廣西壯族自治區2025屆高三下學期3月第二次高考適應性測試

數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/<1},2={_3,_1,0,2,4},則/口8=（）

A.{-1,0}B.{2,4}C.{-3,-1,0）D.{-1,0,2）

2.已知復數z滿足（2-i）z=l+2i,則復數z的虛部為（）

33

A.-B.1C.--D.-1

55

3.已知向量。=（3,加）》=（加一5,2）,若￡_11，則加二（）

A.2B.3C.6D.15

4.雙曲線￡-4=1的焦點到漸近線的距離為（）

54

A.1B.V3C.2D.3

5.已知某圓錐的側面積為2兀，軸截面面積為百，則該圓錐的母線與底面所成的角為（）

A.15B.30°C.45°D.60°

6.曲線》=4cosx與直線y=-x+2的交點個數為（）

A.1B.2C.3D.4

7.現使用一架兩臂不等長的天平稱中藥，操作方法如下：先將100g的祛碼放在天平左盤中,

取出一些中藥放在天平右盤中，使得天平平衡；再將100g的祛碼放在天平右盤中，再取出

一些中藥放在天平左盤中，使得天平平衡.則兩次實際稱得的藥品總重量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

8.已知函數V=/（X）（X,〉￡N+）滿足：（1）對任意都有

4伍）+"（0）<4（。）+"修）；（2）對任意〃eN+，都有;=則12〃8）+8〃12）

的值是（）.

A.324B.336C.348D.360

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.記數列｛%｝的前〃項和為S“，且S“=/+M”eN*),則()

A.g=4B.數列｛鼠｝是公差為1的等差數列

an

C.數列｛2“”｝是公比為4的等比數列D.數列｛(-1)%“｝的前2025項和為-2026

10.設函數〃X)=(X+1)2(X-2),則()

A.x=T是/(x)的極大值點

B.當0<x<l時，/(x)>/(x2)

C.當一2〈尤<0時，一4</(尤+1)<0

D.曲線了=八>)有且只有一個對稱中心，且該對稱中心坐標為Q-2)

11.在平面直角坐標系中，已知曲線￡上的動點尸(x,y)到點FQ,0)的距離與其到直線x=-2

的距離相等，點廠與點。關于原點對稱，過點C的直線/與曲線E交于A、B兩點，則下列

命題正確的是()

A.曲線E的軌跡方程為/=8%

B.若點T的坐標為(4,2),則|"|+|尸尸|的最小值為6

C.存在直線/使得8

D.對于任意直線/,都有尸|+忸尸|>2|C尸］

三、填空題

12.若正項等比數列｛叫滿足。3=1。，則lgai+lg%+L+3%=.

13.在平面直角坐標系xQy中，若圓C的圓心在x軸上，且與>軸相切，則圓C的標型方程

可以為.(寫出滿足條件的一個答案即可)

14.如圖，在3x3的點陣中，依次隨機地選出A、B、C三個點，則選出的三點滿足荏.衣<0

的概率是.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.記V4BC內角48,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=在cosB,-2=總方,

2

⑴求3；

(2)若c=2能,求V4BC的面積.

16.如圖，在四棱錐P-/8CD中，ABHDC,CD=2AB=2AD=2,W為棱尸C的中點.

⑵若AD1平面PCD,PC=4^>,PD=\,求平面PDM和平面BDM所成的角的正弦值.

2

17.已知直線/：>=而+加與橢圓C:土+/=1交于A、5兩點，。為坐標原點.

4

(1)證明：4k2+1>w2;

⑵已知方.礪=0,證明：點。到直線/的距離為定值.

18.已知函數/(x)=e「x.

⑴求曲線了=/(%)在點(0,7(0))處的切線方程；

⑵當尤田0,+8),6€(-00,1］時，恒成立，求實數。的取值范圍；

n+\111

(3)證明:

19.在某校舉辦的學科文化節系列活動中，數學組老師設計了一個答題挑戰活動供全校數學

愛好者挑戰.挑戰題目由邏輯推理題和運算求解題兩部分構成，用于考查學生的邏輯推理能

力和運算求解能力.現有〃名同學報名依次發起挑戰，每位同學成功解答出邏輯推理題和運

算求解題的概率均為兩題能否解出相互獨立，每位同學解題過程相互獨立，挑戰規則如

下：

①每位同學均先答邏輯推理題，邏輯推理題答對才能答運算求解題；

②記第M"1,2,3,L,〃)位同學挑戰為本次挑戰活動的第左輪，若第中=1,2,3,L位同

學在規定時間內未完成邏輯推理題，則認為本次活動的第i輪挑戰失敗，該同學退出由第

1+1位同學挑戰；

試卷第3頁，共4頁

③若第十=1,2,3,L,1)位同學在規定時間內完成邏輯推理題，則該同學繼續答運算求解

題，若該同學在規定時間內未完成運算求解題，則也認為本次活動的第，輪挑戰失敗，該同

學退出，由第1+1位同學挑戰；若該同學在規定時間內完成了運算求解題，則挑戰成功，本

次答題挑戰活動結束，后續同學不再進行答題挑戰.

④挑戰進行到第〃輪，則不管第〃位同學是否完成兩題的解答，答題挑戰活動結束.令隨機

變量X,表示這n名同學在進行第X,(X?=1,2,3,L,〃)輪挑戰后結束挑戰活動.

(1)求隨機變量七的分布列；

(2)若把挑戰規則①去掉，換成規則⑤：挑戰的同學先挑戰邏輯推理題，若有同學在規定時

間內完成邏輯推理題，以后挑戰的同學不再挑戰邏輯推理題，直接挑戰運算求解題.令隨機

變量匕表示這?名同學在第Y?(工=1,2,3,L,〃)輪挑戰后結束挑戰活動.

⑴求隨機變量工(〃wN*,"?2)的分布列；

(ii)證明:￡(工)<3.

試卷第4頁，共4頁

《廣西壯族自治區2025屆高三下學期3月第二次高考適應性測試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案ABBCDCBCACDACD

題號11

答案ABD

1.A

【分析】求出集合4,再利用交集的定義即可求出/C2.

【詳解】由/W1得：-14x41,所以集合/={#2叫=卜卜14》41},故/nB={T,0}

故選：A

2.B

【分析】根據復數的除法先計算出ZF+為，得虛部為立

【詳解】由（2-i）z=l+2inz=E=i,則復數z的虛部為1.

故選：B.

3.B

【分析】根據向量垂直的判斷條件列方程，求解即得.

【詳解】由￡，人可得3（機一5）+2加=0,解得加=3.

故選：B.

4.C

【分析】由雙曲線的焦點，漸近線方程和點到直線的距離公式可解.

【詳解】由雙曲線方程可得焦點坐標為（±3,0）,漸近線方程為y=士亭x,

由對稱性不妨求右焦點到y=^x的距離，

由點到直線的距離公式可得d=

故選：C

5.D

22

【分析】利用圓錐側面積公式S=”/和軸截面面積列方程再聯立尸=r+h即可得到結果.

【詳解】設圓錐的母線長為/,底面半徑為『，高為"

答案第1頁，共13頁

1=2

解得r=1

11=退

設該圓錐的母線與底面所成的角為6,則0。<。<90。，可得tane="=G,

r

所以該圓錐的母線與底面所成的角為60°.

故選：D.

6.C

【分析】構造函數，利用導數探討在區間[-2,6]上的單調性，再利用零點存在性定理確定零

點個數即可.

【詳解】函數了=-x+2在R上單調遞減，當尤<-2時，>>4；當x>6時，y<-4,

由-iWcosxVl,得-444cosx?4,因此曲線歹=4cosx與直線y=-x+2的交點橫坐標必在

[-2,6]上，

令/(x)=4cosx+x-2,xG[-2,6],求導得/(x)=-4sinx+l,

由/'(x)=0，得sinx=；,存在再￡(06,%2￡(：兀)，使得sin』=sin%2=；,

當一2<％<再或/<x?6時，f\x)>0；當芯<%<l2時，

函數/(幻在(-2,%6)上單調遞增,在(再,/)上單調遞減，

X/(-^)=-|-2<0,/(0)=2>0,/(j)=j>0,/(^)=j-2<0,/(7r)=7r-6<0,

/碎3兀)=,3712>0,因此函數/(尤)在(-2,士),(工,%),(3,6)上各有一個零點，

所以曲線V=4cosx與直線y=-x+2的交點個數為3.

故選：C

7.B

【分析】用平衡條件得出x的表達式，結合基本不等式可得答案.

【詳解】設天平左臂長為機，右臂長為"，見”>0且加片”，左盤放的藥品為占克，右盤放

答案第2頁，共13頁

的藥品為工2克，

100m=nx2100m

則，解得西

mxx=100〃mn

100〃100m、.幽嘩=200,

x=x+x=-------1-------->2,

x2mnmn

當且僅當加="時,取到等號，而加片"，所以x>200.

故選：B

8.C

【分析】先由條件(1)得到/(X)在N+上為單調增函數，再由條件(2)得到了⑴=2,再

根據/(/(叫=3n逐個遞推可得.

【詳解】對任意的〃=N+，由(1)得(〃+1)/("+1)+棚⑺>(〃+1)/(〃)+/(”+1),即

/(n+1)>/(?).

故/(x)在N+上為單調增函數.

對任意"eN+，由⑵得“3〃)=/(/(7?(〃)))=3八吟

顯然/(I)豐1.否則，3=/(/(I))=/⑴.矛盾.

若〃1"3,則3=〃/(1))2〃3)>〃2)>〃1"3,矛盾.

所以，/⑴=2.

故〃3)=3〃1)=6,/(6)=/(/(3))=3x3=9.

由6=/(3)</(4)〈/⑸</(6)=9,得"4)=7,"5)=8.

則〃8)=/(〃5))=3X5=15,/(12)=/(3X4))=3X/(4)=21.

故12/(8)+8/(12)=12x15+8x21=348.

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是能夠確定〃x)在N+上為單調增函數和/⑴=2,然后

利用/(/("))=3”求解.

9.ACD

【分析】利用給定的前”項和求出％,再結合等差數列、等比數列定義及并項求和法逐項判

答案第3頁，共13頁

斷.

【詳解】由s,=/+〃，n>2,得a“=S“-S,T=〃21)2一(〃一I)=2〃，而a]=5]=2滿

足上式，

因此數列｛6｝的通項公式為an=2n,

對于A,a2=4,A正確；

rt2.i^(1C

對于B,—=nn=-n+~,，包--,數列｛=4是公差為5的等差數列，B錯誤；

2

an2n22an+ian2an

對于C,2fl"=4"，*=4,數列｛2"”｝是公比為4的等比數列，C正確；

對于D,令％=(-1)"%=(—ly?2〃,b2n_l+b2n=-2(2n-l)+2-2n=2,數列次,｝前2025項和

為

1-(4023+24)+25

(bx+b1)+(bi+fe4)H----砥狐=2x1012—2x2025=—2026,D正確.

故選：ACD

10.ACD

【分析】求出函數〃無)的導數，求出函數的單調區間，再結合極值、對稱性逐項判斷得解.

【詳解】函數〃x)=(x+l)2(x-2)的定義域為R,求導得/'(x)=3(x+l)(x-D,

當x<-l或x>l時，>0；當一1<X<1時，f\x)<0,

函數在(1,+功上單調遞增，在(-1,1)上單調遞減，

對于A,x=-l是/(x)的極大值點，A正確；

對于B,〃x)在(0,1)上單調遞減，0<x2<x<l,則/(x)</(￡),B錯誤；

對于C,當一2<x<0時，T<x+l<l,/(l)</(x+1)</(-1),/(1)=-4,/(-1)=0,C正

確；

對于D,令g(x)=/(x)+2=x，-3x,g(—x)=(―x)3—3(—x)=—g(x),函數g(x)是奇函數，

函數g(x)的圖象關于原點對稱，則函數/(X)的圖象關于點(0,-2)對稱，

若函數g(x)的圖象還有一個對稱中心(。,6),a40,貝U26=g(a+尤)+g(a-x)

=(<7+x)3-3(tz+x)+(a-x)3-3(tz-x)=2a3-6a+6ax2,而2/_617+632不為常數，

因此點(。,6),。工0不是函數g(x)圖象的對稱中心，即函數g(x)的圖象有且只有一個對稱中

心，

答案第4頁，共13頁

則曲線y=/(x)有且只有一個對稱中心，且該對稱中心坐標為(0,-2),D正確.

故選：ACD

11.ABD

【分析】根據給定條件，利用拋物線定義求出曲線E的軌跡方程，再結合各選項條件逐一求

解判斷.

【詳解】對于A,由曲線E上的動點尸(x,y)到點尸(2,0)的距離與其到直線》=-2的距離相

等，

得曲線E是以尸為焦點，直線》=-2為準線的拋物線，方程為V=8x,A正確；

對于B,令點尸到直線x=-2的距離為d,貝"尸尸|=",過T作7廠垂直于直線尤=-2于7,

于是|尸7|+|尸用=|PT|+4217Tl=4-(-2)=6,當且僅當P是線段7〃與拋物線的交點時取

等號，B正確；

對于C,過A作4D垂直于直線x=-2于。，C(-2,0)，若|ZC|=01/4|,則|/C|=/|,

[y—x+2

|AD|=|CDI,ZACF=45°,直線/C方程為y=x+2,由T得好-8尸16=0,

[y=Xx

而此方程有相等實根，直線4C與拋物線相切，同直線NC與拋物線相交矛盾，C錯誤；

[x=ty—2c

對于D,v直線AC方程為x=ty—1,由<2得V-8川+16=0,A=64廠-64>0,解

[y=8x

得/>1,

2

設/(xQi),8a2，“，則%+xi+x2=t(yi+y2)-4=8t-4,

\AF\+\BF\=xl+2+x2+2=8i>8=21CF,D正確.

故選：ABD

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

①設直線方程，設交點坐標為(士,%),(%2)2)；

答案第5頁，共13頁

②聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于X（或了）的一元二次方程，注意A的判斷;

③列出韋達定理；

④將所求問題或題中的關系轉化為玉+尤2、再%（或%+%、h%）的形式；

⑤代入韋達定理求解.

12.5

【分析】根據等比數列項的性質計算化簡結合對數運算求解.

【詳解】正項等比數列｛&｝滿足%=1。，

55

則[g%+[ga2^---i-lga5=]ga1a2a3a4a5=lg（a3）=1g10=5.

故答案為：5.

13.（》一1）2+/=1（答案不唯一）

【分析】利用標準方程確定圓心和半徑即可

【詳解】設圓的標準方程為（x-a）2+（y-6）2=/（r>0）,

因圓C的圓心在x軸上，且與V軸相切，則同=匕6=0,

貝IJ圓的方程為（x-“y+『=/,故任取實數。即可，現取。=1,

故答案為：（x-l）2+j?=l（答案不唯一）.

14.A

63

【分析】先將9個點標號，對點A的位置進行分類討論，結合古典概型的概率公式可求得結

果.

【詳解】由題意可知A、B、C三個點是有序的，討論點A為主元，

對點A分三種情況討論，如下圖所示：

（1）第一類A為5號點.

①若4B/C=180°,三點共線有4條直線，止匕時有44；=8種；

②若/R4C=135。，如點8在1號位，則點C在6號位或8號位，即確定第二號點有4種方法,

確定第三號點有2種方法，此時有4x2￡=16種；

答案第6頁，共13頁

(2)第二類A為1、3、7、9號點，此時，不存在這樣的點；

(3)第三類A為2、4、6、8號點，以2號點為例，有三種情況如下圖所示:

^<(1+2+2)x44=40種.

綜上所述，滿足荏.正<0共有8+16+40=64種.

648

因此，所求概率為尸=下=募.

故答案為：金.

63

【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的方法如下：

(1)列舉法；

(2)列表法；

(3)數狀圖法;

(4)排列組合數的應用.

n

15.(1)5=-；

⑵2省+2.

【分析】(1)根據給定條件，利用余弦定理求出角C,進而求出3.

(2)利用和角的正弦及正弦定理、三角形面積公式計算得解.

【詳解】(1)在V/8C中，由/及余弦定理，得2abeosC=云他，

解得cosC=",而0<C<兀，則C=g,由sinC=Y^cosB,得cos3=，^,

2622

7T

又0<5<兀，所以5=一.

答案第7頁，共13頁

(2)由(1),^sinA=sin(B+C)=sin—cos—+cos^-sin^=---------，

46464

.R2g顯

由正弦定理得6=名"=——=4,

sinCJ-

2

所以VABC的面積為S=—bcsin^=—x4x2后x"+二=2樞+2

224

16.(1)證明見解析;

⑵叵

6

【分析】(1)取線段尸。中點N,連接AN,NM,易證四邊形是平行四邊形，再由

線面平行判定證結論;

(2)構建空間直角坐標系，應用向量法求面面角的余弦值，從而求得正弦值.

【詳解】(1)

取線段尸。中點N,連接AN,NM,

因為N是線段尸。中點，”為棱PC的中點,

所以MW7/DC,NM=-DC^\,

2

因為48//DC,48=1,

所以AB//NM,AB=NM,

所以四邊形45MN是平行四邊形，

所以8M7/AN,

又因為8Mlz平面尸ND,/Nu平面PN。，

所以8M7/平面P4D.

(2)

答案第8頁，共13頁

因為尸。=右,巳0=1?。=2,

所以PC?=P02+c02,所以尸D_LCD,

因為4D_L平面尸8,PD,COu平面PCD,

所以4DJ_PD,4D_LCZ).

如圖以。為原點，ZX4為x軸，DC為V軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標系,

則0(0,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,10,1,(U,。),

所以由麗=(1,1,0),

顯然平面尸DM的一個法向量為所=(1,0,0),

設平面的一個法向量為力=(x),z),

n-DM=0y+—z=0,、

貝IJ_，即/2,令x=l,則y=-l,z=2,所以k=(1,一1,2),

ii-DB=0x+v-o

所以平面PDM和平面BDM所成的角0的余弦值為：

cos0=Icosm,n\==-----,1==-

122

?同洞#Jp+(-i)+26，

貝！Jsin0=Vl-cos20=，

6

故平面PDM和平面BDM所成的角的正弦值為叵.

6

17.(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)聯立直線與橢圓方程，利用判別式列出不等式推理即得.

(2)利用韋達定理，結合數量積的坐標表示及點到直線距離公式推理即得.

y=kx+m

【詳解】(1)由消去兒M(4^2+l)x2++4m2-4=0,由直線/與橢圓C交

x1+4/=4

答案第9頁，共13頁

于兩點,

222

得A=64k2m2-16(4左2+l)(m-1)--16(m-4^-1)>0,

所以4左2+1＞加2

8km4m2-4

(2)設/(XQ1),882，/)，由⑴知，X1+x=-

24k2+rX'X2_4k2+1

2

〃、〃、727/、2724m-48k2m22

y1y2=(o：1+m)(Ax2+m)=kx1x2+km(xx+x2)+m=k-~~-+m

2222,2

m—4k.——?——?zH4m-4m—4k

--5----------，由04?05=0，得』%2+必先=------7----------1-----------7---—----二0，

4左+14左2+14左2+1

整理得加=3(F+I),因此點。到直線/的距離為定值=拽

5VFTiu2+i5

所以點。到直線/的距離為定值.

18.(1)了=1；

1

⑵。J；

(3)證明見解析.

【分析】(1)求出導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程.

(2)不等式對6Vl恒成立可得d-"2一％_120對彳20恒成立，再構造函數并利用導數探

討單調性推理得證.

(3)由(2)取。=1,6=1可得不等式〃了”1一+1戶20,再取1,并借助裂項相消法

22k

求得證.

【詳解】⑴函數〃%)=卜-％,求導得/'(x)=e:1,貝"(0)=0,而洋0)=1,

所以曲線>=/(X)在點(0"(0))處的切線方程為V=L

(2)不等式/(x)26+60e"-ax?-x26,

由bw(—8,1]時，/(x)2a/+6恒成立，得e"-a/一、21o二一"？_%_]之o,

令g(x)=QX-ax2-x-1,由當工￡[0,+8)時，f(%)>ax2+b恒成立，

得VxG[0,+oo),g(x)>0,求導得g'(x)=ex-2ax-1,令h(x)=ex-2ax-l,x>0,

答案第10頁，共13頁

求導得/(%)=3-2。，而e"21,則當2QW1,即時，A(x)>0,

f

函數g(x)在［0,+8)上單調遞增，gM>gXO)=O9函數g(x)在［0,+8)上單調遞增,

貝Ug(x)2g(0)=0,符合題意，因止匕

2

當時，由/z'(x)<0,得0cx<1II2Q,函數g'(x)在(0/n2〃)上單調遞減，

當工￡(0,In2a)時,g'(x)<g'(0)=0,函數g(x)在(0,In2a)上單調遞減，

則當xe(0,ln2a)時,g(x)<g(0)=0,不符合題意，

所以實數。的取值范圍是。<二.

2

(3)由(2)矢口，當。=；,6=1時，/(x)>^-x2+l,x>0,

取x=/eN,貝丫%"正+1,而2r飛成+1)二

因此如(是〃+笑

在k2M左22334n-H

11111

=n-\—(Z-------)=n-\----------,

22〃+242H+4

n+i111

所以Z〃7)>"-Lr+K

M方2〃+44

19.(1)分布列見解析;

(2)(i)分布列見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(1)分析出工的所有可能取值為1，2,3,4,5,再根據獨立性事件乘法公式即

可得到答案；

(2)⑴首先計算出尸億=左)=4+區=?、，則網%=〃)=P：+P,；=(〃+1)出,再

寫出工的分布列即可；

(ii)計算得E(工+J-E億)=("+2)g),再累加得

E億)q+4xg；+5xG-j+L+力(3"+("+1)13”,最后再利用錯位相減法即可得到

答案.

【詳解】(1)由題意可得,每名同學兩題均完成挑戰的概率為:，

答案第11頁，共13頁

工的所有可能取值為1，2,3,4,5,

則尸一;