數(shù)學(xué)

審題人:高二數(shù)學(xué)備課組考試時(shí)長：120分鐘滿分：150分

一、單選題（本小題共8小題,每小題5分，共40分）

1.已知數(shù)列｛QJ的前幾項(xiàng)之和5九=稼+1,則。1+。3=（）

A.6B.7C.8D.9

2.已知橢圓祭+4=1的左焦點(diǎn)是雙曲線考■-4=1的左頂點(diǎn),則雙曲線的漸近線為（）

20yay

A.y=±-^xB.y=±^xC.y=±-^-xD.y=±-^-x

?5?5?4?3

3.已知平面a的一個(gè)法向量為n=（V2,l,-1）,點(diǎn)A（-l,2,0）在平面a內(nèi)，點(diǎn)F（-1,2,V3）在平面a

外，則直線融與平面a所成角的大小為（）

4.若&=51￡,仁學(xué)吟,0=一《，則()

A.cVbVaB.aVcVbC.cVaVbD.b<a<c

5.如圖,正三棱臺(tái)ABC-A5G的下底面邊長為12，上底面邊長和側(cè)棱長均為6,則棱臺(tái)的高為

A.-B.3V3

C.2V6D.2V3

6.已知函數(shù)/（￡）=亨—2,有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

A.(-00,0]B.(-oo,l)C.(l,+oo)D.(0,1)

7.已知菱形ABCD的邊長為2通，ABAD=60°,對(duì)角線AC與BD相交于O,以BD為折痕把

△ABD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)4的位置，使120°.若點(diǎn)4,C,。都在同一球面上，

則該球的表面積為（）

A.20兀B.24兀C.28兀D.36兀

8.函數(shù)/（劣）=—+Inx+b（aER.bER）的兩個(gè)極值點(diǎn)如電滿足為2cl，貝!J2x+x的最小

e。r2

值為（）

A.41n2B.4C.31n2D.61n2

二、多選題（本小題共3小題,每小題6分，錯(cuò)選多選不給分，滿分18分）

9.下列命題正確的有

A.（e~xy=-e~x

B.已知函數(shù)/（,）在A上可導(dǎo)，若廣⑴=2,則lim"l+2f）-/⑴=2

△iT）LXX

C.已知函數(shù)/（6）=ln（2/+1），若/（g）=1,則/0=\~

D.［（劣2+2）simr］'=2Nsin/+（〃+2）cos/

10.數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為Sn，則下列說法正確的是（）

A.已知a=5+2V6,c=5—2西,則使得a,b,c成等比數(shù)列的充要條件為b=1

B.若｛QJ為等差數(shù)列,且a101i<0,a1011+陽色>0，貝U當(dāng)5九V0時(shí)，n的最大值為2022

C.若%=—2九+11,則數(shù)列｛Q/前5項(xiàng)的和最大

D.設(shè)S”是等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和，若言=《，則祟=焉

63316"

11.已知函數(shù)/（力）=ex（x—aex）,aE則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)Q=—1時(shí)，/（力）有唯一零點(diǎn)

B.當(dāng)a>/時(shí)，/㈤是減函數(shù)

C.若/（2）只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a40或a=；

D.當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)t,總存在實(shí)數(shù)X1,x2,使得廣⑴=汽-2）

三、填空題（本小題共3小題,每小題5分，共15分）

12.直線/:/—g—4=0與圓C:x2+g2-6力+10y+25=0相交于/,B兩點(diǎn)，則弦4B長為

13.若直線y=一力+館是曲線g=2/+3/+4與曲線y=-ex+n的公切線，則n=.

14,設(shè)函數(shù)/（①）=等，若存在［a,6］c使得了3）在值切上的值域?yàn)椋廴?阮］，則實(shí)數(shù)％的

取值范圍是.

四、解答題（本小題共5小題，共77分）

15.（本題13分）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S”,且2S”=成+an-2.

⑴求｛a“｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列｛&?｝滿足log2第=%-1.設(shè)在數(shù)列｛%｝中且不在數(shù)列｛bn｝中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)

成數(shù)列｛品｝,記數(shù)列｛c?｝的前n項(xiàng)和為北,求Ti0.

16.（本題15分）已知函數(shù)/（力）=111力+。力2—3/（。€/?）.

（1）若函數(shù)/Q）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程為y=-2，求函數(shù)/（⑼的極值；

（2）若Q=l,對(duì)于任意力1,62^[1,10],當(dāng)力1〈r2時(shí),不等式/（力1）—/（62）＞竺3——恒成立，求

61/2

實(shí)數(shù)力的取值范圍.

17.（本題15分）如圖，在四面體P4BC中，乙4PC=/BAC=90°,平面平面ABC,47=

（1）證明：

（2）若二面角P-BC-A的余弦值為彎]，求48的長.

18.（本題17分）已知函數(shù)，（宓）=?e

⑴當(dāng)a=l時(shí)，討論/（2）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)0時(shí)，a=卷，證明:f（x）<—1；

（3）設(shè)nCN*,證明：H—/5H1--/1>ln（n+1）.

VF+1V2H2

19.（本題17分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過點(diǎn)F（LO）的直線I與拋物線C：y2=4x交于跖N兩點(diǎn)

（河在第一象限）.

（1）當(dāng)\MF\=3|JVF|時(shí),求直線I的方程；

（2）若三角形OMN的外接圓與曲線。交于點(diǎn)。（異于點(diǎn)O,M,N）,

⑴證明:AMND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值；

（w）求凸四邊形。加N的面積的取值范圍.

惠州一中2026屆高二（下）3月階段考試數(shù)學(xué)答案

一、單選題（本小題共8小題,每小題5分，共40分）

1.B【解析】已知數(shù)列｛cm｝的前幾項(xiàng)之和5n=療+1,所以51=。1=2,所以52=。1+。2=5,??.

a2=3,

所以S3=Ql+。2+Q3=10,；?。3=5,所以Qi+。3=7.故選：B

2.。【解析】由已知得a2=16漸近線為y

n-PA

D【解析】直線PA與平面a所成角的大小的正弦sin。=1A一匹

3.RWl2〃一6

4.C【解析】構(gòu)造函數(shù)/（力）=/In力，根據(jù)單調(diào)性c<a<b

5.。【解析】補(bǔ)成后為正四面體，根據(jù)幾何性質(zhì)求正四面體的高的一半。

D【解析】易知廣（2）=x+—-2=爐—2二+",

6.XX

因?yàn)?Q）有兩個(gè)極值點(diǎn)，故r（劣）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

m>0,

故爐一26+m=0在（0,+co）上有兩個(gè)不同的解,故所以0VmVI.故選:

A=4—4m>0,

D.

7.C【解析】三角形4B。、三角形BCD均是邊長為2V3的等邊三角形，兩

三角形中心分別是E,F,分別過E,F做相應(yīng)面的垂線,兩垂線相交于球心,

根據(jù)幾何關(guān)系求得球的半徑為V7

8.A【解析】由函數(shù)/（比）=—+Inx+b（aER,bGR）,f'（x）=-—

exe。

a

+—，f'(x)=0,則ax=+,因?yàn)楹瘮?shù)/(%)+In力+b(aER,bER)兩個(gè)極值點(diǎn)g,劣2,則

xex

X1

e=ax1?,e*2=ag②，得=%■③，設(shè)&■=￡,則土e(1,2］且力2=力電，代入③得力1—

/1/1

Initint.c121nt(tint(t+2)lnt

口，g=口，??2電+g=-+—=一

2

fzpx—31nx——+1

設(shè)gQ)=(1V/42),則g'(x)=---------------------(142),

o

設(shè)h{x}—x—Sinrc------F1(1V/&2),則

x

（力一1）（力一2）

〃㈤=1-？+亳V0,??.九㈤在(1,2］單調(diào)遞減，h(x)<h(X)=0,從

X2

r

而g(x)V0,??.g3)在(1,2］單調(diào)遞減，，g(x)>g⑵=41n2,2g+x2=g(t)>41n2故2g

+x2的最小值為41n2.

故答案為：41n2

二、多選題（本小題共3小題,每小題6分，錯(cuò)選多選不給分，滿分18分）

9.ACD【解析】對(duì)于A,（ef）'=-eF,故A正確；

/(1+2A/)—/⑴/(1+2ZM—/⑴

對(duì)于B,lim21im=2:(1)=4,故石錯(cuò)誤.

!\xAx-?O2Ac

對(duì)于c,r(2)=2J+1(2必+1)'=2.；i，若廣(g)=L則2j+i=i即g=B，故

c正確.

對(duì)于_D,由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算有[(力2+2)simc]'=2力sine+(力2+2)cose,故。正確.

10.CD【解析】對(duì)于4,6=±1；對(duì)于B,S2022>0

對(duì)于。，若冊(cè)=—2n+11,則，九=一"+10n,所以前5項(xiàng)的和最大

對(duì)于。，設(shè)Sn是等差數(shù)列｛為｝的前八項(xiàng)和，S4,S「SA,S12—S8，S16—S12成等差數(shù)列，若祟

=里，則竺=—

5人」&622

11.【解析】對(duì)于4當(dāng)a=-1時(shí),/(力)=e，(力+e，),令/(力)=0,得c+e，=0,

令g(力)=.+e3得g'Q)=1+e*>0,即gQ)在7?上單調(diào)遞增，

又g(—1)=—1+6-1VO,g(l)=1+e>0,由零點(diǎn)存在定理可得g(c)=x+e。在R上有

唯一零點(diǎn)，即/(力)有唯一零點(diǎn)，人正確；

對(duì)于8：/'(力)=ex(x—aex)+ex(l—aex)=ex(x+l—2aex),

令①+1—2ae，<0,得2a>生也，設(shè)伏力)二①士^，則方(2)=二

夢(mèng)ex(eT)

一/

ex，

當(dāng)力VO時(shí)，h，(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)力>0時(shí)，h/(x)V0,h(x)單調(diào)遞減，

1/r-L11

所以無(力)max=〃0)=1，又當(dāng)時(shí),2a>l,所以2a>-----恒成立，即當(dāng)0>方~

時(shí),/0)是減函數(shù)，石正確；

]T-I—1

對(duì)于。:當(dāng)。=工時(shí)，由8知-----W1,即力+1We%所以:(力)=ex(x+l—ex)W0,即

f3)在R上單調(diào)遞減,無極值，。錯(cuò)誤；

對(duì)于。：當(dāng)口=1時(shí),/(力)=e*(w—e*)，r(c)=ex(x+l—2ex),

令k(c)=ex(x+l—2ex)，得k'(力)=ex(x+l—2ex)+ex(l—2ex)-e*(力+2—4e%),

令q(力)=x+2—4e，,貝！Jqr(x)=1—4e*,

當(dāng)/(力)>0,即力〈1111時(shí)，q(力)單調(diào)遞增，當(dāng)力)V0,即方>ln｝時(shí)，q(力)單調(diào)遞

減，

所以q(c)max=q(lng))=lnQ)+2_4e3)=lng)+1<0,

即E(x)=e*(/+2—4e*)V0恒成立，所以/'(力)=e)(/+l—2e”)單調(diào)遞減，又力+1<

xx

e<2ef

所以r(乃vo,所以/(力)在R上單調(diào)遞減，

且當(dāng)N-—8時(shí)，/(力)-0,當(dāng)/一+8時(shí),/(力)一—8,可得/(力)的大致圖象如下:

由圖可知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，總存在實(shí)數(shù)X1,X2,使得f'（t）=:⑹二加2），。正確.斗

三、填空題（本小題共3小題,每小題5分，共15分）;亍樹廠

12.2【解析】圓心（3,-5）半徑3,d=2其弦長為2停二②哥=2.\

13.—3【解析】直線夕=—2+小與曲線g=2爐+3，+4聯(lián)立,解得機(jī)=2,（%2,/（T2）V

設(shè)夕=—2+2與曲線y=—e"+"相切于（%,—6的+"）,—e。計(jì)"=—1與直線聯(lián)立得n=—3

14.［卷,5）【解析】1（工）=1^>（）在定義域［!，6］上恒成立,函數(shù)遞增，

（f（a）=-^^-=ka11「11、

Ib_i；b_kb即=用在定義域［卷，e］有兩解。比較極值與端點(diǎn)值得ke［專,泰）。

四、解答題（本小題共5小題，共77分）

15.（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛?｝的前幾項(xiàng)和為S“，"=l,ai=2,（2分）

2Sn=*+（1n-2,則2Sn+i=a"i+fln+1-2.（3分）

兩式相減可得（冊(cè)+1+詼）（冊(cè)+1—%—1）=0,an>0,an+1-an=l（5分）

（??）首相為2,公差為1,斯=n+1；（7分）

（2）由an=n+l,log2b?=a?—1,得0=2".（9分）

設(shè)數(shù)列｛幻｝的前幾項(xiàng)和為4,在數(shù)列｛??｝中且不在數(shù)列｛6?｝中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列

｛cn｝的前100項(xiàng)和鴛。=S45—％=（45X2+BX45X44X1）—［=1018.（13分）

16?【解析】⑴由題意得函數(shù)/㈤的定義域?yàn)?0,+8),『(x)=-+2ax-3

X

由函數(shù)/(⑼在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=-2，得/(1)=1+2a—3=0,解得a=1(2

分)

2

止匕時(shí)/(a?)=Inx+x—3x,f<x)=—+2a?—3=-阮+1.

令廣（2）=0,得2=1或2=J.（4分）

X0)_1X=1(1,+8)

(1)x~^2(T4)

f'⑸+0—0+

f⑻遞增—In2一片遞減-2遞增

（6分）

則當(dāng)力=1時(shí)，函數(shù)/Q）取得極小值，為，（1）=1111+1—3=—2,（7分）

當(dāng)力=[時(shí),函數(shù)/（劣）取得極大值，為/（=ln-^-+3----1-=—ln2—T-.（8分）

⑵由a=1得/（力）=Inx+x2—3x.

不等式/（g）—/（22）＞叱＞可變形為/（g）—/（.）＞箸一箸，

即/（g）——＞/（x2）——因?yàn)殡姡?2e[1,10]，且①1v±2，

力1/2

所以函數(shù)沙=/3）—也在上單調(diào)遞減.（io分）

X

令從2）=/（rc）—等=Inx+x2—3x—*,xe[1,10],則h'{x）=：+22一3+-＜0

在2e[1,10]上恒成立，即mW—2砂+3爐一工在工e[1,10]上恒成立（12分）

設(shè)尸（①）=—2爐+3爐一土,貝ijF'{x）=-6x2+6x—1=—6（①一-+-1-.

因?yàn)楫?dāng)①e[1,10]時(shí)，尸Q）＜0,

所以函數(shù)尸㈤在[1,10]上單調(diào)遞減，所以FQ）min=斤（10）=-2X1O3+3X102-10=

-1710,（14分）

所以mW—1710,即實(shí)數(shù)小的取值范圍為（-8,-1710].（15分）

17.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鎋R4C_L平面ABC,AB_LAC,

平面PACn平面ABC=A。，ABu平面ABC,

所以平面B4C,（2分）

因?yàn)镻CU平面_R4C,所以ABLPC,（3分）

又因?yàn)镻C_LP4,_R4n4B=A,24,ABU平面Q4B,

所以PC,平面_R4B,（5分）

PBU平面_R4B,從而PBLPC.（6分）

（2）在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)P作PO，AC交AC于。，

因?yàn)槠矫鍽4C_L平面ABC,平面PACC平面ABC=AC,

PD_LA。,PDu平面PAC,

.?.PD，平面ABC,（8分）

因?yàn)锳C=2〃=4,弘_LPC,

所以PC='402—242=2遍,可得PD=PA;詈.=遍,

A。

AD=y/P^-PD2^l,GD=AC-AD=3,（10分）

因?yàn)锳B，AC,所以DP,DA,4B兩兩垂直，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，前，反，說的方向分別為c、沙、z軸的正方向，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)人3=力（力＞0）,（11分）

則P（0,0,通），B（t,-1,0）,C（0,3,0）,BC^（-4,4,0）,PC=（0,3,-A/3）,（12分）

設(shè)平面PB。的一個(gè)法向量為元=（c，V，z）,

則風(fēng)至=一樹+旬=°,取2=后

[n-PC=3y—V3z=Q

則日=q,l,V^),(14分)

易知平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),

由cosm,n=告：?=--/彳=-^P-，

BH司lxJ碧+1+3)

解得±=4,所以AB=4.(15分)

18.【答案】⑴/（工）的減區(qū)間為（―oo,0）,增區(qū)間為（0,+oo）.（2）略（3）見解析

【詳解】⑴當(dāng)a=1時(shí)，/（a:）=（/—l）e",則（（c）=xex,（1分）

當(dāng)cVO時(shí),/（2）<0,當(dāng)①>0時(shí),/（,）>0,（3分）

故/（0的減區(qū)間為（一8,0）,增區(qū)間為（0,+8）.（5分）

⑵要證xe^x-ex+l<0成立,

令力則t>l,1^=ex,x=21n±,

故需證2tlnt<t2-l成立，即21nt<f-y對(duì)任意的力>1恒成立.（7分）

設(shè)h（t）=2lnt—t+-Y，h/（t）二3—1—■y=—'~-<0恒成立，（8分）

tttt

所以力>1時(shí)h（t）=2lnt—力+［單調(diào)遞減，即h（t）—21n力一力+十V無⑴=0（10分）

即證得/（/）<—1。（11分）

（3）21nt<^-y對(duì)任意的力>1恒成立.

所以對(duì)任意的hEN*,有2111^<^n~n^~Vn+l,"3分）

整理得到：ln（n+l）—Inn</1,（15分）

Vn2+n

故/1H—/1H-----1--/1>ln2—Ini+ln3—ln2H-----Fln（n+1）—Inn

Vl2+1V22+2Vn2+n

=ln（n+l）,故不等式成立.（17分）

19.【答案】⑴g=⑵⑴證明見解析;縱坐標(biāo)為0；⑻（當(dāng)2,+8）.

【解析】【小問1詳解】

解:設(shè)直線7WN：力=7720+1,M（X1,Ui）,N（X2,?2）

聯(lián)立?21?"+1，消去力，得42一如沖一4=0,所以m+紡=4772,%?仇=一4,（2分）

ly—4力

\MF\=3即1,則yi=-3仍.??卜什2"學(xué)，則加=（,（4分）

1%?42=一542=-4J

又由題意小>0,工??2=挈^，直線的方程是y—V3x—V3；（5分）

【小問2詳解】（1）方法1：設(shè)河（如如,"（狽物）,。（如％）

因?yàn)镺,M,_D,N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為x2+y2+dx+=

聯(lián)乂{2A，消去力,得婿+（4d+16）姨+16eg=0,（7分）

[y—4：x

即g（y+（4d+16）g+16e）=0,所以%,"2,沙3即為關(guān)于V的方程姨+（4d+16）g+16e=0的3個(gè)根，

則0+（4d+16）T/+16e=@一如@一紡）（"一例），（8分）

因?yàn)椋?一%）（。一紡）（沙一。3）=吸一（%+紡+%）量+（%改+仍仍+%43）。一切統(tǒng)沙3，（9分）

由42的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得，%+紡+防=0,所以△M7V。的重心的縱坐標(biāo)為0.（10分）

⑵記AOMNAMND的