培優(yōu)點04極值點偏移問題(2大考點+強化訓

練)

極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常常出

現(xiàn)在高考數(shù)學的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，解決極值點偏移問題，

有對稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨具特色.

處【知識導(dǎo)圖】

?考點一:對稱化構(gòu)造函數(shù)

★極值點偏移問題?

?考點二：比值代換

S【考點分析】

考點一:對稱化構(gòu)造函數(shù)

規(guī)律方法對稱化構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)

⑴對結(jié)論XI+X2>2XO型，構(gòu)造函數(shù)分(x)=f{x)—f(2xo—x).

(2)對結(jié)論石.〉器型，方法一是構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)x)=f(x)—f自，通過研究b(x)的單調(diào)性獲得不等式；方法

二是兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成Inxi+lnX2>21n劉，再把InXi,In也看成兩變量即可.

【例1】(2024下?云南?高二云南師大附中校考開學考試)給出定義:設(shè)/(1)是函數(shù)>=/(%)的導(dǎo)函數(shù)，

尸'(X)是函數(shù)/'(X)的導(dǎo)函數(shù)，若方程廣(無)=。有實數(shù)解x=則稱(無。,〃/))為函數(shù)y=/(x)的“拐

點”.

(1)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/(尤)=63+阮2+山+1(0工0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)

y=/(x)的圖象的對稱中心.已知函數(shù)/(x)=x3+法2—9x+。的圖象的對稱中心為(-1,10),討論函數(shù)f(x)的

單調(diào)性并求極值.

1Q,

(2)已知函數(shù)g(x)=2mx3+[61n(mx)-15]x2+—x——~+1,其中m>0.

mm

(i)求g(求的拐點;

2

(ii)若g(xJ+g(%2)=2(0<Xi〈尤2)，求證：%+%>—?

m

【變式】（2024下?安徽宿州?高二安徽省泗縣第一中學校考開學考試）已知函數(shù)〃尤）=（尸2）/（其中

e=2.71828.為自然對數(shù)的底數(shù)）.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若6為兩個不相等的實數(shù)，且滿足ae"-加"=2（e“-e〃），求證：a+b＞6.

考點二:比值代換

規(guī)律方法比值代換法是指通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換右=工化為單變量的函數(shù)不等式,

Xi

利用函數(shù)單調(diào)性證明.

【例2】.（2022?全國?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)〃尤）=lnr-or（aeR）.

⑴若a=3,求函數(shù)的最值；

⑵若函數(shù)g（x）=3（x）-x+a有兩個不同的極值點，記作玉,三，且玉＜%，求證：1叫+21噸＞3.

【變式】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）=1-Inx-jaeR）.

X

⑴求“X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若〃無）有兩個零點七，巧，且％<%，求證：Xjxf<e-a.

o

【強化訓練】

,1

1.（2024?廣東湛江?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=（l+lnx）e--

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若方程〃力=1有兩個根毛，巧，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：玉3>1.

2.（2023上?江蘇?高三江蘇省白蒲高級中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)/（x）=xlnx-：辦2伍>0）.

⑴若函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;

（2）若函數(shù)f（X）有兩個極值點石,馬（為<%）,證明：xtx2>；.

3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=—-lnx+x-a.若“X)有兩個零點為，尤°,證明:

XxX2<1.

4.(2023?唐山模擬)已知函數(shù)F(x)=加2了

(1)求f(G的極值;

(2)若a〉l,b>l,a豐b,/"(a)+F(6)=4,證明：a+ZK4.

Q

5.(2022?全國甲卷)已知函數(shù)F(x)=——Inx+x-a.

x

⑴若Hx)20,求乃的取值范圍；

(2)證明：若_f(x)有兩個零點xi,怒，則xiX2<l.

6.(2023滄州模擬)已知函數(shù)f{x)=ln才一石丫一1(a《R).若方程f{x)+2=0有兩個實根的,如且用>2矛1,

32

求證：矛言>，.(參考數(shù)據(jù)：In2^0.693,In3比1.099)

e

7.(2023?淮北模擬)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)=alnx-x

(1)討論/"(x)的單調(diào)性；

⑵若『(x)有兩個相異的零點xi,苞且荀>用>0,求證：xix2>e.

8.(2023?南寧模擬)已知函數(shù)F(x)=e--,a>0.

(1)若〃子)過點(1,0),求/'(x)在該點處的切線方程；

Q2

(2)若_f(x)有兩個極值點Xi,X2,且0<x《X2,當e〈水,時，證明：為+用>2.

9.(2023?聊城模擬)已知函數(shù)F(x)=lnx+^aGR),設(shè)出〃為兩個不相等的正數(shù)，且F?=f?=3.

X

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：a<mn^aQ.

培優(yōu)點04極值點偏移問題（2大考點+強化訓

練）

極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常常出

現(xiàn)在高考數(shù)學的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，解決極值點偏移問題，

有對稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨具特色.

【知識導(dǎo)圖】

?考點一:對稱化構(gòu)造函數(shù)

★極值點偏移問題

一?考點二：比值代換

【考點分析】

考點一:對稱化構(gòu)造函數(shù)

規(guī)律方法對稱化構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)

（1）對結(jié)論矛+1上2>2劉型，構(gòu)造函數(shù)/（入）=f（x）—f（2xo-x）.

（2）對結(jié)論為蘢〉/型，方法一是構(gòu)造函數(shù)6x）=f（x）—f田，通過研究戶（x）的單調(diào)性獲得不等式；方法

二是兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成Inxi+lnX2>21n再把InE,In至看成兩變量即可.

【例1】（2024下?云南?高二云南師大附中校考開學考試）給出定義:設(shè)/（%）是函數(shù)>=/（x）的導(dǎo)函數(shù)，

尸（X）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程尸（無）=0有實數(shù)解x=x。，貝U稱（無。"國））為函數(shù)y=/（x）的“拐

點”.

（1）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/。）=以3+法2+5+”（”工0）都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)

y=/（X）的圖象的對稱中心.已知函數(shù)/（X）=尤3+法2-9尤+a的圖象的對稱中心為（-1,1。），討論函數(shù)f（x）的

單調(diào)性并求極值.

1Q5

(2)已知函數(shù)g(x)=2mx3+[61n(mx)—15]%2+—%——-+1,其中機>0.

mm

(i)求g(')的拐點；

2

(ii)若g(xJ+g(x,)=2(0<X]<羽)，求證：尤]+尤2>—.

m

【答案】(1)答案見解析

(2)(i)(ii)證明過程見解析

【分析】(1)由/"(-1)=。得到6=3,再根據(jù)f(T)=10求出。=-1,得到函數(shù)解析式，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)

性及極值情況；

(2)(i)g(x)的定義域為(0,+。),二次求導(dǎo)得到〃優(yōu)-1+山(〃國=0,構(gòu)造函數(shù)，得到x=工時,滿足

m

mx-l+ln(mx)=0,故g(x)的拐點為；

(ii)由⑴得到g(x)在(0,+助上單調(diào)遞增，因為g[￡|=l,故0<%</<%，構(gòu)造函數(shù)

岫)=-2漏+6尤2-2+4+1,得到其拐點，求出岫)關(guān)于上,1]中心對稱，構(gòu)造

mm\m)

99

^(x)=g(x)+w(x)=[61n(?zr)-9]x2+—+2,要證明%+%>—，只需證明。(彳)的極值點左偏，構(gòu)造差

函數(shù)證明出。(x)的極值點左偏，得到結(jié)論.

【詳解】(1)1。)=3/+2"-9,f"(x)=6x+2b,

由題意得r'(T)=。，即-6+26=0,解得6=3,

且/(-1)=10,BP(-l)3+3x(-l)2+9+a=10,解得a=—l,

故/(%)=%3+3x2-9%-1,

/(x)=x3+3x2-9x-1,f'(x)=3x2+6%-9,

令/'(x)>0得x>l或x<—3,令/'(尤)<0得一3<尤<1,

故/⑺在(-8,-3),(1,+力)上單調(diào)遞增，在(-3,1)上單調(diào)遞減,

故/(X)在x=-3處取得極大值，在x=l處取得極小值，

故極大值為『(-3)=-27+27+27-1=26,極小值為〃1)=1+3-9-1=-6；

1Q5

(2)(i)g(x)=+[61n(mx)-15]x2H----x------+1,

mm

由于機>0,mr>0,故％>0,即g(x)的定義域為(。,+。),

[8

g'(x)=6mx：2+6x+2[61n(mx)-15]xd----,

m

g"(x)=12mx+6+12+2[61n(mx)-15]=12mx+121n(mx)-12,

令g"(%)=0得，mx-l+ln(mx)=0,

令/z(x)=x+lnx—l,x>0,

則"(X)=1+工>0在(0,+8)上恒成立,

X

故/i(x)=x+lnx-l在(0,+。)上單調(diào)遞增,

又砍1)=0,由零點存在性定理知，M%)=x+lnx-1有唯一的零點九=1,

故見;=1,即工=工時，滿足mx-l+ln(mx)=0,

m

當尤=_L時，215185…

g府一記+正一版+1=1'

mm)

故g(x)的拐點為

(ii)由(i)可知，g"(x)=12〃zx+121n在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

又g"0,

m

故當xe(0,：卜寸，g"(x)<0,當

xe),+“時，g"(x)>。,

故g'(x)在xe[o,J上單調(diào)遞減，在尤已1—上單調(diào)遞增,

巴史一型「0,

其中g(shù)'

mmmm

故g'(x)20在(0,+8)上恒成立,故g⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因為g1,8(%)+8(芻)=2(0<玉<七)，

m

故0<%<,</，

m

設(shè)w(x)=—2mx3+6x2——x+^-+l,

mm

1Q

貝ljw'(x)=-6mx2+12x-----,vv"(x)=—12mr+12,

m

令"(x)=-12mx+12=0,解得x

m

61814…

又w+工，，1=1'

32

w(x)=-2rwc+6x-—x+^+1的拐點為

mm

由(1)知，=-2/TIX3+6x2---xH—^+1關(guān)于一中心對稱,

mmm)

9

令夕(%)=g(x)+w(x)=[61n(mx)-9]x2-\——-+2,

m

又g(x)的拐點為g(%)+g(%2)=2(。<玉<x2),

2

要證明為+%>—，只需證明。(元)的極值點左偏,

m

故。<%)=6x+2[61n(mx)—9k=12x[ln(mx)—l],

當x>￡時，°'(x)>o,當o<%<￡時，夕

mm

故e(x)在/曰上單調(diào)遞減，在修+，|上單調(diào)遞增,

2e

即證當夕(毛)=夕(%4)時，玉+工4>一，

不妨設(shè)X3eW，%e

m)

2e

令F(x)=@(x)-0----x，尤右，

m

貝iJF'(x)=e'(x)+d

=12x^ln(znx)-l]+12^-

[ln(2e_〃zx)_l]

=12x[ln(mx)—ln(2e-mx)]+-^[ln(2e_mx)-l],

因為x￡,所以F(x)-12x[ln(mx)-ln(2e-mx)]+^^[ln(2e-mx)-l]

<lZ￡[]n(mx)+ln(2e-mx)_2]=^^|^ln(-m2x2+2mexj-2J

<(ine2-2)=0,

m'7

所以/(%)=0(%)一0在％￡[0,'J上單調(diào)遞減,

又/=o,故/(x)=e(x)-0在上恒成立，

因為0<忍<一，所以。(%3)----退］>°，即。----X3|?

mym)\mJ

因為。(泡)="(%),所以以匕然彳子-wj,

其中9(x)在:+力］上單調(diào)遞增，故x4>彳一X3,

2e2

故工3+%>一，故的極值點左偏，所以石+%2>一?

mm

【點睛】結(jié)論點睛：三次函數(shù)的性質(zhì)：/(力="3+法2+s+d(aw0)的對稱中心為［一一()；該

點為三次函數(shù)的拐點，此點的橫坐標也是二階導(dǎo)函數(shù)的零點.

【變式】(2024下?安徽宿州?高二安徽省泗縣第一中學校考開學考試)已知函數(shù)〃x)=(x-2)b(其中

e=2.71828.為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。,匕為兩個不相等的實數(shù)，且滿足ae"-加"=2(e"-e"),求證：a+b>6.

【答案】(1)增區(qū)間為(—,3),減區(qū)間為(3,E)

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負來判斷〃x)得單調(diào)性；

(2)將叔-加"=2(e〃-e")變形為7=曾得到〃a)=/0),然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)T(6-x),

根據(jù)g(x)得單調(diào)性和g(x)<0得到/(?)<f(6-a),最后根據(jù)/⑷=和“X)得單調(diào)性即可證明

a-\-b>6.

【詳解】⑴-(x)=e-，+(x-2).(—1).尸=(3-力葭,

令/'(x)>0,解得x<3,令1(x)<0,解得x>3,

所以〃x)的增區(qū)間為(-03),減區(qū)間為(3,+助.

(2)證明：將修-歷"=2.北)兩邊同時除以常得二-烏=義-=，即胃=與，

eeeeee

所以/g)=/0),

由(1)知〃x)在(7,3)上單調(diào)遞增，在(3,+e)上單調(diào)遞減，

又"2）=0,43）=:,當xe（2,+8）時，f（x）>0,

設(shè)〃<匕，貝!]2<〃<3<人，

令g（無）=/（無）一/（6—》）=一一，（2<x<3）,

則g'⑺=『-卷=（3-x）±U，

由2<%<3得6—%>無，所以一6r>一x,3-X>0,

所以g'⑺>0,g（x）在（2,3）上單調(diào)遞增,

又g（3）=〃3）-"3）=0,所以g（二〈。,

當2V尤<3時，/（^）-/（6-x）<0,即/（^）-/（6-tz）<0,即/（〃）<f[6-a）,

又/（〃）=/（",所以/㈤<“6—。），

又6-々>3,b>3,〃%）在（3,+-）上單調(diào)遞減,

所以人>6-々，即a+b>6.

【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于玉+%>a（fa）=〃尤2））的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定/（X）的單調(diào)性，得到不，馬的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)F（X）=f{x）-f（a-x）,求導(dǎo)可得*x）恒正或恒負；

③得到〃為）與/（a-%）的大小關(guān)系后，將F（%）置換為/'（七）；

④根據(jù)演與西的范圍，結(jié)合了（元）的單調(diào)性，可得演與a-%的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

考點二：比值代換

規(guī)律方法比值代換法是指通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換右=受化為單變量的函數(shù)不等式,

X2

利用函數(shù)單調(diào)性證明.

【例2】.（2022?全國?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)〃x）=lnx-ar（aeR）.

⑴若a=3,求函數(shù)〃x）的最值；

⑵若函數(shù)g（x）=4（x）-尤+。有兩個不同的極值點，記作為，馬,且玉<毛，求證：1叫+21噸>3.

【答案】(1)無最小值，最大值為Tn3-1

(2)證明見解析

【分析】(1)對函數(shù)〃x)=lnx-3x求導(dǎo)后得廣(x)=T，x>0,分別求出了'(無)>0和/''(xk。的解集,

從而可求解.

(2)由g(x)=4(x)-x+a有兩個極值點如馬ol叫=2°占,1噸=2%,從而要證

、，

]nZx2

liU]+Zhu?>3o2叫+4%>3=a>-----------0———>——-——'玉">'構(gòu)建函數(shù)

2%+4%2%2一%1%+2%2

=然后利用導(dǎo)數(shù)求解可。的最值，從而可求解證明.

【詳解】(1)由題意得〃x)=hr—3x,貝廳，(元)=產(chǎn)，尤>0.

令_f(x)>0,解得0<x<g；令/(x)<0,解得x>g,

??J(x)在上單調(diào)遞增，在+8]上單調(diào)遞減，

?■?/Wmax=/Q^=ln1-3x|=-ln3-1)

???/(x)無最小值，最大值為Tn3-1.

(2)g(x)=V^(x)-x+6z=xlnx—ax2—x+a,貝ljgr(x)=lnx-2ax,

又g(x)有兩個不同的極值點石，9，二1%=2叫」nx2=2ax2,

欲證IrLTj+21nx2＞3,即證2axx+4ax2＞3,

3_

。＜玉＜馬,?,.原式等價于證明0：①.

2x1+4X2

hA

由叫=,得出逛=一玉)，

12Q%,lux2=2Q%2則4r國②.

x

i2(無2-%)

In三

由①②可知原問題等價于求證二3.

x2-xl再+2X2

(、3(上一1]

即證In迤＞3("芭)=U).

xxxx+2X2]+2.

再

令”三，則,＞1,上式等價于求證1m＞電一-1

西1+2,

3(1)13(1+2/)-6(/-1)(1)(41)

令h(t)=\nt—則〃(。=

1+2/7(1+2—2Z(l+2r)2

t>0恒成立，.?.從。在(L+8)上單調(diào)遞增,

...當/>1時，/?(?)>/?(1)=0,即inr>^^,

原不等式成立，即限4+21nx2>3.

【點睛】方法點睛：①對于極值點偏移問題，首先找到兩極值點的相應(yīng)關(guān)系，然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系

t=",t=x2+x1；

②通過要證明的不等式，將兩極值點變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),

③利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.

變式2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=l-Inx-f(aeR).

⑴求〃尤)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若有兩個零點X1,巧，且&<馬，求證：x1xl<e-a.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先求出函數(shù)F(尤)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論。的取值情況，從而可求解.

(2)結(jié)合(1)中結(jié)論可知。>0,從而求出0<。<1,0<x1<l<x2<e,然后設(shè)匕="1并構(gòu)造函數(shù)

x\

4

/2(r)=ln/-2+—(r>l),然后利用導(dǎo)數(shù)求解再々<1，然后再構(gòu)造函數(shù)

0(%)=(6—無)一(%—％1]1%)=6—2%+%111%證明9<e—〃,從而求解.

【詳解】(1)因為函數(shù)“X)的定義域是(o,+8),/(力=號，

當aWO時，f(x)<0,所以〃x)在(0,+。)上單調(diào)遞減；

當a>0時，令/'(x)=0,解得x=a,

當xe(O,a)時，r(x)>0,單調(diào)遞增；當xe(a,+e)時，/'(x)<0,單調(diào)遞減.

綜上所述，當a40時，”力的減區(qū)間為(0,+功，無增區(qū)間；

當a>0時，/(X)的增區(qū)間為(0,4),減區(qū)間為+8).

(2)因為占，%是函〃x)的兩個零點，由(1)知。>0,

因為/(x)=Oox-xlnx=a,設(shè)g(x)=x-xlnx,貝!]g，(x)=_lnx,

當xe(O,l),g'(x)>0,當xe(l,+oo),g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,+8)上單調(diào)遞減，g(x)1mx=g(l)=l.

又因為g(%)=g(X2)=。，且g(e)=0,

所以O(shè)vavl,0<xl<l<x2<e.

首先證明：X/2<1.

玉-xjnxj=a(Xj(l-\nx^=a,

由題意,得設(shè)丁.則

x2-x2lnx2=a印(l—lriX]-lnZ)=tz.

兩式相除，得In玉=1----.

t—1

要證國工2<1，只要證Inxi+ln/<0,即證21nxi+ln%<。.

只要證2-^^+lnr<0,即證lnf-2+±>0.

t—\/+1

4

^=In%-2H...-,方>1.

i4〃一

因為〃⑺=一7_=S—L_>0,所以〃(。在(1,+e)上單調(diào)遞增.

t(r+1)-t[t+vf

所以力(。>"(1)=0,即證得七％<1①.

其次證明：x2<e-a,設(shè)0(x)=(e-x)-(x-xlnx)=e-2x+xln_x,l<x<e.

因為。(x)=lnx-l<0,所以°(尤)在(Le)上單調(diào)遞減.

所以e(X2)>°(e)=0,

即e(x,)=e-2x,+x2lnx2=e-^-(x2-x,lnx,)=e-x,-?>0.

所以馬<e-a@.

由①②可證得<e-a.

【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導(dǎo)

數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：

(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.

(4)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題.

【強化訓練】

.1

1.(2024?廣東湛江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=(l+lnx)e--

⑴討論了⑺的單調(diào)性；

⑵若方程/(x)=l有兩個根毛，々，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：V2>1.

【答案】(Df(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，(L+s)上單調(diào)遞減,

(2)見解析

【分析】(1)求出了'(%),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(2)由上g=1,得1±也=°,設(shè)g(x)=l±12I,畫出g⑴的圖象可得0<“<1；由

axxx

1+InX.1+In/、/、

=設(shè)〃(x)=g(x)-g，對/z(x)求導(dǎo)可得g(匕)<g—，又g(%)=g(巧),再由g(x)

I石J

/、1

在(1,+8)上單調(diào)遞減，可得Z>一,即可證明占尤2>L

X1

【詳解】(I)由題意可得尤>0,上>。，所以。>0,

ax

/(x)=(l+lnx)e*="I"*的定義域為(0,+巧,

1/、

又/(力=^—_'_a_x_—_1(l+2]nx,Ya_由r(%)=o,得光=i,

(依)~辦-

當O<X<1時，r(x)>0,則/■(%)在(o,l)上單調(diào)遞增,

當無>]時,/'(x)<0,則“X)在。,+力)上單調(diào)遞減，

/c、?l+lnx,?1+lnx1+lnx

(2)由-----=1,得z------=a,設(shè)g(x)=------,

axxx

“「x0+lnx)_lnx,由g[x)=0,得x=l,

x2

當0<x<l時，g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

當X>1時，g，(x)<o,則g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

又g[：]=0,g(l)=l,且當X趨近于正無窮，g(“趨近于0,

gG)=l±^的圖象如下圖，

所以當。時，方程1匕+％]nY=。有兩個根，

X

、1+Inx1+In

證明：不妨設(shè)石<%2，則。(玉<1<%2，------=-------，

一

X]x2

〃(x)=#+lnx=qinxN0,所以人⑺在(0,+勸上單調(diào)遞增,

XX

又〃(i)=o,所以M%)=ga)-g—Ko,即g(為)<g—L

\xiJ

又g(X)=g(尤2)，所以g(》2)<g—，

l石J

又々>1，g(x)在(l，+8)上單調(diào)遞減，所以％2>j,

故卒2>L

【點睛】關(guān)鍵點點睛：(1)解此問的關(guān)鍵在于求出/(x)的導(dǎo)數(shù)，并能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號結(jié)合相關(guān)知識判斷出

單調(diào)性；⑵解此問的關(guān)鍵在于把%%>1轉(zhuǎn)化為g(X2)<g]\]來證，又g(xj=g(x2),構(gòu)造

/z(x)=g(x)-g[L]，對外X)求導(dǎo)，得到須尤)的單調(diào)性和最值可證得g(xj<gp^,即可證明玉3>1.

2.(2023上?江蘇?高三江蘇省白蒲高級中學校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)=xlnx-；盤2(。>0).

⑴若函數(shù)〃x)在定義域內(nèi)為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個極值點芯,工2(芯<々)，證明：XjX2>：.

【答案】⑴〉21

(2)證明見解析

【分析】(1)求定義域，求導(dǎo)，r(x)4o恒成立，即。2吧F恒成立，構(gòu)造函數(shù)/7(司=吧1,求導(dǎo)，得

到其單調(diào)性和最值，得到實數(shù)a的取值范圍；

(2)方法一：由(1)得0<°<1,轉(zhuǎn)化為和％(芯<%)是g(元)的兩個零點，求導(dǎo)得到g(無)單調(diào)性，得到

0<A,<1<1<X2,換元后即證1型+廣'-1<0,構(gòu)造G(/)=lnr+e-'—l(O<t<l),求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合

特殊點的函數(shù)值，得到答案；

方法二：先證明引理，當0<1<1時，1型<丑二9,當，>1時，1m>止D,變形得到只需證

/+1/+1

a(x2+^)>2-lna,結(jié)合引理，得至！］片器+4(1114—2)尤z+lna+l>0,標才+a(lna-2)占+lna+l<0,兩

式結(jié)合證明出答案.

【詳解】(1)“X)的定義域為(0,+功,f(x)=l+lnx-ax,

由題意廣⑺(0恒成立，即a2坦廣1恒成立，

設(shè)g)=乎，貝隈)=當3普，

當xe(O,l)時，h'(x)>0,單調(diào)遞增，

當)時，h'(x)<0,力(》)=電出■單調(diào)遞減，

X

.:〃(力在x=l處取得極大值，也是最大值，雙耳1mx=/1⑴=1,

故；

(2)證法一：函數(shù)/'(X)有兩個極值點，由⑴可知

設(shè)g(x)=/'(x)=l+lnx-6，則為為<%)是g(x)的兩個零點，

g，(x)=--a,當1時，g,(x)>0,當xe(：,+oo］時，g,(x)<0,

所以g(X)在Xe［o,)上遞增，在Xe［，+00］上遞減，

所以0<為<!<九2,又因為g(l)=l_Q>0,

a

所以。〈石<1<一<馬，

a

111/、

要證玉馬〉一，只需證％2>——>—,只需證g(%)Vg

a3a

1

其中g(shù)(%)=。，即證g

axx

即證InH----1<0,

再

由g(%)=ln玉+1=0,設(shè)電=,￡(0,1),

1

貝。In再=/—],xx=e'T,貝qIn(a%)H----1<0oInZ+e'—1<0,

xi

設(shè)G?)=ln/+eiT—l(Ov/vl),

G?)="

甘一1

由(1)知如'+1W1,故lnx4x-l,

所以e'T>x,--此0,即G'。)>0,G⑺在(0,1)上遞增,

G(r)<G(l)=0,故In(町)+!-1<0成立,即3>—；

X]a

證法二:

先證明引理:當0v，vl時，—―,當"1時，\nt>,

Z+11+1

2(1)

設(shè)M⑺=ln/-(/>0),

t+1

4

"(/)=1(if

>0,

(%+1廠(+1)2

所以M⑴在(0,+s)上遞增，又/(1)=0,

當0</<1時，M(r)<w⑴=0,當，>1時，M(r)>M(l)=o,

故引理得證，

因為函數(shù)/(X)有兩個極值點，由⑴可知

設(shè)g(x)=r(x)=l+lnx-分，則占,々(占<%)是g(x)的兩個零點,

g\x)=--a,當時，g,(x)>0,當xe］：,+oo］時，gr(x)<0,

所以g(x)在xe(0,J上遞增,在xe上遞減，

所以0<再<1<%,即0<叫<1<依2，

a

要證再%>-,只需證ln%+ln%2ln〃，

a

1+In石一=0

因為即證。（9+玉）>2-lna,

1+Inx2-ax2=0

由引理可得62+ln〃—l=ln（辦2）~~—

ax2+1

化簡可得+〃（lna-2）九2+lna+l>0①，

2（叫一1）

同理ox】+lnQ-l=ln（oxJ<

axi+\

化簡可得/片+a(］na-2^xl+ln〃+l<0②，

2

由①一②可得a(x2+%)(%—玉)+a(lnQ—2)(々一玉)〉。，

因為％2-工1>0，〃>0,所以，(%2+%)+山1一2>0,

即+不)>2_lna,從而%工2

【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有

參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討

論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像

確定條件.

x

e

3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(%)=---ln%+x-若/(九)有兩個零點石，九2，證明：

玉馬〈1?

【答案】證明見解析

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，從而只需證明%一:,即可求解.

Inx2-Inx1

【詳解】由題意得/(x)=《+ln《一a,令f=支>1,貝|/(。=/+山/一。，r(r)=l+->0,

XXxt

所以〃f)=/+lnr-a在(1,+8)上單調(diào)遞增，故/⑺=0至多有1解;

又因為〃尤)有兩個零點占,9,所以，/=一有兩個解占,超，

X

令y=I,y=e'(l),易得y=《在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，所以。(玉<1<%.

XXX

此時e*=f%;e*=~，兩式相除，可得：=三0%-玉=山々-山玉.

x1

于是，欲證xix2<1只需證明：VX1X2<Z~-7^一，

inX]inX]

下證知一:：

Inx2-Inxx

<X

因為J』/—————<^>Inx2-Inx,<]———<^>In—<匡一國,

V1221

lnx2-ln^卮玉[再\x2

不妨設(shè)s=J±>1,貝(J只需證21ns<s-L

、石s

構(gòu)造函數(shù)%(s)=21ns—sH—,s>1,貝lj//(s)=2—i—y=—f1——<09

sSS\SJ

故/?(s)在(1,+s)上單調(diào)遞減，故/z(s)<//⑴=0,即21ns<s—得證，

綜上所述：即證占％<1.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題通過構(gòu)造對數(shù)不等式證明極值點偏移問題.

4.(2023?唐山模擬)已知函數(shù)/>(X)=舵27

⑴求f(x)的極值;

(2)若a>Lb>l,aWb,f{a)+f(H)=4,證明：a+儀4.

【解析】⑴解因為f(x)=xe2r,

所以/(x)=(l—x)e2r,

由廣'(x)>0,解得木1；由/(x)<0,解得X>1,

所以廣(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

又廣⑴=e,

所以廣(x)在x=l處取得極大值e,無極小值.

(2)證明由(1)可知，F(xiàn)(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，人2)=2,

且a>l,b>l,a豐b,f{a)+f(H)=4,

不妨設(shè)l<a<2<b,要證a+Z?<4,只需證Z?<4—a,

而6>2,2<4—水3,且_f(x)在(1,+8)單調(diào)遞減，

所以只需證H6)>H4—石)，

即證4—f(a)>f(4—a)，

即證f(a)+f(4—a)<4.

即證當1<X2時，f(x)+f(4—x)〈4,

令戶(x)=f(x)+f(4—x),1〈木2,

則戶'(x)=f(jr)—f'(4—力=(1—才)(-*—eT(x—3),

令爾x)=(1——e'T(x—3),l〈x〈2,

則h'(x)=e""(x—2)—e'T(x—2)

=(x—2)(e"—e，r),

因為l〈x〈2,所以x—2<0,e2—e'2>0,

所以〃(x)〈0,

即爾x)在(1,2)上單調(diào)遞減，

則爾x)>爾2)=0,即6'(x)〉0,

所以戶(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

所以戶(x)"⑵=2X2)=4,

即當KX2時，f(x)+F(4—x)<4,

所以原命題成立.

gX

5.(2022?全國甲卷)已知函數(shù)_f(x)=——Inx+x-a.

x

⑴若廣(x)20,求2的取值范圍；

(2)證明：若f(x)有兩個零點荀，如則矛1也<1.

【解析】(1)解由題意知函數(shù)廣(x)的定義域為(0,+8).

,,,exx-l1,

由f'(x)x=-----2-----一+1

xx

exx~\.-x-\-xe~\-xx-l

可得函數(shù)Ax)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以F(x)min=f⑴=e+l—a又f(x)20,

所以e+1—解得aWe+1,

所以a的取值范圍為(-8,e+1].

⑵證明方法一不妨設(shè)為<知

則由⑴知0<xi〈l〈X2,->1.

X1

令F(力=f(右一f停I，

X-L,,

=----2---(ey+x—xex—1)x.

x

￡

令g(x)=e-\-x—xex—1(A>0),

111

則H(x)=e*+l—e*+

=ex+1+g-1)(x>0),

所以當(0,1)時,W(x)>0,

所以當(0,1)時，g(x)<g(l)=0,

所以當(0,1)時，F(xiàn)'U)>0,

所以尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以尸(x),(l),

即1)=0.

即在(0,1)上/U)—f

?

又f(xi)=￡(加=0,所以a%)—F<0,

即人均"臼.

由⑴可知，函數(shù)/<x）在（1,+8）上單調(diào)遞增,

所以X2<1，即X1X2<1.

X\

方法二（同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)化解等式）

不妨設(shè)X1〈X2,

則由⑴知。

由f(x1=f(X2)=0,

/e西

得———Inxi+xi=---InX2-\~X29

xxx2

即e*Tn*+；vi—Inxi=。巧一“巧+至一Inx2.

因為函數(shù)p=e'+x在R上單調(diào)遞增，

所以匹―lnxi=x2—ln.成立.

構(gòu)造函數(shù)力(x)=x—Inx(x>0),

x一工一21nx(x>0)，

g(x)=h{x)—

x

19x-l2

則H(x)=l+1一:=2-NO(x〉0),

x

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以當X>1時，g(x)>g(l)=0,

即當即1時,力(x)>

所以h(xj=力(圖)>

\1X—1,\

又h'(x)=1-—=---(x>0),

XX

所以為(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以9*1,即…

6.(2023滄州模擬)已知函數(shù)f{x)=lnx—ax—l(a￡R).若方程_f(x)+2=0有兩個實根荀，如且義2>2否,

32

求證：xi房>，.(參考數(shù)據(jù)：In2?0.693,In3P1.099)

e

【解析】證明由題意知F(x)+2=lnx—ax+l=0f

In矛i+1=axi，

于是?

In范+1=。茲,

令點=3則由蛉2荀可得t〉2.

T曰我InX2+IIn方+ln荀+1

于7Ht=I-ln為+1

In矛1+1

Int

a即nlnL

tint

從而InX2=lnt+lnXi

39

另一方面，對x4>F兩端分別取自然對數(shù),

e

則有In矛i+21nA2>51n2-3,

于是，即證譬+平了一3〉51n2-3,

t——