g(x)是偶函數,且xe(ro,0),g(x)單調遞減,

且/⑷=g(a)，〃b)=g(6)，/(?)>于f(O)=0,g(a)>g(6)>。,

/(匕)+/(一。)=/(匕)—/(a)=g(6)—g(a)<g(a)+g(6)=g(a)+g(—b)，

/(b)+/(—a)=/(b)—/(a)=gGO—g(a)<0<g(a)-g(8)=g(a)—g(-8)

二C不成立,D不成立；/(-6)+/(a)=-/(b)+/(a)=—g(b)+g(a)<g(a)+g0)=g(-a)+g(b),

/(-6)+/(a)=-，(6)+/(a)=-g(8)+g(a)>0>-g(a)+g(6)=—g(—a)+g(8)

二A不成立，B成立；故選：B.

題型7利用單調奇偶解不等式

解決此類問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成/(&)>/(%)或</(x2)的形式，

i再根據奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反，歹卜

出不等式(組)，同時不能漏掉函數自身定義域對參數的影響.

II

【注意】在轉化時，自變量的取值必須在同一單調區間上；當不等式一邊沒有符號“了”時，需轉化為含符，

號"尸’的形式.

1.(24-25高三上?天津紅橋?期末)已知函數/(x)是定義在上R的偶函數，若對于任意不等實數石,々€[。,口),

不等式-恒成立,則不等式/(2x)>/(x-1)的解集為()

B.1|%<-1或%>」

D.<x\x<--^x>-

【答案】C

【解析】因為函數/■(》)是定義在R上的偶函數，貝|/(2x)>/(x—1)即為/(|2x|)>/(|x-l|),

對于任意不等實數占,務e[O,-H?),不等式(占-n)"5)-/1%)]<。恒成立，

可知/(X)在[0,+8)上單調遞減，J.H>0,|x-l|>0,

可得因<上一1],解得故選：C.

2.(24-25高三上?河北邢臺?期末)已知函數/■(*)是定義在R上的減函數，且為奇函數，對任意

的ae[-2,3],不等式-1)44恒成立，則實數/的取值范圍是()

A.(-oo,3]B.[s]C.[13,+ao)D.1

【答案】B

【解析】令g(x)=〃尤一1)—2,則〃x)=g(x+l)+2,

由/(a-f)+/(/-1)<4,可得g(a-r+l)+2+g(/-1+1)+2<4,

即g(a-?+l)+g(a2)<0,g(67-Z+l)<-g(a2)=g(-a2).

因為〃尤)是定義在R上的減函數，所以g(x)也是定義在R上的減函數，

t^a-r+1>-a2,即

因為ae[-2,3],所以fW：,即實數/的取值范圍是.故選：B

3.(24-25高三上?山東臨沂?月考)已知函數人力是定義在R上的奇函數，〃尤)在(0,+8)上單調遞增，且

"3)=0,則不等式(x—2)〃力<0的解集是()

A.(-oo,-3)U(2,3)B.(-3,0)U(2,3)

C._(3,+oo)D.(-3,0)(3,+oo)

【答案】B

【解析】因為函數是定義在R上的奇函數，/(x)在(0,+8)上單調遞增，

且"3)=0,則〃-3)=—〃3)=0,且該函數在(—,0)上為增函數，"0)=0,

當了<一3時，/(x)</(-3)=0；當一3cx<0時，/(x)>/(-3)=0；

當0<x<3時，/(%)</(3)=0；當x>3時，/(x)>/(3)=0.

因為(x—2)〃x)<0,

當x—2<0時，即x<2時，/(x)>0,貝I］一3<x<0或x>3,止匕時，一3<x<0；

當x—2>0時，即x>2時，/(%)<0,貝i|x<-3或0<x<3,此時，2Vx<3.

綜上所述，不等式(x-2)〃x)<0的解集是(-3,0)11(2,3).故選：B.

4.(24-25高三上?山東德州?期末)己知函數無)是定義在R上的偶函數.V%1；x2e［0,-H?),且為力馬，恒有

二㈤>T-若〃1)=1，則不等式的解集為()

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,-l)u(l,+co)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】不妨設。4%<々，所以

則>一］=〃,)_〃%)<君一工；,

所以+<后+/(工2)，

令g(x)=『(x)+f，則g(%)<g(w)，

所以g(力=〃尤)+尤2在［0,+8)上單調遞增,

又“X)是偶函數，所以g(-x)=〃-x)+x2=/⑺+f=g(x),

即g(力=〃尤)+V也是偶函數，則其在(9，0］上單調遞減,

因為/(1)=1，所以g(l)=/(l)+f=2,

則"%)<2-公=>f(x)+x2<2=>g(x)<g(l),

所以國＜1,解之得久e(-1,1).故選：D

題型8函數的周期性及應用

0O日?

是不為0的常數)

(1)若〃X+Q)=/(X),則T=a；(2)若/(%+〃)=/(%-〃)，則7=2”；

]

(3)若/(x+a)=—/(九)，則T=2a；(4)若/(x+a)=〃x),則T=2a；

(5)若/(x+a)=-J^J，則T=2a；

(6)若/(x+a)=/(%+/?),則T=|a—@Qa手b)

￡,、1+/(X)

⑺若/(x+a),則T—2a；(8)若/(x+a)=[:，則T—4a；

1+/W1-/W

1.(24-25高三上?四川華鎏?月考)設/(X)是定義域為R的奇函數,且/(l+x)=/(-%).若f

()

A.--B.--C.-D.-

3333

【答案】B

【解析】因為/(x)是定義域為R的奇函數，則"1+無)=/(r)=-〃力，

則—/(x+l)=f(x),故/(X)是以2為周期的周期函數,

由則/日71故選：B.

2.(24-25高三上?黑龍江?月考)已知〃無)是定義在R上的函數，且/(x+l)-〃x)=l+/(x+l)〃x),

"1)=2,則/(2024)=()

A.-2B.-3C.-D.1

32

【答案】C

【解析】因為〃龍+1)-〃尤)=1+/(尤+1)〃尤)，

所以當x=0時，/(l)-/(o)=l+/(l)/(o),又/'⑴=2,所以〃o)=g.

又由〃x+l)—〃x)=l+〃x+l)〃x),可得〃x+l)=三篇，

l+/(x)

1一仆)]

所以〃x+2)=〃(x+l)+l)=詈瑞

l+/(x)f(xY

l-〃x)

x

1(X+4)=〃(X+2)+2)=一〃1+2)=----\—=f()

故函數〃x)是以4為周期的函數，所以〃2024)=〃0)=g.故選：C.

3.(24-25高三上?甘肅臨夏?期末)已知函數“X)的定義域為R,〃x)為偶函數，/(尤+1)為奇函數，且當

時,f(x)=x+b,則出卜()

A.-B.0C.—D.—1

22

【答案】A

【解析】因/(x)為偶函數,故〃-x)=/(x),又因〃x+D為奇函數，^f(-x+V)=-f(x+T),

則f(一x)=—f(x+2),故有/(x+2)=-/(x),

由/(x+4)=-f(x+2)=/(x)可得4是函數/(x)的一個周期.

又因/(X+D為奇函數，則函數“X)的圖象關于點。,0)成中心對稱，

因函數/(元)的定義域為R,則fm=l+b=0,解得6=一1,

故當xe[0,1]時，f{x}=x-1,

故佃

故選:A.

4.(24-25高三上?河北?月考)已知定義在R上的函數/(了)，滿足了。-3)+/(5-x)=2,〃2元+2)為偶函

2023

數，/(無)滿足"2)=2,貝|工/。)=.

?=1

【答案】2024

【解析】因為f(2x+為為偶函數,則“2x+2)=/(-2x+2),

所以函數/(x)的圖象關于直線x=2對稱，

因為/。-3)+/(5-x)=2,所以函數/(x)的圖象關于點(1,1)中心對稱，

所以函數/⑺的周期T=4x(2—1)=4,

令x=4,則/(4-3)+/(5-4)=2/⑴=2,得/⑴=1,貝I]/(3)=/⑴=1,

又"2)=2,令x=3,則/(3-3)+/(5-3)=/(0)+/(2)=2,得"0)=0,

則/(4)=/(0)=。，所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,