函數綜合提升卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（2024?河北?中考真題）扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊.如圖，某折

扇張開的角度為120。時，扇面面積為S、該折扇張開的角度為滸時，扇面面積為S.,若m=今,則相與幾關系

的圖象大致是（）

【答案】C

【分析】本題考查正比例函數的應用，扇形的面積，設該扇面所在圓的半徑為R,根據扇形的面積公式表示

出兀R2=3S,進一步得出Sn=^=穩，再代入爪=當即可得出結論.掌握扇形的面積公式是解題的關鍵.

【詳解】解：設該扇面所在圓的半徑為凡

S—12O7T/?2_7lR2

3603

?,?汗R2=3S,

?.?該折扇張開的角度為心時，扇面面積為％,

._nnR2_________________QC—NS

金c一市廣旃X兀R-3V60X3S-120,

??.?n是ri的正比例函數,

vn>0,

它的圖像是過原點的一條射線.

故選：C.

2.（2024?江蘇鎮江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，過點4（犯0）且垂直于x軸的直線/與反比例函

數y=-5的圖像交于點B，將直線/繞點B逆時針旋轉45。，所得的直線經過第一、二、四象限，則根的取值

范圍是（）

A.zuV-2或m>2B.-2<?nV2且mWO

C.-2<mV0或租>2D.m<-2或0<m<2

【答案】C

【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點，一次函數的解析式，關鍵是要分兩種情況討論.

當4在原點右側時，B點坐標為（科三），設旋轉后的直線的解析式為：y=-x+b,得到力=小一\=吟1

>0,求出加>2；當4在原點左側時，設旋轉后的直線的解析式為：y=-x+b',〃=近a>0,求出

m

-2<m<0,即可得到血的取值范圍.

_4

【詳解】解：當a在原點右側時，B點坐標為（犯募）,

直線，繞點8逆時針旋轉45。，

???所得的直線與直線y=-x平行，

設這條直線的解析式為：y=-x+b,

???這條直線經過第一、二、四象限，

b>0,

B在直線y--x+6上，

4

???—m+b=——,

vm>0,

2

??.m-4>0,

m>2；

當a在原點左側時，

設這條直線的解析式為：y=-x+b',

同理："=竺匕>0,

m

m<0,

???m2-4<0,

—2<m<2,

??,m<0,

—2<m<0.

血的取值范圍是—2<m<0或TH>2.

故選：C.

3.(2024?山東青島?中考真題)二次函數丫=曲2+族+?的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=-l,則過點

M(c,2a—b)和點N(b2_4ac,a—6+c)的直線一定不經過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合，根據二次函數與y軸交于)，軸的正半軸得到c>0,根

據對稱軸計算公式得到b=2a,即2a—b=0,則M(c,2a-b)在x軸正半軸上；由二次函數頂點在第二象限,

得到當％=-1時，y=a-b+c>0,再由二次函數與x軸無交點，得到△=d-4ac<0,則點N

(b2—4ac,a-6+c)在第二象限,據此可得答案.

【詳解】解：??,二次函數與y軸交于y軸的正半軸，

.,.C>0,

???對稱軸是直線X=-1,

；.b=2a,

.■.2a—b=0,

???M（c,2a—b）在x軸正半軸上；

???二次函數頂點在第二象限，

二當x=-1時，y=a—b+c>0,

???二次函數與x軸無交點，

=fo2—4ac<0,

:?點'（/—4的。—b+c）在第二象限，

二經過點M（c,2a-b）和點可（廬_4叫（1-6+c）的直線一定經過第一、二、四象限，不經過第三象限，

故選：C.

4.（2023?江蘇南通?中考真題）如圖①，△ABC中，Z.C=90°,AC=15,BC=20.點。從點4出發沿折線

A-C-B運動到點B停止，過點。作DE14B,垂足為E.設點。運動的路徑長為久，△BDE的面積為y,若y與

工的對應關系如圖②所示，貝必-6的值為（）

【答案】B

【分析】根據點。運動的路徑長為x,在圖中表示出來，設4E=z,BE=25-z,在直角三角形中，找到等量

關系，求出未知數的值，得到△8DE的值.

【詳解】解：當x=10時，由題意可知，

AD=10,CD=5,

在Rt2\CDB中，由勾股定理得BO?=C￡）2+BC2=52+202=425,

設4E=z,BE=25-z,

22

BE—（z—25）2=Z—50Z+625,

在RtzXADE中，由勾股定理得DE?=力。2一力石2=100-z2,

在Rt^DEB中，由勾股定理得B〃2=DE2+BE2,

即425=100-z2+z2-50z+625,

解得z=6,

??.DE=6,BE=19,

?1?a=SABDE=1x19X8=76,

當x=25時，由題意可知，CD=BD=10,

設BE=q/E=25—q,

AE2=(25-q)2=625—50q+q2,

在Rt△CZM中，由勾股定理得力。2=4c2+CD2=152+102=325,

在Rt△BOE中由勾股定理得OB?=BD2-BE2=100-q2,

力中，由勾股定理得4。2=。/+力石2,

即325=100-q2+625-50(?+q2,

解得q=8,

??.DE=6,

b=S^BDE=5X6x8=24,

.?.a-b=76-24=52.

故選：B.

【點睛】本題主要考查勾股定理，根據勾股定理列出等式是解題的關鍵，運用了數形結合的思想解題.

5.（2023?湖北十堰?中考真題）已知點在直線y=3%+19上，點8（%2，y2>C（%3,y3）在拋物線丫=%?

+4%-1上，若yi=丫2=丫3且％1<%2<%3，則%1+%2+%3的取值范圍是（）

A.-12V/+冷+巧<-9B.-8V工1+亞+^V-6

C.-9<%]+犯+%3VoD.-6<巧+型+%3Vl

【答案】A

【分析】設直線y=3x+19與拋物線曠=公+4%-1對稱軸左邊的交點為「，設拋物線頂點坐標為Q,求得其

坐標的橫坐標，結合圖象分析出句的范圍，根據二次函數的性質得出血+與=2X(-2)=-4,進而即可求

解.

【詳解】解：如圖所示，設直線y=3x+19與拋物線丫=/+軌-1對稱軸左邊的交點為「，設拋物線頂點坐

標為Q

解得:{[力或啟喜

???P(—5,4)，

由y=/+4%—1=(%+2猿一5,則jQ(-2,-5)，對稱軸為直線％=—2,

設m=yi=丫2=丫3，則點4SC在y=TH上,

"1=72=%且，V冷〈酒，

.?〃點在P點的左側，即久1<一5,X2<-2<%3,

當m=-5時，x2=%3

對于y=3%+19,當y=-5,x=-8,此時％]=-8,

一?％]>—8,

???—8V<—5

???對稱軸為直線％=-2,則％2+與=2X(-2)=-4,

+%2+%3的取值范圍是一12<%1+%2+%3V-9,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，一次函數的性質，數形結合熟練掌握是解題的關鍵.

6.(2023?浙江衢州?中考真題)已知二次函數y=ax2-4ax(Q是常數，Q<0)的圖象上有人⑺心)和8(2瓶)2)

兩點.若點4B都在直線y=-3a的上方，且外>及，則根的取值范圍是（）

3443

A.1<m<-B.-<m<2C.-<m<-D.m>2

【答案】C

【分析】根據已知條件列出不等式，利用二次函數與久軸的交點和二次函數的性質，即可解答.

【詳解】解：a<0,

???y=-3a>0,

,??點48都在直線y=-3。的上方，且丫1>丫2，

可列不等式：4am2-8am>-3a,

va<0,

可得47712—87?!+3<0,

設拋物線yi=4m2—8m+3,直線%1=0,

???4m2-8m+3<0可看作拋物線y】=4m2-8m+3在直線y1=0下方的取值范圍，

當月=。時，可得0=47n2—8m+3,

解得叫==I，

v4>0,

2

???yr=4m-8m+3的開口向上，

???4m2-8m+3<0的解為g<m<|,

根據題意還可列不等式：am2—4am>4am2—8am,

a<0,

2

:，可得僅2—47n<4m—8m,

整理得一3血2+4m<0,

設拋物線丫2=-3m2+4m,直線久2=。，

-3m2+4m<0可看作拋物線y2=-3m2+4zn在直線y2=。下方的取值范圍，

當丫2=。時，可得。=-3m2+4m,

解得mi=0,m2=3

,*,—3V0,

:，拋物線=-37n2+4?n開口向下,

-3m2+4m<0的解為m<。或m>

綜上所述，可得（V7nv|,

故選：c.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上的點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征，正確列出不等式是

解題的關鍵.

7.（2023?江蘇宿遷?中考真題）如圖，直線y=￡+l、y=與雙曲線y=>0）分別相交于點人B、C

、D.若四邊形4BCD的面積為4,貝牘的值是（）

VA

【答案】A

【分析】連接四邊形力BCD的對角線力C、BD,過。作DElx軸，過C作CF，X軸，直線y=x-1與x軸交于點

M,如圖所示，根據函數圖像交點的對稱性判斷四邊形2BCD是平行四邊形，由平行四邊形性質及平面直角

坐標系中三角形面積求法，確定S^COD=；S四邊形4BC。=1-（DE+CF），再求出直線y=X-1與X軸交

{V=x—1

yj求出C、。縱坐標，代入方程求解即可得到答案.

【詳解】解：連接四邊形4BCD的對角線AC、BD,過D作軸，過C作CFlx軸，直線y=x-l與x軸交

于點M,如圖所示：

根據直線y=%+1、y=%-1與雙曲線y=抽＞0)交點的對稱性可得四邊形/BCD是平行四邊形，

SMOD=4S四邊形/BCD=1=,(DE+CF)，

直線y=%-1與支軸交于點M,

???當y=0時，%=1,即M(i,o)，

k

丫=》-1與雙曲線丫=式左＞0)分別相交于點。、D,

,即y=S-l，則/+y_k=O,由k＞0,解得y=

....x1x［淤叵_(-1-嚴力=1,即兩1=2,解得k=9，

故選：A.

【點睛】本題考查一次函數與反比例函數綜合，涉及平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平面直角坐標系

中三角形面積求法是解決問題的關鍵.

8.(2023?遼寧鞍山?中考真題)如圖，在矩形2BCD中，對角線4C,BD交于點。，AB=4,BC=4百，垂直

于8c的直線MN從48出發，沿BC方向以每秒百個單位長度的速度平移，當直線MN與C。重合時停止運動，

運動過程中MN分別交矩形的對角線于點￡,F,以EF為邊在MN左側作正方形EFGH,設正方形EFGH

與△AOB重疊部分的面積為S,直線MN的運動時間為ts,則下列圖象能大致反映S與/之間函數關系的是

N

【答案】B

【分析】求出MN在。點左側時的兩段圖象，即可得出結論.

【詳解】解：當MN在。點左側，即：t<2時：

①當正方形EFGH的邊GH在△AOB的外部時，重疊部分為矩形，如圖:

設分別交于點/,K,

???垂直于BC的直線MN從4B出發，沿BC方向以每秒百個單位長度的速度平移,

:.IE—FK=V3t>

?.?在矩形4BCD中，AB=4,BC=4百,

■■AC=JAB2+BC2=8,

：.0A=OB=4=AB,

??.△ZB。為等邊三角形，

：.Z-OAB=匕OBA=60°,

.,.AI—BK=IE+tan60°=t,

.?./K=4-23

...S=IK-IE=V3t(4-2t)=-2V3t2+4百t,圖象為開口向下的一段拋物線;

②當正方形EFGH的邊GH在△20B的內部時，與△40B重疊部分即為正方形EFGH,如圖:

由①可知：EF=IK=4—2t,

；.S=（4—2t）2,圖象是一段開口向上的拋物線；

當MN過點。時，即t=2時，E,F重合，此時，5=0；

綜上：滿足題意的只有B選項，

故選B.

【點睛】本題考查動點的函數圖象問題.解題的關鍵是確定動點的位置，利用數形結合和分類討論的思想

進行求解.

9.（2023?山東日照?中考真題）數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為"數學王子"，據傳，他在

計算1+2+3+4+…+100時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到

1+2+3+4+-+100=100x^+100）.人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+…+n=當也（〃是

正整數）.有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點其中i=1,2,3，…園…，且4%是

整數.記an=xn+%，如41（0，。）,即%=0,42（1，°），即=1，4（1尸1），即&3=0,…，以此類推.則下列

結論正確的是（）

c22n6D

A.a2023=40B.a2024=43-?（2n-i）=--%2?一1）2=2n—4

【答案】B

【分析】利用圖形尋找規律4（2-1）2（＞-1刀-1）,再利用規律解題即可.

【詳解】解：第1圈有1個點，即41（0,0）,這時的=0;

第2圈有8個點，即4到&（L1）;

第3圈有16個點，即力io到力25（2,2），;

依次類推，第〃圈，X（2n_1）2（n-l,n-l）；

由規律可知：&2023是在第23圈上，且42025122,22）,則須^磔印）即￡^023=2。+22=42,故A選項不

正確；

4024是在第23圈上，且42024（21，22）,即（12024=21+22=43,故B選項正確；

第〃圈，A（2n2（n—l,n—1）,所以a⑵I、2=2?I—2,故C、D選項不正確；

故選B.

【點睛】本題考查圖形與規律，利用所給的圖形找到規律是解題的關鍵.

10.（2023?湖北黃岡?中考真題）已知二次函數y=a/+6%+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標為

（-1,0）,對稱軸為直線x=L下列論中：①a-b+c=0；②若點（一3/1）,（2必），（4,乃）均在該二次函數圖

象上，則＞1＜、2＜乃；③若加為任意實數，則a/+cW-4a；④方程a/+b久+c+1=。的兩實數

根為久1，*2，且巧＜利，則正確結論的序號為（）

A,①②③B.①③④C.②③④D.①④

【答案】B

【分析】將（-1,0）代入y=a/+bx+c,可判斷①；根據拋物線的對稱軸及增減性可判斷②；根據拋物線

的頂點坐標可判斷③；根據y=a/+族+。+1的圖象與x軸的交點的位置可判斷④.

【詳解】解：將（一1,0）代入y=a/+6%+心可得a-b+c=0,

故①正確；

二次函數圖象的對稱軸為直線x=1,

?'?點（-3,%）,（2,〉2），（4,乃）到對稱軸的距離分別為：%工，3,

a＜0,

???圖象開口向下，離對稱軸越遠，函數值越小，

、1＜%＜丫2，

故②錯誤；

???二次函數圖象的對稱軸為直線x=-4=1,

2a

?'?b——2Q,

又??,a—b+c=0,

???a+2a+c=0,

c——3a,

：?當第=1時，y取最大值，最大值為y=a+b+c=a—2a—3a=-4a,

即二次函數y=ax2+bx+c(a<0)的圖象的頂點坐標為(1,-4a)，

;若加為任意實數，貝!JajM+6血+c<-4a

故③正確；

二次函數圖象的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點坐標為(-1,0),

???與%軸的另一個交點坐標為(3,0),

"y=a-+必+c(a<0)的圖象向上平移一個單位長度，即為y=a/+bx+c+1的圖象，

、=以2+法+。+1的圖象與；(；軸的兩個交點一個在(一1,0)的左側，另一個在(3,0)的右側，

二若方程a-+》％+c+1=0的兩實數根為巧,％2，且尤1<%2，則1,刀2>3，

故④正確；

綜上可知，正確的有①③④，

故選B.

【點睛】本題考查根據二次函數圖象判斷式子符號，二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是掌握二次函數

與一元二次方程的關系，熟練運用數形結合思想.

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11.(2024?四川綿陽?中考真題)如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標系xOy中，0為坐標原點,

【詳解】試題分析：???四邊形ABCO是平行四邊形，。為坐標原點，點A的坐標是(6,0)，點C的坐標是

(1,4),.-.BC=OA=6,6+1=7,??.點B的坐標是(7,4)；故答案為(7,4).

考點：平行四邊形的性質；坐標與圖形性質.

12.（2023?山東?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點48在反比例函數y=々久>0）的圖象上.點4

的坐標為（犯2>連接。4OB/B.若。力=4B/O4B=90。，貝妹的值為

【答案】2V5-2/-2+2V5

【分析】過點2作CD，y軸于點D,過點B作BCJ.CD于點C,證明△02。三△C84進而根據全等三角形的

性質得出ZM=CB/C=。。，根據點4（血,2），進而得出8（2+巾,2-巾），根據點48在反比例函數）/=50>0）

的圖象上.列出方程，求得小的值，進而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點4作軸于點。，過點B作BC1CD于點C,

.-.ZC=乙CDO=90°,

■：OA=AB./.OAB=90°,

.-./.DAO=90°-/.CAB=Z.CBA

△DAO^△CBA

：.DA=CB,AC=OD

,?,點4的坐標為(m,2>

：.AC=OD=2,AD=BC=m

???8(2+m,2—m)

??,43在反比例函數y=-（%>0）的圖象上,

?■-2m=（2+m）（2—m）

解得：771=返一1或巾=一近一1（舍去）

.-.k-2m=2V5—2

故答案為：2代-2.

【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質，全等三角形的判定和性質，求得點B的坐標是解題的關鍵.

13.（2023?四川南充?中考真題）如圖，直線y=fcv—2k+3（k為常數，k<0）與x,y軸分別交于點4

【分析】根據一次函數解析式得出。力=牛，OB=—2k+3,然后代入化簡即可.

【詳解】解：y=kx-2k+3,

.?.當y=0時，%=--+2,當x=o時，y=-2k+3,

.??。4=一。+2=竽，OB=-2k+3,

kk

.23_23_2k3_2k-3_

句證=個門=罰—藥=咫='

故答案為：1.

【點睛】題目主要考查一次函數與坐標軸的交點及求代數式的值，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵.

14.（2023?江蘇泰州?中考真題）二次函數y=/+3%+n的圖像與x軸有一個交點在〉軸右側，則〃的值

可以是（填一個值即可）

【答案】-3（答案不唯一）

【分析】根據根與系數的關系即可求解.

【詳解】解：設二次函數丫=/+3%+幾的圖象與%軸交點的橫坐標為勺、x2,

即二元一次方程/+3久+n=0的根為修、物，

由根與系數的關系得：％1+%2=—3,-%2=n>

"一次函數y=x2+3%+ri的圖象與x軸有一個交點在y軸右側，

，X],必為異弓,

???n<0,

故答案為：-3(答案不唯一).

【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，根與系數之間的關系，關鍵是根與系數之間的關系的應用.

15.(2023?江蘇無錫?中考真題)二次函數y=a(久-l)(x-5)(a>m的圖像與x軸交于點4、B,與y軸交于

點C,過點M(3,1)的直線將△4BC分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，貝心的值

為.

【答案】卷或喈或空

【分析】先求得4(1,0),B(5,0)，C(0,5a)，直線BM解析式為y=+1,直線AM的解析式為y=|?久一，

1)、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線，則①如圖1,直線4M過BC

中點，②如圖2,直線過4c中點，直線BM解析式為丫=一9+|,AC中點坐標為G，|a),待入直線求得

a=/；③如圖3,直線CM過48中點，4B中點坐標為(3,0),直線MB與y軸平行，必不成立；2)當分成三

角形和梯形時，過點M的直線必與aaBC一邊平行，所以必有2"型相似，因為平分面積，所以相似比為1:

V2.④如圖4,直線EMII4B,根據相似三角形的性質，即可求解；⑤如圖5,直線ME||AC,⑥如圖

6,直線ME||BC,同理可得嗡=7,進而根據tanNMEN=tan480,即可求解.

AbV2

【詳解】解：由y=。(%—1)(%—5),令久=0,解得：y=5a,令y=0,解得：xr=l,x2=5,

???/(L0)，%,0)，。(0,5辦

設直線解析式為y=kx+b,

j5fc+b=0

-I3fc+&=1

(k=--

解得：52

I2

?,?直線解析式為y=-9+1，當久=0時，y=|,則直線與y軸交于(o,3，

1

,?,a>

?,?5cz>

???點M必在△45C內部.

1）、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線

設直線的解析式為y=TH%+荏

C/c+/?=0

?',13/c+b=1

c1

解得：21

則直線AM的解析式為y=

①如圖1,直線AM過BC中點，，

BC中點坐標為（l，|.，代入直線求得a=2。，不成立;

②如圖2,直線BM過4C中點，直線BM解析式為y=-%+5,AC中點坐標為（工/，待入直線求得a=《；

③如圖3,直線CM過48中點，48中點坐標為（3,0）,

???直線MB與y軸平行，必不成立；

2）、當分成三角形和梯形時，過點M的直線必與△4BC一邊平行，所以必有"4"型相似，因為平分面積，所

以相似比為1：后

④如圖4,直線EM||AB,

：.△CENCOA

CE_CN___

'''CO~~CA~

5a-l1

:F~二G

解得a=嗒；

圖6

.嗡=專，又4B=4,

■■-BE=2V2,

■：BN=5-3=2<2vL

二不成立;

Ap1

⑥如圖6,直線MEIIBC,同理可得標后

■■.AE=2V2>NE=2五一2,tan/MEN=tan/CB。,

?/J，解得a今

綜上所述，。=2或喈或與1.

【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，解直角三角形，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識,

并分類討論是解題的關鍵.

16.(2023?四川內江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，垂直于x軸，以為對

稱軸作△ODE的軸對稱圖形，對稱軸MN與線段DE相交于點F,點、D的對應點B恰好落在反比例函數y=

(x<0)的圖象上，點O、E的對應點分別是點C、A.若點N為0E的中點，且S.4F=；，則k的值為

【分析】連接B0,設ZG=EG=a,由對稱的性質知EC=4。=4E=2a,AC=EO=4a,利用相似三角形

的判定和性質求得S^EOD=5X16=2,則S&4cB=2,根據SMCB=SAACB+S2”以及反比例函數的幾何

意義求解即可.

【詳解】解：連接B。,

設對稱軸MN與x軸交于點G,

■:△ODE與△CB2關于對稱軸MN,

.-.AG=EG,AC=EO,EC=AO,

,??點/為。E的中點，

設4G=EG=a,則EC=AO=AE=2a,

.,.AC=EO=4a,

,:S&EAF~4f

._1_1

:，S4EGF=5s△￡?//?=8?

-GF||0D9

：.AEFG~AEDO,

,??舞=(第'即以w=(5'

1

,?,SAEOD=gx16=2,

=2，

'：AC=4a,AO=2a,

4OCB=^AACB+S&AOB=2+1=3

,,敬|=3,

vfc<0,

/.fc=—6,

故答案為：-6.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質、中點的定義、相似三角形的判定和性質、反比例函數的定義等內容，

解決本題的關鍵是牢記相關定義與性質，能根據題意在圖形中找到對應關系，能挖掘圖形中的隱含信息等,

本題蘊含了數形結合的思想方法等.

三.解答題(共9小題，滿分72分)

17.(6分)(2024?山東青島?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點4(0,8),點B(6,8).

Fr-----1

⑴尺規作圖：在第一象限內求作一個點p,使點p同時滿足下列兩個條件(要求保留作圖痕跡，不必寫出作

法)；

①點P到/,B兩點的距離相等；

②點P到兩坐標軸的距離相等.

⑵在(1)作出點P后，則點P的坐標為.

【答案】(1)見解析

(2)P(3,3)

【分析】本題考查尺規作圖，垂直平分線的作法和角平分線的作法；

(1)點「至(|/,B兩點的距離相等，即點P在力B的垂直平分線上；點P到兩坐標軸的距離相等，即點尸在4"

的角平分線上；

(2)先求出線段4B中點坐標，再根據點P到兩坐標軸的距離相等即可求解.

【詳解】(1)解：如圖,

點P到/,B兩點的距離相等，即點尸在4B的垂直平分線上；點P到兩坐標軸的距離相等，即點尸在Nxoy的

角平分線上；

(2)解：點力(0,8),點8(6,8),

二線段4B中點坐標為(3,8)，

二點P橫坐標為3,

???點P到兩坐標軸的距離相等，

”(3,3)

18.(6分)(2024?天津?中考真題)已知張華的家、畫社、文化廣場依次在同一條直線上，畫社離家0.6

km,文化廣場離家1.5km.張華從家出發，先勻速騎行了4min到畫社，在畫社停留了15min,之后勻速騎

行了6min到文化廣場，在文化廣場停留6min后，再勻速步行了20min返回家.下面圖中x表示時間，y表示

離家的距離.圖象反映了這個過程中張華離家的距離與時間之間的對應關系.

請根據相關信息，回答下列問題:

(1)①填表：

張華離開家的時間/min141330

張華離家的距離/km0.6

②填空：張華從文化廣場返回家的速度為km/min；

③當0W久W25時，請直接寫出張華離家的距離y關于時間x的函數解析式；

(2)當張華離開家8min時，他的爸爸也從家出發勻速步行了20min直接到達了文化廣場，那么從畫社到文化

廣場的途中(0.6<y<1.5)兩人相遇時離家的距離是多少？(直接寫出結果即可)

【答案】(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③當0WxW4時，y=0.15x；當4cxW19時，y=0.6；當19<xW25

時，y=0.15x-2.25

(2)1.05km

【分析】本題考查了從函數圖象獲取信息，求函數的解析式，列一元一次方程解決實際問題，準確理解題

意，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)①根據圖象作答即可；

②根據圖象，由張華從文化廣場返回家的距離除以時間求解即可；

③分段求解，0WXS4,可得出y=0.15x,當4<xW19時，y=0.6；當19<xW25時，設一次函數解析

式為：y=kx+b,把(19,0.6)，(25,1.5)代入丫=左％+6,用待定系數法求解即可.

(2)先求出張華爸爸的速度，設張華爸爸距家j/km,則;/=0.075久-0.6,當兩人相遇時有

0.15X-2.25=0.075X-0.6,列一元一次方程求解即可進一步得出答案.

【詳解】([)解：①畫社離家0.6km,張華從家出發，先勻速騎行了4min到畫社，

???張華的騎行速度為66+4=0.15(km/min)-

.?.張華離家lmin時，張華離家0.15x1=0.15km,

張華離家13min時，還在畫社，故此時張華離家還是0.6km,

張華離家30min時，在文化廣場，故此時張華離家還是1.5km.

故答案為：0.15,0.6,1.5.

②1.5+(5.1-3.1)=0.075km/min,

故答案為：0.075.

③當0WxW4時，張華的勻速騎行速度為0.6+4=0.15(km/min)，

.,.y=0.15%；

當4V%W19時，y=0.6；

當19<%<25時，設一次函數解析式為：y=kx+b,

把(19,0.6)，(25,1.5)代入<=依+兒可得出：

C19fc+b=0.6

I25fc+Z?=1.5'

解得：［b=-2.fs，

.*.y=0.15x—2.25,

綜上：當0<久44時，y=0.15x,當4<久<19時，y=0.6,當19V%工25時，y=0.15第一2.25.

(2)張華爸爸的速度為：1.5+20=0.075(km/min)，

設張華爸爸距家ykm,則歹=0.075(X-8)=0.075%-0.6,

當兩人從畫社到文化廣場的途中(0.6<y<1.5)兩人相遇時，有0.15%-2.25=0.075%-0.6,

解得：x=22,

：-y—0.075(%—8)=0.075%—0.6=0.075x22—0.6=1.05km,

故從畫社到文化廣場的途中(0.6<y<1.5)兩人相遇時離家的距離是1.05km.

19.(6分)(2024?山東德州?中考真題)某校開設棋類社團，購買了五子棋和象棋.五子棋比象棋的單價

少8元，用1000元購買的五子棋數量和用1200元購買的象棋數量相等.

⑴兩種棋的單價分別是多少？

(2)學校準備再次購買五子棋和象棋共30副，根據學生報名情況，購買五子棋數量不超過象棋數量的3

倍.問購買兩種棋各多少副時費用最低？最低費用是多少？

【答案】⑴五子棋的單價是40元，象棋的單價是48元

(2)購買五子棋22副，象棋8副時，費用最低，最低費用是1264元

【分析】本題考查分式方程的實際應用，一次函數的實際應用，一元一次不等式組的實際應用.理解題意,

找出數量關系，列出等式或不等式是解題關鍵.

(1)設購買五子棋的單價是x元，則購買象棋的單價是(x+8)元，根據用1000元購買的五子棋數量和用

1200元購買的象棋數量相等.列出分式方程求解并檢驗即可；

(2)設購買兩種棋的費用為w元，購買五子棋心副，則購買象棋(30-巾)副，根據購買五子棋數量不超過

象棋數量的3倍，列出不等式，求出加的取值范圍；再列出購買兩種棋的費用的關系式，根據一次函數的

性質求解即可.

【詳解】(1)解：設購買五子棋的單價是x元，則購買象棋的單價是(％+8)元，根據題意得：

1000_1200

xx+8

解得：％=40,

經檢驗x=40是所列分式方程的解，且符合題意，

.?-X+8=48.

答：五子棋的單價是40元，象棋的單價是48元；

（2）解：設購買兩種棋的費用為川元，購買五子棋力副，則購買象棋（30-巾）副，根據題意得：

m<3（30-m）?

解得：m<22|,

w=40m+48（30—m）=-8m+1440,

,?,-8<0,

???W隨山的增大而減小，

???在m<222中，

???山為正整數，

.?.當爪=22時，w有最小值，最小值為一8x22+1440=1264（元），

則30-22=8（副）

答：購買五子棋22副，象棋8副時，費用最低，最低費用是1264元.

20.（8分）（2023?陜西?中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的

拱門的跨度與拱高之積為48m2,還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求價出了兩個設

計方案，現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PEION,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度。N'=8m,拱高PF=6m其中，點M在式軸上，P'E'1O'N',O'E'=E'N：

要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架48CD

的面積記為Si，點4、D在拋物線上，邊BC在。N上；方案二中，矩形框架4B'C'D'的面積記為52，點4,D,

2

在拋物線上，邊B'C'在。N'上，現知，小華已正確求出方案二中，當A8'=3m時，S2=12V2m,請你根據

以上提供的相關信息，解答下列問題：

⑴求方案一中拋物線的函數表達式;

(2)在方案一中，當月B=3m時，求矩形框架4BCD的面積Si并比較Si，S2的大小.

【答案】⑴y=—京2+白

2

(2)Si=18m,S1>S2

【分析】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，求出函數關系式.

(1)由題意知拋物線的頂點P(6,4)，設頂點式用待定系數法可得方案一中拋物線的函數表達式；

2

(2)令y=3可得x=3或x=9,故BC=6m,Sr=AB-BC=18m；再比較Si，S2的大小即可.

【詳解】(1)解：由題意知，PE=4m,0E=20N=：x12=6m,

方案一中拋物線的頂點P(6,4)，

設拋物線的函數表達式為y=a(x-6)2+4,

把。(0,0)代入得，0=a(0-6)2+4,

解得：a=

1o1174

y=—(x-6)2+4=—Xz+-x,

???方案一中拋物線的函數表達式為y=-5/+，；

(2)解：在丫=一，2+?萬中，

令y=3得：3=-X2+%;

解得％=3或%=9,

BC=9—3=6m,

??.Si=AB-BC=3x6=18m2，

18>12V2.

S]>S2-

21.(8分)(2023?四川成者B?中考真題)如圖，在平面直角坐標系尤。y中，直線y=一久+5與y軸交于點

A,與反比例函數y的圖象的一個交點為B(a,4),過點2作的垂線/.

(1)求點/的坐標及反比例函數的表達式；

⑵若點C在直線/上，且△力BC的面積為5,求點C的坐標；

(3)尸是直線/上一點，連接尸/,以P為位似中心畫△PDE,使它與aPAB位似，相似比為加.若點。，E

恰好都落在反比例函數圖象上，求點P的坐標及m的值.

【答案】(1)點/的坐標為(0,5),反比例函數的表達式為y=g

⑵點C的坐標為(6,9)或(一4,一1)

(3)點P的坐標為(—1?)；加的值為3

【分析】(1)利用直線y=—x+5解析式可的點C的坐標，將點B(a,4)代入、=一％+5可得。的值，再將

點B代入反比例函數解析式可得k的值，從而得解；

(2)設直線/于y軸交于點由點8的坐標和直線/是4B的垂線先求出點加的坐標，再用待定系數法求

B

直線I的解析式y=x+3,C點坐標為(t,t+3)＞根據SMBC=：AM'\xB-xc\=分別代表點與點。

的橫坐標)可得點C的橫坐標，從而得解；

(3)位似圖形的對應點與位似中心三點共線可知點3的對應點也在直線/上，不妨設為點則點/的對

應點是點。，直線/與雙曲線的解析式聯立方程組得到E(-4,-1),由△P4BPDE得到力BIIDE,繼而得

到直線2B與直線DE的解析式中的一次項系數相等，設直線DE的解析式是：y=—x+B，將E(-4,_l)代入

y=—x+電求得的解析式是：y=-%-5,再將直線DE與雙曲線的解析式聯立求得D(—l,—4),再用待定

系數法求出4。的解析式是y=9x+5,利用直線40的解析式與直線I的解析式聯立求得點P的坐標為

再用兩點間的距離公式得到BP=}5勿=也從而求得爪=葛=3.

【詳解】(1)解：令％=0,則y=-x+5=5

點/的坐標為(0,5),

將點B(a,4)代入y=-x+5得：4=-a+5

解得：a=l

???8(1,4)

將點B(l,4)代入丫蕓得：4=號

解得：fc=4

二反比例函數的表達式為y=，

(2)解：設直線/于y軸交于點直線y=—x+5與x軸得交點為N,

令y=—%+5=0解得：x=5

???N(5,0),

...O4=ON=5,

又??N40N=90。，

"OAN=45°

”(0,5),8(1,4)

■■AB=V(l-O)2+(4-5)2=V2

又???直線l是4B的垂線即N4BM=90°,LOAN=45°,

...AB=BM=瓜AM=y/AB2+BM2=2

設直線/的解析式是：y=k^x+br,

將點”(0,3)，點B(l,4)代入y=/qx+bi得：｛的:巴1,

解得:《口

???直線/的解析式是：y=x+3,

設點。的坐標是(3t+3)

"△4BC=%”'\XB-XC\=|x2x|i-t|=5,%,女分別代表點3與點c的橫坐標)

解得：t=—4或6,

當t=-4時，t+3——1；

當t=6時，1+3=9,

.?.點C的坐標為(6,9)或(一4,一1)

(3)???位似圖形的對應點與位似中心三點共線，

.??點8的對應點也在直線/上，不妨設為點E,則點/的對應點是點。，

.??點￡是直線/與雙曲線y=：的另一個交點，

將直線/與雙曲線的解析式聯立得：［y=?.

(y=%+3

解得化］或｛二二;

4,—1)

畫出圖形如下：

又???△PABPDE

.\Z-PAB=乙PDE

：.ABWE

???直線與直線DE的解析式中的一次項系數相等，

設直線DE的解析式是：y=-x+b2

—

將點E(_4,—1)代入y=-x+久得：-1二(―4)+b2

=

解得：b2-5

??.直線。E的解析式是：y=—%—5

4

,?,點D也在雙曲線y=嚏上，

4

二點D是直線DE與雙曲線y=1的另一個交點，

將直線DE與雙曲線的解析式聯立得：［

(y=-x—5

解得:限二:或限二f

.,.￡)(—1,—4)

設直線4D的解析式是：丫=七%+匕3

將點4(0,5),。(一1,一4)代入丫=的％+63得：｛k3bJ=54

解得:出力

??.直線4。的解析式是：y=9x+5,

又將直線4D的解析式與直線/的解析式聯立得：

fx=—7

解得：］if

vy=-

二點尸的坐標為(_1?)

???BP=J(->11+(卜J=/

EP

?m=而=3Q

【點睛】本題考查直線與坐標軸的交點，求反比例函數解析式，反比例函數的圖象與性質，反比例函數綜

合-幾何問題，三角形的面積公式，位似的性質等知識，綜合性大，利用聯立方程組求交點和掌握位似的性

質是解題的關鍵.

22.(9分)(2024,江蘇南通?中考真題)已知函數y=(x-a)2+(x-b)2Q,6為常數).設自變量x取與

時，》取得最小值.

(1)若。=-1,b=3,求%0的值;

21

⑵在平面直角坐標系xOy中，點P(a,b)在雙曲線y=-嚏上，且與’.求點P到7軸的距離；

(3)當a2-2a-2b+3=0,且1<久()<3時，分析并確定整數。的個數.

【答案】⑴殉=1

(2)2或1

(3)整數。有4個

【分析】本題主要考查二次函數的性質和點到坐標軸的距離，以及解不等式方程.

(1)根據題意代入化簡得y=2(x-1)2+8,結合二次函數得性質得取最小值時x的取值即可；

(2)結合題意得到b=?，代入二次函數中化簡得y=2/+&—2。卜+口2+仁)，利用二次函數的性質求得

a的值，進一步求得點尸，即可知點尸到y軸的距離；

22

(3)結合已知得等式化簡得y=2——色2+3)%+a+b,結合&的范圍求得a的可能值，即可得到整數a的

個數.

【詳解】(1)解：有題意知、=(久+1)2+(%-3)2=X2+2刀+1+%2-6刀+9=2/一4刀+10

=2(%2—2x+1)+8=2(久-1)2+8,

當出=1時，y取得最小值8；

(2)解：???點尸(口力)在雙曲線丫=一］上，

：?b=?,

???y=(%—a)2+(%-b)2=(%—a)2+(%+1)

=x2—2ax+a2+%2+—%+(-)

a

=2公+(^-