二元一次方程組計算題專項訓練（9大題型90道）

B題型預覽

計算題型一二元一次方程的解

計算題型二代入消元法

計算題型三加減消元法

計算題型四二元一次方程組的特殊解法

計算題型五方程組相同解計算

計算題型六二元一次方程組的錯解復原問題

計算題型七解含參的二元一次方程組

計算題型八三元一次方程組的解法

計算題型九二元一次方程組的新定義計算

g計算專項訓練

凰【經典計算題一二元一次方程的解】

（x=3

1.已知.是方程G+y=7的一個解，那么常數。的值是（）

[y=-2

A.5B.-5C.3D.-3

[x=2

2.若?是關于x、y的二元一次方程x-y=人的一個解，則上的值為（）

[尸T

A.1B.-1C.-3D.3

[x=2

3.已知。是關于x,y的二元一次方程加x+即=7的解，則代數式4俏+6〃-3的值是（）

[y=3

A.14B.11C.7D.4

（x=l

4.已知c是方程"+力=3的解，則代數式2a+46-2025的值為________.

[y=2

5.已知方程2x+3y-4=0,用含x的式子表示y,那么了=.

6.二元一次方程2x+y=7有個非負整數解.

7.閱讀下列材料，解答下面的問題：

我們知道方程2x+3y=12有無數個解，但在實際生活中我們往往只需求出其正整數解.

例：由2x+3y=12,得丁=絲手，進一步可化為y=4-gx.根據x,y為正整數，可以知道方程2x+3y=12

(x=3

的正整數解為,

b=2

問題：

⑴請你寫出方程5x+3y=48的一個正整數解：；

(2)七年級某班為了獎勵學習進步的學生，購買單價為5元/本的筆記本與單價為4元/支的中性筆兩種獎品

(兩種都要購買)，共花費76元.試問有幾種購買方案，并寫出購買方案.

\x=a

8.已知<，是方程2x+y=0的解，求6a+3H2的值.

[y=t>

JQ——2

9.已知關于X、V的方程=5與方程2x+(l+")v=-l有一組相同的解.求帆-〃|的值.

y=1

10.已知方程：①y=4x+2,②2x-y=2.

(1)根據方程①填寫下表：

X21

y2-6

(2)根據方程②填寫下表：

X3-2

y2-8

y=4x+2

⑶根據以上兩表中的數據，直接寫出方程組的解.

2x-y=2

國【經典計算題二代入消元法】

x-3y=3

11.解二元一次方程組:

3x-y=9

2x—5y-—3

12.解方程:

—3x+）二一2

13.用代入法解下列方程組:

y+x=1①

5x+2歹=8②

3x-4（x-2y）=5①

x-2y=l（2）

x-2y=3?

(3)^—②

、244

3加一2〃二7

14.解方程組:

2m-n=5

15.先閱讀材料：

[x-6y+l=①

解方程組"+1)-尸011②

解：由①得x+l=6y③，

把③代入②中得2x6y-y=n,解得y=l.

把了=1代入③中得x+l=6,即x=5.

[x=5

故方程組的解為「

17=1

這種方法稱為"整體代入法

請用上述方法解方程組[2(3x+2加山+7

4x-y=l

16.解方程組:

y=2x+3

x=y-5?

17.解方程組:

4x+3y=29②*

:黑，請同學們用自己喜歡的方法

18.在《二元一次方程組》的小節復習時，李老師給出方程組

=5②

解這個方程組.小麗和小華解方程組的部分過程如下表：

小麗：②-①，得3x=6

小華.由②得3x+(2x-y)=5③，把①代入③，得3x-(T)=5

①小麗和小華解方程組的過程是否正確：小麗的過程，小華的過程；(填"正確"或"不

正確“)

3x-2y=l

⑵請你用喜歡的方法解二元一次方程組

6%—3歹=13

2x-y=5①

19.課上同學們用代入消元法解二元一次方程組下面是兩位同學的解題思路，請你認真閱讀

8x-3y=20②

并完成相應的任務.

小彬：由①，得了=③小穎：由①，得2x=，③

將③代入②，得…將③代入②，得…

任務：

⑴按照小彬的思路，第一步要用含X的代數式表示y,得到方程③，即〉=

第二步將③代入②，可消去未知數y.

(2)按照小穎的思路，第一步要用含y的代數式表示2x,得到方程③，即2x=

第二步將"2x”看作整體，將③代入②，可消去未知數X.

⑶按你從以上兩種思路中任選一種求此方程組的解.

--------=1

20.解二元一次方程組：＜,43

03x-y=0.6

◎【經典計算題三加減消元法】21.解方程組:2x+y=3

x+3y=-1?

22.解下列方程組:

3x=5y

(1)匠+，3

143

2x+y=l

⑵

2x-3y=5

3x-2y=11

23.用你喜歡的方法解方程組:

4x-5y=3

24.解方程組

2x-3y=13

⑴

x+6y=-16

2x+y=3

⑵

3x-5y=ll

25.解方程組:

2x+4y=5

⑴

x=l-y

>+l_x+2

(2):43

2x-3y=l

26.解方程組

2x-3y=17

⑴

5x-2y=26'

X,

—+y=1

（2）7

5x-7y=ll

27.解下列方程組:

〔3s—7%=1

（1）[55-4Z=17

x-1y+23

2+3-2

（2）口1

[32

28.解方程組

y=3x

（1）

x+2y=7

x+4y=14

⑵<x-3V_1.

--7"12

29.解方程組

2x+y=4

⑴

x-y=5

x+y=4

⑵x-1y+1i

123

30.運用適當的方法解方程組:

-+-=13

23

（1）

mn

-----=3

134

3（x+y）-4（x-j/）=4

⑵，x+yx-y_]

Q【經典計算題四二元一次方程組的特殊解法】

1a+36=-l①“

31.用消元法解方程組：,以，臺時，小麗和小芳的解法如下:

(小麗)解：由②-①，得3a=4

(小芳)解：由②得3a+(a+3b)=5③

把①代入③，得%+(-1)=5.

⑴上述兩位同學的解題過程有誤的是.

(2)請選擇你喜歡的一種方法，完成完整解答過程.

32x+35；y=38②①時,發現一)的系數及常數項的數值較大，如果用常規的代入消元法、

32.在解方程組30x+33=36

加減消元法來解，不僅計算量大，而且易出現運算錯誤.小亮同學經過思考采用了下面的解法，使運算變

得比較簡單，方法如下:

①-②得2x+2y=2,所以x+y=l③,

③x35-①得：3x=-3,解得x=-l,

把x=-l代入③，得y=2,

X——1

所以原方程組的解是

>=2

2017%+2019尸2021①

請你模仿本題的解法解方程組

2020x+2022y=2024②^

3x+y=5a-4

33.已知關于x,y的二元一次方程組，其中。為實數.

x-y=-a

⑴當。=2時，求方程組的解;

(2)求x+V的值(用含a的代數式表示);

34.數學活動課上，小云和小輝在討論老師出示的一道二元一次方程組的問題:

3x+4y=3①~

已知關于x,y的二元一次方程組「c,G的解滿足2x+3y=l③，求加的值.

x+2y-2-3機②-

將①③聯立可得哈哈！直接①+②

一個新的不含機的可以更簡便地求出、

彳二元二次方程組加的值廣

小云小輝

⑴請按照小云的方法求出m的值;

(2)請按照小輝的思路求出m的值;

⑶小輝用了哪種數學思想？

x-y-1=0①

35.在數學課上，老師教給了同學們一種新的解方程組的方法，例如：解方程組

4(x-y)-y=5?

%=0

時，可由①得無-了=1③，然后再將③代入②，得4xl-y=5,解得了=-1,從而進一步得I這種

方法被稱為“整體代入法

加+2〃-7=0

⑴用上述方法解方程組匕2+3加=1。

8

ax+by=7.5x=3a(2x+y)+b(x-y)=1.5

(2)若方程組即+小1。的解是k4'求方程組?\x-y)+b(2x+y)=10的解，

a

("l)+2(6+2)=6

36.閱讀材料：善于思考的貝貝同學在解方程組2—)=6時,采用了一種"整體換元"的解法.把

x+2y=6x=2a—1=2

a-1/+2看成一個整體，設a-l=x/+2=y，原方程組可變為2x+y=6,解得k2,即6+2=2,解得

。=3

b=0

-a-1|+2(-+2|=5

32

(1)模仿貝貝同學的"整體換元”的方法，解方程組：

2(-a-lL(-+2|=1

32

叱…的解為x=105%(加+3)+3bl(n-2)=cx

⑵已知關于x,y的方程組、=6,求關于加,〃的方程組的

a2x+b2y=c25%(加+3)+3b2(n—2)=c?

解.

2x+5y=3①②時,采用了一種“整體代換”的解法:

37.閱讀材料：善于思考的小強同學在解方程組4N.5

解：將方程②變形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5…③，把方程①代入③得：2x3+y=5,

x=4

y=T,把y=T代入方程①，得x=4,所以方程組的解為「請你解決以下問題

J=-l

3x+4y=16

⑴模仿小強同學約"整體代換"法解方程組

6x+9y=25

3x2+xy+9y2=37

(2)已知x、y滿足方程組2--5肛+6/=36'求域的值;

38.閱讀下列材料，解答問題:

5(x+y)-3(x-y)=25m-3n=2

材料：解方程組2(x+y)+4(xR=6若設""一尸〃’則原方程組可變形為2〃?+4〃=6，用加

m=1x+V=1X=1

減消元法得I,所以?,,在解這個方程組得八，由此可以看出，上述解方程組過程中，把

n=lx-y=1>=0

某個式子看成一個整體，用一個字母去代替它，我們把解這個方程組的方法叫換元法.

x+y_x-y

問題：請你用上述方法解方程組23

2(x+y)-3x+3j=25

39.閱讀下列文字，體會其中的數學思想方法：善于思考的小高同學在解關于相，〃的方程組

2h（機+5J）-+3h（〃+3h）=-2。時,把加+5,"3分別看成一個整體，令優+5=x,"+3?原方程組化為

2x-3y=-2x=2m+5=2m=—3m=-3

2x+3…解得〃+3=2解得一??原方程組的解為

)=2n=-in=—\

這種把某個式子看成一個整體，用一個字母代替它的解方程組的方法叫做"換元法”.

2x-3y=4x=—\

⑴應用：已知方程組5x_3.i的解是C則關于加，〃的二元一次方程組

7=-2

23（加++〃）；一=3（冽…一〃）3=4的解是

2(x+y)+x-y=16

（2）遷移：請用換元法解方程組：x+yx-y.

F--

+”的解是x=5

⑶拓展：若關于X,V的二元一次方程組'求關于加，"的方程組

a2x+b2y=c2尸一2

3aM+23=5q

3a2m+2b2n=5c2

3(m+5)-2(n+3)=-1

40.閱讀材料：善于思考的樂樂同學在解方程組3(加+5)+2(〃+3)=7時,采用了一種"整體換元"的解

3x-2y=-1X=1

法.把加+5,〃+3看成一個整體，設加+5=x,n+3=y,則原方程組可化為37=7,解得

，=2'

m+5=1m=-4

即〃+3=2,解得

n=—\

根據材料，回答下列問題

a,x-b,y=c.x=3a1(m+2)-bxn=q

⑴已知關于X/的方程組111的解為尸4,請直接寫出關于如〃的方程組

a2x-b2y=c2a2(m+2)-b2n=c2

的解是.

x+y!x-y_

⑵學以致用，模仿樂樂同學的"整體換元"的方法，解方程組35

x

+yx-y=2

I35

國【經典計算題五方程組相同解計算】

x-2y=-6x+2y=10

41.已知關于x，v的二元一次方程組與方程組有相同的解.

bx+ay=-8ax-by=6

⑴求這兩個方程組的相同解;

⑵求（。-6產4的值.

\3x+6y=3\ax+by=3

42.已知關于x,y的方程組）八與八八的解相同，試求Q,b的值.

[2x+y=0\bx+ay=O

f2x-3y=3flax+3by=3/

43.已知關于x、y的方程組Lx+6；=_]的解和5x+2y=I]的解相同，求代數式（2。+方x20）23的值.

f3x+2y=12[y=2x-l

44.關于x/的方程組/,與，的解相同，

[ax-by=l[PX+ay=21

⑴求這個相同解.

⑵求的平方根.

45.已知關于x―的方程組力二”與八有相同的解.

[4ax+5by=-22（ax-by-8=0

⑴求a,b的值；

⑵求2a-36的立方根.

46.某中學七年級數學興趣小組在一次活動中，遇到這樣一個問題：

f3x+7y=5m-3,

已知x/滿足％+2y=5,且/。,求冽的值.

[2x+3y=6,

[3x+7y=5m-3,

小璐同學說：〃先解關于的方程組G/Q再求加的值.〃

[2x+3y=6,

小明同學觀察后說：〃方程組中含有字母，解方程組可能比較麻煩.但、+2丁=5中不含加

請你選擇其中一種方法，求出加的值.

2x+5y=-263x-5y=36

47.若關于x,y的二元一次方程組和有相同的解,

ax-by=-4bx+ay=-8

求：（1）這兩個方程組的解;

（2）代數式（2。+6嚴。的值.

=7。一9

48.已知，關于％、V二元一次方程組1的解滿足方程2x-y=13,求〃的值.

[x+2y=-l

[2x+5y+6=0[3x-5y=16

49.已知方程組//八和方程組人°八的解相同.求（2a+5b）1。。的值.

[辦一切+4=0回+4一8二0

[2mx-3my=19{3x-2y=4

50.已知方程組，:和,，有相同的解，求m和n的值.

py-x=3\mx+ny-i

國，【經典計算題六二元一次方程組的錯解復原問題】

7

51.甲、乙兩名同學在解方程Im組x+|“y=5=]3時，x——

甲由于看錯了乙，解得2乙解題時看錯了"，解得

J=-2

Ix=3

，請你根據以上兩種結果，求出原方程組的正確解.

[了=-7

[ax+5y—\5①\x=-3

52.甲、乙兩人同解方程組，/「令時，甲看錯了方程①中的。解得乙看錯了方程②中

|4x+如=一11②卜=-1

(x=5

的6，解得二4'求產+(4產3的值.

53.甲、乙兩人同解方程組1'=如_2②時’甲看錯了方程①中的。，解得]y=_i乙看錯了方程②中的

(/,\2024

b,解得x=試5求―25+一2的值.

[y=4(io)

[mx+5y--11ix-4

54.小明在解方程組，’,時，由于粗心，看錯了方程組中的"，他得到的解為。小紅也粗心,

[4x-ny=l[y=3

[x=—3

看錯了方程組中的加，她得到的解為,,求原方程組的解.

U=T

f2ax+y=5x=—

55.在解方程組'/"時，由于粗心，甲看錯了方程組中的°,得解為2；乙看錯了方程組中的

12龍一刀=13"2

Ix=3

b,得解為.求出原方程組的正確解.

b=-7

7

mx+y=5①x—_

56.甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯了方程①中的掰，得到方程組的解為一2；

2x-ny=X3②

/=一2

[x=3

乙看錯了方程②中的"，得到方程組的解為r，

~[y=-7

(1)求出掰，”的值；

(2)此方程組正確的解應該是多少？

ftzx+5y=16①[x=—2

57.甲、乙兩人共同解方程組”,-\小，由于甲看錯了方程①中的a,得到方程組的解為

[4x-by=-2^)[)=一]

fx=-3

乙看錯了方程②中的6,得到方程組的解為°,求原方程組的解.

[y=2

[ax+y=3fx=1[x=-1

58.甲、乙兩人同時解方程組/，甲看錯了6,求得解為乙看錯了。，求得解為2.請

[x-by=2，=T[y=3

你求出6的值.

\ax+3y=22\x=2

59.在解方程組入“。時，由于粗心，小麗看錯了方程組中的。，解得小美看錯了方程組

[x-by=3(＞=_]

(x=5

中的心解得,求原方程組正確的解？

[y=4

[ax+y=4?_\x=-1

60.甲，乙兩名同學解方程組，:\小.甲看錯了方程①中的。，得到方程組的解為、；乙

[Ax-by=-2②[歹=2

-[x=3

看錯了方程z②x中的b,得到方程組的解為[=_2.

(1)求a,b的值;

國，【經典計算題七解含參的二元一次方程組】

3x+y-9=0

61.已知關于三丁的方程組

3x-y+my-6=0

⑴請直接寫出方程3x+y-9=0的所有正整數解；

(2)無論數加取何值，方程3x-y+叩-6=0總有一個固定的解，請求出這個解；

⑶若方程組的解中了恰為整數，加也為整數，求加的值.

[x-y=4a-3

62.已知關于x,y的二元一次方程組彳苫+2y=_5a的解X'＞互為相反數，求a的值?

63.解答下列各題

4x+3y=7

⑴已知關于X,了的二元一次方程組彳依+住的解x，y的值相等，求左的值.

[x-2y=2m+3

⑵已知關于％,V的二元一次方程組。,的解互為相反數，求冽的值.

[2x-y=-3

f5x+y=lz-xx-x

64.選擇一組a,c的值，使方程組.①有無數組解；②無解；③有唯一的解.

[ax+2y=c一

[2x+y=2a+l

65.已知關于x7的方程組/,＜的解滿足工+k-2,求〃的值.

[x+2y=5-5a

[2x+y=8

66.已知關于無，了的二元一次方程組.'?的解滿足方程2x-y=2,求加的值.

[2x-my=-1

fmx+2ny=4[nx+(m—l]y=3

67.已知關于x,y的方程組，與:有相同的解.

[x+y=2[x-y=4

⑴求這個相同的解;

(2)求m、"的值；

⑶小明同學說："無論。取何值，(1)中的解都是關于X,y的方程(3+a)x+(2a+l)y=5的解."這句話對

嗎？請你說明理由.

[x+2y-6=0

68.已知關于x,了的方程組■,

[x-2y+mx+4m=n0

⑴若方程組的解滿足x+y=O,求加的值；

(2)無論實數加取何值，方程》-2了+加x+4加=0總有一個固定的解，請求出這個解？

⑶若方程組的解中x為整數，且加是自然數，求加的值.

f2x+y-4-。①心

69.關于X,y的方程組-“二分，其中常數awo.

[x-4y=11-5。②

⑴直接寫出的值(結果用含。的代數式表示)；

(2)無論。取何值，試說明無+了的值總是不變的.

(ax-4n=10

70.已知關于x,y的二元一次方程組<入好，甲由于看錯了方程組中的a,得到的方程組的解為

[5x+by=42

fx=12fx=2

2,乙由于看錯了6,得到方程組的解為,.

[尸-3[y=-i

(1)求a,b的值；

/7Y—41/—1(j//UY-4-W—

(2)若方程組y/Q的解與方程組；4的解相同，求的值.

[5x+by-42\mx+2ny--6

G【經典計算題八三元一次方程組的解法】

71.解下列方程組：

x+y=l1?

(1)<y+z=13@

x+z=12(3)

y=2x-l①

(2)<5x+3y+2z=2②

3x-4z=4(3)

y=2x-7

72.解方程組：5x+3y+2z=2.

3x-4z=4

|x+y=2

73.【數學問題】解方程組*_2卜+耳=6

【思路分析】小明觀察后發現可以把X+V視為一個整體，把方程①直接代入到方程②中，這樣，就可以

將方程②直接轉化為一元一次方程，從而達到“消元"的目的.

(1)【完成解答】請你按照小明的思路，完成解方程組的過程.

a+b=3

⑵【遷移運用】請你按照小明的方法，解方程組5a+3c=1

a+b+c-Q

74.如下表，從左到右的每個格子中都填入了一個整數，使得其中任意三個相鄰格子中所填的整數之和都

相等.

一1a6c5-2...

⑴格子中”所表示的整數為，b所表示的整數為,c所表示的整數為

(2)請你求出第2023個整數是多少；

⑶請你求出前2024個整數的和.

2x+3y-z=\\

75.解方程組：<2x+y-5z=8.

-2x+ly+z=19

76.解方程組：

x+y+z=6①

(1)<x-y=-l@

2x-y+z=5③

3x-y=-7@

(2)<y+2z=2②

2x-2z=-5(3)

77.解方程組：

y=2x-7?

(1)<5x+3y+2z=2②

3x-4z=4(3)

x+y=3①

(2)<x+z=0@

2x+y+2z=2③

x+y=3①

78.解方程組：x+z=0②

2x+y+2z=2(3)

xy+l=2z

79.解方程組：<yz+l=2x.

zx+l=2y

80.解方程組：

x+y—z=6①

<x-3y+2z=1②

3x+2〉-z=3③

國【經典計算題九二元一次方程組的新定義計算】

81.對于x,y我們定義一種新運算"※":四F="+力，其中°,6為常數，等式的右邊是通常的加法和乘

法運算.已知：5※2=7,3x(-4)=12,求保3的值.

82.對于任意實數無、了，定義新運算：x^y^ax+by-3,其中。、6為常數，等號右邊為通常的加法、

減法和乘法運算，例如2加=2°+6-3.若2博=6,1☆(-1)=-1.求2匆-2)的值.

83.對于有理數X，了定義一種新運算"※"：="+2.例如：2Xl=2a-6+2.

⑴若1※(-1)=-4,3派2=4,求56的值.

(2)在(1)的條件下，試說明：xXy=(x-2)※。-1).

84.對于實數a、b,定義關于“軟'的一種運算：a?b=a+2b,例如103=1+2x3=7.

⑴求6?(-4)的值；

(2)若㈠網2x)=7,(2x)十㈠)=8,求x-歲的平方根.

85.對于X,V定義一種新運算△,規定：X￡.y=ax+by(其中a,6均為非零常數).

例如:1A2=a+2b,已知1A1=3,—IAI=—1.

⑴求a,b的值.

[ax+by=m

(2)在(1)的條件下，若關于X,y的二元一次方程組/“。的解滿足x+V=10,求〃7的值.

]Aa-j)x-2by=m+2

86.現定義一種新運算。如下：數對(X,力經過運算?？梢缘玫綌祵?￡,"),并把該運算記作

夕x,y=X'/',其中，'為常數).例如，當