重難點10輕松解決空間幾何體的體積問題

【題型歸納目錄】

題型一：直接法

題型二：割補法

題型三：換底法

題型四：祖迪原理

【典型例題】

題型一：直接法

【典例1-1】(2024?高三?四川?期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面BID，平面

ABCD,△口是邊長為2的正三角形，延長DP至點E,使得尸為線段DE的中點.

(1)證明：3E7/平面PAC.

(2)若ACLPB,求四棱錐E—ABCD的體積.

【解析】(1)連接80,交AC于點。，連接尸O,

因為底面ABCD為矩形，所以。為線段班)的中點.

又尸為線段。E的中點，所以PO//BE,

因為尸Ou平面PAC,平面PAC,所以3E//平面PAC.

因為AHW是邊長為2的正三角形，所以PM_LA￡>.

又平面R4D_L平面ABCD,且平面E4Dc平面?1BCD=AD,且尸A/u平面PAD,

所以尸ML平面ABCD,則尸MLAC.

又AC_LP3,PM[}PB=P,所以AC_L平面PMB,

則ACA.MB.

因為四邊形ABCD為矩形，所以NACB=NAaW,

則tanZACB=tanZABM,

AR1_

即然=士，解得=

因為尸為線段OE的中點，所以E到AO的距離等于P到AD的距離的2倍，

所以四棱錐E-ABCD的體積V6TBe0=；x（2xsin60o）x2x（2xC）=21.

【典例1-2】（2024.高三?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?期末）如圖，在四棱錐S-ABCD中，&4,平面ABCD,

AB//CD,NCZM=60。，AB=2AD=2CD=?,,尸為棱&4上的一點，且AP=2PS=4.

（1）證明：SC〃平面。尸3；

⑵求四棱錐s-ABCD的體積.

【解析】（1）連接AC交。2于點。，連接。尸.

在底面A3CD中，因為AB〃OAB=2CD,

AnAR

由AABOSACD。，可得而=而=2,

Ap

因為AP=2PS,即一=2,

PS

AQAp

所以在△CAS中，——=——=2,故OP//CS,

OCPS

因為OPu平面。尸8,SC<Z平面￡>尸3,

所以SC〃平面。尸3；

（2）取C。的中點連接AN,由NCQ4=60。，AD=CD,

得△ADC為等邊三角形，所以A"_LCD.

在等邊三角形△ADC中，AD^CD^AC^A,

所以AH=26.

因為％—3.皿*544>(8+<)”">必=3111^>6=24如.

【變式1-1］（2024?高二?陜西咸陽?階段練習(xí)）如圖,在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，且PB=PD.

⑴若PA，平面ABCD,AB=2PA=2,求三棱錐P-BCD的體積;

（2）求證：BDLPC.

【解析】（1）

S3=)X2X2=2,PA=1,

:Vp-BCD=§X2X1=§;

(2)如圖，連接AC,交80于點0,連接PO,

?四邊形ABCD為正方形，.?.3DJ_AC,

又=為的中點，.〔BZUPO,

-POr>AC=O,且尸O、ACu平面PAC,

，BD_L平面PAC,

又尸Cu平面以C,r.BD，PC.

題型二：割補法

【典例2-1】（2024?全國?高三專題練習(xí)）在多面體4S2CG烏中，四邊形BCC由為矩形，O,M分別為

AC,BC的中點，AS//BB\,AS=gg瓦，CCX=8,4月=用￡=4,=90°.

r.

(i)求多面體ASBCGBI的體積；

⑵求三棱錐M-OA耳的體積.

【解析】(1)將多面體ASBCG4補形得到直三棱柱A8C-A片G，如圖①,

11132

因為旦，即S為4A的中點，所以匕_ABC=§X/X4x4x4=甘，

圖①圖②

(2)如圖②，將多面體ASBCG用補形為長方體ABC。-A4G2,連接耳。，則4。門4夕=。，

易知SQX=SgB,=；SDCB1A=4逐，又點。到平面MDC的距離為h=4,

所以%-a4f4=%-8c=%-MOC=]SAM￡>C*力=§*5*4><2X4=可.

【典例2-2】(2024?廣東東莞?高一校考階段練習(xí))如圖，在棱長為2的正方體ABC。-4月60中，截去三

棱錐A-48。，求

(1)截去的三棱錐4-A3。的表面積；

(2)剩余的幾何體44GA-0BC的體積.

【解析】(1)由正方體的特點可知三棱錐A中，AA?。是邊長為2a的等邊三角形，AAA。、

△AAB、△ABD都是直角邊為2的等腰直角三角形，

所以截去的三棱錐A-A3。的表面積

，

S=SARn+SAAn+S..?+S,BO=^x(2>/2V+3xlx2x2=6+2^

AABD△AAL)A&A/yI^ADL)4\'/2、

(2)正方體的體積為23=8,

1114

三棱錐4一48。的體積為§*5/皿*胡=1*6*2*2*2=1，

420

所以剩余的幾何體A4G。-DBC的體積為8-§=y.

【變式2-1](2024?遼寧沈陽?高二學(xué)業(yè)考試)過棱長為2的正方體的三個頂點作一截面，此截面恰好切去

一個三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為()

A.4B.6C.—D.—

33

【答案】C

【解析】截去的三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形，高為2,

114

三棱錐的體積為^=jx^x2x2x2=-,

正方體的體積為％=8,

則該正方體剩余幾何體的體積為

fi=8一戶

故選：C

題型三：換底法

【典例3-1】(2024?高一?湖南張家界?期中)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，ZABC=ZACD=90°,

ZBAC=ZCAD=6O°,R4_L平面ABC。，PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點.

(1)求證：平面C^W〃平面上4B；

(2)求三棱錐C-PAB的體積.

【解析】(1)證明：N分別為尸￡),AD的中點，；."http:///%,

又肱VU平面24<=平面八記，，加乂〃平面叢5.

在RtZiACD中，ZC4D=60°,CN=AN,：.ZACN=60°.

又ZB4C=60。，/.CN//AB.

：CTVcz平面BIB,ABu平面BIB,C7V〃平面RW.

又CNcMN=N,...平面C^W〃平面PLB.

(2)VAB=1,ZABC=90°,Zfl4C=60°,:.BC=6,

三棱錐C-PAB的體積匕PAB=VPASC=-x-xlxV3x2=—.

【典例3-2】(2024?高三?四川成都?期末)如圖，四棱錐P-ABCD中，AD//BC,BCLCD,

BC=2CD=2AD=2叵,平面ABCD4平面PAC.

(1)證明：PC1AB；

(2)若PA=PC=@AC,M是R4的中點，求三棱錐C-PBM的體積.

2

【解析】(1)在四棱錐P-ABCD中，AD//BC,BC1CD,BC=2CD=2AD=2近,

四邊形ABCD是直角梯形，ZADC=90。，AC=>JCD2+AD2=2-AB=ylCD2+(BC-AD)2=2,

AC2+AB2=8=BC2，即ABIAC,而平面ABC。，平面PAC,

平面ABCDc平面PAC=AC,ABu平面ABCD,則AB2平面PAC,又PCu平面PAC,

所以PCLAB.

(2)取AC的中點E,連接尸E,由尸A=PC=￥AC=J5,得PELAC,PE=y/PA2-AE2=2-

由平面ABCD1平面PAC,平面ABCDc平面R4C=AC,PEu平面PAC,得尸E_L平面ABCD,

由M是上4的中點，得點加到平面ABC。的距離d=gp￡=l,XSiASC=|AB-AC=2,

12

顯然S.PBM=S“ABM，所以三棱錐C-PBM的體積VC_PBM==-S.C?d=§.

B

【變式3-1］（2024?高三?全國?階段練習(xí)）如圖，在五面體ABCDE中，四邊形ABCD的對角線交于

點、F,AABC為等邊二角形，AB±AD,BC±CD,AE=CE=----,AB—2.

3

⑴證明：AC_L平面BDE；

(2)^ABACE,求五面體的體積.

【解析】(1)

連接ER

在和△CBD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=BC,BD=BD

所以Rt^ABD^Rt^CBD,

所以NABF=NCBF,

又AB=BC,BF=BF,所以aABF咨VCBF,

則尸為AC的中點，所以3DJLAC.

在ZVICE中，AE=CE=—,又尸為AC的中點，

3

所以AC_L￡F,

因為EFu平面BDE,皮)u平面BDE,EFcBD=F,BDLAC,ACYEF,

ACmBDE

(2)取A8的中點連結(jié)CM,與8尸交于點G,連結(jié)GE.

因為AC_L平面GEi平面3DE,所以AC_LGE,

又AB^CE,CM1AB,CM^CE=C,所以ABI平面CEM,

又Gfi平面CEM,所以AB_LGE,

又45門4。=4所以6￡，平面ABCD.

因為A6=2,△ABC為等邊三角形，

因為A3_LAD,3C_LCD,所以/BAD=NBCD=90。

而NR4C=N5C4=60。，

ZDAC=ZBAD-ZBAC=ZBCD-ZBCA=ZDCA=30°

24r-

在中，BD=——=-V3,

sin603

在等邊AABC中，8月是AC的中線，CM是A3的中線,

所以G是等邊AABC的重心,

所以CG=2CM=-AB-sin60°=-x2x—=—

33323

在加△CEG中，EG=yjCE2-CG2=J—--=2,

V33

則四邊形ABCD的面積為SmABCD=^ACxBD=?.

故五面體的體積為L儂=?s四邊MXGE=^GE=^.

題型四：祖晅原理

【典例4-1】（2024?高一?安徽合肥?期中）我國古代數(shù)學(xué)家祖曬求幾何體的體積時，提出一個原理：塞勢即

同，則積不容異.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個等高的幾何體被平行于這兩個面的平面去截，若

截面積相等，則兩個幾何體的體積相等，這個定理的推廣是：夾在兩個平行平面間的幾何體，被平行于這

兩個平面的平面所截，若截得兩個截面面積比為上則兩個幾何體的體積比也為人.已知線段長為4,

直線/過點A且與A8垂直，以8為圓心，以1為半徑的圓繞/旋轉(zhuǎn)一周，得到環(huán)體/；以A,8分別為上

下底面的圓心，以1為上下底面半徑的圓柱體N；過且與/垂直的平面為口，平面M/力，且距離為〃，

若平面a截圓柱體N所得截面面積為S-平面。截環(huán)體M所得截面面積為邑，我們可以求出券的比值，

進(jìn)而求出環(huán)體M體積為

【答案】87?

【解析】畫出示意圖，可得H=241-/-4=8/1-/？，5?=兀碇一兀若，

其中,=（4+&_?），$=（4-Ji—//?）,

,----S,1

故星.兀=2%與，Bp—=—,

環(huán)體M體積為2兀嚓=2nx4兀=8兀上

故答案為：8K2

【典例4-2】（2024?高一?河北邢臺?階段練習(xí)）祖曬（g加g）（5世紀(jì)—6世紀(jì)），字景爍，祖沖之之子，范陽

郡道縣（今河北省流水縣）人，南北朝時期的偉大科學(xué)家.他在實踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了下面的體

積計算原理：“事勢既同，則積不容異”.這就是“祖曬原理”用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個平行平面之間

的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積

相等”.例如可以用祖瞄原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，半徑為R的半球與底面半徑和高都為R的圓柱放

置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個半徑為R,高為R的圓錐后得到一個新的幾何體，用任何一個

平行于底面的平面a去截這兩個幾何體時，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體

2

的體積相等.若球心到平面a的距離為則平面a截半球所得的較小部分的幾何體的體積等

【解析】由題意知，

?柱=兀笈】可=］爐，

以圓錐=g無R2.R=g無尺3,%、圓錐=g兀||氏］］|=點71K

所以%臺=4■錐-%、圓錐=鼻兀"一*萬氏3=-7t/?3,

Joio1

所以該平面a截半球所得的較小部分的幾何體的體積為:

V=%柱一%臺=：就旅3=:欣3

JO1O1

Q

故答案為：—.

81

【變式4-1］（2024.江西九江.二模）根據(jù)祖晅原理，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于

這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖1所示，一個容器

是半徑為R的半球，另一個容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個底面半徑和高均為R的圓錐，這兩

個容器的容積相等.若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同.如圖2,一個

圓柱形容器的底面半徑為4cm,高為10cm,里面注入高為1cm的水，將一個半徑為4cm的實心球緩慢放入

【答案】1.48

【解析】設(shè)鐵球沉到容器底端時，水面的高度為人，

由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，

由圖1知相應(yīng)圓臺的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，

故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺的體積，因為容器內(nèi)水的體積為腺=兀X42X1=16兀,

相應(yīng)圓臺的體積為gx71x42x4—?rx（4—//Jx（4—7z）=—㈢_~~,

所以］6兀=弛E_（4一〃）兀,解得〃=4-詬=4-2次34-2x1.26=1.48cm,

33

故答案為：1.48

【過關(guān)測試】

1.（2024.高二.貴州六盤水?期末）我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖唯提出了一個原理：“累勢既同，則積不容

異”.也就是說“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩

個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖眶原理的條件，若

該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓，則該幾何體的體積為.

【答案】WI兀

3

【解析】圓錐的底面周長為：義2萬x4=4萬，

所以圓錐的地面半徑為廠=2,高為h=4#=26，

所以圓錐的體積為丫=4//='萬'22*26=還%，

333

故答案為：述兀

3

2.（2024?四川瀘州?三模）如圖，已知直四棱柱ABC。-4464的底面是邊長為2的正方形，E,尸分別

為AA，A2的中點.

(1)求證：直線2片、CF、D4交于一點；

(2)若A4,=4,求多面體BCD.EF的體積.

【解析】(1)連接所、\B,

因為E、尸分別為AA、A3的中點，所以且跖

因為A3CD-A耳GA是直四棱柱，且底面是正方形，

所以BC//AD//AA，S.BC=AD=AtDl,即四邊形是平行四邊形，

所以A8//〃C且AB=RC,所以瓦7/QC,且E尸力RC,

所以四邊形EFCQ為梯形，所以RE與CF交于一點，記為P,

即PeRE,PwC尸，且RE平面ADRA,C5u平面ABCD,

所以Pe平面ABC。，Pe平面ADRA,

又因為平面ASCDc平面AOQA=A。，則Pe直線AD,

所以直線。E、CF、D4交于一點P.

(2)連接，尸，

由題思可得：^BCr\EF=^B-EFD,+%-CDjF=%-BEF+%-BCF=~x-xlx2x2+—X-xlx2x4=2.

Pb

3.(2024.高一.陜西西安?期中)如圖甲，在直角三角形ABC中，已知ABLBC,3c=4,AB=8,D,E分別

是AB,AC的中點.將△ADE沿。E折起，使點A到達(dá)點A的位置，且平面&DE_L平面。8CE,連接

AtB,AtC,得到如圖乙所示的四棱錐A-O8CE,M為線段AQ上一點.

圖甲圖乙

(1)證明：A。，平面。BCE；

(2)過8,C,M三點的平面與線段4E相交于點N,直線EM與8C所成角的大小為45。，求三棱錐

A-BCN的體積.

【解析】(1)因為分別是AB,AC的中點，貝UZ)E〃BC,

且AD13C,則AD_!_￡>￡■,即AO1OE,

又因為平面平面。BCE,平面ADEC平面=AQu平面人。石，

所以平面BDEC.

因為BC〃。區(qū)則直線與BC所成角為4ffiD=45。,

且AD1DE,可知DE=DM=2,則M為4。的中點，

因為BC〃OE,BCZ平面AOE，DEu平面4。石，所以BC〃平面

又因為過8,C,M三點的平面與線段AE相交于點N,

可得平面&WNCc平面=3Cu平面BMNC,所以BC〃AfN,

所以N為AE的中點，

又因為MNU平面ABC,BCu平面ABC,可得MN〃平面ABC,

所以匕-BCN=VN—AJBC-%-ABC-^C-\BM，

由(1)可知：4。，平面瓦汨C,BCu平面BDEC,則

且3D上BC,BDIAD=D,。民AQu平面AB。，

所以5。1平面AB。，

可得三棱錐A-BCN的體積為％7刖=|S?M?BC=gSAA]BD.Be=gX8X4=g,

所以三棱錐A-BCN的體積為費.

4.（2024?高一?陜西渭南?期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD1平面,

AF//BE,AB工BE,BE=2,AF=1.

⑴求證：ACmBDE；

（2）求三棱錐A-OCF的體積.

【解析】（1）：AB±BE,平面ABCD1平面AB￡F,

又平面ABCDQ平面ABEF=AB,BEu平面ABEF,

：.BE^nABCD.「ACu平面ABC。，AACLBE.

由四邊形ABCD是正方形，可知AC430.

,:BDcBE=B,且平面加比，AC_L平面BDE.

（2）由（1）知m_L平面ABCD,又AF/ABE,AF_L平面ABCO.

^A-DCF=^F-DCA=^^ADCA'4尸=耳*/*2*2[*葭].

5.（2024.高一?福建寧德?階段練習(xí)）點E,尸分別是邊長為6的正方形45co的邊AB,3C的中點，沿圖

1中的虛線DE,EF,FD^NADE,ABEF,^CDF,折起使A,B,C三點重合，重合后的點記為點

P,如圖2.

（1）頂點尸在平面DE尸內(nèi)的正投影為點。，點0在平面PEF的正投影為點連接PM并延長交E尸于點

G證明：G是E尸的中點；

（2）作出點M在平面PE獷的上的正投影R（說明做法的理由）并求四面體PQMR的體積

【解析】（1）;PQ-L平面。￡尸，斯匚平面力后凡二所,尸。，又加，平面PE尸，EFu平面尸EF,

EFYQM,PQC\QM=Q,二跖_L平面尸QM,尸Gu平面尸QM,

s.EFLPG,又！PE尸是等腰直角三角形，尸ELPF,；.G是E尸的中點；

（2）在平面PEP內(nèi)過M點作PE的平行線，與PF交于R,即必，尸尸，則R是M點在平面PDF的正投

影，即平面尸。尸，理由如下：

E

由條件知：DP=6,PE=PF=3,PE工PFEF=3五,DG工EF,PG=EG==EF=,

22

OE=VAE2+AD2=375-DG=《DE，-EG。=誓,DG2=DP2+PG2,

即DPLPG,由（1）的分析知：EFI平面DPG,￡＞尸u平面。PG,:.DPLEF,

PG,EFu平面PEF,?6。所=6,;.￡＞「_1平面「￡尸，A^Z?u平面PE/，.^.Aff?_LQP,

又。P,PFu平面PDF,DPC\PF=P,平面PDF,即M點在平面PDF的正投影是R,

連接MF,Q?如上圖，

|DP.PG=1DG-PQ,:.PQ=2,QG=1PG-PQ。=與,

在RtAPZX?中，

|PQ-QG=|PGQM,QM=1,:.PM=^PQ2-QM2=^,

在R3PQG中，

2233

4

在RLJWPR中，PR=RM=—，

3

S#MR=gPR，MR=：,VQ-PMR=1S/MR-QM=/；

綜上，四面體PQWR的體積為77.

6.（2024?高一.湖南永州?階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，底面ABCZX設(shè)平面

PAD與平面PBC的交線為I.

p

/-----乂

⑴證明：△平面PDC；

(2)0為/上的一點，當(dāng)PD=4)=2時求三棱錐。-ABC的體積；

【解析】(1)由底面是正方形，貝IJAD//BC,ADu面尸AO,面PA。，

所以8c〃面上M>,而BCu面P3C,且平面與平面P2C的交線為/,

所以3C//K

P￡)_L底面ABC。，BCu底面ABC，則尸。_LBC,又BCLCD,

PDC\CD=C,PD,CDu面PDC,故BC，面PDC,

所以以平面PDC,得證.

(2)由(1)知：BCHl,3Cu底面ABC。，底面ABC。，則/〃底面ABC。，

。為/上的一點，又P在面PBC、面PAD,平面B4。與平面P2C的交線為/,

所以Pe/,又PO_L底面48C。，則/上任意點。到面48CO的距離為尸￡>=2,

114

^AB=BC=AD=2,ABLBC,所以9^BC=~PDX-XABXBC=-.

7.(2024?高一?廣東深圳?期中)如圖，在三棱柱ABC-AB?中，側(cè)面ACGA為菱形，ZA,AC=60°,

AC=2,側(cè)面C8gC1為正方形.點M為AC的中點，點N為A3的中點，點a為AC的中點，且

AyH1AB.

(1)證明：MN〃平面BCC4；

(2)證明：BC7,平面ACC]A；

(3)求三棱錐的體積.

【解析】(1)連接A￡,BG，如圖所示:

G

因為ACCM為菱形，點M為AC的中點，所以AC|CAC=M,

又點M為4。的中點，點N為48中點，所以MN//B4,

而BQu平面BCQBi,MNU平面BCC.B,,

所以MN〃平面BCC4.

(2)由于側(cè)面ACC、為菱形，Z4AC=60°,

所以AA41c為等邊三角形，AA,=A,C=AC=2,則AHLAC.

又”_LAB,BC(^AC=C,

所以A8，平面ABC,3Cu平面ABC,可得AHL8C；

又CBBCi為正方形，因此BC^CG.

顯然CCJ/AA，因此BCLAA

又A4c=4，

所以BC_/_平面ACC[A.

(3)易知△A4]G的面積S=gx2x2xsinl20°=6.

由(2)可知，5C即為三棱錐呂-AAG的高，BC=2,

所以匕，ABC=%AAC=1X6X2=.

rlj—/IDCID-/l|AC|3'3

8.(2024?高三?河南?階段練習(xí))已知四棱錐P-ABCD,底面ABC。為菱形，平面A8C。,

JT

PD=AD=CD=2,ZBAD=~,E為尸C上一點.

⑴平面ELDc平面P3C=/,證明：BC//1.

TT

(2)當(dāng)直線BE與平面BCD的夾角為二時，求三棱錐尸-5DE的體積.

6

【解析】(1)因為改平面PARADu平面RW,

所以BC//平面上4￡>,BCu平面尸3C,

又因為平面上4￡>c平面尸2C=/,所以BC///.

(2)過點E作C。的垂線，垂足為M,則尸D//EM,

因為陽，平面ABCD,所以平面BC。，

TT

所以直線BE與平面BCD的夾角為NE5M=-,

6

jr

又乙PCD=—,設(shè)CM=x,04%?2,

4

兀

貝1)囹1=羽助02—x2+4—2,2尤cos—=x~—2x+4,

3

.EM~x7i1

所cc以r——7=^----------=tan~2一=—所以x=l,

BM2X2-2X+463

所以M為CD中點，E為PC中點,

因為PD平面ABCD,所以平面ABC。，所以尸

又因為BM_LC￡),PDcCD=D,尸口,CDu平面PCD,

所以BM上平面PCD,所以點B到平面PCD的距離為BM=6,

故LBDF=VB=—X1X~J3=.

r-DUtL15—rUPDc,E3^3

9.(2024高一?北京密云?期末)如圖，在四棱柱ABCD-AgCQ中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱

44J平面ABCD,44t=2,/是。，的中點.

D}G

(1)求證：BI)//平面AMC；

(2)證明：AC1BDt.

(3)求三棱錐34c的體積.

【解析】(1)證明：設(shè)ACn3D=。，連接OM.

AG

在四棱柱A8C。-44GA中，A3CO是正方形，

所以。為8。中點.

又因為M為。2中點，所以。河〃出九

因為OMu面AMC,BDicz面AMC,

所以〃面AMC.

(2)證明：在四棱柱A8CD-A瓦GR中，0A，面A6CD.

因為ACu面ABCD,所以QR_LAC.

在正方形ABCD中，:.BD±AC.

又因為DD、cBD=D,DDu面BDDVBDu面BDDt,

所以AC,面

因為8Ru面所以AC，50.

(3)在四棱柱ABC。—A4G。中，

因為"0_1面488,所以加。是三棱錐M-ABC的高.

^^V_AC=V^c=|sAABC.MD=lxixlxlxl=i.

10.（2024.高一?黑龍江大慶.期末）在四棱錐尸-ASCD中，平面ABC。，四邊形A3C。是/ZMB=60。

的菱形，R4=AB=2,點/是PC的中點.

P

⑴證明：B4//平面皿%；

（2）求三棱錐P-ADM的體積.

【解析】（1）設(shè)ACn3D=0,連接加，可知：。為AC的中點,

因為點又是PC的中點，則。〃〃以，

且OMu平面MDB,PAcz平面

所以上4〃平面

（2）因為點M是PC的中點，且PCc平面=

則點A、C到平面的距離相等，所以吃一加=匕—，

又因為PAL平面ABCD,則三棱錐M-BCD的高為：尸4=1,

可得匕3=%dco=；xlxgx2x2x#=等,

所以三棱錐尸-的體積為更.

3

11.（2024?高一?河南許昌?階段練習(xí)）如圖，正方體ABCD-AB'C'。'的棱長為m連接

AC',AD,AB,BD,BC',C'D,,得到一個三棱錐；求：

D'C

(1)三棱錐A-BC'D的表面積與正方體表面積的比值；

(2)三棱錐A-BCD的體積.

【解析】(1)；ABCD-A'B'C'D是正方體,

六個面都是正方形，

A'C'=A'B=A!D=BC'=BD=CD=缶，即三棱錐A'-BC'D為正三棱錐,

$三棱錐=4xgx(J^aJ=2ga2,s正方體=6c?,

?$三棱錐_C

S正方體3

(2)顯然，三棱錐4一48。＜'—28,。-4力'(7',3-42'(7'是完全一樣的,

嚏棱錐A-5C7)二/方體—4嚏棱錐A-A5D

12.(9-10高二下?廣東佛山?期末)如圖，在三棱柱ABC-A用G中，AC=3,BC=4,A5=5,

AA=4,點。是A8的中點，CC1_L平面ABC.

(1)求證：AC1BQ

(2)求證：AG//平面CO用;

(3)求三棱錐G-瓦C。的體積.

【解析】(1)三棱柱ABC-AB1G中AC=3,BC=4,AB=5,

：.AB2=AC2+BC2,：.ACIBC.

；CC|_L平面ABC,ACU平面ABC,Z.AC1CQ,

又BCcCq=C.BC,CC\u平面BCC^：.AC，平面BCCtBt,

又BGu平面BCC4，AC，8G.

(2)設(shè)C4與QB的交點為E,連接DE,

?.?三棱柱ABC-AB。中四邊形BCG4為平行四邊形，

是GB的中點，

又?..。是A8中點，；.DE//AC1,

又：DEu平面CDBi,AC10平面CDB、,

：.AC"/