專題22概率與統計的綜合應用與高級分析

目錄

01模擬基礎練.....................................................2

題型一：求概率及隨機變量的分布列與期望............................2

題型二：超幾何分布與二項分布......................................4

題型三：概率與其它知識的交匯問題..................................6

題型四：期望與方差的實際應用......................................8

題型五：正態分布與標準正態分布...................................11

題型六：統計圖表及數字特征.......................................12

題型七：線性回歸與非線性回歸分析.................................13

題型八：獨立性檢驗...............................................15

題型九：與體育比賽規則有關的概率問題.............................19

題型十：決策型問題...............................................20

題型十一：遞推型概率命題.........................................22

題型十二：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式.......................23

重難點突破：高等背景下的概統問題.................................24

02重難創新練....................................................29

題型一：求概率及隨機變量的分布列與期望

1.2024年5月某數據挖掘與分析機構發布《2024年中國國貨消費品牌500強》，統計榜單前20名品牌所

在行業，得到如下頻數表.

行業汽車出行3c數碼家用電器食品飲料生鮮水果珠寶文玩

頻數744311

(1)從表中家用電器、生鮮水果、珠寶文玩行業的6個品牌中隨機抽3個，求抽取的3個品牌恰好來自2個

不同行業的概率；

(2)從來自汽車出行、3c數碼及家用電器的15個品牌中抽取4個品牌，且來自3c數碼及家用電器的品牌

抽取的數目相同，記該數目為X,求X的分布列與期望.

【解析】(1)從這6個品牌中隨機抽3個，抽取的3個品牌恰好來自2個不同行業，

抽取結果數為C：C；=12,

123

所以所求概率為弓？=5-

(2)X的取值依次為0,1,2,

從15個品牌中抽取4個品牌，且來自3c數碼及家用電器的品牌抽取的數目相同的總數為

C+CcC+c；C=407,

C：35

p(x=0)=

407—407

P(X=1)=724336

407407

C：c；:36

P(X=2)=

407~407

所以X的分布列為

X012

3533636

P

407407407

c36408

E（X）=Ox正+lx受+2x-----

407407407407

2.甲、乙、丙3人進行跳棋比賽，3人兩兩各進行1局，共進行3局，贏的局數多者獲勝，且這3人只有1

人可獲勝，若沒有獲勝者，則這3人兩兩再各進行1局，若還沒有獲勝者，則比賽結束.假設甲、乙、丙每

人每局贏的概率均為;，每局是平局的概率均為g,每人每局的結果相互獨立.設每贏1局得2分，平1局得

1分，輸1局得0分.

(1)求該跳棋比賽前3局沒有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率；

(2)已知前3局中甲、乙、丙各贏1局，這3人兩兩再各進行1局，記甲在這6局中獲得的總分為X,求X的

分布列與數學期望.

【解析】(1)依題意可得乙和丙不可能都得。分或1分，

則乙和丙可能都得2分或3分，

當乙和丙都得2分時，這3局均為平局或這3局每人各贏1局；

當乙和丙都得3分時，乙與丙都贏了甲且乙與丙的對局結果為平局.

所以該跳棋比賽前3局沒有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率為(口+&[x2+gj=(.

(2)依題意可得X的可能取值為6,5,4,3,2,

|=:'尸（X=5）=2x

則尸(X=6)II

p（X=4）=2x

則X的分布列為:

X65432

￡212]_

P

99399

121

i^E（X）=（6+2）x-+（5+3）x-+4x-=4.

題型二：超幾何分布與二項分布

3.某學校為了了解學生平時的運動時長情況，現從全校500名學生中隨機抽取20名學生，統計出他們的

運動時長(單位：分鐘)，將這些運動時長按(20,25］、(25,30］、L、(40,45］分成五組，得到如圖所示的

(1)求出。的值，并估計全校學生中運動時長超過30分鐘的人數；

(2)在上述選取的20名學生中任意選取2名學生，設y為運動時長超過30分鐘的人數，求y的分布列與期

望石⑶；

(3)現將運動時長高于35分鐘的學生稱為“熱愛運動者”，現從樣本中任意選取4名學生，求恰有2名學生是

“熱愛運動者”的概率.

【解析】(1)由于頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1,

貝ija=一5x(0.03+0.04+0.05+0.01)］=0.07.

全校學生運動時長超過30分鐘的人數約為500x5x(0.07+0.05+0.01)=325.

(2)由圖可知，運動時長超過30分鐘的人數為20*5*(0.07+0。5+0。1)=13,

運動時長不超過30分鐘的人數為20x5x(0.03+0.04)=7,

由題意可知￥的可能取值為0、1、2,

則叩=。)=旨=奇,W=l)=譬喘,叩=2)僧=||，

所以y的分布列為

Y012

219139

P

19019095

所以3=0x2+1x21+23="=".

,71901909519010

(3)運動時長超過35分鐘的人數為20x5x(0.05+0.01)=6,

運動時長不超過35分鐘的人數為20X5X(0.07+0.03+0.04)=14,

所以從樣本中任意選取4名學生，

Cg43x5x7x1391

恰有2名學生是“熱愛運動者”的概率=~C^~=20xl9xl8x"=運.

4x3x2xl

4.某公司擬通過摸球的方式給員工發放節日紅包，在一個不透明的袋子中裝有5個標有紅包金額的球，

其中2個球分別標注40元，2個球分別標注50元，1個球標注60元，這5個球除標注的金額外完全相

同.每名員工從袋中一次摸出1個球，共摸〃次，摸出的球上所標注的金額之和為該員工所獲得的紅包金

額.

(1)若〃=1,求一名員工所獲得的紅包金額不低于50元的概率；

(2)若〃=2,且每次摸出的球放回袋中，設事件A為“一名員工所獲得的紅包金額不大于100元”，事件8

為“一名員工所獲得的紅包金額不小于100元”，試判斷4B是否相互獨立，并說明理由.

【解析】(1)一名員工所獲得的紅包金額不低于50元，即獲得50元或60元，

故所求概率為(2+21=：3.

(2)由題意，事件表示“一名員工所獲得的紅包金額為100元”.

因為100=50+50=40+60=60+40,

所以尸（明=仕］+-x-x2=—.

⑸5525

A=”一名員工所獲得的紅包金額為80元或90元或100元”,

因為80=40+40,90=40+50=50+40,

22c84

所以尸(A)=+—x—x2+—=

55255

B=”一名員工所獲得的紅包金額為100元或110元或120元,

因為H0=50+60=60+50,120=60+60,

g、i…、82irn13

所以P(5)=----1—x—x2+—=—

2555⑸25

52

所以P(A)尸(5)=正wP(AB),

所以A,8不相互獨立.

題型三：概率與其它知識的交匯問題

5.某工業流水線生產一種零件，該流水線的次品率為P(O<P<1),且各個零件的生產互不影響.

(1)若流水線生產零件共有兩道工序，且互不影響，其次品率依次為R=《,0=(.

①求P；

②現對該流水線生產的零件進行質量檢測，檢測分為兩個環節：先進行自動智能檢測，若為次品，零件就

會被自動淘汰；若智能檢測結果為合格，則進行人工抽檢.已知自動智能檢測顯示該批零件的合格率為

99%,求人工抽檢時，抽檢的一個零件是合格品的概率(合格品不會被誤檢成次品).

(2)視p為概率，記從該流水線生產的零件中隨機抽取“個產品，其中恰好含有加(">：力個次品的概率為

/(P),求函數"0最大值.

【解析】(1)①因為兩道生產工序互不影響，

所以夕=1_(1_口)(1_02)=1-11_\卜1——=康.

②記該款芯片自動智能檢測合格為事件4人工抽檢合格為事件8,

33

且P(A)=99%,P(AB)=l-p=—,

33

則人工抽檢時，抽檢的一個芯片恰是合格品的概率為A)=°(叫-35_20.

I1'P(A)99%21

(2)因為各個芯片的生產互不影響，所以/(p)=C：p"Cl-p)i(o<p<i),

所以f\p)=(1-PL-(n-m)/"Q-p)""一］=C：pm-A(1-pL、(m-np),

令T(P)=O,得°=生，又則0<‘<l,

nn

所以當0<p<二時，((P)>OJ(P)為單調增函數，

n

當竺<p<l時，/'(p)<o,f(p)為單調減函數，

n

所以，當。='時，/(。)取得最大值，

n

mz、n—f/i

則最大值為/(-)==C：mg?.

nnnn

6.袋中有大小、形狀完全相同的4個紅球，2個白球，采用有放回摸球，從袋中隨機摸出1個球，定義T

變換為：若摸出的球是白球，則把/?(》)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)；若摸出

的是紅球，則將/'(尤)圖象上所有的點向上平移1個單位，函數/(X)經過1次T變換后的函數記為工(元)，

經過2次T變換后的函數記為力(%),…，經過"次T變換后的函數記為力(x)(〃wN*).現對函數

f(x)=log2X進行連續的T變換.

(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求力(X)；

(2)記X=￡(l),求隨機變量X的分布列及數學期望.

【解析】(1)第一次從袋中摸出的是白球，把函數/(x)=log2X變換為工(尤)=log2[g，=log2X-l,

第二次從袋中摸出的是紅球，把函數工。)=1。82耳-1變換為力(工)=1。82工，

所以力(x)=log2X.

(2)經過3次T變換后，力(x)有4種情況：

若摸出的3個球都是白球，則力(尤)=log2x-3"⑴=-3；

若摸出的3個球為2個白球、1個紅球，則力(x)=logzx-l"⑴=-1；

若摸出的3個球為1個白球、2個紅球，則力(x)=log2X+l,力⑴=1；

若摸出的3個球都是紅球，則力⑺=log2x+3,力⑴=3；

所以隨機變量X的可能取值為-3,-M,3.

12

因為從袋中隨機摸出1個球，是白球的概率為是紅球的概率為:，

6

P(X=-1)=C；

27

2

p(x=l)=c；I

2

尸(X=3)=C；I*

所以所求隨機變量X的分布列為

X-3-113

16128

P

27272727

所以，E(X)=(-3)x—+(-l)x—+lx—+3x—=1

27272727

題型四：期望與方差的實際應用

7.隨著巴黎奧運會的舉辦，中國義烏再度吸引全球目光，“義烏制造”再次被奧運“帶火”.某義烏體育用品

公司承接了部分巴黎奧運會體育產品的制造，假設該產品在試產階段采用A3兩種不同的方案進行生產，

已知每種方案均有三道加工工序，每道工序的加工結果相互獨立，且只有每道加工工序都合格，該產品方

能出廠進行銷售，若某道加工工序不合格，則該產品停止加工.已知方案A：每道加工工序合格的概率均

為:；方案第一、二、三道加工工序合格的概率分別為.

(1)若分別采用AI兩種方案各自生產一件產品，求生產的兩件產品中只有一件產品可以出廠銷售的概率；

(2)若方案A：每件產品每道工序的加工成本為10元，銷售時單價為100元；方案8：每件產品的第一、

二、三道工序的加工成本分別為5元，10元和15元，銷售時單價為100元.若以每件產品獲利的數學期

望為決策依據，請判斷該公司應采用哪種方案進行加工生產.

【解析】(1)采用方案A加工的產品可以出廠銷售的概率為=—■,

⑷64

采用方案8加工的產品可以出廠銷售的概4率2為3=：2,

5345

77(2、(27、D31

故生產的兩件產品只有一件可以出廠銷售的概率尸=77、1--+1--><-=—.

64I5J164/564

(2)用X表示方案A每件產品的利潤，

則X的所有可能取值為T0,-20,-30,70,

P（X=TO）=l[[，"=-2。）=3|1高丁，

所以X的分布列為:

X-10-20-3070

3927

P

4166464

1QQ97305

貝l]E(X)=-10xa+(一20)x布+(—30)XR+70XW

用y表示方案8每件產品的利潤,

則y的所有可能取值為-5,-15,-30,70,

因為E（x）>E（y）,所以該公司應采用方案A進行加工生產.

8.近些年天然氣使用逐漸普及，為了百姓能夠安全用氣，國務院辦公廳印發《城市燃氣管道等老化更新

改造實施方案（2022—2025年）》.某市在實施管道老化更新的過程中，從本市某社區1000個家庭中隨機

抽取了100個家庭燃氣使用情況進行調查，統計了這100個家庭一個月的燃氣使用量（單位：n?）,得到

如下頻數分布表：

燃氣

使用

[6.5,9.5)[9.5,12.5)[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5]

量

（單

位：

m3）

頻數614183016124

（1）若采用分層抽樣的方法從燃氣使用量在［21.5,24.5）和［24.5,27.5］這兩組的家庭中隨機抽取8個家庭，市

政府決定從這8個家庭中抽取4個跟蹤調查其使用情況，記隨機變量X表示這4個家庭中燃氣使用量在

［24.5,27.5］內的家庭個數，求X的分布列和數學期望；

（2）將這一個月燃氣使用量超過22而的家庭定為“超標”家庭.若該社區這一個月燃氣使用量服從正態分布

N（〃,5.362）,其中〃近似為io。個樣本家庭的平均值，估計該社區中，，超標,，家庭的戶數.（結果四舍五入取

整數）

附：若X服從正態分布則P（〃一bWXV〃+b）e0.6826,P（〃-2bVXW〃+2。）“0.9544,

一3bWXV〃+3o■卜0.9974.

12

【解析】（1）燃氣使用量在［21.5,24.5）的家庭個數為：8x-^-=6（個）,

12+4

在［r24.5,27.51］的家庭個數為：8x4^=2（個），

則X的所有可能取值有0,1,2,

340202

3尸(x=i)=詈「1C?…33

尸(X=O)T——，

'，C；1414'

則X的分布列為

X012

343

P

14714

3

所以E（X）=0x1+lx—+2x—=1.

714

8x6+11x14+14x18+17x30+20x16+23x12+26x4

（2）由題意知這100個樣本家庭的平均值元=

100

=16.64,

所以P(X>22)=P(X>〃+b)J=o1587

又1000x0.1587a159,估計該社區中“超標”家庭的戶數為159個.

題型五：正態分布與標準正態分布

9.某同學進行投籃訓練，已知每次投籃的命中率均為05

(1)若該同學共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率;

(2)設隨機變量J服從二項分布8(a,p),記〃=則當心20時,可認為〃服從標準正態分布

N(0,l).若保證投中的頻率在區間［04,0.6)的概率不低于90%,求該同學至少要投多少次.

附：若”N(0,l),貝士尸(〃<1.28)=0.9,P(7<1.645)=0.95.

【解析】(1)該同學投籃了四次，設48分別表示“第二次沒有投中”和“恰投中兩次”.

則有尸(4忸)=2^=

(2)隨機變量J代表〃次投籃后命中的次數，則4服從二項分布5卜,；

尸1

2￡-n/、

然后令隨機變量〃=—f=~=女l，并近似視為其服從正態分布N(0,1).

題目條件即為0.4M<^<0.6〃,即一0.2夜<r)<02金的概率至少為90%.

由于我們有P(-l-645<?7<1.645)=2P(0V〃<1.645)=2(P(〃<1.645)-0.5)=2x0.45=0.9,

故命題等價于0.2冊>1,645,解得n>67.650625.

綜上，該同學至少要投68次.

10.懷遠石榴是安徽省懷遠縣的特產，國家地理標志產品，唐代已有栽植.懷遠石榴籽白瑩澈如水晶，果

實大如碗，皮黃而透紅，肉肥核細，汁多味甘.現按照懷遠石榴的果徑大小分為四類：特級果，一級果，

二級果，三級果.某果農從其果園采摘的石榴中隨機選取50個，測量果徑對照分類標準得到數據如表所

zK：

等級特級果一級果二級果三級果

個數51020a

(1)求a的值并計算三級果所占的百分比；

(2)用樣本估計總體，該果農參考以下兩種銷售方案進行銷售.

方案1:分類出售，各等級石榴的市場價如表所示:

等級特級果一級果二級果三級果

售價(元/個)10852

方案2：不分類出售，均按二級果售價出售.

從果農的收益考慮，不考慮其它因素應該采用哪種方案較好？說明理由.

【解析】⑴0=50-5-10-20=15,三級果所占的百分比為||xl00%=30%.

(2)用樣本估計總體的分布，可得方案1的石榴的平均售價為

10x^-+8x—+5x^（）+2x—=5.2（:元）,

50505050

因為5.2>5,所以選擇方案1較好.

題型六：統計圖表及數字特征

11.為激發戶外運動愛好者健身熱情，增進群眾健身獲得感、幸福感.某市體育部門隨機抽取200名群眾

進行每天體育運動時間的調查，按照時長(單位:分鐘)分成6組:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90],處理后繪制了如下圖的頻率分布直方圖.

(2)求運動時長在[50,70)的樣本群眾人數；

(3)估計該市群眾每天體育運動時間的眾數、平均數、中位數(保留1位小數).

【解析】(1)根據題意，

10x（0.01+0.02+0.03+2a+0.01）=1,解得a=0.015.

(2)運動時長為[50,70)的頻率為(0.03+0.015)x10=0.45

所以運動時長為[50,70)的樣本群眾人數為200x0.45=90(人)

（3）由圖可知，該市群眾每天體育運動時間的眾數約為=55.

該市群眾每天體育運動時間的平均數約為

0.01x10x35+0.02x10x45+0.03x10x55+0.015x10x65+0.015x10x75+0.01x10x85=58.5

由題意知，前兩組的頻率為0.01x10+0.02x10=0.3,

前三組的頻率為0.01x10+0.02*10+0.03x10=0.6>0.5.

所以中位數在50和60之間，設為x,則0.3+（x—50）x0.03=0.5,解得x=56.7,

即該市群眾每天體育運動時間的中位數約為56.7.

題型七：線性回歸與非線性回歸分析

12.某乒乓球訓練機構以培訓青少年為主，其中有一項打定點訓練，就是把乒乓球打到對方球臺的指定位

置（稱為“準點球”），每周記錄每個接受訓練的學員在訓練時打的所有球中“準點球”的百分比（y%）,A學

員已經訓練了1年，下表記錄了A學員最近七周“準點球”的百分比：

周次（尤）1234567

y(%)5252.853.55454.554.955.3

若z=A/X.

（1）根據上表數據，計算y與z的相關系數r,并說明y與z的線性相關性的強弱；（若0.754%歸1，則認為

y與z線性相關性很強；0.3<|r|<0.75,則認為y與z線性相關性一般；若卜|<。3,則認為y與z線性相

關性較弱）（精確到0.01）

（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測第9周“準點球”的百分比（精確到0.01）；

（3）若現在認為A學員“準點球”的百分比為55%,并以此為概率，現讓A學員打3個球，以X表示“準點球”

的個數，求X的數學期望.

參考公式和數據：對于一組數據

一Zuivi~nuv

（%,匕）,（牡，%），’（"〃，匕），r=i,，2號------—,金=

i=i

V/=1i=\

7_27_

Zz；-7z~B2.05,產729.98,1.926，y=53.86,103.73,

1=1Z=1

\忙匕-2)2￡(%一寸=4.13.

Vi=l1=1

夯

729.98-7x103.73

［解析］(1)r=「T7。0.94>0.75

4.13

但(Z—)3(%7)2

V三i1=1

故y與z線性相關性很強.

729.98-7x103.73

(2)另=*--------?1.888,

?；-77Z05

?=1

a=y-1.888z=53.86-1.888x1.926?50.22,

所以)關于z的線性回歸方程為￡=L89Z+50.22,

將z=&代入5=L89Z+50.22,

得亍=1.89?+50.22.

當x=9時，y=1.89x79+50.22=55.89,

故預測第9周“準點球”的百分比為55.89%.

（3）現在A學員任打一球是“準點球”的概率為：尸=蕓==，

1002U

<11A1133

由題意X~B3焉卜數學期望E（X）=3X[=京.

\ZU）ZXJZU

13.某市某醫療器械公司轉型升級，從9月1日開始投入呼吸機生產，該公司9月1日~9月9日連續9天

的呼吸機日生產量為力（單位:百臺，i=l,2,L,9）,數據作了初步處理，得到如圖所示的散點圖.

99

Z1

i=l?=1

2.731952851095

1日生產量M單位：百臺）

4-l---r-

3---1--------：-------j--1--*---；---；

萬i23456789日贏碼/

19

注：圖中日期代碼1~9分別對應9月1日~9月9日；表中z,=e?,z=-^z;.

9z=i

(1)從9個樣本點中任意選取2個，在2個樣本點的生產量都不高于300臺的條件下，求2個樣本點都高于

200臺的概率；

⑵由散點圖分析，樣本點都集中在曲線y=ln例+a)的附近，求y關于r的方程>=山(初+。)，并估計該

公司從生產之日起，需要多少天呼吸機日生產量可超過500臺.

參考數據：e5?148.4.

【解析】(1)由散點圖知，不高于300臺的樣本點有5個，其中高于200臺的樣本點有4個，

C23

則在2個樣本點的生產量都不高于300臺的條件下，2個樣本點都高于200臺的概率為尸=清=1

(2)y=In(初+Q)oz=e，=9+a

則由回歸直線方程系數求解公式知，

9

…tz1095-9x5x19-

*5285一9x52

Z=1

a=z-fo=19-4x5=-l>

故y=ln(4f_l).

j=ln(4/-l)>5^>4r-l>e5?148.4=>/>37.35,

所以需要38天呼吸機日生產量可超過500臺.

題型八：獨立性檢驗

14.為了解2024年長春市居民網購消費情況，在全市隨機抽取了100人，對其2024年全年網購消費金額

(單位：千元)進行了統計，所統計的金額均在區間［。,3。］內，并按［0,5),［5,10),…，［25,30］分成6

組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中a的值，并估計居民網購消費金額的中位數.

(2)若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數據，補全下面的2x2列聯表，并判

斷能否依據小概率值?=0.05的/獨立性檢驗認為樣本數據中網購迷與性別有關.

男女合計

網購迷20

非網購迷45

合計

2n(ad—be，,

附：/=(a+b)(c+l)(a+c)S+d)'其中〃i+b7+c+/

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910,828

【解析】(1)由題意得：(0.01+0.02+0.03+24+0.06)x5=1,

解得。=0.04；

設中位數為居前3組的頻率為：(0.01+0.02+0.04)x5=0.35,

前4組的頻率為：(0.01+0.02+0.04+0.06)x5=0.65,

所以中位數在第四組，則(彳一15)*5=0.15,解得x=15.03；

(2)由(1)知：網購迷人數為：100x(0.04+0.03)x5=35人，非網購迷人數為65人,

貝12x2歹U聯表如下:

男女合計

網購迷152035

非網購迷452065

合計6040100

因為幽”丑叱型咨^6.593>3.841,

35x65x60x40

所以依據小概率值?=0.05的z2獨立性檢驗認為樣本數據中網購迷與性別有關.

15.向“新”而行，向“新”而進，新質生產力能夠更好地推動高質量發展.以人工智能的應用為例，人工智能

中的文生視頻模型Sora(以下簡稱Sora),能夠根據用戶的文本提示創建最長60秒的逼真視頻.為調查

Sora的應用是否會對視頻從業人員的數量產生影響，某學校研究小組隨機抽取了150名視頻從業人員進行

調查，結果如下表所示.

視頻從業人員

Sora的應用情況合計

減少未減少

應用5472

沒有應用42

合計90150

(1)根據所給數據完成題中表格，并判斷是否有99.9%的把握認為Sora的應用與視頻從業人員的減少有關？

(2)某公司視頻部現有員工100人，公司擬開展Sora培訓，分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到

211

“優秀”的概率分別為每輪相互獨立，有二輪及以上獲得“優秀”的員工才能應用Sora.

(i)求員工經過培訓能應用Sora的概率；

(ii)已知開展Sora培訓前，員工每人每年平均為公司創造利潤6萬元；開展Sora培訓后，能應用Sora的

員工每人每年平均為公司創造利潤10萬元；Sora培訓平均每人每年成本為1萬元.根據公司發展需要，計劃

先將視頻部的部分員工隨機調至其他部門，然后對剩余員工開展Sora培訓，現要求培訓后視頻部的年利潤

不低于員工調整前的年利潤，則視頻部最多可以調多少人到其他部門？

2_n(ad-bcf

'”(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d.

a=P^X2>k)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

【解析】(1)依題意，2x2列聯表如下:

視頻從業人員

Sora的應用情況合計

減少未減少

應用541872

沒有應用364278

合計9060150

零假設《為：Sora的應用與視頻從業人員的減少獨立，Sora的應用前后視頻從業人員無差異,

2

由列聯表中數據得，z=150x(54x42-18x36)2=675。129gl>10828

72x78x90x6052

根據小概率值a=0.001的/的獨立性檢驗，推斷H。不成立，

所以有99.9%的把握認為Sora的應用與視頻從業人員的減少有關；

(2)⑴設4="員工第i輪獲得優秀”[=1,2,3),且4相互獨立.

設3=“員工經過培訓能應用Sora”，則

尸(0=尸(444)+尸

2111112112121

=—X—X—+—X—X—H--X—X—H——X—X—=一,

3233233233232

故員工經過培訓能應用Sora的概率是1.

(ii)設視頻部調了人至其他部門，無eN,X為培訓后視頻部能應用Sora的人數,

則X?因此E(X)=*3,

調整后視頻部的年利潤為

納寧義10+11-；](100一x)x6-(100一x)=(700-7x)(萬元)，

令700—7x2100x6,解得—214.3,又xeN,所以％max=N.

因此，視頻部最多可以調14人到其他部門.

題型九：與體育比賽規則有關的概率問題

16.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京國家體育場開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫.某電視臺舉辦

“冬奧會”知識挑戰賽，初賽環節，每位選手先從A(滑雪)，B(滑冰)，C(冰球)三類問題中選擇一類.該

類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答錯誤則被淘汰，若回答正確則需從余下兩類問題中選擇一類繼續

回答.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答正確則取得復賽資格，本輪比賽結束，否則該選手需要回

答由最后一類題庫隨機提出的兩個問題，兩個問題均回答正確該選手才可取得復賽資格，否則被淘汰.已知

選手甲能正確回答48兩類問題的概率均為g,能正確回答C類問題的概率為每題是否回答正確與

回答順序無關，且各題回答正確與否相互獨立.

(1)已知選手甲先選擇A類問題且回答正確，接下來他等可能地選擇2,C中的一類問題繼續回答，求他能

取得復賽資格的概率；

(2)為使取得復賽資格的概率最大，選手甲應如何選擇各類問題的回答順序？請說明理由.

1(2111、3

【解析】(1)甲接下來選擇回答B類問題并取得復賽資格的概率為彳乂7+彳乂彳乂彳二三，

2y332Zyo

1<1122、13

甲接下來選擇回答C類問題并取得復賽資格的概率為不X+XX=

Z235)JO

???所求概率為三3十213=353.

83672

(2)由于甲回答A,8兩類問題的概率相同，故只需考慮ABC,ACB,C4B這三種回答順序，

按A3C順序回答，取得復賽資格的概率為弓+=

JkJJ乙乙)乙

2(1122、13

按ACS順序回答，取得復賽資格的概率為可乂—+—x—x—=—,

按C4B順序回答，取得復賽資格的概率為+=3,

乙kJJJJJ乙/

11311

?:—>—>—,

22727

.?.按A3C或BAC順序回答問題取得復資資格的概率最大.

17.在剛剛結束的杭州亞運會上，中國羽毛球隊延續了傳統優勢項目，以4金3銀2銅的成績傲視亞

洲I.在舊制的羽毛球賽中，只有發球方贏得這一球才可以得分，即如果發球方在此回合的爭奪中輸球，則

雙方均不得分.但發球方輸掉此回合后，下一回合改為對方發球.

3

(1)在舊制羽毛球賽中，中國隊某運動員每一回合比賽贏球的概率均為了，且各回合相互獨立.若第一回合

4

該中國隊運動員發球，求第二回合比賽有運動員得分的概率;

（2）羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊員往往會更加占據心理上的優勢，給出以下假設:

假設1：各回合比賽相互獨立；

假設2：比賽雙方運動員甲和乙的實力相當，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為:；

求第一回合發球者在整場比賽中先得第一分的概率，并說明舊制是否合理？

【解析】（1）設事件4表示第一回合該中國隊運動員贏球，事件4表示第二回合該中國隊運動員贏球,

事件B表示第二回合比賽有運動員得分，

由已知，p（A）=*P（&）=；,P（4）=；,Pp；）=：，尸（根）=尸⑷，尸伊同=可可），

則尸（B）=尸⑷P（B|A）+尸閭尸（B同=p（A）尸（4）+尸閭尸區）

33115

=-X—+—X—,

44448

即第二回合比賽有運動員得分的概率為:

O

（2）設運動員甲先發球，記事件a表示第，回合該運動員甲贏球，

記事件A表示運動員甲先得第一分，

則A=A（444）..（44444）"，

則尸"）=；+&）+g）+.

所以P（A）＞:,即則第一回合發球者在整場比賽中先得第一分的概率大于:，

則比賽雙方運動員實力相當的情況下，先發球者更大概率占據心理上的優勢，所以舊制不合理.

題型十：決策型問題

18.貝葉斯公式尸（⑷B）JA喘A）中,尸（A）稱為先驗概率，尸（川2）稱為后驗概率.先驗概率P（A）表

達了對事件A的初始判斷，當新的信息8出現后，我們可以利用貝葉斯公式求出后驗概率P（?8）,以此

修正自己的判斷并校正決策.利用這種思想方法我們來解決如下一個實際問題.

某趣味抽獎活動準備了三個外觀相同的不透明箱子，已知三個箱子中分別裝有10個紅球、5個紅球5個白

球、10個白球（球的大小、質地相同）.抽獎活動共設計了兩個輪次：

第一輪規則：抽獎者從三個箱子中隨機選擇一個箱子，并從該箱子中取出兩球（分兩次取出，每次取一

球，取出的球不放回），若取出的兩個球都是紅球則可以進入第二輪，否則抽獎活動結束（無獎金）.

第二輪規則：進入第二輪的抽獎者可以選擇三種抽獎方案.方案一：就此停止，并獲得獎金300元；方案

二：繼續從第一輪抽取的箱子中再取一球，若為紅球則可獲得獎金400元，若為白球獎金變為0元；方案

=：不再從第一輪抽取的箱子中取球，而是從另外兩個箱子中隨機選擇一個箱子，并從中取出一球，若為

紅球則可獲得獎金800元，若為白球獎金變為80元.

（1）求抽獎者在第一次取出紅球的條件下，能進入第二輪的概率；

（2）在第二輪的三種抽獎方案中，從抽獎者獲得獎金的數學期望的角度，找出三種抽獎方案的最佳方案.

【解析】（1）設第，次取到紅球為事件A（i=L2）,

從裝有10個紅球、5個紅球5個白球、10個白球的箱子取球分別為事件用"=1,2,3）.

P（A）=lp（B,）P（4lS,）=|xl+|x|+lx0=i

p（A&）=tp（瓦）尸（A4IB,）=|xi+|x|xl+|xo=^,

i=lJ3￡y3Z/

在第一次取出紅球的條件下，要進入第二輪只需第二次也取出紅球，

11一22

27丁---

所以概率為尸（旬4）=,言=27