廣東省高州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項不同的工作，則選派方案共有（）

A.60種B.80種C.100種D.120種

2.下面給出四個隨機變量：

①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)，；

②一個沿支軸進行隨機運動的質(zhì)點，它在久軸上的位置小

③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)X；

④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離K

其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.函數(shù)/Q）=爐一久—1的圖象在點處的切線方程為（）

A.y=2x—3B.y=x—2C.y=-xD.y=-2x+1

4.若隨機變量的分布列如表，則P（|X-2|=1）的值為（）

X1234

111

Pa

443

D.

5.設(shè)點P是函數(shù)/（%）=?、-百％圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為a,則角a的取值范圍是（）

A.[0號）B.[0￡）U（等，兀）

C第D.[0*u[李，兀）

6.Q-1）2（久2一2%+2）的展開式中，/的系數(shù)與常數(shù)項之差為（）

A.—3B.-1C.5D.7

7.已知函數(shù)/（%）=xlnx-2%+a?一Q,若f（%）<0在％e[1,e?]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[—1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[—1,1]

8.已知函數(shù)/（%）滿足/（%）lnx+1/（%）<0（其中/'（%）是/（%）的導(dǎo)數(shù)），若q=f（e；）,b=f（e^yc=

/（房），則下列選項中正確的是（）

1

A.6a<46<3cB.6a<3c<4bC.46<6a<3cD.4b<3c<6a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

18

9.對于(％-；)的展開式，下列說法正確的是()

A.展開式共有8項

B.展開式中的常數(shù)項是70

C.展開式中各項系數(shù)之和為0

D.展開式中的二項式系數(shù)之和為64

10.如圖是導(dǎo)函數(shù)、=尸(%)的圖象，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(久)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=/在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)y=/(久)在％=1處取得極大值

D.函數(shù)y=f(%)在久=—2處取得極小值

11.袋中裝有6個相同的小球，分別編號為1,2,3,4,5,6.從中不放回的隨機抽取兩個球，4表示事件

“取出的兩個球中至少有一個球的編號為奇數(shù)”，B表示事件“取出的兩個球的編號之和為偶數(shù)”，則下列說法正

確的是()

A.事件A與事件B不相互獨立

B.事件力與事件B互斥

C.在事件2發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率為生

D.在事件B發(fā)生的前提下，事件4發(fā)生的概率為*

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從甲地去乙地有4班火車，從乙地去丙地有3班輪船，若從甲地去丙地必須經(jīng)過乙地中轉(zhuǎn)，則從甲地去丙

地可選擇的出行方式有種.

13.有3臺車床加工同一類型的零件，第1臺加工的次品率為4%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出

來的零件混放在一起，已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的20%,30%,50%,現(xiàn)從加工出來的

零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為.

14.已知函數(shù)/(%)=靖一？一久一%,若/■(/+。+/(3t)V0成立，則實數(shù)t的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

2

15.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量f,T）,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中

射中的環(huán)數(shù)分別為7,8,9,10,且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為2a,0.2,a,0.2,乙射中10,9,

8,7環(huán)的概率分別為0.3,0.3,b,b,求f,〃的分布列.

16.某市移動公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對使用4B兩種套餐的集團用戶進行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市n（nCN*）

個人數(shù)超過1000的大集團和3個人數(shù)低于200的小集團中隨機抽取若干個集團進行調(diào)查，若一次抽取2個集

團，全是大集團的概率為2.

14,

（1）在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為小集團的概率；

（2）若一次抽取3個集團，假設(shè)取出大集團的個數(shù)為X,求X的分布列.

3

17.已知函數(shù)/（%）=多■比2—M-g片0>

（1）若a=l,求/'（久）的極值；

（2）討論函數(shù)/（久）的單調(diào)性.

18.已知函數(shù)/'(%)=a(e久-1)—t(a力0).

(1)若a=1,證明：/(%)>0；

1

/（勺）2一/（比2）>4,求實數(shù)a的取值范圍.

(2)若\/久16(0,+8),肛C(0,+8)(久1力久2)，都有1-

3

1

19.已知函數(shù)/Q）=：+alnK（aeR）.

（1）求函數(shù)/（久）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)g（x）=%—〃%）有兩個極值點久Ox2.

①求實數(shù)a的取值范圍；

②若打6弓,1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…），求。（巧）—"（小）的取值范圍.

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：從6個人選出3人在安排在三種不同類型工作中共有廉=120種.

故答案為：D.

【分析】理解題意，根據(jù)排列數(shù)計算即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：①中，經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；

②中，質(zhì)點在直線上的位置不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；

③中，報警電話次數(shù)可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；

④中，離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量,

所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)定義理解離散型隨機變量直接判斷即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：因為/(%)=3%2—1>?由f(l)=—1,

所以切線的斜率為f'(l)=3xl-l=2

所以切線的方程為y+1=2(%-1)=>y=2%-3,

故答案為：A.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何和直線的點斜式方程，從而求解.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：根據(jù)概率之和為1得a=<

115

P(|X—2|=1)=P(X=I)+P(X=3)=G+4=爻

故答案為：A.

【分析】根據(jù)概率之和為1求得a,代入計算即可.

5.【答案】B

x

【解析】【解答】解：由已知可得：/(%)=e-V3.易知/(%)>-8

,??設(shè)點P處切線的傾斜角為a,tana>-g.aC[0,兀),

所以ae[0,U(^-,TT).

故答案為：B.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和傾斜角的關(guān)系，即可求得取值范圍.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：由已知(久一1)2(——2久+2)=0—1)4+(久一1)2,

展開式中/的系數(shù)為以+1=7,

取x=0,得常數(shù)項為2,

故/的系數(shù)與常數(shù)項之差為7-2=5.

故答案為：C.

【分析】利用二項式定理展開結(jié)合賦值法計算即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：因為/(久)=仇％-1，令/'(x)>0，解得e<x<e2,

令f'(X)<0，解得lW%<e.所以/'(%)在［l,e)上單調(diào)單減，在(e,e2］上單調(diào)單增，

又fQ)<0在XG”2］上恒成立，所以L(⑴：2―22n解得0<?<1.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于a的不等式，即可求得范圍.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：因為/(%)加x+打(久)<0,所以/(%加工丫<0令g(K)=f(久)m％,

則g'(x)<0在(0,+8)上恒成立，故。(久)在(0,+8)上為減函數(shù)，

111111111

所以g(e2)<g(e§)<g(e4)，則/,2)仇e2</(e3)/ne3</(e4)/ne4,

故/a<gb<"c,即6a<4b<3c.

故答案為：A.

【分析】利用已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用不等式的性質(zhì)即可求解.

9.【答案】B,C

18

【解析】【解答】解：對于A：由二項式定理可知(久一》展開共有9項，故A錯誤；

對于B：常數(shù)項為《x%4X(-3=70，故B正確；

對于C：令％=1,則展開式中各項系數(shù)之和為(1-1)8=0,故C正確；

對于D：展開式中的二項式系數(shù)之和為28=256,故D錯誤.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)二項式定理內(nèi)容和性質(zhì)直接判斷即可.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：對于A.因為在(1,3)上/(久)<0成立，所以y=/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間(1,3),故A正確;

B.因為當(dāng)一2<久<0時，/(%)>0?當(dāng)X<-2時，/(%)<0>所以y=6%)在(一8,0)上不單調(diào)，故B錯

誤；

6

C.因為當(dāng)一2<%<1時，f(K)>0，當(dāng)1<久<3時，f(x)<0>函數(shù)y=/'(%)在％=1處取得極大值，故c

正確；

D.因為當(dāng)％<-2時，/(%)<當(dāng)一2<%<1時，/(%)>0，所以函數(shù)y=/(久)在X=-2處取得極小值，故

D正確，

故答案為：ACD.

【分析】

利用已知導(dǎo)函數(shù)圖象函數(shù)值正負，得到函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷即可.

n.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A選項：因為2(4)=1—P(3),故「(4)=1—

C6

33

事件B的概率P(B)=2=可，事件AB的概率PQ4B)==中

因為P(4B)。P(A)?P(B),所以事件A與事件B不相互獨立，選項A正確；

B選項：“取出的兩個球的編號均為奇數(shù)”既在事件4中，也在事件B中，

故事件力與事件B不互斥，選項B錯誤；

1

-1

5

c選項：P(BM)=號簿=---

44選項C正確;

5-

1

-1

5

=---

D選項：P(4|B)：22

-

5

故答案為：ACD.

【分析】利用條件概率和古典概型的概率計算公式進而分析選項即可判斷.

12.【答案】12

【解析】【解答】解：由已知甲地去丙地共有3X4=12(種).

故答案為：12.

【分析】根據(jù)分步乘法直接計算即可.

13.【答案】A

【解析】【解答】解：零件為第2=1,2,3)臺車床加工記為為事件

事件B“任取一個零件為次品”，

由已知P(4)=0.2,P(&)=0.3,pg)=04,

由全概率公式可知所以P(B)=P(A1)P(B|41)+P(712)P(B|42)+P(A3)P(B|A3)=0.2X0.04+0.3X0.05+

0.5X0.05=0.048,

所以呻2⑸=5^.

7

故P(&⑻=噎罌=余

故答案為：金.

【分析】利用全概率公式和貝葉斯公式即可求得結(jié)果.

14.【答案】(-4,0)

【解析】【解答】解：因為函數(shù)的定義域為R.且/(—%)=e-久-e久+x=-/(久)，

所以/'(久)是奇函數(shù).又因為f(久)=ex-e~x-x.f'(x)=ex+e^x-1>2y/ex-e-x-1=1>0.

所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，/(t2+t)+f(3t)<0等價于+t)<-/(3t)=/(—3t),

所以—3t>+t,>'?+4t<0>-4<t<0.

所以實數(shù)t的取值范圍為(-4,0).

故答案為：(-4,0).

【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，等價轉(zhuǎn)化不等式即可得答案.

15.【答案】解：由題意得0.2+2a+a+0.2=1,解得a=0.2,

0.3+0.3+2b=1,解得b=0.2,

所以f的分布列為

10987

p0.40.20.20.2

4的分布列為

10987

P0.30.30.20.2

【解析】【分析】(1)根據(jù)人〃的可能取值，分別求出每個取值的概率，即可得到分布列.

(2)利用(1)所得的分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計算公式，通過運算即可求解.

16.【答案】(1)解：由題意知共有n+3個集團，取出2個集團的方法總數(shù)是以+3,其中全是大集團的情況有

場故全是大集團的概率是乒=(二黑裾3)=/，

整理得到3n2-I3n-10=0,解得n=5,

若2個全是大集團，共有*=10(種)情況，

若2個全是小集團，共有之=3(種)情況，

故在取出的2個集團是同一類集團的情況下，全為小集團的概率為七=/

(2)解：由題意知，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,

115

pcx_0)__p(x-n-_

8

pr_2)_2—型—至建丫—_C5c3_10_5

()一飛_一拓一而，P(X_3)_7r_筋一麗,

故X的分布列為

X0123

P115155

56562828

【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率計算方法即可求得概率；

(2)由題意知算出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望.

17.【答案】⑴解：若a=1,/(x)=|x2-lnx,則八支)=久—工=歡二1,

令/(久)=0，解得x=l,所以〃久)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又/⑴耳，所以/(久)在(0,1)處取得極小值最無極大值；

3

(2)解：/(%)=ax--=磯a*+D3—D,

當(dāng)a>0時，令/'(%)>0，解得久>\，令f(x)<0，解得0<x<、，

所以/(%)在(0,》上單調(diào)遞減，在(/+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<。時，令/'(久)>0，解得0<%令/(久)<0，解得久>一)

所以/(%)在(0,-》上單調(diào)遞增，在(一,+8)上單調(diào)遞減.

【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)值的正負即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的定義可得極值.

⑵分類討論a<0和a>0的情況，再利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷函數(shù)單調(diào)性.

xx

18.【答案】(1)證明：若a=1,/(%)=e-1-x,/(%)=e-1，令/'(%)>0，解得x>0,令/'(%)<

0,解得x<0,

所以f(尤)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/O)min=f(0)=0,所以/(久)>0;

2)11

八勺)一2/(比2

(2)解：不妨設(shè)0<%1<久2，所以X1-X2>2,即久W</(久2)—2后，

所以y=/(x)—在(0,+8)上單調(diào)遞增，

令g(%)=f(x)—義光2,g(%)-ae"—x—^>0在(0,+8)上恒成立，

令九(%)=令(%),h(x)=aex-1.

,一11一，

當(dāng)a<。時，h(x)<0在(0,+8)上怛成立，又h(—)=ae~^<0，不符合題思;

當(dāng)0<。<1時，令h(%)>0，解得%>必工令h(%)V0，解得0<%<加!，

9

所以h(x)在(0,上》上單調(diào)遞減，在(ln1,+8)上單調(diào)遞增，

1111

所以h(%)7nin=九(伉—)二1—In———=ITLCL—￡+1之0,解得。之1，此種情況無解，

當(dāng)a21時，,；》(%)=ae*-1>e。-1=0,二八(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增，h(x)>/i(0)=a-^>0?

fi(x)=g'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

綜上所述a的取值范圍為［L+8).

【解析】【分析】(1)依據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得最值后即可證明不等式，

(2)構(gòu)造函數(shù)gQ)=/(久)-科/根據(jù)已知條件得到單調(diào)性，分類討論后求解.

19.【答案】(1)解：由題知，函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8),/(乃=一1+?=竽，

當(dāng)aWO時，對任意的久>0,r'(久)M0且/(%)不恒為零，故/(久)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>。時，令f(%)=0，解得％=

所以當(dāng)久6(0,》時，/(%)<0;當(dāng)％eg,+8)時，/(%)>0.

此時，函數(shù)久久)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,》，單調(diào)遞增區(qū)間為。,+8).

綜上，當(dāng)aWO時，/Q)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,》，單調(diào)遞增區(qū)間為(1+8)