福建省泉州市2025屆高三下學期質量檢測（三）數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.N*n（.r|2%<9}=（）

A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{-3-2,-1,0,1,2,3}

2.已知向量方,5滿足向=M=1,且B-2可=后，貝「與石的夾角為（）

,兀一萬一兀一兀

A.—B.—C.-D.一

6432

3.己知復數2=4+山（。二0,。€11）滿足匕一1|=1,貝1］（）

A.a<0B.ci=y/2C.z-z=\/2D.z+z=2

4.已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1,且圓柱的側面積等于球的表面積，則該圓柱的

母線長等于（）

A.1B.2C.3D.4

5.己知（2尤+2）6+a（x+l）3的展開式中/的系數為0,則。的值為（）

A.-1280B.-640C.640D.1280

6.已知拋物線C:y2=4x的準線為/，點p在C上，以尸為圓心的圓與/和x軸都相切，貝|

該圓被y軸截得的弦長等于（）

A.1B.6C.2D.243

7.已知函數/（x）=sinx+（x+a）（x+l）,若Hxe（-2,0）,/（-x）=—/（X）,則。的值可以是（

A.-5B.-3C.3D.5

8.如圖，已知Rt△必是圓錐SO的軸截面，分別為SAS3的中點，過點C且與直線&4

垂直的平面截圓錐，截口曲線r是拋物線的一部分.若尸在r上，則名DP的最大值為（）

D,

4

二、多選題

9.有一組樣本數據1,2,3,4,5,現加入兩個正整數x,丁構成新樣本數據，與原樣本數

據比較，下列說法正確的是（）

A.若平均數不變，則x+y=6B.若極差不變，則x+y=6

C.若x+y=6,則中位數不變D.若無+y=6,則方差不變

10.已知函數/（%）=$近2%-2$111%,貝5|（）

A./（X）的最小正周期為2兀B.曲線y=F（x）關于直線對稱

f（x）在區間序/

c.“X）在區間［-2兀,2可上有4個零點D.內單調遞減

11.已知數歹！!｛4｝的前"項和s"=如2+〃一%+2,則下列說法正確的是（）

7

A.若｛4｝是等差數列，貝|左=2B.若｛4｝不是遞增數列，貝

Q9

C.若S,＜S〃+2，則左＞2D.若、的最小值為3,則%之［

n3

三、填空題

12.等比數列｛。“｝中，生+%=1,%+%=8,則｛4｝的前4項和等于.

13.如圖，假定兩點尸，。以相同的初速度運動.點。沿射線CD做勻速運動，CQ=x；點尸

沿線段（長度為IO,單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經過的距離

（PB=y）.令尸與。同時分別從AC出發，則數學家納皮爾定義X為y的對數中，無與y的

X

對應關系就是y=107p：，其中e為自然對數的底.若點尸從線段"的中點運動到靠近B

的四等分點，點Q同時從已運動到。2,則鬻=.

A~pyB

CQ~D~

22

14.設0為坐標原點，A為橢圓￡:三+與=1（。＞匕＞0）的上頂點，點8在E上，線段交

ab

試卷第2頁，共4頁

X軸于點Af.若4403=135。，且忸閭=三4叫，則E的離心率等于.

四、解答題

15.四邊形ABCD中，AB〃C￡>,NABC=45。,A8=4,AC=舟(7.

⑴求sin/ACB；

(2)若AD=JF7,求四邊形ABC。的面積.

16.如圖，四棱臺ABCD-EFGH中,底面ABCD是邊長為4的菱形，HD=HG=2,AE=20,

(1)證明：曲//平面Ab；

(2)證明：HE>_L平面ABCD；

(3)若該四棱臺的體積等于""，且64>所，求直線BC到平面AFG的距離.

3

17.設函數”了)=1+1-爐-米.

⑴當左=0時，求曲線y=〃x)在點處的切線方程；

⑵若在區間［-1,內)上單調遞增，求上的取值范圍；

⑶當X2-1時，/(x)>f(-l),求上的取值范圍.

22

18.已知雙曲線C:二-乙=1,點/在C上，過河分別作X軸和y軸的垂線，垂足分別為

1616

A和B,記線段48的中點N的軌跡為1\

⑴求r的方程；

⑵過"的直線/與c有且只有一個公共點，且與r交于P,Q兩點.

證明：(i)Z1AB；

(ii)\MP\=\MQ\.

19.編號為1,2,3,…,〃(“22,”eN*)的〃個球依次被等可能地涂成黑色或白色，設編號為奇

數的黑色球的個數為x,編號為偶數的白色球的個數為y,記事件“X>Y”為4,尸(4)=。〃.

⑴求生嗎,尸(A14)；

(2)當力=2G+1(左eN*)時，求%；

(3)當〃=2后(左eN*)時,設『+區_周,證明：E?=2k(l-aQ.

試卷第4頁，共4頁

《福建省泉州市2025屆高三下學期質量檢測(三)數學試題》參考答案

題號12345678910

答案ACDBADBCACAD

題號11

答案ABD

1.A

【分析】根據交集的定義，即可求解.

【詳解】滿足2,<9的正整數只有123,所以N*ck|2x<9}={l,2,3}.

故選：A

2.C

【分析】利用數量積的運算律求出75,進而求出夾角.

【詳解】由—2B卜君，得二一4小+宕=3,而I沁M=l,貝=

cos〈a,B〉=1匕=工,而04〈￡石〉(兀，

\a\\b\2

——TT

所以G與5的夾角〈。,，〉=葭

故選：C

3.D

【分析】根據復數的模得到方程求出”的值，即可求出z,再根據復數代數形式的運算法則

判斷即可.

【詳解】因為z=a+ai(a*O,aeR),所以z-l=a-l+ai,

又所以‘牛一丁+片=1,解得。=1或0=0(舍去)，

所以z=l+i,貝!Jc=l—i，所以z,z=—i)=2,z+z=(l+i)+(l—i)=2.

故選：D

4.B

【分析】根據圓柱側面積和球表面積公式列方程，解方程即可.

【詳解】設圓柱的母線長為x,則2n-x=4n,解得尤=2.

故選：B.

5.A

答案第1頁，共20頁

【分析】根據給定條件，求出兩個二項式展開式中的系數即可得解.

【詳解】依題意，(2x+2)6展開式中V項為c：(2x)3.23=26c*3,其系數為26或=1280,

a(x+l)3展開式中爐項改3,其系數為。，由展開式中d的系數為0,得。+1280=0,

所以。=-1280.

故選：A

6.D

【分析】根據相切的到點P(r-l,r)然后代入拋物線方程得到「，最后利用勾股定理求弦長.

【詳解】拋物線C：V=4尤的準線方程為x=-l,不妨取點尸在第一象限，

設以尸為圓心的圓的半徑為「，

因為以尸為圓心的圓與/和x軸都相切，所以尸

將P代入拋物線方程得r=4(r-l),解得廠=2,

貝UP至UP軸的距離為1,該圓被,軸截得的弦長為2萬1=26.

故選：D.

7.B

【分析】根據/(一力=一/(同得至】Ja=-無2,然后根據x的范圍求a的范圍即可.

【詳解】由題意得，sin(-j;)+(-x+a)(-x+l)=-sinx-(^+a)(x+l),

整理得a=f2,

因為xe(-2,0),則-ae(-4,0).

故選：B.

8.C

答案第2頁，共20頁

【分析】勾股得到。C，從而得到當DP最大時，言最大，然后根據截面得到截面,

根據勾股得到當。尸最大時，DP最大,再結合截面得到。尸的最大值，從而得到D言P的最大

值.

【詳解】

過點。作EF_LAB,交底面圓于瓦尸兩點，連接SO,DO,CO,

設&4=SB=2,貝！jDC=—AB=A/2,

2

所以當DP最大時，器DP最大,

由圓錐的性質得SO,底面，

因為EFu底面，所以SOLE尸，

又S(?nA3=O,SO,ABu平面&4B,所以平面S45,

因為SAu平面&W,所以SA_LEF,

因為C,。分別是SA,AB的中點，所以CO〃S3,則COL5A,

因為COIEP=O,CO,EFu平面CEF,所以SA_L平面CEF,

則平面CEF為截面，

因為R。為中點，所以所以ODL平面CEF,

因為OPu平面CEF,所以O￡>_LO尸，所以DP=1oif+OP?=&+OP。，

則當。尸最大時，DP最大，

如圖為截面的平面圖，

以c為原點，co為x軸，過點c垂直c。向上的方向為y軸正方向建系,

答案第3頁，共20頁

CO=1,OE=OF=叵，0（1,0）,則拋物線方程為=2x,

設P了，“J，則Qp卜

所以1°%=四，

則此時op=g=5變=噌=亞

DCV22

故選：C.

【點睛】關鍵點睛：本題的解題關鍵在于找到截面，然后轉化為平面幾何求最值.

9.AC

【分析】根據平均數、極差、中位數和方差的定義判斷.

.、“左力、j業心-_.EJ+2+3+4+51+2+3+4+5+%+y左力,白，,,

【詳解】右平均數不變111r，則-----------=------------------,解得x+y=6,故A正

確；

當x=y=2時，極差不變，但無+yw6,故B錯；

若x+y=6,則羽＞為1,5或2,4或3,3,每一種情況對應的中位數都是3,故C正確；

原數據的平均數為3,原數據的方差為［x（4+l+0+l+4）=2,

新數據的平均數為3,新數據的方差為

；［（X-3）2+（丫-3）2+4+1+0+1+4］=^^2^^=?，當且僅當了=〉=3時等號成立,

所以方差有可能改變，故D錯.

故選：AC.

10.AD

【分析】A選項，y=sin2"Dy=sinx的最小正周期，得到“尤）的最小正周期；B選項,

/（兀一,B錯誤；C選項，變形得至!］/（%）=25也彳（005%—1）,令〃尤）=。得sinx=0

或cosx=l,從而得到在區間［-2兀,2對上有5個零點，C錯誤；D選項，求導，得到

/'（X）=4（cosx—j-；＜0在上恒成立，D正確.

【詳解】A選項，y=sin2尤的最小正周期為兀，y=sin尤的最小正周期為2兀,

兩者的最小公倍數為2兀，故了（無）的最小正周期為2兀，A正確；

答案第4頁，共20頁

B選項,/(兀一x)=sin(2兀-2x)—2sin(兀一x)=-sin2x—2sinx手于(x),

故曲線y=〃尤)不關于直線％=］對稱，B錯誤；

C選項，/(x)=sin2x-2sinx=2sinxcosx-2sinx=2sinx(cosx-1),

令〃x)=0得2sinx(cosx-1)=0,故sin%=。或8sx=1，

因為工￡［—2兀,2兀］,所以sin%=0的解為再=一2兀，x2=-nfx3=0f%=兀，/=2兀，

cosx=l的解為再=一2兀，％3=°，/=2兀，

綜上，/(%)在區間［-2兀,2可上有5個零點，C錯誤；

D選項，/'(%)=2cos2x-2cos^=4cos2x-2-2cosx=4^cos%-

當尤叫書時—4"龍t-河-加，

即廣(x)=4卜osx-j-:<0,所以〃x)在區間內單調遞減，D正確

故選：AD

11.ABD

【分析1A選項,根據等差數列前n項和公式判斷;B選項，利用an=Sn-S,-,(?>2)得到an,

q

然后根據增減性列不等式即可；C選項，列不等式，然后解不等式即可；D選項，將'的

n

最小值為3轉化為&=初+1+士工23恒成立，然后分〃=1和〃N2兩種情況分析即可.

nn

【詳解】若｛風｝為等差數列，貝氏=叫+當辿八夕%、一9〃，

2

所以—k+2=0,解得k=2,Sn=2n+n,故A正確；

S〃_i=左(〃一1)+(〃一1)—左+2,(〃之2),則%=Sn—=2切—左+1,(、22),

當〃=］時，。］=5］=k+1_k+2=3,

3,〃=1

所以為二

2kn—k+l,n>2

答案第5頁，共20頁

,、供>02,A

因為｛g｝不是遞增數列，所以心0或。、C7c71，則心W，故B正確；

[32，化?，-Zc+1j

若S〃<Sn+2,貝I碗2+〃一女+2<々（〃+2）2+（鹿+2）—女+2,

,-1-1-111

整理得心許,又礪短4西幣5二一"所以八一“故C錯；

qq-kA-?

因為土的最小值為3,所以2=加+1+—王23恒成立，

nnn

即Z（〃~—1）22〃一2,當九=1時，成立，

222

當〃之2時，k>----,貝！J女2------=一,故D正確.

〃+12+13

故選：ABD.

12.5

【分析】根據給定條件，利用等比數列項間關系列式求出公比，進而求出前4項和.

【詳解】設等比數列｛%｝的公比為4，由4+%=1，%+%=8,得/=互譽=8,

解得q=2,因此4+&=（q+的）/=4,

所以｛%｝的前4項和等于5.

故答案為：5

13.-/0.5

2

【分析】根據指數式和對數式的轉化得到CQrCQz，然后利用換底公式計算.

【詳解】令>=㈣，則它WO,

，整理得x=l()71n2,即CQ|=1071n2,

22r

7

令y=9,貝I]12i=iff整理得x=107m4,BPCg2=10In4,

44UJ

CQ_ln2_1

所以CQ^~ln4~2,

故答案為：

14.且

4

【分析】根據所給的角確定8所在直線，設出8點坐標，再由三角形相似得出B點坐標代

入橢圓方程，化簡即可得解.

答案第6頁，共20頁

【詳解】因為NAO3=135。，所以直線的斜率為1或-1,

不妨取上OB=T，則如圖,

設3（%8，一演），過8作8V_Lx軸于點N,

由\BM\=^\AM\,\O^b,

44<44

可得忸N|=WAO|,即/^B\-b,--b

代入橢圓方程可得：中［［一9）_,

a2+b1

故答案為：也

【分析】（1）方法一，根據余弦定理求邊BC和AC,再根據正弦定理求sinZACB；方法二:

VABC中，利用正弦定理，求sinZBAC,再根據兩角和的正弦公式

sinZACB=sin（ZABC+ABAC）,即可求解；

（2）方法一：根據平行線的性質，以及余弦定理求C。，再分別求VABC和AACD的面積,

即可求解；方法二：同樣先求C。，再求梯形的高，即可求解.

【詳解】（1）

解法一：在VABC中，AB=4,AC=45BC,ZABC=45°,

答案第7頁，共20頁

由AC2=BC1+AB2-2BC-ABcosZABC,

^5BC2=BC2+16-8-—BC,整理得BC2+應BC-4=0,

2

得BC=&或BC=-2及（舍）

XAC=A/5BC=V10,

4_Vio

,ABAC

rn_____________=______________BPsinZACB~

sinZACB-sinZABC

解得sin/AC8=X5.

5

BCAC

解法二：在VABC,由

sinZBAC~sinZABC

得sinNBAC=&sin/ABC=J立=巫,

ACy/5210

故…心嚕

sinZACB=sin（ZAJ3C+ZBAC）=sinZA5CcosZBAC+cosZABCsinABAC

_>/2<VTo32指

]0廠丁

（2）方法一：因為AB〃CD,所以NZ）CA=/BAC,

在VABC中，由余弦定理，得cos/BAC=+心—BC2=

2ABAC10

故cos/OCA=次的，

10

在AACD中，由AD?=AC?+CD2-2ACCDcosZDAC，

即17=10+CD2-2師.CD豆邊，整理得CD2-6CD-1=0,

10

解得CD=-1（舍去）或CD=7,

在VABC中，SAABC=|AB-BC-sin45°=1x472x^=2

CD77

由AB//CD可得，5AAeo=,SAABC=彳x2=彳，

AD4Z

711

故四邊形ABC。的面積為2+7=彳.

22

方法二：因為AB〃CD,所以NDC4=NB4C,

由（1）可得cosNBAC=題，

10

答案第8頁，共20頁

在AACD中，由Ap2=AC?+CD2_2ACCDCOSZDAC,

gpi7=10+Cr>2-2V10-CD整理得C￡>2-6CD-7=0，

10

解得CD=-1（舍去）或CD=7,

在VABC中，AB邊上的高為BC-sin45o=VL】L=l,

2

a11

故四邊形的面積為了（42+。）=耳.

16.（1）證明見解析

（2）證明見解析

⑶坦

7

【分析】（1）根據棱臺的性質得到平面ABCD〃平面EFG”，然后利用面面平行的性質定

理得到8D//HF,然后根據棱臺和菱形的性質得到阻=。/,即可得至（JHD//77,最后證

明線面平行即可;

（2）利用勾股定理得到LAD,根據等腰三角形的性質得到77LAC,然后證明線面垂

直即可;

（3）解法一：根據棱臺的體積公式列方程，得到乙BA。：1,然后建系，利用空間向量的

方法求距離；

7T

解法二：根據棱臺的體積公式列方程，得到484。=：,然后構建平面?平面SDM,

利用面面垂直的性質定理得到MK為直線BC到平面ABG的距離，然后利用等面積求距離.

【詳解】（1）

連結AC,3。，交于點/,連結尸/,則/為ACBO的中點,

由四棱臺ABCD-EFGH,得平面ABCD//平面EFGH,

又平面BDHF0平面ABCD=BD,平面BDHFA面EFGH=HF,

所以BD//HF,

FH1

因為灰=5'所以——=-

BD2

答案第9頁，共20頁

因為/為AC,8￡＞的中點，所以FH=DI=；BD,

所以四邊形。毋7為平行四邊形，故HD//F/,

又川)《平面ABC,3u平面A3C,所以"D〃平面ACP.

(2)取D4的中點J,連結

由四棱臺ABCD—EFG〃得，EH=HG=2,AJ=-AD=2,EHI/AJ,

2

所以四邊形A/HE為平行四邊形，EA=HJ,

則HJ=EA=2曰DJ=HD=2,

所以Dff2+DJ2=HJ2,所以HDLAP,

由(1),知A/=/C,又FA=FC,所以77JLAC,

因為77//HD,所以HD_LAC,

又AC,AZ)u平面A8CD,ACp|仞=A,

所以EDJ_平面ABC。.

(3)解法一：菱形A5C￡>的面積S=2x!xA8xA￡>xsinN3AO=16sinN54。，

2

由四棱臺ABCD-EFGH且￡7/=JAD,

可得S菱形EFGH=W§菱形ABCD=4sinNBA。，

四棱臺ABCD-EFGH的體積V=g(1+邪和+S2)/z=1x28sinZBA￡>x2,

從而-x28sinZBA￡>x2=型回，

33

解得sin/BAO=3,

2

因為FA>FB,IA=N-F/，IB=《FB?-FI2，所以ZA>/3，

故tan/ZAB="<l,從而N/AB〈工所以/A4Z)Jo，M，

IA4I2J

TT

所以ZR4￡)=§,

取AB的中點K,則。C,。”,OK兩兩垂直，如圖，以。為坐標原點，分別而，DC，DH

的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系。-個z,

則0(0,0,0),A(273,-2,0),G(0,2,2),C(0,4,0),

DA=(2A/3,-2,0),OG=(0,2,2),DC=(0,4,0),

答案第10頁，共20頁

設平面AFG即平面ADGF的法向量五=(x,y,z),

nDA=Q,/2氐-2y=0,

->即I

w-DG=0,[2y+2z=0,

整理，得[廣33y，令y=0得力=(L括,-白卜

、z=-y,

從而點C到平面.G的距離公彳=唳等,

所以直線3C到平面AFG的距離為生旦.

解法二:

延長BRCGAE交于點S,取BC的中點連結交FG于點N,連結DM,DN,則

FG,SM的中點均為N,2C_LDM,

因為BCu平面ABC。，所以BC_LSD,

因為依〃3(7,所以PGLDM.FGLS。，

又DM,SDu平面SDM,DM^\SD=D,所以PG_L平面SDM,

又尸Gu平面AfG,所以平面AFG_L平面SDM,

過點M作MK_LDN于K,且平面AFGc平面SDM=DN,"u平面SDW,所以仆_1平

面APG,

故MK為點M到平面AFG的距離即為直線BC到平面AFG的距離,

因為ND=NM,所以點M到。N的距離等于點。到的距離，

答案第11頁，共20頁

又RtASDAf中，SD=4,DM=26,SM=2幣,

設點D到NM的距離為d,則SASDM=：xOSxDM=^xSMxd,

所以4義26=2百d,解得d=,

7

所以直線BC到平面AFG的距離為士巨.

7

17.(l)y=3x+3

(2)^<4-21n2

(3)^<e

【分析】(1)利用導數的幾何意義，即可求解；

(2)由條件轉化為了目-1,+力),/'(力20恒成立.再轉化為導函數的最小值大于等于0,即

可求解；

(3)方法一：首先將不等式整理為2％a+i),再參變分離為轉化為

X+1

x+12

求函數G(x)=%^匚,xe(T,+e)的最小值；方法二：根據(2)的結果，由/'(%)的值,

討論上的取值，判斷不等式是否成立，即可求解；方法三：從命題成立的必要條件入手，再

證明命題成立的充分條件，即可求解女的取值范圍.

【詳解】(1)當左=0時,/(x)=ex+1-x2,貝"(x)=eZ—2x,

則曲線，=/(x)在點(T"(T)處的切線斜率為/'(T=3,

又〃-1)=0，

所以曲線y=/(x)在點(-"(-i))處的切線方程為y=3x+3.

(2)(x)=eA+1-2x-k,

由題意得，xe[T,+8)，r(x”0恒成立.

令P(x)=f(x),貝iJP'(x)=e向一2,且P'(x)在卜1,內)單調遞增，

令k(x)=0,解得x=ln2-l>-l,

所以當xe(-Un2—1)時，尸(x)<0,故P(x)單調遞減；

當％?ln2-1,+。)時,F(x)>0,故戶(x)單調遞增；

答案第12頁，共20頁

所以Rx)*=/(ln2—1)=4-21n2-k，

又/'(x)20,當且僅當尸(尤焉》0,故心4-21n2.

(3)解法一：因為〃-1)=3所以題意等價于當x>-l時，f(x)>k.

BPVxe(-l,+oo),ex+1-x2-kx>k,

整理，得e*+i—x22Mx+1),

x+1_2

因為X>-1,所以x+l>0,故題意等價于Nk.

設G(x)=----—,xe(-l,+oo),

e、'"i一2x)(x+1)--x2)

G(x)的導函數G，(X)=

(x+l)2

Y

化簡得G'(X)=E

考察函數g(尤)=e，-x-l,xe(r?,+oo),其導函數為g'(x)=e*-l,

當x<0,g，(x)<0,g(x)單調遞減；當x>0,g，(x)>0,g(x)單調遞增；

故在x=0時，g(x)取到最小值，即g(x)2g(O)=O,

即ex>x+l,

所以2x+2oeH-x-220，

所以當xe(-l,0),G(x)<0,G(x)單調遞減;

當尤e(0,+“),G(x)>0,G(x)單調遞增；

所以G(x)的最小值為G(0)=e,

故％Ve.

解法二：先考察=2x,由⑵分析可得尸(XU=7'(5),

情況1：當廣⑺血>0,即左W4-21n2,

此時/(x)在區間［-1,-)單調遞增，

故/⑺血n=/(T)，即/⑺2/(—1),符合題意；

答案第13頁，共20頁

情況2：若左＞4—21n2,則八%iL/'UkO，

注意至1]2＜4-21n2＜3,且/''(-1)=3-左，故對左進一步討論.

①當左23時，即/■'(-1)=3-心0

且由(2)分析知:當龍武一1,飛)"'⑺單調遞減，

故當xe(-1,毛),/'(毛)＜/'(―1)W。，即“力單調遞減，

故恒有/(x)＜/(-l)=Z,不符合題意，舍去；

②當4—21n2(人＜3時，

注意到在區間(-1,%),/'(月單調遞減，且/'(-1)=3-左＞0,又/'(%)＜0,

故在區間(-1,%)存在唯一的占滿足/'&)=0；

同理在區間,+動,/(力單調遞增，且/(％)(0,/■'⑴=e?-2-Q0,

故在區間(5,+e)存在唯一的馬滿足/'(々)=0;故可得

X(T，xJ為（%,%）%（孫+R）

廣⑺+0-0+

“X）/極大值極小值/

所以當＞/(-!),符合題意；

故題意等價于/(%)2/(T),即/(%)“.

又因為/'(々)=0，即廿+1-2々-左=0,化簡，得e也+1=2尤2+左

所以丁仁)2左02%+左一君一包2左，整理得々[々一僅一左)]V0.

注意至Ij2＜4-21n2(左，所以2—左＜0,

故解得馬《2-％,0],

e3-k>4-k,

由之前分析得＜即＜

r（o）>o,k&e,

答案第14頁，共20頁

考察函數g(x)=e*-x-l,xe(-oo,+oo),其導函數為g'(x)=e*-l,

當x<O,g[x)<O,g(x)單調遞減；

當x>O,g<x)>O,g(x)單調遞增；

故在x=0時，g(x)取到最小值，即g(x)2g(O)=O,

BPex>x+l,所以e3Y24-4恒成立，

fe"&>4-k

故"'=k&e,又注意到情況(2)討論范圍為4-21n2<A<3,

所以4-21n2<k<e也符合題意.

綜上①②本題所求上的取值范圍為

方法三：先探究必要性，由題意知當x2-l時，/(-1)是的最小值,

則必要地/(-1)</(0),即得到必要條件為kWe；

下證人We的充分性，即證：當左We時，xe[-l,+?),/(^)

證明：由(2)可知當左V4-21n2時，f(x)在單調遞增，

故f(x)的最小值為符合題意;

故只需要證明4-21112V々Ve時,/(x)>/(-l).

由(2)分析知—>4一21n2時,

X(T，xJ為(%,%)%(孫+R)

廣⑺+0-0+

“X)/極大值極小值/

其中飛=-l+ln2e(-l,0),^e(—l,％G(^,+OO).

注意至Ur(O)=e-k20,據此可得尤2更精確的范圍是(不，。]；

所以等價于證明/(x2)>/(-1)=k,

X2+1

又因為/'(々)=0，BPe-2x2-k=0,可得e*卻=2尤？+

答案第15頁，共20頁

只需證明f(/)2k2x、+k—x；—kx、2k,

等價于證明%-(2-左)]V0,

注意到吃?飛,0],即-l+ln2<X2<°，

故若①當％=。，此時女=3%[9-(2-左)]<0顯然成立；

若②當N<0,只要證明無2+%22,

此時4—21n2<云<e,且-1+1112<々<。

所以超+左>3-ln2>2,故得證.

綜上必要性，充分性的分析，本題所求上的取值范圍為(-%目.

【點睛】方法點睛：本題第三問給了三種方法，第一種參變分離比較簡單實用.

22

18.⑴

44

⑵①證明見解析；②證明見解析

【分析】(1)根據坐標的關系，利用代入法，即可求解軌跡方程；

(2)(i)分直線/的斜率不存在和存在兩種情況討論，斜率不存在時，根據幾何關系，直

接得到結論，當直線/的斜率存在時，設直線/：'=區+6,聯立雙曲線方程，以及利用切點

M的性質，直線/的斜率用坐標表示，即可證明；(五)直線/的方程與雙曲線「的方程聯立，

利用中點坐標公式，即可證明.

【詳解】(1)設N(x,y),“(5,%),貝|」4伉,0),磯0,%),工一耳=1.

1U1U

_X

X=—o,(■

7x=二：①

又線段A3的中點為N,所以即n

二2，

將①代入式-其=1,得￡=1.

161644

22

所以「的方程為土-匕=1.

44

(2)①當/的斜率不存在時，直線A8為x軸顯然/LAB；同時由雙曲線的對稱性，也易

得M卜照.

②(i)當/的斜率存在時，設/的方程為y=Ax+Z?(左w±l),則y0=kx0+b.

答案第16頁，共20頁

y=kx+b,

由＜y2消去y,可得（l-/）d-2物-僅2+16）=0,

--=1

11616

所以A=4k2b2+4（1-乃）僅2+16）=0,化簡，得。2=16（/_1）.

將少=%-也代入〃2=16（左2_i）,得（先一5）2=］6（后2_i）,（片一16產-2線%+￥+16=。,

又玉-16=y：,y：+16=%,

所以北女2-2g）%+*=0,（%左一工°了=0,解得％二,

%

%—0二為

又左A8=，所以公配=—1，故/_LAB.

O—%o%

（ii）設P（石，乂），。（%,%）?

y=kx+b,

由必y2［消去y,可得（］_左2）］2—2妨％_僅2+4）=0

144

2&

yo~xo'~

2kb_y（）（%

由韋達定理，得%+%2=2

l~k2

玉+X?

即為=

2

所以點M為PQ的中點，即=

綜合①②，/LAB;\MP\=\MQ\.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是第二問利用直線與雙曲線的位置關系轉化為關于左與坐

標的關系式.

19.⑴%=；,%=；,P（AI&）=1

答案第17頁，共20頁

(3)證明見解析

【分析】(1)根據獨立事件定義分析電，4分別對應的事件，并計算對應概率，再根據條

件概率公式計算尸(闋4)即可.

(2)當附=2左+l(%eN*)時，分析可能情況，記事件“編號為奇數的％+1個球中，被涂成黑

色的球的個數為產為C,,事件“編號為偶數的左個球中，被涂成白色的球的個數小于廣為2