重難點專題01妙用奔馳定理解決三角形面積比問題

【題型歸納目錄】

題型一：直接使用奔馳定理

題型二：三角形面積比問題

【方法技巧與總結】

奔馳定理…解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點.

已知AABC的頂點A（X1,%）,3（無2，%），C（三，%），則△ABC的重心坐標為

0+%+%%+%+%?

'3'3

注意：（1）在△ABC中，若。為重心，則兩+礪+元=0.

（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.

重心的向量表示：.

奔馳定理：〃-函+既-9+%-西二。，則△403、AAOC、ABOC的面積之比等于4：4：4

奔馳定理證明：如圖，令人函=兩，4礪=西，A,oc=oq,即滿足國1+礪1+閑=0

S/\AOB1S4AOC_]S&BOC_]

故SAAOB：SAAOC?SABOC=4：4：4.

5的0馬44S/M10G44$△51g44

【典型例題】

題型一：直接使用奔馳定理

例1.（2024?上海奉賢?高一上海市奉賢中學校考階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結

論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：

已知。是△A8C內的一點，△BOC,△AOC,AAOB的面積分別為臬、SB>Sc,則有

SA國+品麗+&■玄=6,設。是銳角△ABC內的一點，NBAC,ZABC,NAC8分別是△A8C的三個內

角，以下命題錯誤的是（）

A.^OA+OB+OC=Q，則。為△ABC的重心

B.若西+2礪+33=6，則SJSB：SC=1：2：3

C.則。為△ABC（不為直角三角形）的垂心，貝！ItanNBAC?示+tanNABC?麗+tanNACB?宓=0

D.若|西|=|礪|=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC=6,則'鈕。=2

例2.（多選題）（2024?山東?高一校聯考階段練習）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面

向量中一個非常優美的結論.奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯.它的具

體內容是：已知“是"3C內一點，△BMC,△AMC,"MB的面積分別為%,%,%,且

SA?瘋+SB?礪+%?碇=6?以下命題正確的有（）

A.若梟應：7=1：1：1,則M為AAMC的重心

B.若M為AABC的內心，則BC.涼+AC?礪+AB.標=0

C.ABAC=45°,ZABC=60°,M為AABC的外心，則見：SB:Sc=括:2:1

D.若M為&45C的垂心，3MA+4MB+5MC=O,貝UcosNAMB=-漁

例3.（多選題）（2024?全國?高一隨堂練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理

對應的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是44BC內一

點，^BOC,AAOC,AAOB的面積分別為3,SB,Sc,貝ijS4?西?礪+Sc?灰.設。是AABC

內一點，AABC的三個內角分別為A,B,C,ABOC,AAOC,AAO3的面積分別為〃，品，S「若

30A+40B+50C=0，則以下命題正確的有（）

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是AABC的重心

C.若。為AABC的外心，貝sinA:sing：sinC=3:4:5

D.若。為AABC的內心，則AABC為直角三角形

變式1.（多選題）（2024.黑龍江哈爾濱.高一哈九中校考期末）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結

論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標很相似，故形象地稱其為“奔馳定理奔馳定理：

己知。是AABC內的一點，AFOC,MOC,AAOB的面積分別為鼠、SB、SC,則有

SAZM+SBOB+SCOC=6,設。是銳角AABC內的一點，NBAC,/ABC,/ACS分別是AABC的三個

內角，以下命題正確的是（）.

A.若函+麗+花=0，則。為AABC的重心

B.^OA+2OB+3OC=0,則〃：:=1：2:3

C.若。為AABC（不為直角三角形）的垂心，貝UtanZBAC?函+tanNA8C?礪+tanNAC3?反^0

D.若伊卜|詞=2,ZAOB=^,20A+30B+40C=0,貝電板=2

變式2.（多選題）（2024.重慶沙坪壩.高一重慶八中校考期末）平面向量中有一個優美的結論，有趣的是，

這個結論對應的圖形與“奔馳”轎車的logo非常相似，該結論如下：如圖，已知。是AABC內部一點，將

ABOC,AAOC,AAOB的面積分別記為猿，SB，SC,則見?次+SB?礪+Sc?定=。.根據上述結論，下

列命題中正確的有（）

A.若26+3礪+4玄=0，則臬應￡=4：3:2

,1-,2>

B.^AO=-AB+-AC,貝USA：SB：SC=2:1:2

TT

C.若。為AABC的內心，S.5OA+12OB+13OC=d>則/人口二萬

D.若。為AASC的垂心，則tan/BAG礪+tan/ABC?赤+tanNAC2?滅^0

題型二：三角形面積比問題

例4.（2024?江西宜春?高一統考期末）已知。為正三角形A3C內一點，且滿足34+4歷+。+力）4=6,

若AQ4B的面積與AOAC的面積之比為3,則2=（）

A.1B.-C.-D.-

2442

例5.（2024?遼寧沈陽?高一東北育才學校校考期末）點P是AABC所在平面上一點，若

>1—?1—?

AP=-AB+-ACf則4AB9與△ACP的面積之比是（）

A.—B.3C.—D.—

233

例6.（2024.廣東深圳.高三深圳外國語學校校考階段練習）已知點尸是△ABC所在平面內一點，若

__,2__?1__、

AP=-AB+-ACf貝!kAB尸與“。尸的面積之比是（）

A.3:1B.2:1C.1:3D.1:2

變式3.（2024.安徽黃山?高一統考期末）已知。是AABC所在平面內的一點，/A,NB,2C所對的邊分

別為a=3,b=2,c=4,^aOA+bOB+cOC=Q^過。作直線/分別交A5、AC（不與端點重合）于P、

。，若AP=4AB，AQ=juAC,若△PAO與△QA。的面積之比為5,則萬=（）

5143

A.—B.—C.—D.一

6334

變式4.（2024?四川綿陽?高一四川省綿陽南山中學階段練習）設G為等邊AABC的重心，過G作直線/分別

交AB,AC（不與端點重合）于尸,。，若4尸=LW，AQ=^iAC,若△尸AG與△QAG的面積之比為：，

則〃=（）

A.-B.-C.-D.-

3346

變式5.（2024.四川德陽?高一統考期末）己知P是AABC內部一點，且西+5聞+西=，貝U

△。45”尸。4、/3。面積之比為（）

A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1

、.—.1—.―.1—?

變式6.（2024?全國?高三專題練習）已知點A,B,C,P在同一平面內，PQ=-PA,QR=-QB,

坪三立，則LBC：S"等于（）

A

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【同步練習】

1.（2024.江蘇.高三鹽城中學校考階段練習）記AABC所在平面內一點為P,滿足x而+=其中

S

/+產=1,則產的取值范圍為（）

A.[5/2—1,+00）B.（0,A/2—1]C.（。,1]D.[,\/2+1,+00）

91s

2.（2024?陜西高三競賽）如圖，設尸為△ABC內一點，且而=?血+?正.則甘誣=

55%ABC

1

D.

c:3

（.廣東.高一仲元中學校考期末）

3.2024已知P為AABC邊BC上一點，AB=a,AC=b,若鼠謝=25AA0,

rrLilli

貝!JAP=

1一3-c3一1廠

A.-a+-bB.-a+-bC.—ciH—hD.-a+-b

22332233

___.1__.3―?

4.（2024?陜西延安?高一校考階段練習）已知M是AASC所在平面內一點’且滿足2AM=/B+/C'

則AAA/與A/WC的面積之比為

A.1:4B.3:4C.3:8D.1:8

_.0__.1___

5.（2024.天津紅橋?校聯考二模）已知點M是ULBC所在平面內一點，^^AM=-AB+-AC,則與

34

ABCM的面積之比為

3B-1J

A.C.3D.

83

6.（2024.安徽淮南.高三淮南第一中學校考階段練習）已知點M是△ABC所在平面內一點，若

uuur1urniutnn

AM=-AB+-ACf貝！J瀏/與"CM的面積之比為（）

7.（2024?高一課時練習）若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足3痂■一而一衣=。，則△ABM

與△ABC的面積之比為（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：5

8.（2024?山東?高三階段練習）若點P是AABC所在平面內的任意一點,滿足西+2萬+3同="則APBC與

Aft4c的面積之比為

A.-B.—C.-D.—

2346

9.（2024.河北衡水.高三周測）在AABC所在平面上有三點尸、。、R,滿足西+麗+正=麗，

QA+QB+QC=BC,RA+RB+RC=CA,則"。尺的面積與AABC的面積之比為

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5

10.（2024?貴州貴陽?高三貴陽一中校考階段練習）已知AABC所在平面內一點尸，滿足

PA+PB+PC=-AB,貝LAB尸與AABC的面積的比值為（）

2

A.—B.—C.—D.—

6432

11.（多選題）（2024?河南南陽?高一統考期末）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定

理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知0

是AASC內一點，甌）C、AAOC、AA03的面積分別為臬、SB>Sc,貝|S4?瓦+SB?礪+S。-云=0.設

。是銳角AASC內的一點，NBAC、ZABC.—ACB分別是從1SC的三個內角，以下命題正確的有

（）

A.^OA+2OB+3OC=6,則SJSB：SC=1：2:3

B.|OA|=|OB|=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC=6,則工

jr

C.若。為44BC的內心，3OA+4OB+5OC=6,貝!)/0=5

D.若。為AABC的重心，貝UOA+OB+OC=0

12.（多選題）（2024?湖南長沙?高一長郡中學校考階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結

論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的10go很相似，故形象地稱其為“奔馳定

理”，奔馳定理：已知。是△ABC內一點，ABOC,△AOC,△AOB的面積分別為臬，SB,Sc,且

SAOA.^-SBOB+SCOC=Q.設。是銳角△ABC內的一點，ABAC,ZABC,NAC8分別是的△ABC三

個內角，以下命題正確的有（）

A.若次+2礪+3反=6，則與0戊=1：2：3

B.若網=|詞=2,ZAOB=^-,2OA+3OB+4OC=6,則口c=g

c.若。為△ABC的內心，3OA+4OB+5OC=6>則/。=萬

D.若。為△ABC的垂心，30A+40B+50C=0>則cos/AOB=-Y^

6

13.（多選題）（2024?重慶北倍?高一西南大學附中校考期末）奔馳定理：已知。是AASC內的一點,

ABOC,AAOC,AAOB的面積分別為%,SB，SC,則梟?次+S"?9+Sc?方=6.“奔馳定理”是平面向

量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的/og。很相似，故形

象地稱其為“奔馳定理”.若0、P是銳角AABC內的點，A、3、C是AABC的三個內角，且滿足

PA+PB+PC=^CA,OAOB=OBOC=OCOA,則（）

B.ZA+ZBOC=TI

c.|OA|：|OB|：|OC|=cosA:cosB:cosC

D.tanA?OA+tanBOB+tanC-OC=0

14.（2024?全國?高三專題練習）已知點尸是AABC的中位線E尸上任意一點，且E/〃5C,實數x,y滿足

PA+^PB+yPC=0,設△ABC,APBC,△PCA,△B48的面積分別為S,Si,S2,S3,記*=力，常

=方，今=為，則以3取最大值時，3尤+y的值為.

—.I-_.1.----.3—?--4—■

15.（2024?高一課時練習）如圖，設尸為"IBC內一點，且AP=—AB+—AC,BM=—BA,CN=—CA,

4545

則LPMB的面積與AABC的面積之比等于.

16.（2024.江西景德鎮.高一景德鎮一中校考期末）已知P為"1BC所在平面內一點，且滿足

―?1—.2-?

AP=-AC+-AB,則A4PB的面積與△APC的面積之比為.

17.（2024?四川涼山?統考三模）如圖，P為AASC內任意一點，角A,B,C的對邊分別為a,b,J總

有優美等式4PBC麗+S“AC麗+S-定=0成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.現有

以下命題：

①若P是“15。的重心，貝I有西+而+無=0;

②若4西+b而+C定=0成立，則P是AABC的內心；

—.2.1.

（3）^AP=-AB+—AC,則尸：S4ABC=2:5；

④若尸是AABC的外心，A=；,~PA=niPB+nPC，則，"+〃e[-拒,1）.

則正確的命題有.

___.3—■1--

18.（2024?高一課時練習）若點M是AABC所在平面內一點，且滿足411=:河+:47