勾股定理與思想和折疊問題（3大思想+6大模型）

01思維導圖

目錄

【思想總結］...................................................................................1

思想一方程思想...............................................................................1

思想二分類討論思想...........................................................................7

思想三轉化思想.............................................................................11

【模型總結】..................................................................................15

模型一長方形中折痕過對角線模型.............................................................15

模型二長方形中折痕過一頂點模型.............................................................19

模型三長方形中折痕過任意兩點模型...........................................................25

模型四直角三角形中過一個頂點所在直線（落點在一邊上）翻折模型.............................30

模型五直角三角形中過斜邊中點所在直線翻折模型..............................................34

模型六直角三角形中過任意兩點所在直線（落在其中一邊）翻折模型.............................38

02思想總結

思想一方程思想

適用情況：

1.直角三角形中兩條邊長未知，當兩邊長存在一定數量關系;

2.直接三角形中存在公共邊（或作高，構造公共邊）；

3.折疊問題；

4.實際應用問題.

例題：（23-24七年級下?山東淄博?期末）如圖，在23C中，乙43c=90。，AB=3,BC=4,E是邊8c上

一點，將沿NE折疊，使點8的對應點"恰好落在邊/C上，則3E的長等于.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?廣東珠海?期中）如圖，在筆直的鐵路上/、8兩點相距7km,C,。為兩村莊，

。/=31011,酸=41011,。/，48于4,CBLAB于B.現要在上建一個中轉站E,使得C,。兩村到E站

的距離相等，求ZE的長.

AEB

□/\□

/「\\

/\

/\

D\

\

\

化

2

2.（23-24八年級下?新疆喀什?期中）如圖，一只小鳥旋停在空中A點，A點到地面的高度48=8米，A點

到地面C點（8,C兩點處于同一水平面）的距離/C=10米.

⑴求出8C的長度；

（2）若小鳥豎直下降到達。點（。點在線段上），此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同，求小鳥

下降的距離.

3

3.(23-24八年級下?安徽合肥?期中)如圖，小巷左右兩側是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時,

竹竿底端。到左墻角的距離OC為2米，頂端8距墻頂的距離42為1米，若保持竹竿底端位置不動，將竹

竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離。尸為3米，頂端E距墻頂。的距離。￡為2米，點4B、C在

一條直線上，點。、E、尸在一條直線上，AC1CF,DFLCF.求:

⑴墻的高度；

(2)竹竿的長度.

4

4.（23-24八年級上?江蘇南京?階段練習）已知中，AB=AC=5,BC=8,點。在5c邊上.請從

A,B兩題中任選一題作答.

圖1圖2

A.如圖1,若ZD_L4B；

B.如圖2,若BD=AB；

我選擇A題，則的長為；

我選擇8題，則的長為.

5

思想二分類討論思想

適用情況：

1.高在三角形內，外不明確；

2.直角邊、斜邊不明確；

3.動態問題或存在性問題中，直角頂點的位置不明確.

例題：（2024?黑龍江哈爾濱?二模）在RtZ\48C中，AB=AC,點。是直線AB上一點，BD=\,

4D=3,連接CD,則線段的長為.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?湖北孝感?期末）如圖，在Rt^ASC中，ZC=90°,AC=3,3C=4,點尸為射線3c

上一點，將沿AP所在直線翻折，點C的對應點為點G，如果點G在射線BA上，那么PC=.

2.（23-24八年級下?安徽合肥?期末）已知中，/8=15,AC=13,8C邊上的高40=12,求邊

的長.

3.（23-24八年級下?河北張家口?期中）如圖，在Rt448C中，ZC=90°,AB=5m,AC=3m,動點尸從

點8出發沿射線3c以Im/s的速度移動，設運動的時間為ts.

⑴求邊的長；

（2）當為直角三角形時，求f的值.

6

思想三轉化思想

適用情況：

1.最短路徑問題（未知轉化為已知，化曲為直）；

2.等線段轉化（幾何證明）.

例題:⑵-24八年級上?四川達州?階段練習）如圖，A兩個村在河流CD的同側，分別到河的距離為/C=10

千米，9=30千米，且8=30千米，現在要在河邊建一自來水廠，向A、8倆村供水，鋪設水管的費用

為每千米1萬，請你在河流上選擇水廠的位置產，使鋪設水管的費用最節省，并求出總費用是多少？

B

A

..…Q...................D.

鞏固訓練

1.（22-23八年級下廣東廣州?期中）如圖，/、3兩個村子在筆直河岸的同側，/、3兩村到河岸的距離分

別為NC=2km,BD=5km,CD=6km,現在要在河岸CD上建一水廠E向/、8兩村輸送自來水，要求

水廠E到/、2兩村的距離之和最短.

B

A

clD

（1）在圖中作出水廠￡的位置（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）求水廠E到4、2兩村的距離之和的最小值.

2.（23-24八年級下?山東聊城?期中）綜合與實踐

7

【問題情境】

數學綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2,A

和B是一個臺階兩個相對的端點.

【探究實踐】

老師讓同學們探究：如圖①，若/點處有一只螞蟻要到2點去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到2點

的最短路程是多少？

(1)同學們經過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20,寬為15

的長方形，連接經過計算得到長度為,就是最短路程.

【變式探究】

(2)如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30c%,高是8c小，若螞蟻從點/出發沿著玻

璃杯的側面到點5,則螞蟻爬行的最短距離為一

A20二

---一、

圖①圖②圖③圖④

【拓展應用】

(3)如圖④，圓柱形玻璃杯的高9c%,底面周長為16CTM,在杯內壁離杯底4c機的點/處有一滴蜂蜜,

此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1c加，且與蜂蜜相對的點3處，則螞蟻從外壁2處到內壁/處所

爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不計)

8

03模型總結

模型一長方形中折痕過對角線模型

【模型解讀】沿著長方形的對角線所在直線進行翻折。

已知矩形ABC。中，以對角線AC為折痕，折疊△ABC,點B的對應點為B’.

1

結論1:^ABC-小ABC;

結論2：折痕AC垂直平方BB'；

D

結論3：△AEC是等腰三角形。

B'

例題：（23-24八年級下?北京海淀?期中）如圖所示，把一張長方形紙片沿對角線2。折疊，若

AB=4,BC=3,求肝的長.

【變式訓練】

9

1.如圖，長方形48co中，BC=4,DC=2,如果將該長方形沿對角線2。折疊，使點C落在點尸處,

2.如圖，在長方形紙片Z8CD中，AB=8cm,ND=6cm.把長方形紙片沿直線NC折疊，點8落在點E

處，AE交DC于點、F,則4F的長為()

A.—cmB.—cmC.1cmD.一cm

422

3.（22-23八年級上?江蘇徐州?期中）如圖，長方形48CD中，NDAB=NB=NDCB=ND=90°,AD=BC=6,

48=CD=10.點E為。C上的一個動點，把沿直線NE翻折得△///￡.

u

圖1圖2

(1)當。點落在48邊上時，NDAE=

⑵如圖2,當E點與C點重合時，D'C與AB交點尸，求在'長.

模型二長方形中折痕過一頂點模型

10

【模型解讀】沿著長方形的一個頂點和一邊上的點的線段所在直線進行翻折。

已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點B的對應點為B1.

結論1："BE三"B'E；

B

E折在矩形內

結論2:折痕AC垂直平方BB'。

_______

D1L

結論1：“ABE三E；

)7嚴AAB'

卜折在矩形邊上

結論2：折痕AC垂直平方BB'。

DH'C

結論1：四邊形4BCE三四邊形/Z'C'E';

IB

r折在矩形外結論2：折痕AC垂直平方BB'；

B'結論3：AAEF是等腰三角形。

例題：（23-24八年級上?四川成都?期末）如圖，長方形紙片/BCD中，已知力。=8,折疊紙片使42邊與對

角線NC重合，點2落在點尸處，折痕為4E,且BE=3.

⑴求CF的長;

（2）求48的長.

【變式訓練】

1.（23-24七年級下?重慶?期末）如圖，將長方形N8C。沿ZE折疊，點。恰好落在8c邊的尸點上，已知CF=4,

11

2.（23-24八年級下?河南南陽?期末）如圖所示，有一張長方形紙片280,AB=%,AD=6.現折疊該紙

片使得邊與對角線DB重合，折痕為DG,點A落在尸處，求NG=.

3.（23-24八年級下?重慶萬州?期末）如圖，在矩形/3CD中，/8=10,3c=12,點￡為線段的中點,

連接CE,點尸在邊/。上，連接CF,將AC。尸沿C尸翻折得到△CGP,點G在線段CE上，則斯的長

為—,

4.（23-24八年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，長方形紙片/BCD,^=10,50=8,點P在8c邊上，將

△C。尸沿DP折疊，點C落在￡處，PE,分別交4B于點。，F,且0P=。/，則肝長為.

5.（23-24八年級下?山東淄博?期中）在四邊形/BCD中，

ZDAB=NB=NC=4D=90°,AB=CD=10,BC=AD=S.

12

DEC

ABABAB

圖②備用圖

⑴若P為邊8c上一點，如圖①將尸沿直線/P翻折至△/￡尸的位置，當點8落在邊上點E處時,

求的長；

(2)如圖②，點0為射線。C上的一個動點，將△40。沿工。翻折，點。恰好落在直線3。上的點。處，求

。。的長.

模型三長方形中折痕過任意兩點模型

【模型解讀】沿著長方形邊上的任意兩點所在直線進行翻折。

已知矩形ABC。中，以E,F為折痕，點B的對應點為3',點C的對應點為U

13

Ag8結論1：^BEF=AB'EF；

v折在矩形內

結論2：折痕EF垂直平方則。

1)C

AEKB結論1:四邊形E8CF三四邊形E‘3'CH';

8折在矩形邊上

二c結論2：折痕AC垂直平方B8'。

c

E/結論1:四邊形E2C尸三四邊形E‘B'CH';

!

不；折在矩形外結論2：折痕AC垂直平方BB'；

G\/C結論3：AGC?是直角三角形。

c

例題：（23-24七年級下?山東濟南?期末）如圖，長方形紙片/BCD中，AB=6,AD=1S,將此長方形紙片

折疊，使點。與點B重合，點C落在點//的位置，折痕為EF,則8E的長度為（）

C.24D.48

【變式訓練】

1.（23-24八年級下?江西贛州?期中）如圖，將長方形紙片NBCD沿E尸折疊，使頂點C恰好落在N8邊的中

點C上.若/B=4,BC=6,求B尸的長.

2.（23-24八年級上?廣東深圳?階段練習）如圖，長方形/BCD中4D〃3C,邊48=4,5C=8.將此長方

形沿EF折疊，使點。與點B重合，點C落在點G處.

14

(1)證明BE=8尸；

(2)求昉的面積.

3.(22-23八年級上?廣東揭陽?期末)如圖，把一張長方形紙片/BCD折疊起來，E尸為折痕，使其對角頂點

A與C重合，。與G重合.若長方形的長8c為8,寬AB為4.

⑴求的長；

⑵求EF的長；

(3)求陰影部分AGED的面積.

模型四直角三角形中過一個頂點所在直線(落點在一邊上)翻折模型

【模型解讀】

15

（1）沿過點/的直線翻折使得點2的對應點為"落在斜邊NC上，折痕為4D;

（2）沿過點C的直線翻折使得點8的對應點為8’落在斜邊NC上，折痕為CO；

（3）沿過點3的直線翻折使得點/的對應點為E落在3c邊上，折痕為AD。

例題：（23-24八年級下?湖北十堰?階段練習）如圖，有一塊RtA43C的紙片，ZABC=90°,4B=6,

BC=S,將"BC沿ND折疊，使點8落在4C上的E處，連接ED,則8。的長為（）

A.3B.4C.5D.6.

【變式訓練】

1.（23-24八年級下?安徽蕪湖?期中）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°,5C=6cm,

/B=10cm,將斜邊N3翻折，使得點2恰好落在直角邊/C的延長線上的點￡處，折痕為4）,則8。的長

為（）

2.（22-23八年級下?江西南昌?期中）如圖，在等腰直角三角形48c中，ABAC=9Q°,AB=6，點、P是

邊3c上任意一點，連接北，將沿4P翻折，點8的對應點為",當尸夕有一邊與3c垂直時，BP

的長為.

16

A

3.(23-24八年級下?江西南昌?期中)如圖是一張直角三角形/8C紙片，ZC=90°,AC=6,BC=8.

(1)在圖1中，將直角邊/C沿4。折疊，使點C落在斜邊上的點E處，求CD的長;

(2)在圖2中，將ABFG沿FG折疊，使點B與點A重合，求昉的長.

17

模型五直角三角形中過斜邊中點所在直線翻折模型

【模型解讀】

（1）沿直線MN（N為斜邊中點）翻折使得點/與點C重合;

（2）沿中線翻折，使得點/落在點尸處，連結/尸，FC,4F與BE交于點a

（3）沿中線BE翻折，使得點C落在點。處，連結N。，CD.

例題：（23-24八年級下?河南安陽?期末）如圖，直角三角形紙片4BC的兩直角邊長分別為6,8,現將“8C

如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為OE.則CE的長是（）

4

D.

7

【變式訓練】

I.（23-24八年級下?四川廣安?期中）如圖，。。在直角坐標系中，0A=亞,03=2,C點在線段03上,

。點在線段月8上，將△88沿直線折疊后，2點與/重合，則點C坐標是

2.（23-24八年級下?河南漠河?階段練習）如圖，在小8。中，NB4c=90°,AC=10,BC=26.將“8C

按如圖所示的方式折疊，使2,C兩點重合，折痕為求的長.

C

18

3.(23-24八年級下?遼寧葫蘆島?階段練習)如圖、08C為一塊直角三角形紙片，ZC=90°.

【問題初探】：直角三角形紙片的對折問題，可以通過全等變換把所求線段轉化成直角三角形的邊，進而通

過勾股定理來解決，體現數學中的轉化思想.

(1)如圖1,現將紙片沿直線AD折疊，使直角邊/C落在斜邊43上，C的對應點為E,若

AC=6cm,SC=8cm,求CZ)的長.

【學以致用】

(2)如圖2,若將直角/C沿折疊，點、C與AB中點b重合，點分別在/C,2C上，則/

之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論.