第5節二次函數綜合

真題精粹?重變式

考向1二次函數與直線型問題

1.(2023?福建)已知拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(l,0),B(3,0)兩點,M為拋物線的頂點,C,D為拋物

線上不與A,B重合的相異兩點,記線段AB的中點為E,直線AD,BC的交點為P.

(1)求拋物線的函數表達式.

⑵若C(4,3),D且m<2,求證:C,D,E三點共線.

(3)小明研究發現:無論C,D在拋物線上如何運動，只要C,D,E三點共線,△AMP,Z\MEP,4ABP中必

存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

2.(2019?福建)已知拋物線y=ax2+bx+c(b<0)與x軸只有一個公共點.

(1)若拋物線與x軸的公共點的坐標為(2,0),求a,c滿足的關系式.

(2)設A為拋物線上的一個定點，直線l:y=kx+l-k與拋物線交于點B,C,直線BD垂直于直線y=-l,

垂足為D.當k=0時，直線1與拋物線的一個交點在y軸上，且AABC為等腰直角三角形.

①求點A的坐標和拋物線的解析式；

②證明:對于每個給定的實數k,都有A,D,C三點共線.

:解題指南(2)①直線產kx+l-k=k(x-l)+l,過定點(1,1),且當k=0時，直線1為直線y=l,平行于x

軸，與y軸的交點為(0,1),即可求解.

②計算直線AD表達式中的k值、直線AC表達式中的k值，兩個k值相等即可求解.

核心方法

函數背景下關于三點共線證明(設三個點依次為A,B,C)的解題思路

方法一:取任意兩點確立一條直線，求出該直線的解析式，代入第三點坐標，看是否滿足該解析

式,若滿足，則A,B,C三點共線.

方法二:利用兩條直線重合的方法證明，分別求出直線的解析式，直線AB:yAB=kix+bi,直線

AC:yAc=k2x+b2,若ki=k2,則兩直線重合，即A,B,C三點共線.

方法三:運用兩點之間線段最短證明,利用兩點間的距離公式分別求線段AC,AB,BC的長，若

AB+BC=AC,則A,B,C三點共線.

方法四:運用角(或角的三角函數值)相等證明,設直線AB,AC與x軸的夾角分別為a,。,證明a=(3

或a,0的對應三角函數值相等,則可得A,B,C三點共線.

方法五:運用平角的概念證明，任取一點D,證明NABD+/DBC=180。,則可得A,B,C三點共線.

考向2二次函數與角度問題

熱點訓練

3.已知拋物線y=ax2+bx+c過點A(0,2),且拋物線上任意不同的兩點M(xi,yD,N(X2,y2)都滿足:當

xi<X2<0時,(xi-X2)(y「y2)>0；當0<xi<X2時,(xi-X2)(yi-y2)<0似原點O為圓心,OA為半徑的圓與拋物

線的另兩個交點為B,C,且點B在點C的左側,AABC有一個內角為60°.

(1)求拋物線的解析式.

⑵若MN與直線y=-2V3x平行，且點M,N位于直線BC的兩側,yi>y2解決以下問題：

①求證:BC平分NMBN.

②求AMBC外心的縱坐標的取值范圍.

『解題指南(1)由點A的坐標確定出c的值，根據已知不等式判斷出yi-y2<0,可得出拋物線的增

減性，確定拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，求出b的值，易得4ABC為等邊三角形，確定點B的

坐標，代入拋物線解析式即可.

(2)①設點M(xi,W+2),N(X2,-xg+2),由MN與已知直線平行，得到k值相同，表示出直線MN的解析

式，進而表示出ME,BE,NF,BF,求出tan/MBE與tanZNBF的值相等，進而得到BC為角平分線；

②三角形的外心即三條垂直平分線的交點，得到y軸為BC的垂直平分線，設點P為外心，利用勾股

定理化簡PB2=PM2,確定出△MBC外心的縱坐標的取值范圍即可.

核心方法

函數背景下證明等角、倍角及和差的方法

方法一:通過構造直角三角形,求解角的相同三角函數值來證明角相等.

方法二:通過構造三角形(四邊形),然后運用兩點間的距離公式求出線段的長，證明該三角形為

等腰三角形(特殊四邊形)，然后運用特殊圖象的幾何性質證明角相等或倍角.

方法三:運用角平分線的性質解決.

考向3二次函數與最值及面積問題

4.(2024?福建)如圖,已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,其中點

A(-2,0),點C(0,-2).

(1)求二次函數的表達式.

(2)若P是二次函數圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點D,4PDB的面積是

△CDB的面積的2倍，求點P的坐標.

5.(2022?福建)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx經過人(4,0)取1,4)兩點「是拋物線

上一點，且在直線AB的上方.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若AOAB的面積是4PAB面積的2倍，求點P的坐標.

(3)OP交AB于點C,PD/7BO交AB于點D.記△CDP,z\CPB,Z\CBO的面積分別為Si,S2,S3.判斷

泊是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.

$2S3

★解題指南(2)過點P作PM±x軸于點M,PM與AB交于點N,過點B作BE±PM于點E.分別

表達AOAB和APAB的面積，根據題意列出方程求出PN的長.設出點P的坐標，進而表示PN的長,

最后求出點P的坐標.

⑶由PD〃OB,可得△DPCs^BOC,所以CP：CO=CD：CB=PD：OB,又因為沿腎手,所以

02CBS3CO

衿汨算.設直線AB交y軸于點F,則F(0片).過點P作PH±x軸,垂足為H,PH交AB于點G,易

證△PDGs/XOBF,所以PD：OB=PG：OF.設P(n,gn2苧)(i<n<4),由(2)可知,PG=1n2qn手，所

以職MPG=3(n])24.利用二次函數的性質可求出最值.

S2s3coOF8228

6.(2023?張家界)如圖，在平面直角坐標系中,已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0)

和B(6,0)兩點，與y軸交于點C(0,6).D為線段BC上的一動點.

(1)求二次函數的表達式.

(2)如圖1,求aAOD周長的最小值.

圖1

(3)如圖2,過動點D作DP〃AC交拋物線第一象限部分于點P,連接PA,PB,記4PAD與4PBD的

面積和為S,當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值.

圖2

核心方法

函數背景下有關面積問題的解決方法

函數背景下的面積問題,主要是求三角形面積，四邊形面積問題也可轉化為求三角形面積問題

對于有關線段、周長、面積的最值問題，統一的解決方法是列出函數關系式,再根據函數的增減性

求出最值.

三角形面積的求法一般分以下幾種情況：

方法一:三角形有一邊平行于坐標軸的，通過作這一邊的垂線可求得該三角形面積.

方法二:三角形三邊都沒有平行坐標軸的，過頂點作坐標軸的垂線，利用三角形的面積三(水平

寬x豎直高)求解.

方法三:通過作平行線，運用同底等高或等底等高的三角形面積相等這一原理，轉化為面積相

等且可以直接求解面積的方法求解.

考向4二次函數與特殊多邊形存在性問題的探究

熱點訓練

7.如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=1x2+bx+c與坐標軸交于A(0,-2),B(4,0)兩點，直BC:y=-2x+8

交y軸于點C.D為直線AB下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線,垂足為G,DG分別交直線

BC,AB于點E,F.

(1)求該拋物線的表達式.

⑵當GF=1時，連接BD,求4BDF的面積.

(3)①H是y軸上一點，當四邊形BEHF是矩形時，求點H的坐標；

②在①的條件下，第一象限有一動點P,滿足PH=PC+2,求△PHB周長的最小值.

★解題指南(3)①過點H作HMXEF于點M,證明△EMH2ZXFGB(AAS),推出MH=GB,EM=FG,

由HM=OG,可得OG=GB《OB=2,由題意直線AB的解析式為y=1x-2,設E(a,-2a+8),F(a,%-2)，根據

MH=BG,構建方程求解，可得結論.

②因為的周長=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,所以要使得aPflB的周長最小，只要

PC+PB的值最小，因為PC+PBNBC,所以當點P在BC上時,PC+PB=BC的值最小.

核心方法

函數背景下存在性問題的解題思路

函數背景下的存在性問題是一類考查在已知函數圖象上是否存在某特殊點，使得該點與已知

點構成特殊圖象或取極值的問題，主要包括存在特殊三角形（等腰三角形、直角三角形、等腰直角

三角形），特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形），以及存在與已知的三角形全等或相似的

情況，還有構成的線段和差、三角形面積（周長）、四邊形面積（周長）取最大（?。┲?通常結合動點、

函數與幾何采用分類討論、畫分類簡圖、建立等式計算來解決.

代數法:找出動點所在的函數解析式,設出動點坐標并用一個未知數表示.運用兩點間的距離

公式用參數表示出相關線段的長度.

（1）等腰三角形，通過線段相等得到代數等式.

（2）直角三角形，運用勾股定理獲得等式，或krk2=-l.

（3）平行四邊形，根據平移性質,運用平移前后對應點橫縱坐標之間的差相等列出等式.

幾何法:①直角三角形可構造相似三角形（通常為K型）得出等式;②等腰三角形通過三線合一求

解;③全等或相似通過目標三角形邊角關系，進而表達線段長，通過比例式得到等式;④矩形、菱形

問題可以轉化為直角三角形和等腰三角形問題加以解決.

8.（2023?湘潭）如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸父于A,B兩點，與y軸交于C點，其中

B(l,0),C(0,3).

-

%

（備用圖）

（1）求這個二次函數的表達式.（2）在二次函數圖象上是否存在點P,使得SAPAC=SAABC?

若存在，請求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

（3）Q是對稱軸1上一點，且點Q的縱坐標為a,當AQAC是銳角三角形時，求a的取值范圍.

參考答案

真題精粹?重變式

1.解析:⑴因為拋物線y=ax2+bx+3經過點A(1,O),B(3,O),

所以露XU。解得｛：?4

所以拋物線的函數表達式為y=x2-4x+3.

⑵證明:設直線CE對應的函數表達式為y=kx+n(k#O),

因為E為AB的中點，所以E(2,0).

又因為C(4,3),

所以解得卜=發

(4k+n=3,(n=-3,

所以直線CE對應的函數表達式為y=|x-3.

因為點D(m,-：)在拋物線上，所以m2-4m+3=-|,

解得m=|或m=|,

又因為m<2,所以m=|,

所以D(|，t).

因為京“弓,即D(|,q)滿足直線CE對應的函數表達式，

所以點D在直線CE上，即C,D,E三點共線.

(3)AABP的面積為定值，其面積為2.

提示:如圖1,當C,D分別運動到點C,D的位置時,C,D與D,C分別關于直線EM對稱,此時仍

有C',D',E三點共線.

設AD與BC的交點為P,則P,P關于直線EM對稱，即PP'//x軸.

此時PP與AM不平行，且AM不平分線段PP',

則PP到直線AM的距離不相等，即在此情形下AAMP與△AMP，的面積不相等,

所以AAMP的面積不為定值.

如圖2,當C,D分別運動到點Ci,Di的位置時,且保持Ci,Di,E三點共線.此時ADi與BCi的交

點Pi到直線EM的距離小于點P到直線EM的距離,

所以△MEPi的面積小于△MEP的面積，故△MEP的面積不為定值.

又因為△AMP,Z\MEP,4ABP中存在面積為定值的三角形，故^ABP的面積為定值.

在(2)的條件下,；A(l,0),B(3,0),C(4,3),D1，丸

，直線BC對應的函數表達式為y=3x-9,直線AD對應的函數表達式為y=-|x+|.

y=3x—9,

由丫=_]+清得

8號2人此時4ABP的面積為2.

2.解析:(1)拋物線與x軸的公共點的坐標即函數的頂點坐標,

所以y=a(x-2)2=ax2-4ax+4a,

則c=4a.

(2)①如圖1,直線y=kx+l-k=k(x-l)+l過定點(1,1),

且當k=0時，直線1為直線y=l,平行于x軸，與y軸的交點為(0,1).

圖1

VAABC為等腰直角三角形,

A為拋物線的頂點.

c=l,頂點A(1,O),拋物線的解析式為y=x2-2x+l.

y=X2-2X+1,

②證明:如圖

y=kx+1-k,

得x2-(2+k)x+k=0,

解得x=1(2+k±Vk2+4),

XD=XB=|(2+k-Vk2+4),yD=-1,

則D(14尹一J,

yc=1(2+k2+kVk2+4),

?,?直線AD表達式中的k值為

I_-2_k+Vk2+4

kAD-k-V^"―2—，

直線AC表達式中的k值為kAC上受，

，kAD=kAc,即A,C,D三點共線.

3.解析:(1)：拋物線過點A(0,2),c=2.

當xi<x2<0時,xi-x2<0,由(x-x2)(yi-y2)>0,得yi-y2<0,

當x<0時,y隨x的增大而增大，

同理當x>0時,y隨x的增大而減小，

/.拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，即b=0.

以原點0為圓心,0A為半徑的圓與拋物線交于另兩點B,C,如圖1所示,

圖1

/.△ABC為等腰三角形.

VAABC中有一個角為60。，

.,.△ABC為等邊三角形，且OB=OA=2.

設線段BC與y軸的交點為D,則有BD=CD,且/OBD=30。，

.,.BD=OBcos300=V3,OD=OBsin30°=l.

:點B在點C的左側，

...點B的坐標為(-6,-1).

:點B在拋物線上，且c=2,b=0,

.,.3a+2=-l,

解得a=-l,

則拋物線的解析式為y=-x2+2.

(2)①證明:由⑴知，點M(XI,W+2),N(X2,-X1+2).

,/直線MN與直線y=-2V3x平行，

設直線MN的解析式為y=-2bx+m,則有-x"2=-2bxi+m,

即m=-Xi+2V3xi+2,

直線MN的解析式為y=-2V3x-x^+2V3xi+2,

把y=-2V3x-Xi+2V3xi+2代入y=-x?+2,解得x=xi或x=2V3-xi,

.'.X2=2V3-XI,BPy2=-(2V3-xi)2+2=-Xi+4V3xi-10.

作ME，BC,NF，BC,垂足分別為E,F,如圖2所示.

點M,N位于直線BC的兩側，且yi>y2,則y2<-l<yi<2,_l.-V3<xi<X2,

ME=yi-(-1)=-x：+3,BE=xi-(-V3)=xi+V3,

NF=-1-y2=x2-4V3xi+9,BF=X2-(-V3)=3V3-xi.

在RtABEM中,tan/MBE-ME-/+：一舊一xi,

BExi+V3

在RtABFN中,tan/NBF=NF-X&4Nxi+9_(xry)2-3_(xr3華(xr㈣一存xi.

BF3V3-X13V3-X13v3-xi

tanZMBE=tanZNBF,

.,.ZMBE=ZNBF,

則BC平分/MBN.

②：y軸為BC的垂直平分線，

.?.設AMBC的外心為P(O,yo),則PB=PM,即PB2=PM2,

根據勾股定理得3+(yo+l)2=x：+(yo-yi)2.

Vx^=2-yi,

2

.'.yo+2yo+4=2-yi+(yo-yi),BPyo=^yi-l,

由①得-l<y￡2,

則AMBC外心的縱坐標的取值范圍是-|<yoWO.

4.解析:⑴由題意，將A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c~^+。=°

(C二-2,

???二次函數的表達式為y=x2+x-2.

⑵由題意，設點P(m,n)(m<0,n>0),

又4PDB的面積是4CDB的面積的2倍，

二也』，即也=2,

SACDB-BDCO

又C0=2,

.?.n=2CO=4.

由m2+m-2=4,

.*.mi=-3,m2=2(舍去).

工點P的坐標為G3,4).

5.解析:⑴將A(4,0),B(l,4)代入y=ax2+bx,

??｛魯襄=。，解得

拋物線的解析式為丫=春2號.

(2)解析設直線AB的解析式為y=kx+t,

將A(4,0),B(l,4)代入y=kx+t,

.件+t=0,

"tk+t=4,

所以直線AB所對應的解析式為y=-^x+y.

VA(4,0),B(l,4),

1

**?SAOAB=^X4x4=8,

SAOAB=2SAPAB=8,BPSAPAB=4.

如圖1,過點P作PM±x軸于點M,PM與AB交于點N,過點B作BE±PM于點E,

一1113

**?SAPAB=SAPNB+SAPNA^PN,BE+^-PN?AM=^PNx3=^PN=4,

APN—.

3

設點P的橫坐標為m(l<m<4),

則P^m,-1m2+ym),

?/(2年)或(3,4).

⑶存在.

,.?PD〃OB,

???ZDPC=ZBOC,ZPDC=ZOBC,

.,.△DPC^ABOC,

ACP:CO=CD:CB=PD：OB.

..Si_CDS2_CP

?CB^CO9

.Si1S2_2CP

,?S2s3co'

如圖2,設直線AB交y軸于點F,則F（。片）.過點P作PH±x軸,垂足為H,PH交AB于點G.

VZPDC=ZOBC,

.\ZPDG=ZOBF.

VPG//OF,

???ZPGD=ZOFB,JAPDG^AOBF,

APD:OB=PG：OF,

APG:OF=CP:CO.

設P(口廣家+學，(l<n<4),

由⑵可知,PG=-52苧.

??迎耳心0PG—(nq)2U

"S2S3COOF8228,

Vl<n<4,

???當n=1時，泄1取得最大值，最大值為

6.解析:⑴由題意可知,設拋物線的表達式為y=a(x+2)(x-6),

將(0,6)代入上式得6=a(0+2)(0-6),解得a=-1,

，拋物線的表達式為y=-1(x+2)(x-6)=-|x2+2x+6.

(2)如圖，作點O關于直線BC的對稱點E,連接EC,EB.

VB(6,0),C(0,6),ZBOC=90°,

.,.0B=0C=6.

：0,E關于直線BC對稱，

，四邊形OBEC為正方形，

???E(6,6),

連接AE,交BC于點D,由對稱性|DE|=|DOI,

此時|DO|+|DA|有最小值，最小值為AE的長，

AE=VAB2+BE2=V82+62=10.

AAOD的周長為DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值為10,

/.△AOD的周長的最小值為10+2=12.

(3)由已知點A(-2,0),B(6,0),C(0,6).

設直線BC的表達式為y=kx+b.

將B(6,0),C(0,6)代入y=kx+b,

則

解得仁

，直線BC的表達式為y=-x+6,

同理可得直線AC的表達式為y=3x+6.

VPD//AC,

???可設直線PD的表達式為y=3x+a\

由(1)設P^m,-1m2+2m+6),

將P點坐標代入直線PD的表達式得a--1m2-m+6,

「?直線PD的表達式為y=3x-1m2-m+6,

(y=-x+6,

由|y=3x_*-m+6,

一1m"7+?-1m,

84

——1m2z--1m+―6,

84

VP,D都在第一象限,

=

S=SAPBD+SAPADSAPAB-SADAB

3

=-m2+9m

2

=-|(m2-6m)

=刎3)21

??寺，

當m=3時,S有最大值，最大值為學

此時P點的坐標為(3年).

7.解析:⑴：拋物線y=ix2+bx+c過A(0,-2),B(4,0)兩點,

.(C=-2,

??18+4b+c=0,

解得F=.i，

lc=-2,

???心2-*2.

(2)VB(4,0),A(0,-2),

.".OB=4,OA=2.

；GF_Lx軸,OA_Lx軸，

在RtABOA和RtABGF中,tan/ABO器片,

OBGB

1

即二，

4GB9

.\GB=1,

???OG=OB-GB=4-1=3,

當x=3時,yD=^x9-|x3-2=-2,

???D(3,-2),即GD=2,

13

???FD=GD-GF=2-j=j,

i133

.,.SABDF4-DFBG=|X|X1=1,

(3)①如圖1,過點H作HMXEF于點M.

???四邊形BEHF是矩形，

???EH〃BF,EH=BF,

.e.ZHEF=ZBFE.

,/ZEMH=ZFGB=90°,

???ZXEMH也△FGB(AAS),

???MH=GB,EM=FG.

VHM=OG,

???OG=GBA3B=2.

2

VA(0,-2),B(4,0),

直線AB的解析式為y=1-2.

:直線BC的解析式為y=-2x+8,EF±x軸.

r.E(2,4),F(2,-l),

AFG=1,EG=4.

VEM=FG,

*,?4-yH=l,

，yH=3,

???H(0,3).

②如圖2,BH=A/OH2+OB2=V32+42=5.

圖2

,/PH=PC+2,

APHB的周長=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,

要使得△PHB的周長最小，只要PC+PB的值最小.

,.,PC+PB>BC,

，當點P在BC上時,PC+PB=BC的值最小.

BC=VOC2+OB2=V82+42=4V5,

.,.△PHB周長的最小值為4V5+7.

8.解析:⑴將點B(1,O),C(O,3)代入y=x2+bx+c,則

0+b+c=O,

fc=3,

二拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

⑵：y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

頂點坐標為(2,-1),

當y=0時,X2-4X+3=0,

解得XI=1,X2=3,

.?.A(3,0),則OA=3.

：C(0,3),則0C=3,

?1.△AOC是等腰直角三角形.

SAPAC=SAABC,

AP到AC的距離等于B到AC的距離.

：A(3,0),C(0,3),設直線AC的解析式為y=kx+3,

.?.3k+3=0,解得k=-l,

直線AC的解析式為y=-x+3,

如圖1,過點B作AC的平行線,交拋物線于點P,

圖1

設BP的解析式為y=-x+d,將點B(1,O)代入得-l+d