勾股定理（4大易錯+4大壓軸）

01思維導圖

目錄

【易錯題型】...................................................................................1

易錯題型一利用勾股定理求解邊長的多解問題....................................................1

易錯題型二利用勾股定理求解折疊問題的多解問題...............................................7

易錯題型三利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）............................................15

易錯題型三勾股定理及逆定理與網格問題.......................................................17

【壓軸題型】..................................................................................22

壓軸題型一利用勾股定理證明線段平方關系....................................................22

壓軸題型二勾股定理的證明方法...............................................................27

壓軸題型三勾股定理逆定理的拓展問題.........................................................32

壓軸題型四應用勾股定理解決幾何圖形中最短路徑問題..........................................37

02易錯題型

易錯題型一利用勾股定理求解邊長的多解問題

例題：（24-25九年級上?全國?假期作業）是直角三角形，AB=2道,乙43c=30。，則/C的長為.

【答案】6或2

【知識點】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質、勾股定理，本題中只說明了A/BC是直角三角形、

/ABC=30。,并沒有說明直角是哪個角，所以要分兩種情況討論.當乙4c3=90。、乙4尤=30。時，根據

直角三角形中30。的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，可以求出==當448c=30。、

4/C=90。時，設2C=x,則3C=2x,根據勾股定理可以求出ZC的長度.

【詳解】解：如下圖所示，

若448c=30°,ZACB=90°,

在比A/BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,

:.AC=-AB=-x2y/3=V3；

22

若//8C=30。，ZBAC=90°,

設/C—x,

則3c=24C=2x,

在火以/5。中，AB2=BC2-AC2,

（2A/3）2=（2X）2-X2,

解得：x=2或x=-2（舍去）；

綜上所述，NC的長為板或2.

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?河南關B州?期中）如圖，在△4BC中，已知N48C=90。，48=4,BC=3,在平面內有

一點。，8=2,連接N。，當A/CO是直角三角形時，AD的長為.

【答案】回或萬/"［或回

【知識點】用勾股定理解三角形

2

【分析】本題主要考查了勾股定理，注意分類討論的思想：

利用勾股定理求出5,再分類討論，分別利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：???/A8C=90。，AB=4,BC=3,

AC=y]AB2+BC2=5，

當/ZCD=90。時，如圖：

???AD=y]AC2+CD2=V29;

當/4DC=90。時，如圖：

A

???AD=^AC2-CD2=V21；

AC>CD,

綜上所述，當A/CD是直角三角形時，AD的長為揚或在'，

故答案為：回或同.

2.（24-25九年級上?北京通州?期末）小明同學想利用“44=30。，AB=6cm,BC=5cm,這三個條件作

LABC.他先作出了//=30。和42=6cm,再作2C=5cm,那么/C的長是cm.

3

【答案】3百-4或3百+4

【知識點】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，分//C5為鈍角和銳角，兩種情況進行討論

求解.

【詳解】解：過點B作

/.A-30°,AB-6cm,

.-.BD=-AB=3,

2

???AD=S!AB--BD2=373，

在Rt^SCD中，CD=^BC2-BD2=4：

當//C5為鈍角時，貝l|：AC=AD-CD=34；

當//C5為銳角時，貝l|：/C=4D+CD=3百+4；

故答案為：3G-4或36+4.

3.（24-25八年級上?浙江杭州?期末）已知在△N8C中，48=17,AC^IO,8c邊上的高線40=8,則3c

邊的長為.

【答案】9或21

【知識點】用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查勾股定理的應用，解題的關鍵是能夠分兩種情況考慮，不要遺漏.由勾股定理可分

別在RtA48D和RRDC中求出2DDC的長，然后分兩種情況考慮：（1）當高/。落在△N3C內部時；

（2）當高/。落在△N8C外部時；根據D點的不同位置可得8DDC,8c三條線段不同的數量關系，從而

得到3c的值.

【詳解】??,48=17,/C=10,8c邊上的高線40=8,

.?.在RM4BD中,由勾股定理得，

BD=>JAB2-AD2=V172-82=15，

在必A/CD中，由勾股定理得,

4

CD=^AC2-AD2=7102-82=6，

分類討論：

①當高落在aABC內部時，

8C=8D+CD=15+6=21,

②當高落在A/BC外部時，

BC=BD-CD=15-6=9,

綜上所述：邊BC的長為9或21.

故答案為：9或21.

4.（23-24八年級下?江西景德鎮?期中）如圖，在RM4BC中，NACB=90°,4C=4,BC=3,現將

拓展為等腰ANBD,且使得點。在射線2c上，貝北。的長為.

7

【答案】3或;或2

6

【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形

【分析】A/BC是直角三角形，要把A/BC拓展成等腰因為等腰三角形是有兩條邊相等的三角形,

所以本題需要分三種情況考慮：當=時，當28=40時，當時.

【詳解】解：?.,在RMNBC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=y）AC2+BC2=A/32+42=5，

若將A/8C拓展為等腰，

當時，如下圖所示，

5

B

--------------HC

則有&)=ZB=5,

又「BC=3,

:.CD=BD-BC=5-3=2；

當43=4。時，如下圖所示,

在Rt^ABC和RtA^DC中

(AD=AB

[AC=AC，

:心ABC%ADC,

CD=BC=3；

當。/時，如下圖所示,

D

AD=y/AC2+CD2=M+m，

BC+CD=AD,

.-J42+CD2=3+CL?，

兩邊同時平方得：16+C￡)2=9+6CD+CD2,

7

解得：CD=~.

o

6

故答案為：3或（7或2

6

【點睛】本題考查等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，熟練掌握利用方程根據勾股定理建立方程求解

以及進行全面思考、分類討論是解題的關鍵.

易錯題型二利用勾股定理求解折疊問題的多解問題

例題：（24-25八年級上?河南鄭州?期中）如圖，RtN4C3中，4c8=90。，AB=5,8C=4,點。為線段

CB上一個動點，連接4D,將△/口沿直線AD翻折得到△4DE,線段NE交直線C2于點尸.若力EF為

直角三角形，則2。的長是.

【知識點】折疊問題、用勾股定理解三角形

【分析】根據題意可分三種情況：當/EDE=90。時，當〃用=90。時，利用勾股定理來求解.

【詳解】解：當/FDE=90。時，過點E作EGL/C,交/C的延長線于點G,如圖

ZG=ZEDC=ZDCG=90°,

四邊形CDEG是矩形，

CD=EG,CG=DE。

■■■將AADB沿直線AD翻折得到△4DE,

DB=DE,AE=4B=5.

在RtZX/BC中

AC=yjAB2-BC2=A/52-42=3.

設。3=x,

貝lJ/G=3+x,CD=GE=CB-DB=A-x,

（3+x）2+（4-x）2=52,

7

整理得X?7=0,

解得尤1=1,%2=0（舍去）,

所以AD=1.

當ND廢=90。時，此時點尸與點C重合,

將AADB沿直線AD翻折得到△4DE，

DB=DE,AE=AB=5,

設DB=x,

貝UE尸=5-3=2,CD=CB-DB=4-x,

22+（4-X）2=X2,

整理得-8x+20=0,

解得x=g，

即AD=g.

因為在RtZ\4BC中，ZACB=90°,

所以W90。，翻折后，4DE廠不可能為90。，此種情況不存在.

綜上所述，8。的長是1或3.

【點晴】本題考查了翻折的性質，勾股定理，直角三角形的性質，矩形的判定和性質，掌握分類思想是解

答關鍵.

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?浙江寧波?期中）如圖，在RtZ\/8C中，ZA=90°,ZB=30°,BC=百+1,點E,F

分別是3C,/C邊上的動點，沿班'所在直線折疊/C,使點C的對應點C'始終落在邊A8上，若

是直角三角形時，則3E的長為.

8

A

【答案】省或冬生工

3

【知識點】含30度角的直角三角形、折疊問題、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質，分情況討論：①當4￡。=90。

時，根據含30。角的直角三角形的性質和折疊的性質可得出3C，=2EU=2EC,根據勾股定理可求出

BE=^3EC'=^EC,然后結合線段的和差求解即可；②當=90。時，根據含30。角的直角三角形的性

質和折疊的性質可得出BE=2EU=2EC,然后結合線段的和差求解即可.

【詳解】解：、?折疊，

EC'=EC

BC'=2EC'=2EC,

BE=4BC'--EC'1=百EC'=拒EC，

y.BC=BE+EC=y/3+l,

■■y/3EC+EC=y/3+l-

??.EC=1,

■■■BE=BC~EC=43;

②當/BCE=90。時

9

VZB=30°,

BE=2EC'=2EC,

又BC=BE+EC=6+1,

??.2EC+EC=6+1,

:.EC=,

3

BE=BC-EC=2y^+2.

3

綜上，BE的長為G或3+2.

3

2.（24-25八年級上?浙江?階段練習）如圖，在△N3C中，AB=AC=9,44=90。，點。在邊48上運動,

點E在邊8c上運動.將△48C沿折疊，當點8的對應點"恰好落在邊/C的三等分點處，此時

BD=.

【答案】5或6.5

【知識點】用勾股定理解三角形、折疊問題

【分析】本題考查的是軸對稱的性質，勾股定理的應用，分兩種情況：當/B'=g/C=3時，如圖，當

2

=6時，設BD=B，D=x,再利用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】解：如圖，當N"=g/C=3時，

AD=9-x,

???N4=90°,

.?.X2=32+（9-X）2,

10

解得：x=5,即BQ=5,

2

如圖，當/〃=§/C=6時,

設BD=B，D=x,

AD=9-x,

???N/=90°,

.-.X2=62+（9-X）2,

解得：x=6.5,即50=6.5,

綜上：為5或6.5,

故答案為：5或6.5.

3.（24-25九年級上?江蘇?期中）如圖，在中，AC=BC=4cm,/48C=30。，點P是線段AB上一動

點,將ABCP沿直線C尸折疊，使點3落在。處,CD交/尸于點￡當A/CE是直角三角形時，8尸的長為.

【知識點】含30度角的直角三角形、折疊問題、根據三線合一證明、用勾股定理解三角形

【分析】分兩種情況：當/ZEC=90。時；當//C￡=90。；然后分別利用等腰三角形的性質，勾股定理以及

折疊的性質進行計算，即可解答.

【詳解】解：分兩種情況：

①當//EC=90。時，如圖：

11

ZAEC=ZDEP=90°

設BP=xcm,

：AC=BC=4cm,CE1AB,/ABC=30°,

：.CE=-BC=2cm,AE=BE=NBC?-CE?=打―2?=26cm，

由折疊得：BC=CD=4cm,BP=PD=xcm,

:.DE=CD—CE=4—2=2cm,PE=BE-BP=(273-x)cm,

在RQDEP中,DE2+PE2=DP2^

22+(2V3-X)2=X2,

解得：、=生8,

3

BP=^^-cm.

3

②當/ZCE=90。，如圖:

過點。作垂足為H,

ZAHC=ZCHE=90°

-/AC=BC=4cm,CHLAB,

由①知CH=2cm,AH=BH=2>/3cm,

由折疊得：5C=CD=4cm,/BCP=/DCP,/B=/D,

ND=NA,

?「ZECH+ZHCA=90°,ZHCA+ZA=90°,

/.ZECH=乙4,

ZECH=ZB,

???ZCPH是ABCP的一個外角，

12

：.ZCPH=ZB+ZBCP,

ZPCH=ZDCP+ZECH,

：.APCH=ZCPH,

HC=HP=2cm,

BP=BH-HP=（2道-2）cm,

綜上所述：BP的長為殍cm或（2G-2）cm,

故答案為：殍cm或（2g-2）cm.

【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題），等腰三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質等知識點，分

兩種情況討論是解題的關鍵.

4.（23-24八年級下?河南平頂山?期中）如圖，在等邊三角形/3C中，AB=4,BDL4C于點D,點、E,F

分別是8C,NC上的動點，沿止所在直線折疊△口?尸，使點C落在5。上的點C'處，當△3EC是直角三

角形時，2C'的長為.

【答案】4G-4或1百

【知識點】等邊三角形的性質、折疊問題、二次根式的除法、用勾股定理解三角形

【分析】由等邊三角形的性質可得/D3C=30。，由△2EU是直角三角形，分兩種情況討論：①若

/BEC'=90°,②若NBC'E=90。,由直角三角形的性質分別求解即可.

【詳解】解：???△N3C是等邊三角形，

ZABC=60°,BC=4B=4,

■-BD1AC,

ZDBC=30°,

由折疊可得CE=CE',分兩種情況：

①若/BEC=90。，如圖所示：

13

BC'=ICE,

在Rt^BEC'中，根據勾股定理，可得BE=^C'E=^CE,

又,；BE+CE=BC=4,

???也CE+CE=4,

：.CE=C'E=1^3-2,

BC'=2CE=4艮4；

②若/BCE=90。，如圖所示：

BE=ICE,

-：BE+CE=BC=4,

.-.3C￡=4,

4

??.CE=C'E=—,

3

綜上所述，2C的長為4#-4或g6,

14

故答案為46-4或

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，折疊的性質的運用，勾股定理的應用，二次根式的運算，熟練掌

握折疊的性質是解題的關鍵，注意分情況討論.

易錯題型三利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

例題：（23-24八年級上?江蘇鹽城?階段練習）中，斜邊43=1,則的值是

【答案】2

【分析】先畫圖，再利用勾股定理可求2c2的值，從而易求/82+5C2+/C2的值.

【詳解】解：如圖所示，

在RtZ\48C中，AB2=BC2+AC2,

又???AB=1,

BC2+AC2=AB2=1,

B2+BC2+AC2=\+\=I.

故答案是：2.

【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?河南鄭州?期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四

邊形A8CD,對角線4C,3。交于點。，若/。=3,BC=8,貝必1+⑺②=.

【答案】73

【分析】本題考查勾股定理的應用，從題中抽象出勾股定理這一數學模型是解題關鍵.

15

222

在RtZ\C08和RtZ\/O8中，根據勾股定理得8。2+。。2=。82,OD+OA=AD,進一步得

BO2+CO2+0D1+OA1=+9=,再根據//=302+/療，CD2=OC2+OD1,然后根據等量代換即可

解答.

【詳解】解：???ADL/C,

ZCOB=NAOB=ZAOD=ZCOD=90°,

在Rt/XCOB和RtZUOB中，根據勾股定理得：BO2+CO2=CB2,OD~+OA1=AD2,

■-CB2+AD2=BO2+CO-+OD2+OA2=M+9=^,

■：AB1=BO2+AO2,CD-=OC2+OD2,

AB2+CD2=BO2+AO2+OC2+OD2=(BO2+OD2)+(^O2+OC2)=CS2+AD2=73.

故答案為：73.

2.(22-23八年級下?山西大同?期末)如圖，“3C和AECD都是等腰直角三角形，CA=CB=；,

CE=CD=3,AABC的頂點/在AECD的斜邊DE上，則AE2+AD2的值為.

【答案】8

【分析】根據常見的“手拉手全等模型”，結合勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接80,如圖所示：

因為A/8C和AECO都是等腰直角三角形，CA=CB=；,CE=CD=3

NACB=NECD,NE=NADC=ZCAB=ZABC=45°

???NACB=2ECD=90°

ZACB-ACD=NECD-ACD

即NACE=ZBCD

■：AC=BC,EC=DC

:.AACE沿ABCD

16

/.AE=BD,/AEC=ZBDC=45°

...ZADB=/ADC+ABDC=90°

tAAE2+AD2=BD2+AD2=AB2=AC2+BC2=2x^=y

故答案為：-

【點睛】本題綜合考查全等三角形的判定與性質以及勾股定理的應用.掌握相關幾何知識是解題的關鍵.

3.（23-24八年級上?遼寧沈陽?階段練習）如圖，四邊形/3CZ）的對角線AC,BD交于點、O.若AC，BD,

4B=4,CD=4S,貝汁叱+血八.

【答案】21

【分析】根據勾股定理即可解答.

【詳解】解：AB=4,CD=45,

.,.在RtZUOB中，OA2+OB2=AB2=42=16,

■.在RtACOZ)中，+OD2=必=(6)2=5,

又：在RUAOD中，0/2+0D2=AD1,

在RtABOC中，OB2+OC2=BC2,

：.BC2+AD2

=(OB2+OC2)+(OA2+OD2)

=(OB2+0/2)+(OC?+OD2)

=AB2+CD2

=16+5

=21.

【點睛】本題考查了勾股定理的應用，靈活應用勾股定理是解題關鍵.

易錯題型三勾股定理及逆定理與網格問題

17

例題：（24-25八年級上?貴州貴陽?期中）如圖所示的4x3方可格網格紙中，小正方形的邊長為1,有A,B

兩個格點，試取格點C,使得"BC是直角三角形，則8c的長為

A\：B

III）

till

【答案】1或2或正或出或2夜

【知識點】勾股定理與網格問題

【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是確定點C的位置.先確定點C的位置，分四種情況：當

ACYAB,且ZC=1時，當且ZC=2時，當8C1N8時，當2c時，根據勾股定理求解

即可.

【詳解】解：如圖，點C的位置如下，使得4ABC是直角三角形，

當/CJ_N8,且/C=l時，BC=\lAC2+AB2=Vl2+22=V5；

當NC_LN8,且NC=2時，BC=\）AC2+AB2=722+22=78=272；

當3clz8時，BC=1或3c=2；

當/CJ.8C時，點C在48的垂直平分線上，且/C=8C,

AC2+BC2=AB2,即23c2=22,

BC=V2;

綜上所述，8C的長為1或2或正或6或2五，

故答案為：1或2或正或行或2夜.

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?全國?期中）如圖所示的是正方形網格，貝！—°（點A,B,C,

D,M為網格線交點）.

18

M

【答案】45

【知識點】勾股定理與網格問題、格點圖中畫等腰三角形、在網格中判斷直角三角形

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握相關知識并數形結合.在

直線上取點￡,使得=連接。E,過點E作交CD的延長線于點。，得到

AMAB=AEDF,推出/=根據勾股定理的逆定理證明是直角三角形，結合

EM=DM,即可求解.

【詳解】解：如圖，在直線48上取點E,使得及W=連接DE,過點E作所/CD,交CD的延長

線于點尸，

ZMDC-NMAB=ZMDC-ZEDF=ZEDM,

VME2=A/D2=12+22=5,DE2=l2+32=10,

EM2+DM2=DE2,

是直角三角形，

EM=DM,

NEDM=45°,即ZMDC-ZMAB=45°

故答案為：45.

2.（23-24八年級下?廣東湛江?階段練習）如圖，在4x4的正方形網格，其中每個小正方形的邊長均為1,

點4、B、C都在格點上，4D/BC于點、D,則的長為

19

【答案】2

【知識點】勾股定理與網格問題、在網格中判斷直角三角形、利用網格求三角形面積

【分析】本題考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜邊高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是

本題關鍵.根據勾股定理計算8c的長，再利用面積差可得三角形N8C的面積，由三角形的面積公式即可

得到結論.

【詳解】由勾股定理得：AC2=22+12=5,AB2=22+42=20,5C2=42+32=25.

AC2+AB2=BC2,BC=5,AC=45,AB=2y[5,

是直角三角形，NA4c=90。,

ADIBC,

S=-BCAD=-ABAC,

"ARC22

,nAB-AC275x75、

BC5

故答案為：2.

3.(23-24八年級上?浙江寧波?期中)如圖，在6x8的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1,每個小

格的頂點叫做格點，格點△42。如圖所示，請用無刻度的直尺在給定網格作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡.

圖1圖2圖3

(1)在圖1中，作出△/BC的高CH,并直接寫出的長為—

(2)在圖2中，在邊AC上找到點D，使得NABD=45°；

(3)在圖3中，作△/斯，使尸和ZUBC面積相等但不全等.

【答案】(1)3.2

(2)見解析

(3)見解析

【知識點】勾股定理與網格問題、無刻度直尺作圖、等腰三角形的性質和判定

【分析】本題是三角形綜合題，考查了作圖的應用與設計、勾股定理、三角形面積公式、網格線的特點、

等腰直角三角形的性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形面積是解題的關鍵,

屬于中考常考題型.

(1)取格點。，連接交于點〃，線段即為所求，再由三角形面積求出紙的長即可；

20

(2)以4B為直角邊作一個等腰直角三角形，即可解決問題;

(3)根據等底同高的三角形面積相等，即可作出△/￡尸.

【詳解】⑴解：如圖1,取格點。，連接C。交N3于點

AB=43?+4?=5>S/UBC=]X4X4=8,SAABC=—AB-CH,

—x5CH=8,

2

解得：CH=3.2,

故答案為：3.2；

(2)解：如圖2,以48為直角邊作一個等腰直角三角形/BE,BE交AC于點D,

圖2

則a4AD=45。，即為所求;

圖3

4.(24-25八年級上?江蘇蘇州?期中)如圖，正方形網格的每個小方格邊長均為1,A/3C的頂點在格點上.

21

(1)直接寫出A8=,BC=,AC=；

(2)判斷的形狀，并說明理由；

(3)直接寫出AC邊上的高=.

【答案】(1)2石，石，5

(2)A/5C是直角三角形，理由見解析

(3)2

【知識點】勾股定理與網格問題、判斷三邊能否構成直角三角形、與三角形的高有關的計算問題

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的

關鍵.

(1)利用勾股定理，進行計算即可解答；

(2)利用勾股定理的逆定理，進行計算即可解答；

(3)利用面積法，進行計算即可解答.

【詳解】(1)解：由題意得：AB2=22+42=20,BC2=12+22=5,^C2=32+42=25,

:.AB=25BCf,4c=5；

(2)解:△ABC是直角三角形，

理由：VAB2+BC2=25,AC2=25,

AB-+BC2=AC2,

:“BC是直角三角形；

(3)解：設/C邊上的高為〃，

&ABC的面積==；AB-BC,

:.AC-h^ABBC,

51=2岳石,

h=2.

03壓軸題型

壓軸題型一利用勾股定理證明線段平方關系

22

例題：(23-24八年級下?安徽蚌埠?期中)如圖，在“8C中，AD1BC.

⑴求證：AB2-AC2=BD2-CD2；

(2)當/3=8,BC=6,/C=2舊時，求4D的值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)/。=45

【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關證明和計算及解二元一次方程組，熟練掌握和運用勾股

定理是解決問題的關鍵.

(1)在Rt△極)和RM40c中，分別運用勾股定理可得48?―方+瓦月AC2=AD2+CD2,利用4D邊

相等，聯立兩式移項即得證.

(2)根據第一問的結論，可求出的值，利用平方差公式，結合3C=BD+S=6,可求得

BD-CD,而3D+CD=6,由此可求得8。、CD,由勾股定理即可求出ND.

【詳解】(1)證明：；AD1BC,

在Rt△曲和RM4DC中，根據勾股定理得，

AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2,

AB2-BD2=AD1=AC2-CD2,

移項得：AB2-AC2=BD2-CD2.

i^AB2-AC2=BD2-CD2.

(2)解：AB2-AC2=BD2-CD2,AB=8,AC=2屈

BD2-CD2=AB2-AC2=82-(2V13)2=64-52=12,

BD2-CD2=(BD+CD)(BD-CD)=12,

BC=6,即8O+CD=6,

BD-CD=2,

23

BD+CD=6BD=4

[BD-CD=2,解得]cD=2，

初=/笈一BA?=82-42=64-16=48,

AD=4y/3.

鞏固訓練

1.（23-24八年級上?江西吉安?期末）如圖，已知。3c與都是等腰直角三角形，其中

ZACB=Z.DCE=90°,。為4B邊上一點.

（1）試判斷4。與班的大小關系，并說明理由;

⑵試說明AD2,BD2,DE2三者之間的關系.

【答案】（1）/。=3后，理由見解析

（2）AD2+BD2=DE2，理由見解析

【分析】（1）證明△4C02SCE即可；

（2）根據（1）可得△/CD會A8CE,得到4D=8E,ZABC=AA=ACBE=45°,得到ADBE是直角三角

形，根據勾股定理證明即可.

【詳解】（1）AD=BE.理由如下：

05c與ACDE都是等腰直角三角形，

：.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZDCE=90°,

ZACD=/BCE=90°-/BCD.

.?.△/CD絲A8CE（SAS）,

**-AD=BE.

(2)AD2+BD2=DE2.理由如下：

由(1)可得"CDABCE,

AD=BE,/ABC=/A=NCBE=45。，

/.ZDBE=90°f

24

■-BE1+BD1=DE-，

■■AD2+BD2=DE2.

【點睛】此題綜合運用了等腰直角三角形的性質、全等三角形的性質和判定、以及勾股定理，關鍵是根據

全等三角形的性質得出AD=BE.

2.(23-24九年級上?安徽?開學考試)如圖，在RtZS/BC中，已知乙4=90。，。是斜邊2c的中點，DELBC

交AB于點、E,連接CE.

(1)求證：BE2-AE2=AC2;

(2)若NC=6,BD=5,求的周長.

【答案】(1)見解析

⑵14

【分析】(1)由線段垂直平分線的性質可得=在RM/CE利用勾股定理建立線段的平方關系，再等

量代換即可求證；

(2)在RtZ\/5C中，由勾股定理得42的長度，結合線段垂直平分線的性質即可求解.

【詳解】(1)證明：是斜邊3c的中點，DE1BC,

DE是線段BC的垂直平分線，

BE=CE.

在RtA/CE中，由勾股定理得

■■■BE1=AC2+AE2,

BE2-AE2=AC2.

(2)解：???￡＞是斜邊BC的中點，BD=5,

■,BC=1BD=1Q.

在RtZXZBC中，由勾股定理得AB=^BC2-AC2=A/102-62=8，

AB=BE+AE-8.

又?；BE=CE,

；.CE+AE=8,

25

??.△ZCE的周長為CE+4E+/C=8+6=14.

【點睛】本題考查了勾股定理的應用、線段垂直平分線的性質等知識點.熟記相關結論是解題關鍵.

3.(23-24八年級上?遼寧沈陽?階段練習)如圖，在等腰RtZX/BC中，ZACB=9Q°,AC=2,點尸是直線

N8上一個動點，作等腰Rt^FCP,且NPCE=90。，連接4P.

(1)找出圖中全等三角形.

(2)如圖求證：FB2+AF2=PF2-,

(3)若N尸=8，則尸尸=______.

【答案】⑴APC/GA尸C2

(2)見解析

(3)2

【分析】(1)可證=從而得證APC4知FCB(SAS)；

(2)由全等得，AP=FB,APAC=AFBC=45°,得NPAF=NPAC+NC4B=90。,根據勾股定理得證結論;

(3)RtzX/C8中，勾股定理求得4B=2也，得BF=也，于是PF=JAP。+AF?=2?

【詳解】(1)解：如圖，ZACB=ZPCF=90°,

NACB-ZACF=NPCF-ZACF.

ZPCA=ZFCB.

又PC=FC,4C=BC,

APC的AFCB(SAS).

故全等三角形為APC4四A尸CB.

(2)解：?；APC4%FCB,

.-.AP=FB,APAC=NFBC=45°.

ZPAF=APAC+ZCAB=90°.

■-PA2+AF2=PF2.

■■FB2+AF2=PF1.

26

（3）解：RtAZCB中，AC=2,

■■■AB=41AC=141.

AF=C，

■■BF=AB-AF=yf2.

AP=42-

???PF=ylAP2+AF2=2?

【點睛】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質；由全等三角形推證線段相等、角相等是解題的關

鍵.

壓軸題型二勾股定理的證明方法

例題：（23-24八年級下?遼寧葫蘆島?期中）勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理，世界上各個文明古

國都對勾股定理的發現和研究作出過貢獻.特別是定理的證明，據說方法有400余種.其中我國漢代的趙爽

在注解《周髀算經》時給出了證明.請你用下面弦圖（由四個全等的直角三角形圍成的）證明勾股定理：

如果直角三角形N3C的兩條直角邊長分別為。/，斜邊長為。，那么/+/=02.

【答案】見解析

【分析】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質，完全平方公式等知識.熟練掌握勾股定理的證

明，完全平方公式是解題的關鍵.

由弦圖可知，Rt/GBQRtABDM空RLMEN咨KANFA,則四邊形和四邊形DErG是正方形，由

S正方形DEFG=S照那MN+4國微，可得（。+6）2=C2+4X、6,整理得/+〃=C2.

【詳解】證明：由弦圖可知，RUAGB^RUBDM^RUMEN^RUNFA,

27

???四邊形ABMN和四邊形DEFG是正方形,

???（Q+6）2=。2+4X；,

a2+2ab+b2=c2+2ab，

a2+b2=c2.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?全國?假期作業）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，且巧妙各有不同，其中的“面積

法”給了小聰以靈感.他驚喜地發現：當兩個全等的直角三角形如圖（1）或圖（2）擺放時，都可以用“面積

法”來證明勾股定理.

下面是小聰利用圖（1）證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按如圖（1）所示擺放，其中/D/5=90。.求證：a2+b2=c2.

【分析】此題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出四邊形的面積是解本題的關鍵.證明勾股定理時,

用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和，化簡整

理即可得到勾股定理表達式.

【詳解】證明：如圖（1）,連接D8,過點。作2C邊上的高。尸，則。尸=EC=b-“.

121

S四邊形ZOCB=S2CD+S^ABC=56+—ab,

S四邊形ZDCB=SjDB+S、DCB=/C+/4（6一°），

28

一b~H—cib——H—a(b—a

2222、

：.a2+b2=c2■

2.（23-24八年級下?河南平頂山?期中）數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象.數與形也

是有聯系的，這種聯系稱為“數形結合”.利用“數形結合”思想可以直觀地幫助我們解決一些數學驗證或運算.

（1）我國是最早了解勾股定理的國家之一，該定理闡明了直角三角形的三邊關系.請你利用如圖對勾股定理

（即下列命題）進行驗證，從中體會“數形結合”的思想：

已知:如圖，在RtZ^48C和RtZiCDE中，/8=NZ）=N/C￡=90。，（點B,C,。在一條直線上），AB=CD=b,

BC=DE=a,AC=EC=c.

證明：a2+b2=c2;

⑵請利用“數形結合”思想，畫圖并推算出（a+b+c）2的結果.

【答案】（1）見解析

（2）見解析，a2+b2+c2+2ab+2.bc+2ac

【分析】本題考查了勾股定理的證明及完全平方公式，熟練掌握數形相結合的思想是解題的關鍵.

（1）利用面積法證明即可;

（2）利用面積法計算即可.

【詳解】（1）證明：梯形/5DE的面積=2xgab+gc2,

mne(a+b)x(a+b)

梯形ABDE的面積=——口——L,

2

(q+b)x(q+Z?)

222

29

(2)解：如圖所示:

a

nHn

大正方形的面積=(a+b+c『；

大正方形的面積=a2+b2+c+lab+2bc+lac,

(a+b+c)~=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.

3.(23-24八年級下?廣西南寧?期中)我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數學家趙爽為了證明勾股

定理，創制了一幅如圖1所示“趙爽弦圖”(邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分

方法1：S陰影=;

方法2：S陰影=；

根據以上信息，可以得到等式：；

(2)小亮將“弦圖”中的4個三角形進行了運動變換，得到圖2,請利用圖2證明勾股定理;

(3)如圖3,將圖2的2個三角形進行了運動變換，若a=6,6=3,求陰影部分的面積.

【答案】(I),-。)？；c2-A--ab-c2=b2+a2

(2)見解析

(3)陰影部分的面積為52.

【分析】本題考查了勾股定理的證明與運用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作用是解題的關鍵.

30

(1)方法1：求得小正方形的邊長為伍-。)，方法2：大正方形的面積減4個直角三角形的面積，據此計

算即可；

(2)$大正方形=S陰影正方形+4S^，列式計算即可證明；

(3)先用勾股定理計算出c,再利用S空白=5大正方形-2S△計算面積即可.

【詳解】⑴解：方法1：S陰影=伍-。)2；

方法2：S陰影

911

2222222

v[b-a)=c-4--ab,c=(b-a)-\-4--ab=b+a-lab+lab=b+af

故=/+/；

根據以上信息，可以得到等式:c2=b2+a2;

1

故答案為：(6-“)9；c2-4-ab；c2=b2+a2;

(2)解：??,S大正方形=§陰影正方形+4%,

?1

即(a+b)=c2+4--ab,

整理得a2+2ab+b2=c2+2ab，

故/+〃=，；

(3)解：如圖,S陰影=S正方形48c°-，

a=6,b=8,

c=A/62+82=10，

則§正方形=廿=100，

71

/.S陰影—c—2,—cib-100—6,8=52,

故陰影部分的面積為52.

31

壓軸題型三勾股定理逆定理的拓展問題

例題：（23-24八年級上?江蘇徐州?期中）在。5c中，BC=a,AC=b,AB=c,設c為最長邊，當

時，"8C是直角三角形；當/+/片02時，利用代數式/+〃和°?的大小關系，探究“8C的形狀（按角

分類）.

⑴當A48C三邊分別為6、8、9時，AABC為三角形；當“BC三邊分別為6、8、11時，“BC

為三角形；

（2）猜想：當/+〃,2時，“8C為銳角三角形；當/+//時，“8C為鈍角三角形；

（填“>”或“〈”或“=”）

⑶判斷：當a=5/=12時，

當"3C為直角三角形時，則c的取值為；

當“3C為銳角三角形時，則，的取值范圍；

當“3C為鈍角三角形時，則。的取值范圍.

【答案】（1）銳角；鈍角

⑵>；<

（3）①c=13；（2）12<c<13；@13<c<17

【分析】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

（1）當兩直角邊為6、8時，利用勾股定理可得斜邊的長度，當三角形最長的邊小于所求邊為銳角三角形,

反之為鈍角三角形；

（2）根據勾股定理的逆定理即可得出結論；

（3）當為直角三角形時，可求出0=，7萬=13,再根據勾股定理的逆定理求出下面情況的取值范圍.

【詳解】（1）解：當兩直角邊為6、8時，斜邊=用+82=10

.?.當"8C三邊分別為6、8、9時，AA8C為銳角三角形

當“3C三邊分別為6、8、11時，03C為鈍角三角形

（2）解：由勾股定理逆定理可得，

當/+62>02時，03C為銳角三角形；

當時，?3C為鈍角三角形；

32

(3)解：當為直角三角形時，=3

當。8c為銳角三角形時，a2+b2>c2,

.?.12<c<13；

當。3C為鈍角三角形時，a2+b2<c2,

則c的取值范圍為c>13,

■■■兩邊之和大于第三邊，

13<c<17.

鞏固訓練

1.(21-22八年級下?福建廈門?期中)定義：如圖，點跖N(點〃■在N的左側)把線段48分割成

MN,NB.若以NN,MN,NS為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段的購