2023-2024學年度第二學期全市義務教育質量學業水平監測

八年級數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的相關信息填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡各題目

指定區域的相應位置上，寫在試卷上無效.

3.本卷總用時90分鐘，全卷滿分120分.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.“白毛浮綠水，紅掌撥清波”，白鵝撥出的圓形水波不斷擴大，記它的半徑為r,則其面積S與r的關

系式為S=",，下列判斷正確的是（）

A.r是常量B.%是常量C.S是自變量D.S,n,r都是變量

2.若二處有意義，則x可以是下面的哪個值（）

x-1

A.OB.1C.2D.3

3.已知口48。中，a、b、c分別是NA、NB、NC的對邊，下列條件不能判斷口43。是直角三角形的是

（）

A.NA=NC-NBB.a：b：c=4：5：6

35

C.a2=b2-c2D.a=—,b=—，c=l

44

4.已知正比例函數丁=（9加一1）%的圖象上兩點4（七，〉1）,3（%2，%），當花<X2時，有%<為，那么"2的

取值范圍是（）

11

A.m<9B.m<—C.m>QD.m>—

99

5.如圖，在。ABC。中，BE平分/ABC交A。于點E,ZA=100°,則NAEB等于（）

第1頁/共6頁

ED

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、BD交于點O,若NBA。=120°,若AB=6,則。4

的長為（）

B.4C.3D.2G

3

7已知直線”二一3與兩坐標軸的交點分別為A、B,則口4。5的周長為（）

A.12B.10C.9D.8

8.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=履+人的圖象與x軸交點為A（-3,0）,與y軸交點為2,且

4/、4

與正比例函數y=§%的圖象交于點C（相,4）.觀察函數圖象，關于x的不等式§%＜區+6的解集為

)

A.x<4B.x>4C.x<3D.x>3

9.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖

是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個大正方形（如圖2）.設直角三角形較長直角邊長為a,

較短直角邊長為b.若。。=8,大正方形的面積為25,則圖2中E尸的長為（）

第2頁/共6頁

AD

b

圖1

c.2V2

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1,2）,以。為圓心，的長為半徑畫弧，交直線

y=gx于點耳；過點用作用軸交直線y=2x于點兒,以。為圓心，長為半徑畫弧，交直

線丁=3》于點層；過點為作與4〃y軸交直線丁=2%于點4，以點。為圓心，。人長為半徑畫弧，

交直線于點用，…，按如此規律進行下去，點與024的坐標為（）

y=2x

4

4

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

II.甲、乙兩支排球隊隊員的平均身高都為1.82m,方差分別為S甲2=3.7,S乙2=4.2,則身高較整齊的

球隊是隊.

12.將直線y=-3x-5向上平移3個單位長度后，得到的直線解析式為.

13.若點A（a,0）在一次函數y=-x+2圖象上，則a+匕的值是.

14.如圖，在。A8CD中，對角線AC、5。相交于。，BD=2AD,E、F、G分別是。C、OD、

的中點，下列結論：①581AC；②EG=GF；③四邊形是平行四邊形；④E4平分

ZGEF.其中正確的是.（填序號）

第3頁/共6頁

AD

15.如圖，矩形ABC。中，AB=10,AD=4,點P為邊CD上一個動點，將△4尸。沿AP折疊得到

△APQ,點D的對應點為Q,當射線P。恰好經過的中點M時，。尸的長為

三、解答題（一）：本大題共3小題，第16小題10分，第17、18小題各7分，共24

分.

16.計算：

(1)V12+V16-V2

（2）（2024—萬）。+|百—1,出+V12

17.某同學上學期的數學歷次測驗成績如下表所示:

平時測驗

測驗類別期中測驗期末測驗

第1次第2次第3次

成績100106106105110

（1）該同學上學期5次測驗成績的眾數為,中位數為

（2）該同學上學期數學平時成績的平均數為；

（3）該同學上學期的總成績是將平時測驗的平均成績、期中測驗成績、期末測驗成績按照2：3：5的比

例計算所得，求該同學上學期數學學科的總評成績（結果保留整數）.

18.如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為

AC=15km,與公路上另一停靠站8的距離為8C=20km,停靠站A,B之間的距離為AB=25km,

為方便運輸貨物現要從公路AB上的。處開鑿隧道修通一條公路到C處，且.

第4頁/共6頁

c

（1）求證：/ACS=90。；

（2）求修建的公路CD的長.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.觀察以下等式：

第1個等式：（a+1）（2—&）=&+1

第2個等式：（及+1）（3—后）=2亞+1

第3個等式：（G+l）（4—G）=36+1

按照以上規律，解決以下問題：

（1）寫出第5個等式；

（2）試用含為自然數，且的式子表示你猜想的第〃個等式，并證明其正確性.

20.如圖，已知四邊形ABC。中，ZA=ZB=90°,

（1）尺規作圖：過點。作。E_LBC,交于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）若BC=2A。，當NC滿足什么條件時，（1）中作出的四邊形ABED為正方形？并證明你的結

論.

21.為響應政府低碳生活，綠色出行的號召，某公交公司決定購買一批節能環保的新能源公交車，計劃購

買A型和8型兩種公交車，其中每輛的價格、年載客量如表：

A型B型

價格（萬元/輛）ab

年載客量（萬人/年）60100

若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共

第5頁/共6頁

需350萬元.

(1)求。，Z?的值；

(2)計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200

萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次，問有幾種購買方案？

(3)在(2)的條件下，請用一次函數的性質說明哪種方案使得購車總費用最少?最少費用是多少萬元？

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.問題情境：小明在期末復習時，遇到了這樣一個問題：如圖，在正方形中，點E、尸分別在邊

BC、CD上，且/，垂足為那么AE與8F相等嗎？

圖1圖2圖3

(1)請直接判斷：AEBF(?"=”或“尹)；

在“問題情境”的基礎上，小明繼續探索以下問題：

(2)如圖，在正方形A6CD中，點及尸、G分別在邊BC、CD和D4上，且GEL3R,垂足為

M.那么GE與5尸相等嗎？證明你的結論；

(3)如圖，在(2)的條件下，當M在正方形ABC。的對角線4c上時，連接BG,將△BMG沿著

BG翻折，點M落在點"'處.那么四邊形是正方形嗎？并說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標系中，直線A3交x軸于點A(-2,0),交y軸于點8(0,4),直線>=日+6

經過點2且交x軸正半軸于點C,已知AC=5.

(2)若點G為線段BC上一點，且滿足S口MG=SDAOB，求點G的坐標；

(3)如圖，點E為線段AB中點，點。為y軸上一動點，以。石為直角邊作等腰直角口DEE,且

DE=DF，當點歹落在直線上時，求點。的坐標.

第6頁/共6頁

國家義務教育質量監測結果應用整改之：

2023-2024學年度第二學期全市義務教育質量學業水平監測

八年級數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的相關信息填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡各題目

指定區域的相應位置上，寫在試卷上無效.

3.本卷總用時90分鐘，全卷滿分120分.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.“白毛浮綠水，紅掌撥清波”，白鵝撥出的圓形水波不斷擴大，記它的半徑為廣，則其面積S與r的關

系式為S=",，下列判斷正確的是（）

A.r是常量B.%是常量C.S是自變量D.S,乃，r都是變量

【答案】B

【解析】

［分析］本題主要考查函數中常量與變量的概念，根據常量（不會發生變化的量）與變量（會發生變化的量）

的定義即可求解，掌握其概念是解題的關鍵.

【詳解】解：A、廠是自變量，故選項不符合題意；

B、%是常量，故選項符合題意；

C、S是因變量，故選項不符合題意；

D、/是常量，故選項不符合題意；

故選：B.

2.若2x有意義,則x可以是下面的哪個值（）

x-1

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

第1頁/共24頁

【分析】本題考查二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，掌握被開方數不小于零且分母不為零的條件

是解題的關鍵.根據被開方數不小于零且分母不為零的條件進行解題即可.

【詳解】解：由題可知，

‘3-2x20

x—1w0

3

解得xW—且xwl.

2

則只有0符合.

故選：A

3.已知口43。中，a、b、c分別是NA、ZB,NC的對邊，下列條件不能判斷口ABC是直角三角形的是

（）

A.ZA=ZC-ZBB.a：b：c=4：5：6

35

C.a2=b2-c2D.a=—,b=-,c=1

44

【答案】B

【解析】

【分析】依據三角形內角和定理以及勾股定理的逆定理，即可得出結論.

【詳解】A、VZA=ZC-ZB,且NA+/B+NC=180。，.\ZC=90°,故^ABC為直角三角形.

B、；42+52彳62,.?.△ABC不是直角三角形；

C,Va2=b2-c2,.\b2=c2+a2,故4ABC為直角三角形；

35

D、*/a=—,b=—,c=l,.,.b2=c2+a2,故4ABC為直角三角形；

44

故選：B.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應用以及三角形內角和定理.判斷三角形是否為直角三角形，可利

用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷.

4.已知正比例函數y=（9m-l）x的圖象上兩點，當苞<々時，有為<%，那么冽的

取值范圍是（）

11

A.m<9B.m<—C.m>0D.m>—

99

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了正比例函數圖象與系數的關系：對于了=履（左為常數，左70）,當左>0時，y=kx

第2頁/共24頁

的圖象經過一、三象限，y隨x的增大而增大；當左<0時，y=&的圖象經過二、四象限，y隨x的增大而

減小.據此求解即可.

【詳解】解：：當石<%2時，有%<%，

/.9/n-l>0,

1

m>—.

9

故選D.

5.如圖，在。ABC。中，BE平分/ABC交于點E,NA=100°,則NA砂等于（）

A.30°B.40°C.50°D,60°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的性質，三角形內角和定理，由平行四邊形的性質得到

ZABC=80°,角平分線的性質得到NA3E=L/A5C=40°,再根據三角形內角和定理即可求解，掌握相

2

關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

AB//CD,

：.ZABC+ZA=180°

：NA=100。，

AZABC=180°-ZA=80°,

,/BE平分/ABC,

：.ZABE=-ZABC=40°,

2

NAEB=180°—NA—ZABE=180°-100°-40°=40°,

故選：B.

6.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、3。交于點。，若NBA。=120。，若AB=6,貝U

的長為（）

第3頁/共24頁

AD

Q

B匕----------

A.5B.4C.3D.2A/3

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了菱形的性質，由菱形的性質判定為口43。等邊三角形，即得出AC=AB=6,進而根

據菱形的性質，即可求解.

【詳解】解：在菱形ABC。中，對角線AC、BD交于點。，ZBAD=120°,

：.AD//BC,AB=BC,AO=-AC

2

：.ZABC=60°,

□ABC等邊三角形，

AC=AB=6,AO=—AC=3,

2

故選：C.

3

7.已知直線y=—x—3與兩坐標軸的交點分別為A、B,則口4。8的周長為（）

-4

A.12B.10C.9D.8

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理；先求出直線A3與兩坐標軸的交點，再求

出A6的長度，即可得出答案.

【詳解】解：當x=0時，y=-3,

當y=0時，x=4,AB=^32+42=5>

則口AOB的周長為3+4+5=12.

故選：A.

8.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數》=履+6的圖象與x軸交點為A（-3,0）,與y軸交點為B,且

4/X4

與正比例函數y=的圖象交于點C（根,4）.觀察函數圖象，關于x的不等式耳》<6+6的解集為

（）

第4頁/共24頁

y

「

匕/X

A.x<4B.x>4C.x<3D.x>3

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式，先得出加=3,運用數形結合思想，來解答兩個函數所對

應的兩直線交點，得出它們構成的不等式的解集，據此即可作答.

【詳解】解：???點。（皿4）在正比例函數y=

：.4=-m,

3

m=3,

則。（3,4）,

???一次函數>=履+》的圖象與無軸交點為A（-3,0）,與y軸交點為8,且與正比例函數y=的圖象交

于點C（3,4）,

4

結合圖象，關于x的不等式乙+6的解集為x<3,

故選：C.

9.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”

是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個大正方形（如圖2）.設直角三角形較長直角邊長為m

較短直角邊長為從若。。=8,大正方形的面積為25,則圖2中E尸的長為（）

bBC

圖1圖2

A.3B.4C.2夜D.3也

第5頁/共24頁

【答案】D

【解析】

【分析】由圖形2可知，中間四邊形的邊長為（a-。）的小正方形，由大正方形的面積由四個全等的直角三

角形加中間小正方形的面積得出，x4+（a-=25,再結合。匕=8即可得出（a-。）的值，再根據勾

股定理即可求出EF的長.

【詳解】解：由圖形2可知，中間四邊形的邊長為（。-。）的小正方形，

?.?大正方形的面積為25,

；?AB2=25，

又?.?大正方形的面積由四個全等的直角三角形加中間小正方形的面積，

.\yx4+（tz-^）2=25,

/.（a-by+2ab=25,

：.（a-b）2+2x8=25,

:.a—b=3（負值已舍），

即圖2中小正方形的邊長為3,

EF="\/32+32=3A/2'

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理的應用，正確得出大正方形的面積是解題的關鍵.

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（L2）,以。為圓心，的長為半徑畫弧，交直線

y=gx于點4；過點4作用4軸交直線y=2x于點4，以。為圓心，。人長為半徑畫弧，交直

線y=gx于點鳥；過點與作為4〃7軸交直線丁=2%于點A，以點。為圓心，長為半徑畫弧，

交直線于點用，…，按如此規律進行下去，點與024的坐標為（）

第6頁/共24頁

1023

A.Q2°23,22°24B.Q2022

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、點的坐標的變化規律以及兩點之間的距離公式，解答

本題的關鍵是明確題意，發現題目中坐標的變化規律，求出相應的點的坐標.

根據題意可以求得點用的坐標，點兒的坐標，點鳥的坐標，然后即可發現坐標變化的規律，從而可以求得

點§2024的坐標.

【詳解】解：由題意可得，點4的坐標為(L2),

設點4的坐標為

.3=04,

解得：＜7=2,

...點4的坐標為(2,1),

同理可得，點4的坐標為(2,4),點鳥的坐標為(4,2),

點A的坐標為(4,8),點B3的坐標為(8,4),

以此類推可得，點3,的坐標為(2",2〃T)

..?點外024的坐標為(22°24,22°23),

故選：D.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.甲、乙兩支排球隊隊員的平均身高都為1.82m,方差分別為S甲2=3.7,=4.2,則身高較整齊的

球隊是隊.

【答案】甲

【解析】

【分析】本題考查了方差的意義，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離

平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平

第7頁/共24頁

均數越小，即波動越小，數據越穩定，熟練掌握方差的意義是解題的關鍵.根據方差的定義，方差越小數

據越穩定，即可得出答案.

【詳解】解：,?,甲、乙兩支排球隊隊員的平均身高都為1.82m,方差分別為S甲2=3.7,V=4.2,

S甲2<5/,

身高較整齊的球隊是甲隊，

故答案為：甲.

12.將直線y=-3x-5向上平移3個單位長度后，得到的直線解析式為.

【答案】y=_3x_2

【解析】

【分析】本題考查了一次函數圖象與幾何變換，解題的關鍵是掌握“上加下減”的平移規律.

根據“上加下減”的平移規律即可得到答案.

【詳解】解：將直線y=-3x-5向上平移3個單位長度后，

得到的直線解析式為y=-3x-5+3=-3x-2；

故答案為：y=-3x-2.

13.若點A（a,。）在一次函數y=-x+2圖象上，則。的值是.

【答案】2

【解析】

【分析】本題主要考查代數式求值以及一次函數的圖像和性質，熟練掌握一次函數圖像上點的坐標特征是

解題的關鍵.

把點A（a,。）代入y=-x+2,得。+匕=2,即可求解.

【詳解】解：由于點A（a,。）在一次函數y=-x+2圖象上，

故將點A（a,b）代入y=-x+2中，

得。=一6+2,化簡可得a+Z>=2,

故答案是2.

14.如圖，在。ABC。中，對角線AC、3。相交于0,BD=2AD,E、F、G分別是。C、0D、

的中點，下列結論：①BE1AC；②EG=GF；③四邊形BE戶G是平行四邊形；④E4平分

NGEF.其中正確的是.（填序號）

第8頁/共24頁

AD

【答案】①③④

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質可得08=8。，由等腰三角形的性質可判斷①正確，由直角三角形的性質和

三角形中位線定理可判斷②錯誤，由BG=EE,BG〃EE〃C。可證四邊形BEPG是平行四邊形，可得

③正確.由平行線的性質和等腰三角形的性質可判斷④正確.

【詳解】解：.??四邊形ABC。是平行四邊形

BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,AB//BC,

2

又?：BD=2AD,

0B=BC=0D=DA,且點E是。C中點，

BELAC,

故①正確，

?：E、/分別是。C、。。的中點，

.-.EF//CD,EF=-CD,

2

.??點G是RtAABE斜邊AB上的中點，

:.GE=-AB=AG=BG,

2

EG=EF=AG=BG,無法證明GE=GF,

故②錯誤，

?/BG=EF,BG//EF//CD

四邊形BE/G是平行四邊形

故③正確，

?/EF//CD//AB,

/BAC=ZACD=ZAEF,

???AG=GE,

NGAE=/AEG,

NAEG=NAEF,

.:AE平分NGEF,故④正確.

第9頁/共24頁

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，直角三角形的性質，三角形中位線定理，平行線的性質等知

識，靈活運用相關的性質定理、綜合運用知識是解題的關鍵.

15.如圖，矩形ABC。中，AB=10,AD=4,點P為邊上一個動點，將△APD沿AP折疊得到

△APQ,點。的對應點為Q,當射線P。恰好經過A3的中點M時，。尸的長為

【答案】2或8##8或2

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，分點尸在線段CD中點的左邊和右邊兩種情

況，畫出圖形解答即可求解，運用分類討論思想解答并正確畫出圖形是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖1,過點P作PELA8于E,則四邊形AQPE為矩形，ZPEM=90°,

圖1

：?EP=AD=4,AE=DP,

由折疊可得，DP=QP,AQ=AD=4fZAQP=ZD=90°,

：.DP=QP=AE,ZAQM=90°,

??,點M為AB的中點，

:.AM=—AB-5,

2

/.QM=4AM。-AQ2=V52-42=3，

設DP=QP=AE=a,則ME=5—。，PM=3+a,

在Rt/\PEM中，PE2+EM2=PM?，

42+（5-a）2=（3+a）2,

解得a-2,

：.DP=2；

第10頁/共24頁

如圖2,過點M作MFLCD與歹，則四邊形ADEM是矩形，NMFP=9U°,

圖2

：.DF=AM=5,MF=AD=4,

由折疊可得。P=QP,AQ=AD=4,NAQP=ND=90。,

???QM=《AM?—AQ2=V52-42=3，

設DP=QP=x,則。E=x—5,PM=x-3,

在RtDMFP中，MF-+PF?=PM2，

42+(x-5)2=(x-3)\

解得x=8,

DP=8-

綜上，OP的長為2或8,

故答案為：2或8.

三、解答題(一)：本大題共3小題，第16小題10分，第17、18小題各7分，共24

分.

16.計算：

(1)^1xV12+V16^V2

(2)(2024—萬了+2―1/出+V12

【答案】⑴V6+2V2

⑵373-2

【解析】

【分析】本題主要考查了二次根式混合運算、負整數指數塞、零指數幕、化簡絕對值等知識，熟練掌握相關

公式和運算法則是解題關鍵.

第11頁/共24頁

(1)首先根據二次根式乘除法法則進行運算，然后相加減即可；

(2)根據零指數累運算法則、絕對值的性質、負整數指數幕以及二次根式的性質進行運算，然后相加減即

可.

【小問1詳解】

解：^1xV12+V16^V2

=76+272

【小問2詳解】

解：(2024-^)°+|V3-l|-f1l+V12

=1+73-1-2+2^

=373-2

17.某同學上學期的數學歷次測驗成績如下表所示:

平時測驗

測驗類別期中測驗期末測驗

第1次第2次第3次

成績100106106105110

(1)該同學上學期5次測驗成績的眾數為,中位數為

(2)該同學上學期數學壬時成績的平均數為；

(3)該同學上學期的總成績是將平時測驗的平均成績、期中測驗成績、期末測驗成績按照2：3：5的比

例計算所得，求該同學上學期數學學科的總評成績(結果保留整數).

【答案】(1)106,106；(2)104；(3)107分.

【解析】

【詳解】分析：(1)根據中位數及眾數的定義，即可求解；

(2)根據平均數的計算公式計算即可；

(3)用本學期的的數學平時測驗的數學成績XO.3+期中測驗XO.3+期末測驗義0.4,計算即可.

詳解：(1)數據排列為:100,105,106,106,110；

所以中位數為106,眾數為106.

(2)平時數學平均成績為：100+105+10-=104.

第12頁/共24頁

(3)104x0.3+105x0.3+110x0.4=107分.

點睛：此題主要考查了中位數、眾數、平均數、算術平均數的計算，關鍵是理解中位數、眾數、平均數、

算術平均數的概念和公式.

18.如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為

AC=15km,與公路上另一停靠站8的距離為=20km,停靠站A,8之間的距離為AB=25km,

為方便運輸貨物現要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且，48.

(1)求證：ZACB=90°；

(2)求修建的公路CD的長.

【答案】(1)見解析(2)12km

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應用，以及三角形的面積公式等知識，熟練掌握這兩個定

理是解題關鍵.

(1)根據勾股定理的逆定理，由AC2+JBC2=A52得到AABC是直角三角形，進而得解；

(2)利用口48。的面積公式可得，=從而求出CD的長.

【小問1詳解】

解：證明：VAC=15km,BC=20km,AB=25km,152+202=252.

AC~+BC2=AB2,

：.ZACB=90°.

【小問2詳解】

CDLAB,

S=-ABCD=-ACBC,

unA/IDRCC22

℃ACBC15x20\

CD=----------=----------=12(km).

AB25v'

答：修建的公路CO的長是12km.

四、解答題(二)：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.觀察以下等式：

第13頁/共24頁

第i個等式：（Vi+i）（2-Vi）=Vi+i

第2個等式：（逝+1）（3-收）=2行+1

第3個等式：陵+1）（4-@=3百+1

按照以上規律，解決以下問題:

（1）寫出第5個等式;

（2）試用含"〃為自然數，且"21）的式子表示你猜想的第〃個等式，并證明其正確性.

【答案】⑴（A/5+1）（6->/5）=5A/5+1；

（2）++l—6）="6+1,理由見解析.

【解析】

【分析】本題考查了數字規律，二次根式的乘法，認真觀察等式，找出所給規律是解題的關鍵.

（1）根據所給等式可得答案；

（2）首先寫出第w個等式，然后再利用二次根式的乘法進行計算即可.

【小問1詳解】

解：第1個等式：（&+1）（2—=&+

第2個等式：（行+1）（3-&）=2逝+1,

第3個等式：（6+1）（4-百）=3百+1,

第4個等式：（4+1）（5-4）=4翡+1,

第5個等式：心+1）（6-6）=5不+L

【小問2詳解】

解:根據題意，第"個等式為：（冊+1）（〃+1-6）="6+1,理由如下：

^yfn+1）1+1一冊）=nG+n+yfn+1-n-Vn=nG+1,

/.+1）（〃+1一冊）=njn+1.

20.如圖，已知四邊形ABC。中，ZA=ZB=90°,

第14頁/共24頁

（1）尺規作圖：過點。作。E，BC,交于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）若BC=2A。，當NC滿足什么條件時，（1）中作出的四邊形ABED為正方形？并證明你的結

論.

【答案】（1）作圖見解析；

（2）當NC=45°時，四邊形ABED為正方形，證明見解析.

【解析】

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，正方形的判定，矩形的判定與性質等知識，掌握相關知識是解題的關

鍵.

（1）根據題意，過點作直線的垂線即可；

（2）先證明四邊形ABED為矩形，再證明3E=DE,即可證得四邊形ABED為正方形.

【小問1詳解】

解：在的下方任取一點歹，以。為圓心，。尸的長度為半徑畫圓，交于點M、N,再分別以

M、N為圓心，DW的長度為半徑畫圓，交于點G,連接OG,交于點E,則。EL8C,。石即

為所求，如圖：

解：當NC=45°時，四邊形A3ED為正方形，理由如下:

DE1BC,

：.ABED=ZCED=90°,

ZA=ZB=90°,

四邊形ABED為矩形，

/.AD=BE,

第15頁/共24頁

BC=2AD,

BE=CE,

VZCED=9Q°,ZC=45°,

ACED為等腰直角三角形，

CE=DE,

：.BE=DE,

，四邊形ABED為正方形.

21.為響應政府低碳生活，綠色出行的號召，某公交公司決定購買一批節能環保的新能源公交車，計劃購

買A型和B型兩種公交車，其中每輛的價格、年載客量如表：

A型B型

價格（萬元/輛）ab

年載客量（萬人/年）60100

若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共

需350萬元.

（1）求。的值；

（2）計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200

萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次，問有幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，請用一次函數的性質說明哪種方案使得購車總費用最少?最少費用是多少萬元？

【答案】（1）。的值為100,。的值為150；

（2）有4購買方案（3）購車總費用最少的方案是購買A型公交車9輛，購買B型公交車1輛，購車總

費用為1050萬元

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用和一次函數的應用，解題的關鍵

是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組；根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；正確

列出函數解析式.

（1）利用總價=單價x數量，結合“購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型

公交車2輛，8型公交車1輛，共需350萬元”，即可得出關于“，。的二元一次方程組，解之即可得出

結論；

（2）設購買A型公交車機輛，則購買B型公交車（10-根）輛，根據“購買A型和3型公交車的總費用不

第16頁/共24頁

超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次”，即可得出關于冽

的一元一次不等式組，解之即可得出加的取值范圍，結合加為整數，即可得出加的值，得出購買方案；

（3）設購車總費用為W萬元，根據總費用=購買兩種公交車費用之和列出函數解析式，由函數的性質得出

最值.

【小問1詳解】

〃+26=400〃二100

解：依題意得：<2a+0=350,解得：'

6=150,

答：。的值為100,。的值為150；

【小問2詳解】

解：設購買A型公交車〃?輛，則購買B型公交車（10-m）輛,

100m+150(10-m)<1200

依題意得:

60m+100(10-m)>640

解得：6<m<9

又為整數

??.有4購買方案；

【小問3詳解】

解：設購車總費用為w萬元,

貝ljw=100m+150(10-rn)=-50m+1500,(6〈加〈9且加為整數)

,/-50<0,

W隨"2的增大而減小

，當加=9時，w最小，最小值為一50義9+1500=1050（元），

，購車總費用最少的方案是購買A型公交車9輛，購買B型公交車1輛，購車總費用為1050萬元.

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.問題情境：小明在期末復習時，遇到了這樣一個問題：如圖，在正方形ABC。中，點E、F分別在邊

BC、CD上，且/，垂足為M.那么AE與3尸相等嗎？

圖1圖2圖3

第17頁/共24頁

(1)請直接判斷：AEB尸(填"=”或“尹)；

在“問題情境”的基礎上，小明繼續探索以下問題：

(2)如圖，在正方形ABC。中，點E、F、G分別在邊3C、CD和ZM上，且GEL5R,垂足為

M.那么GE與B尸相等嗎？證明你的結論；

(3)如圖，在(2)的條件下，當M在正方形ABC。的對角線AC上時，連接BG,將△BMG沿著

BG翻折，點M落在點河'處.那么四邊形是正方形嗎？并說明理由.

【答案】(1)=(2)GE=BF,理由見詳解

(3)是，理由見詳解

【解析】

【分析】(1)證明△A3E等△3CT即可得出結論；

(2)過點A作AN〃GE,證明口ABN@2CB,由此可得AN=GE=BE；

(3)連接DM,證明口84“絲OZMM(ASA),所以NA5M==DM；由折疊可知，

AM=AM',GM=GM',由四邊形內角和和平角的定義可得NMGD=NGDM,所以GM=DAf,則

AM=AM'=GM=GM'=BM，所以四邊形BMGM'是菱形，再由“有一個角是直角的邊形是正方形”

可得結論；

【小問1詳解】

解：,/AE1BF,

ZEMB=90°,

ZFBC+ZBEM=90°,

?.?四邊形ABC。是正方形，

AB=BC,ZABC=NC=90°,

ZFBC+ZBFC=90°,

NBEM=NBFC,

在□ABE和△BCE中，

ZABC=ZC

<ZBEM=ZBFC,

AB=BC

■DABE^BCF(AAS),

AE=BF,

故答案為：=；

第18頁/共24頁

【小問2詳解】

GE=BF,理由如下:

如圖，過點A作AN/GE,交BF于點H,交BC于點、N,

ZEMB=ZNHB=90°,

NFBC+ZBNH=90°,

?..四邊形ABC。是正方形,

AD//BC,AB=BC/BAD=NABC=ZC=90°,

：AD//BC,AN//GE,

：.四邊形ANEG是平行四邊形,

AN=EG,

ZC=90°,

ZFBC+ZBFC=9Q0,

ZBNH=4BFC,

^ABN^BCF(AAS),

AN=BF,

AN=EG,

GE=BF；

【小問3詳解】

是，理由如下：

連接DM.

由（2）的結論可知：GE=BF.

?.?四邊形