廣東省部分學校2024-2025學年高二上學期期末考試數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若數列｛%｝的前5項為則它的一個通項公式為()

A.-------B.-------C.-------D.—

3n-l2/z+l2"-13"

、右焦點，且|尸閶=2,則耦=

2.己知P為橢圓C:無2+2y2=i6上一點，耳區分別為C的左

()

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，在四面體。43。中，。為3C的中點，3記=2而，且P為OG的中點，則礪=()

1—.5—?1—、

B.——OA+-OB+-OC

666

1—?2—?1—?2—?1—?1—.

C.-OA+-OB——OCD.-OA——OB+-OC

336363

4.直線小京=1與圓/+/=625的公共點個數為()

A.0B.1C.2D.無法判斷

丫2

5.已知雙曲線。過點(3,6),且與雙曲線方-丁=1有相同的漸近線，則。的方程為()

6.已知圓G：?！狪)?+('—1)2=4與圓Q：(x—%?+"—5)2=41—根有三條公切線，則機=()

A.5B.16C.32D.36

7.已知數列出｝的通項公式為，則當〃取得最小值時，"=)

b,

("+1)2

A.3B.4C.5D.6

8.在正方體AB。-ABIGA中，空間中一動點尸滿足

XAB+^)=AP+v4A(0<//<l,0<v<l),則直線2P與直線4G所成角正弦值的取值范

圍為()

二、多選題

9.已知向量衣=(2,0,-1),國=(0,1,1),則()

A.|AC|=5B.而同方向上的單位向量的坐標為

I22

C.AC.CB=iD.就在衣上的投影向量的模為好

5

10.記等差數列｛%｝的前附項和為九已知S“=n?+Qz+M,其中p,Q,M為實數，則()

A.M=0B.若｛%｝單調遞增，則P>0

C.若Q=。，則。3=4〃ID.P+Q+M=0,則%=0

11.已知。為坐標原點，拋物線Af：/=2px(p>0),N;y2^2qx(q>0),0片4,點A,B

分別在N上(均異于點。)，M,N的焦點分別為％F2,若次=彳礪(XWR),則

下列說法正確的有()

A.XwlB.當;1=2時，P=2q

C.PS&ABF\=qSAABF,D.SsOAF]=$4086

三、填空題

12.已知直線4:ax-y-2025=0,/2：(34-2)x+ay+l=0(4R0)滿足4"L/?，貝!!4=.

13.已知正項等比數列｛%｝滿足5百q+(5-6)%=%,則其公比4=.

22

14.已知雙曲線。:三-2=1(。>0*>0)的左、右焦點分別為月,耳，過點尸?的直線與C交

試卷第2頁，共4頁

于A,8兩點，且3亞=2而，以A3為直徑的圓過點工，設C的離心率為e,貝4/=.

四、解答題

15.已知點A(—1,3),B(5,—5),C(2,4)

(1)求線段AC的垂直平分線的方程；

⑵己知圓M'過點A,3,C,求圓Af的方程.

16.已知點A。,%)是拋物線C:y?=2px(p>0)上一點，/為C的焦點，且|AF|=2.

(1)求C的準線方程；

⑵若點A位于第一象限，求C在點A處的切線/的方程.

17.如圖，三棱錐尸-MC的棱2C上存在一點。，使得平面PAD,底面4BC,點E在棱AO

上，且平面上鉆.

⑴證明：AB_L平面PAD；

⑵若AB=AD=2,AP=PD,BD=2CD,求平面PAB與平面PAC夾角的余弦值.

22

18.已知橢圓氏會+/=l(a>b>0)的左焦點為尸(TO),過尸且斜率不為。的直線/交E于

AB兩點，過點A8分別作/的垂線，交E于M，N兩點.當/的斜率不存在時，四邊形AMVB

的面積為6.

(1)求E的方程；

⑵求|人尸|的取值范圍；

|AF|_BF

⑶證明:畫「而

19.已知無窮數列｛七｝中的每一項均為正整數，其前〃項和為S“，若數列｛%｝中任意相異三

項不成等差數列，則稱該數列為“玫瑰數列”.

(1)對于每一項均為正整數的無窮等比數列｛%｝.

(i)若數列｛券｝的公比為1,判斷其是否為“玫瑰數列”；

(ii)若數列｛%｝的公比不為1,證明：該數列為“玫瑰數列

⑵若離|是所有玫瑰數列中，對任意正整數機，在黑最小的前提下，恒使S,用最小的玫瑰數

列.設左為正整數，證明：SgS2kss2M2成等差數列.

試卷第4頁，共4頁

《廣東省部分學校2024-2025學年高二上學期期末考試數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案BCACDCBBBDABD

題號11

答案ABD

1.B

【分析】根據數列的每一項與項數之間的關系即可推出數列的通項，再代值檢驗排除其他選

項即得.

==

【詳尚犁］S~~~-,6Z=A7,…，

32x1+12x2+132x3+12x4+1

故數列｛凡｝的一個通項公式為。,=丁二，

將〃=1代入A,C都不符合，把〃=2代入D,不符合.

故選：B.

2.C

【分析】由橢圓方程求出。=4,利用橢圓的定義式，求得|「匐=6,代入計算即得.

22

【詳解】由C:x?+2y2=i6可得：—+^=1,則。=4,

168

6

因|「制+|?段=2a=8,則歸耳|=8-|尸閶=6,3

2

故選：C.

3.A

【分析】根據空間向量的線性運算求解即可.

【詳解】由題意，歷=；前=；()+而)=.函+：礪卜;麗(記+超)

=-OA+-(OC-OA+OB-OA\=-OA+-OB+-OC,

26、>666

故選：A

4.C

【分析】求出圓心到直線距離，和半徑比較后得到答案.

【詳解】1+產=625的圓心為。(0,0),半徑為25,

|1|

o(o,o)至U4+/=1的距離為d=Ji；1=24

V900+1600

答案第1頁，共14頁

故直線2+需=1與圓一+丁=625相交，公共點個數為2.

故選：C

5.D

【分析】設雙曲線方程為:-y=相(加/0),將(3,6)代入，求出機，可求雙曲線的標準方

程.

【詳解】因為雙曲線C過點(3,6),且與雙曲線三-丁=1有相同的漸近線，

3

所以設雙曲線方程為：-丫2=加(相20),

32

將(3,6)代入，可得2_-62=m，則加=—33,

3

22

所求雙曲線的標準方程是匕-二=1.

3399

故選：D.

6.C

【分析】根據兩圓有三條公切線可判斷兩圓外切，再利用兩圓外切的判定方法列方程即得.

【詳解】由弓曰-1)2+('-1)2=4可知圓心為0(1,1),半徑為2；

由G：(%-4)2+(y-5)2=41-機可知m<41且圓心為。2(4,5),半徑為J41—m.

因兩個圓有三條公切線可知兩圓外切,

解得：m=32.

故選：C.

7.B

【分析】利用作商法判斷數列單調性，得出數列的最小值即可得解.

3b3("2+2/7+1j

【詳解】由，，則針彳

b“=勿2(a?+4w+4)'

b

令貴>1,貝I*—2〃—5>0,由〃￡N+，解得〃24,

bn

bb

所以當〃V3時，會<1,當“24時，常1>1,

"么

即當〃V3時，數列｛2｝單調遞減，當〃24時，數列加,｝單調遞增,

答案第2頁，共14頁

又a=三，d=2》所以即/為數列色｝的最小值,

12o41)0

故當耳取得最小值時，n=4.

故選：B

8.B

【分析】設正方體的棱長為1,以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，設點尸(x,y,z),由

條件求得P(〃,〃W),設直線2P與直線4G所成角為。，利用空間向量夾角公式求出

如。=瓦胃言—，通過換元(2〃-1)?=s,2(吁1)2+1=，，將其化成sin?。,

利用si的范圍和不等式性質即可求得.

【詳解】

如圖，設正方體的棱長為1,以點A為坐標原點建立空間直角坐標系.

貝I」A(0,0,0),5(1,0,0),0(0,1,0),A(0,0,l)，2(0,l,l)，G(l,l,l),

設點P(x,y,z),則通+罰=(1,1,0),中=(0,0,-1),

元二〃

由〃(通+而)=/+丫取可得：//(l,l,0)=(x,y,z)+v(0,0,-l),解得,y=〃，

Z=V

則P(〃,〃,〃)，印=(〃,〃一14-1),隔=(1,1,0),

設直線2P與直線AG所成角為。，則

■e=?印?隔?==

I^PI-IAGI72-7A2+(A-1)2+(^-1)2A/2?小2)+/-22V+2

(2〃-1)?

于是sin*=l-cos20=l-

2(2//+/-2〃-21/+2)

4//2-4^+1_2V2-4V+32(V-1)2+1

22-2222

4yu+2v-4//-4v+44//+2v-4it/-4v+4-(2//-1)+2(v-l)+1

設(2〃-1)2=S,2W-1)2+1=?,因0W〃<1,0WVV1,^0<5<1,1<Z<3,

答案第3頁，共14頁

則Sin2e=，即sm."二二，因則04上41‘則l"""，

s+t-+13tt-+1

tt

i5

即二4sin?6>VI,因sin0>0,則得Y-Wsinewl.

22

故選：B.

【點睛】方法點睛：求解異面直線的夾角的方法主要有：

平移法：將異面直線中的一條或兩條利用平移使其相交，通過解三角形求得；

坐標法：通過建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標和向量坐標，利用空間向量夾角的坐

標公式求解.

9.BD

【分析】根據空間向量的運算逐項判斷即可.

【詳解】因為北=（2,0,-1）,屈=（0,1,1）,所以配=（0,-1,-1）.

對于A：因為|同=?+㈠）?=非,故A錯誤；

CB（0,1,1）g友0）一（屈

對于B：因為同萬一,空-）,即CB方向上的單位向量是［。，事，方-）故B

正確；

對于C：因為/.0=（2,0,—1）.（0,1,1）=-1,故C錯誤;

\BC-AC\1（0,-1,-1）.（2,0,-1）1出

對于D：由\一「』-----/==一=當，故D正確.

\AC\VF+l5

故選：BD.

10.ABD

【分析】利用S“的關系式求得%=2尸〃-尸+。，再由｛%｝是等差數列，推出M=0,確定A

項，再根據各選項的要求依次判斷即得.

【詳解】由S,=PW2+Q〃+M①，可得：當〃=1時，G=，=P+Q+M；

當〃22時，Si=尸（〃-+。5-1）+M②,

a

由①-②:n=2Pn-P+Q,

因｛%｝是等差數列，則〃=1時，P+Q=al=P+Q+M.

對于A,由上分析易得A1=0,故A正確；

答案第4頁，共14頁

對于B,由上分析，可得數列｛4｝的通項公式為：an=2Pn-P+Q,

它是關于〃的一次函數，故當｛%｝單調遞增時，必有尸＞0,即B正確；

對于C,當。=0時，a?=2P?-P,則%=6尸一尸=5尸=5%,故C錯誤;

對于D,由A項已得M=0,由P+Q+M=0可得尸+。=0,則q=尸+。=。，故D正確.

故選：ABD.

11.ABD

【分析】運用拋物線的性質，結合直線曲線聯立求出交點，將三角形面積比轉化為關于p,

q式子之比，逐個計算判斷即可.

【詳解】因為所以拋物線N不重合，故A,B不可能共點，即群1,故A正

確；

由于西=兄礪，不妨設點A,3均在直線〉=丘上，A（xA,yA）,B（xB,yB）,

將其與M的方程聯立，得r/_2px=0,故》=0或普，即乙=與，同理/=普，

KK,K

故彳=上=‘，當％=2時，P=2q,故B正確；

4q

由于直線＞="過原點，故片，工到直線＞="的距離之比等同于其到原點的距離之比“，

故節,故贅AAMI=PSAABF?，故C錯誤；

S

.ABF2q

'△。明=|。周|力|二I?，斖逫=q，P=1痂n7F稚

%如問曲|。聞園PU'故正確.

故選：ABD.

12.1

【分析】由兩直線垂直的判定方法列方程求解即得.

【詳解】由《，乙可得：a（3a-^-a=0,解得:。=1或a=0（舍去），

即a=1.

故答案為：1.

13.5

【分析】根據等比數列的基本量關系求解即可.

答案第5頁，共14頁

【詳解】因為正項等比數列｛4｝滿足5國+（5-有）%=%，

所以5y/3ci^+（5—,

則/_（5_石）夕-56=0,解得4=5或g=_g,

因為｛%｝為正項等比數，所以4=5.

故答案為：5.

294

14.—/5-

55

【分析】分析題意可知：過點耳的直線與雙曲線C的左支交于48兩點.設|明|=2m（租＞0）,

則閨耳=3加.由雙曲線定義可知|隹|=2a+2〃z,優卸=24+3加.又以為直徑的圓過點F?,

所以卜6「+忸閶2=a卻，解得根=2°.在RtAA居8和AA居片中，分別求cosA即可得到關于

Y與c?的二次齊次式，離心率即可求解.

【詳解】分析可知：過點《的直線與雙曲線C的左支交于A,8兩點，如圖所示.

?.?3福=2池，；.設|前|=2租（租＞0）,則忸4=3根.

由雙曲線定義可知|鉆|=2a+2租，\F2B\=2a+3m.

,：以AB為直徑的圓過點F,,:.\AF^\+\BF^=|AB「，BP（2a+2m）2+（2a+3/??）2=25m2,

化簡整理得2/+5力箱-3/=0,即（a+3㈤（2。-租）=0,解得利一：（舍去），或〃?=2°.

|AF；|=4a,-6a,\AF2\=6a,|7^B|=8a.

IARI6a3

在Rt^A區8中,cosA=p-=

1明10。5

詞213a2-2_3

在AA工耳中,血片上局?2

Bp5（13a2-c2）=3xl2a2,^5c2=29a2.

2c229

.*.e=-7=—?

a25

29

故答案為：—.

答案第6頁，共14頁

15.(l)3x+y-5=0

(2)(x-2)2+(y+l)2=25

【分析】(1)依次求出線段AC的中點坐標和所在直線的斜率，即得線段AC的垂直平分線

的斜率，即可寫出方程；

(2)求出線段的垂直平分線的方程，再將線段48、AC的中垂線方程聯立，求出圓心，

再求出半徑，即得圓的方程.

【詳解】⑴依題意，設線段AC的中點為。，因A(T3),C(2,4),則叫[J，

直線AC的斜率為：廉=2十1)=7則線段AC的垂直平分線的斜率為-3,

71

故其直線方程為：y--=-3(x--),即3尤+y-5=0.

(2)設線段A3的中點為E,因A(-L3),5(5-5),則E(2,-l),

-5-343

直線43的斜率為：宜=5_(_])=-耳，則線段A8的垂直平分線的斜率為了，

3

得線段A5的垂直平分線的方程為y+1=：(x-2)，即3x-4y-10=0,

4

由(1)線段AC的垂直平分線方程為3尤+y-5=0,

3x+y—5=0

由,解得:x=2,y=.l,

3x—4y—10=0

即圓心為M(2,-l),圓Af的半徑為：r=|MA|=J(2+l)2+(_l-3)2=5,

故圓M的方程為：(x-2)2+(y+iy=25.

16.⑴x=—1

(2)x-y+l=0

【分析】(1)根據拋物線焦半徑公式計算得出0=2,再得出拋物線方程進而得出準線方程

即可；

答案第7頁，共14頁

（2）先設直線方程，再聯立方程組，再分發二0和.左=0.兩種情況，直線,與C相切求參即

可得出直線方程.

【詳解】⑴因為拋物線C：y2=2px（p〉0）,4（1,%）,

所以網=1+臺2,所以p=2,可得0:丁=4工

所以C的準線方程為x=T.

（2）因為點A。,%）在拋物線C上，所以公=4,

又A0,%）位于第一象限，所以為=2,所以4（1,2）,

過點A的直線/與C相切，若直線/斜率不存在，不符合題意；

設直線/：y-2=Mx—1）與C:/=4x,

由12，得62_4y+8_4k=0,

[y=4x

當左w0時，A=16-4Z（8—4Z）=0,BPA：2-2A：+1=0,即左=1,

當左=0時，-4y+8=0,y=2與拋物線相交，不符合題意；

所以/的方程為＞一2=%-1,即X—y+l=0.

17.（1）證明見解析

⑵年

【分析】（1）由面面垂直可得線面垂直，再得線線垂直，可得線面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求平面R4B與平面R4C夾角的余弦即可.

【詳解】（1）因為平面R4D_L底面A3C,平面%De平面=PEJ.AD,PEu平

面PAD,

所以PE_L平面ABC,又ABu平面ABC,所以ABJLPE.

又因為PD_L平面上4B,ABu平面上鉆，所以AB_LPD.

又PECPD=P,平面/MD,所以AB,平面皿）.

答案第8頁，共14頁

(2)由(1)知ABJ_平面PAD,ADu平面PAD,所以AB_LA￡),

以點A為坐標原點，人民仞所在直線分別為蒼丁軸，過點A垂直底面ABC的直線為z軸,

建立如圖所示的空直角坐標系.

因為PD_L平面APu平面上鉆，所以AP_LPD.

又AP=PD,所以仞2=”2+尸￡>2=2轉2=4，得AP=0.

則4(0,0,0),3(2,0,0),0(0,2,0),C(-l,3,0),P(0,l,l),

故加=(0,-1,1),麗=(0,1,1),沅=(一1,3,0),

依題意，平面的一個法向量為由=(0,-1,1).

設平面PAC的一個法向量為方=(°,4c),

APn=0|Z?+c=0

則＜即一心0,取I則if

AC-n=Q

設平面上鉆與平面PAC的夾角為6,

2_V22

所以

11網同V2XVTT-11

因此平面E4B與平面PAC夾角的余弦值為叵.

11

r22

18.⑴土+匕v=1

43

⑵(L3)

(3)證明見解析

22

【分析】(1)當/的斜率不存在時，橢圓方程二+當=1中，令x=-l,得A8坐標，則由

四邊形面積建立方程，結合c=i=77方解方程組可得；

(2)設點4周,%)，則才=3_1玉2,利用兩點距離公式得以刊=，士+1『+3一］;求函數

最值可得；

答案第9頁，共14頁

AF\BF

(3)設相關各點坐標，結合(2)式，化斜為直，將所證結論心=

~NF轉化為證明

L=7T一再設出直線A"方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理得須，退關系進而消參,

同樣的方法處理三,匕，再利用直線方程分別化簡產土，把迄可得相等關系.

4+%34+14

【詳解】(1)由題意可得片一〃=°2=1,①

22

當/的斜率不存在時，在橢圓方程與+2=1中，令x=-l,

ab

可得A(-l,且]

Ia/a

所以|A同=*幺，由題意可知四邊形AWB為矩形,

a

則其面積S=2X3L=6,②

a

[a2=4

聯立①②解得｛,2I

忻=3,

22

故E的方程為上+匕=1.

43

(2)設A(%,yJ,因為點A在橢圓E上，且/的斜率不為0,

22O

則玉e(-2,2),且士v+工=1,所以犬=3一=龍;，

434

則|AF|=J(X|+1J+3=J(X]+1)2+3_：x；=%；4,由%e(-2,2),

故|AF|e(l,3).

(3)設3優,%),加(￡,%)，雙(%4，%)，且現,超e(-2,2),x3,x4e[-2,2]

故x,+4>0,且4y2-12=-3靖,1=1,2,3,4.

由(2)可得，|A司=4『，同理有忸制=玉『,伽陽=王『,|八叼=也『.

答案第10頁，共14頁

4+x.4+x

故要證\A%F\i=\BF\即證=?（*）-

\MF\NF|4+w4+X4

由題意直線A8斜率不為0,則直線40和N3的斜率存在,

設斜率為％，則AM的方程為了=左（%一百）+%,

[x2y2,

聯立'43,

得3尤2+4左2（%_石）2+8如（％_%）+4y；—12=0,

艮[J（3+4k2）%2+8左）冗+（4左2—3）無：—=0,

當士片。時，由韋達定理得XX=（4，

13

3+4左2

故x：（4r一3b「8雙.

33+4公

當占=0時，由韋達定理得士+電=尤3=-普M，也適合上式;

I'IIV

(4人~—3)%—8份2

故馬;同理可得％=

3+4/3+4/

所以代入（*）式化簡整理可得,

,,、六斗4+不(4+xJ(3+4用

(*)/T=----=-------------------.

4+鼻16k2+12+(4左2-3)%一8@]'

,,、士04+尤2(4+尤2乂3+4用

(*)右邊—---—=-------------------------.

J4+%16Z?+12+(4左之一3)尤2-8打2'

①當直線/的斜率存在且不為0時，/的方程為y=-卜尤+1）,

k

貝=8(±+1),且一8外2=8(%+1),

(4+3乂3+4左2)3+4k2

則（*）左邊=

16左2+20+(4左2+5)%4/+5；

答案第11頁，共14頁

、七斗(4+々乂3+423+4〃

*)右功=-----------------------=-------

16左2+20+(4/+5)尤24k2+5

②當/的斜率不存在即左=0時，則%=%,鼻=Z,

4+芯_4+々

寸隊4+晝4+匕顯然成立.

\AF\\BF\

綜上所述,師二網得證.

【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵有兩點，一是借助橢圓方程坐標代入，將|4月化簡為

空(利用橢圓第二定義也可得到)，同理可化簡怛目進而將所證結論

扁=/轉化為證明石￡=石;；二是聯立直線與橢圓方程，應用韋達定理得到占，尤3

及9,X’的關系，進而代入消參、化簡求證結論.

19.(1)(i)不是"玫瑰數列"；(ii)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)(i)直接根據等比數列概念和“玫瑰數列”定義即可判斷;

(ii)利用反證法結合